时域有限差分法(FDTD算法)的基本原理及仿真
时域有限差分法(FDTD算法)的基本原理及仿真
时域有限差分法(FDTD算法)的基本原理及仿真时域有限差分法（FDTD 算法）时域有限差分法是1966年K.S.Yee 发表在AP 上的一篇论文建立起来的，后被称为Yee 网格空间离散方式。
这种方法通过将Maxwell 旋度方程转化为有限差分式而直接在时域求解, 通过建立时间离散的递进序列, 在相互交织的网格空间中交替计算电场和磁场。
FDTD 算法的基本思想是把带时间变量的Maxwell 旋度方程转化为差分形式，模拟出电子脉冲和理想导体作用的时域响应。
需要考虑的三点是差分格式、解的稳定性、吸收边界条件。
有限差分通常采用的步骤是：采用一定的网格划分方式离散化场域；对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化处理，建立差分格式，得到差分方程组；结合选定的代数方程组的解法，编制程序，求边值问题的数值解。
1.FDTD 的基本原理FDTD 方法由Maxwell 旋度方程的微分形式出发，利用二阶精度的中心差分近似，直接将微分运算转换为差分运算，这样达到了在一定体积内和一段时间上对连续电磁场数据的抽样压缩。
Maxwell 方程的旋度方程组为：E E H σε+∂∂=⨯∇t H HE m tσμ-∂∂-=⨯∇ （1） 在直角坐标系中，（1）式可化为如下六个标量方程：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂z z x y y y z x x x yz E t E y H x H E t E x H z H E t E z H y H σεσεσε，⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂z m zx y y m y z x x m x y z H t H y E x E H t H x E z E H t H z E y E σμσμσμ （2）上面的六个偏微分方程是FDTD 算法的基础。
Yee 首先在空间上建立矩形差分网格，在时刻t n ∆时刻，F(x,y,z)可以写成),,(),,,(),,,(k j i F t n z k y j x i F t z y x F n =∆∆∆∆= （3）用中心差分取二阶精度： 对空间离散：()[]2),,21(),,21(),,,(x O xk j i F k j i F x t z y x F n n xi x ∆+∆--+≈∂∂∆= ()[]2),21,(),21,(),,,(y O yk j i F k j i F y t z y x F n n yj y ∆+∆--+≈∂∂∆= ()[]2)21,,()21,,(),,,(z O zk j i F k j i F z t z y x F n n zk z ∆+∆--+≈∂∂∆=对时间离散：()[]22121),,(),,(),,,(t O tk j i F k j i F t t z y x F n n tn t ∆+∆-≈∂∂-+∆= （4） Yee 把空间任一网格上的E 和H 的六个分量，如下图放置:oyxzEyHzExEzHxEyEyEzEx HyEzEx图1 Yee 氏网格及其电磁场分量分布在FDTD 中，空间上连续分布的电磁场物理量离散的空间排布如图所示。
FDTD算法概述
前向差分
后向差分
中心差分
4
利用泰勒展开式
df ( x) h 2 d 2 ( x) f ( x h) f ( x ) h 2 dx 2! dx df ( x) h 2 d 2 ( x) f ( x h) f ( x ) h 2 dx 2! dx df ( x) 2h 3 d 3 ( x) f ( x h) f ( x h) 2h 3 dx 3! dx
H x t
n 1 1 i , j ,k 2 2
Hx
n
1 1 i , j ,k Fra bibliotek 21 2
Hx t
n
1 1 i , j ,k 2 2
1 2
2 O t
E y z
E z y
n
1 1 i , j ,k 2 2
n
Ey
n 1 i , j , k 1 2
2
• 基本计算步骤
① 采用一定的网格划分方式离散化场域 ② 对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化处理，建立差分 格式，得到差分方程组 ③ 结合选定的代数方程组的解法，编制程序，求边值问题的数值解
3
2.差分格式
• 差分基础知识
设函数f(x)，对其自变量x取增量 x h ，则
df f ( x) f ( x) f ( x h) f ( x) lim x 0 dx x x h f ( x ) f ( x h) h f ( x h) f ( x h) 2h
11
• 数值稳定的条件：
t 1 1 1 (x)2 (y )2 (z )2
当空间步长相等即Δx=Δy=Δz时，
fdtd光学仿真原理
fdtd光学仿真原理
FDTD（Finite-Difference Time-Domain）是一种基于有限差分时间域方法的光学仿真原理。
它是一种数值计算方法，用于模拟电磁波在空间和时间上的传播和相互作用。
FDTD方法基于Maxwell方程组，通过将空间和时间离散化为网格，将电场和磁场分量在网格点上进行计算。
在每个时间步长中，根据电场和磁场的更新公式，计算它们在下一个时间步长的值。
通过迭代计算，可以模拟电磁波的传播和相互作用过程。
FDTD方法的优点包括简单易懂、适用于各种复杂的光学结构和材料、能够考虑非线性和吸收等效应。
它广泛应用于光学器件设计、光纤通信、光子晶体等领域的仿真和优化。
在进行FDTD光学仿真时，需要确定网格的大小和分辨率、时间步长的选取、边界条件的设定等。
此外，还需要考虑材料的折射率、吸收系数等参数的设定，以及光源的位置和波长等。
总之，FDTD光学仿真原理是基于有限差分时间域方法的数值计算方法，用于模拟电磁波在空间和时间上的传播和相互作用。
它是一种强大的工具，可以帮助研究人员和工程师设计和优化各种光学器件和系统。
1。
时域有限积分法
时域有限积分法
时域有限积分法（FDTD）是一种数值求解电磁场问题的方法。
它将麦克斯韦方程组离散化为时域差分方程，并通过时间和空间上的迭代来求解。
FDTD方法有很多优点，比如可以处理各种形状的物体，不需要进行网格剖分，适用于多尺度问题等。
同时也有一些缺点，比如在高频情况下需要使用非常小的时间步长，计算量较大等。
FDTD方法的基本思想是将空间离散化为一个个小立方体单元，在每个时间步长内计算电场和磁场在每个单元内的变化。
这样就可以得到电磁场在整个空间中的分布情况。
FDTD方法需要满足Courant-Friedrichs-Lewy（CFL）条件，即时间步长和空间步长之比不能超过一个预定值。
这是因为如果时间步长太大，会导致误差增大；如果空间步长太大，则会出现数值不稳定等问题。
FDTD方法还可以结合其他技术一起使用，比如吸收边界条件、半经验公式、某些数学技巧等。
这些技术可以提高FDTD方法的精度和效率。
总之，FDTD方法是一种非常重要的求解电磁场问题的方法，它在电磁学、光学、天线设计等领域有着广泛的应用。
时域有限差分法二维
时域有限差分法二维1. 引言时域有限差分法（Finite Difference Time Domain, FDTD）是一种常用的数值计算方法，用于求解电磁场在时域中的传播和辐射问题。
本文将以二维情况为例，深入探讨时域有限差分法的原理和应用。
通过本文的介绍和解读，您将更全面地理解这一方法，并能够灵活应用于相关领域。
2. 时域有限差分法简介2.1 原理概述时域有限差分法是一种迭代求解偏微分方程的方法，通过将时域和空间离散化，将连续问题转化为离散问题。
在二维情况下，假设空间网格分辨率为Δx和Δy，时间步长为Δt。
根据电磁场的麦克斯韦方程组，可以利用中心差分公式进行离散化计算，得到求解方程组的更新方程。
2.2 空间离散化对于二维情况，空间离散化可以采用正交网格或非正交网格。
常见的正交网格包括方形格点、Yee网格等，而非正交网格则具有更灵活的形态。
根据需要和应用场景，选择合适的离散化方法对问题进行求解。
2.3 时间离散化时间离散化主要有显式和隐式两种方法。
显式方法将时间推进方程展开成前一时刻的电场和磁场与当前时刻的源项之间的关系，容易计算但对时间步长有限制；隐式方法则是通过迭代或矩阵计算求解当前时刻的电场和磁场。
3. 时域有限差分法的应用领域时域有限差分法广泛应用于电磁场传播和辐射问题的数值模拟中。
以下是几个典型的应用领域：3.1 辐射问题时域有限差分法可以模拟电磁波在空间中的辐射传播过程。
可以用于分析天线的辐射特性，设计无线通信系统的天线，或者分析电磁波在无线电频段的传播情况。
3.2 波导问题对于波导结构，时域有限差分法可以求解其模式、传输特性等问题。
波导结构广泛应用于光子学器件、微波器件等领域，时域有限差分法为建立数值模型和解析波导特性提供了一种有效的数值计算手段。
3.3 散射问题时域有限差分法在散射问题的数值模拟中也有重要应用。
通过模拟散射体与电磁波的相互作用过程，可以研究和分析散射体的散射特性，例如雷达散射截面的计算、微波散射问题等。
《用于光伏器件的光学天线的FDTD仿真》范文
《用于光伏器件的光学天线的FDTD仿真》篇一一、引言随着光伏器件的快速发展，光学天线在提高光伏器件的光电转换效率方面发挥着越来越重要的作用。
为了更好地理解和优化光学天线的性能，本文采用时域有限差分法（Finite-Difference Time-Domain，FDTD）对用于光伏器件的光学天线进行仿真分析。
本文首先介绍了FDTD仿真的基本原理及其在光学天线仿真中的应用，然后详细描述了仿真的模型、方法和过程，最后对仿真结果进行了深入分析和讨论。
二、FDTD仿真的基本原理及其在光学天线仿真中的应用FDTD是一种基于电磁场理论、时域差分法的电磁仿真方法，通过离散时间空间中的电场和磁场来模拟电磁波的传播和散射过程。
在光学天线仿真中，FDTD可以模拟光学天线在不同波长、不同角度的光照下的电磁响应，从而分析光学天线的性能。
三、仿真模型、方法和过程1. 模型建立本文以一种典型的光伏器件光学天线为研究对象，利用电磁仿真软件建立三维仿真模型。
模型包括光学天线、光伏器件以及周围环境等部分。
在模型中，对各部分的材料属性、尺寸参数等进行了详细设置。
2. 仿真方法采用FDTD方法对模型进行仿真分析。
在仿真过程中，设定不同波长、不同角度的光源，模拟实际环境中的光照条件。
同时，通过监测模型中的电场、磁场等物理量，分析光学天线的性能。
3. 仿真过程（1）建立仿真模型并设置材料属性、尺寸参数等；（2）设定光源及边界条件；（3）运行FDTD仿真程序，监测电场、磁场等物理量；（4）分析仿真结果，优化光学天线性能。
四、仿真结果分析1. 电场分布分析通过分析仿真结果中的电场分布图，可以观察到光学天线在不同波长、不同角度的光照下的电场分布情况。
电场分布的均匀性和强度直接影响着光伏器件的光电转换效率。
因此，通过优化光学天线的结构参数和材料属性，可以提高电场的均匀性和强度，从而提高光伏器件的效率。
2. 光学天线性能指标分析通过对仿真结果中的光学天线性能指标进行分析，可以评估光学天线的性能。
matlab模拟的电磁学时域有限差分法 pdf
matlab模拟的电磁学时域有限差分法 pdf电磁学时域有限差分法（FDTD）是一种基于数值模拟的电磁场计算方法，它使用有限差分来近似微分方程。
该方法广泛用于电磁学、电波传播、微波技术、光学等领域，以求解电磁场分布和场的辐射、散射等问题。
而在这个领域中，MATLAB是非常流行的工具之一。
本文将围绕“MATLAB模拟的电磁学时域有限差分法”这一主题，从以下几个方面进行阐述：1.时域有限差分法的基础概念在FDTD方法中，将时域中的Maxwell方程组转化为差分形式，使得可以在计算机上进行数值解法。
通过在空间和时间上的离散，可以得到电磁场在时域内的各种分布，进而求得特定情况下的电磁场变化。
2.MATLAB中的FDTD仿真在MATLAB中，我们可以使用PDE工具箱中的电磁学模块来实现FDTD仿真。
通过选择适当的几何形状和边界条件，可以利用该工具箱演示电磁场的传输、反射、折射、透射等现象。
同时，MATLAB中还提供了不同的场分量计算和可视化工具，以便用户可以更好地理解电磁场分布。
3.MATLAB代码实现以下是一些MATLAB代码示例，展示了FDTD模拟的基础实现方法。
代码中的示例模拟了平面波在一个矩形和圆形障碍物上的传播情况。
% 1. Square obstaclegridSize = 200; % Grid sizemaxTime = 600; % Maximum time (in steps)imp0 = 377.0; % Impedance of free spacecourantNumber = 0.5; % Courant numbercdtds = ones(gridSize,gridSize); % Courant number in space% (not variable in this example)Ez = zeros(gridSize, gridSize); % Define EzHy = zeros(gridSize, gridSize); % Define Hy% Simulation loopfor n = 1:maxTime% Update magnetic fieldHy(:,1:end-1) = Hy(:,1:end-1) + ...(Ez(:,2:end) - Ez(:,1:end-1)) .*cdtds(:,1:end-1) / imp0;% Update electric fieldEz(2:end-1,2:end-1) = Ez(2:end-1,2:end-1) + ...(Hy(2:end-1,2:end-1) - Hy(1:end-2,2:end-1)) .* cdtds(2:end-1,2:end-1) .* imp0;end% 2. Circular obstacleradius = 50;xAxis = [-100:99];[X,Y] = meshgrid(xAxis);obstacle = sqrt((X-50).^2 + (Y).^2) < radius;gridSize = length(xAxis); % Grid sizemaxTime = 500; % Maximum time (in steps)imp0 = 377.0; % Impedance of free space courantNumber = 0.5; % Courant numbercdtds = ones(gridSize,gridSize); % Courant number in space% (not variable in this example)Ez = zeros(gridSize, gridSize); % Define EzHy = zeros(gridSize, gridSize); % Define Hy% Simulation loopfor n = 1:maxTime% Update magnetic fieldHy(:,1:end-1) = Hy(:,1:end-1) + ...(Ez(:,2:end) - Ez(:,1:end-1)) .*cdtds(:,1:end-1) / imp0;% Update electric field, with obstacleEz(2:end-1,2:end-1) = Ez(2:end-1,2:end-1) + ...(Hy(2:end-1,2:end-1) - Hy(1:end-2,2:end-1)) .* cdtds(2:end-1,2:end-1) .* imp0;Ez(obstacle) = 0;end以上代码仅供参考，不同条件下的模拟需要适当修改，以便获得特定的模拟结果。
fdtd对于倏逝场的模拟
fdtd对于倏逝场的模拟
时域有限差分法（Finite-Difference Time-Domain，FDTD）在
电磁学中被广泛应用于倏逝场的模拟。
倏逝场指的是由电磁波通过介质时引起的电流和电荷的变化，如电磁脉冲和超短脉冲。
FDTD方法通过在计算区域的每个节点上离散Maxwell方程组
来模拟倏逝场。
Maxwell方程组包括电场E和磁场H的时间依赖和空间依赖关系。
通过将这些方程用有限差分格式离散化，并使用更新方程和边界条件进行迭代，可以得到电场和磁场在整个计算区域中的时域演化情况。
在FDTD方法中，电场和磁场值在每个时间步长和空间节点
上进行更新。
通过计算电场和磁场的时域演化，可以获得倏逝场的时域行为。
FDTD方法对倏逝场的模拟具有高计算精度和
数值稳定性。
FDTD方法的应用范围广泛，包括雷达和无线通信系统中的电
磁传输、电磁波散射和辐射、超快光学和激光脉冲传输等。
通过FDTD方法可以研究倏逝场的传播特性、干扰和散射效应，为相关应用提供建模和优化的依据。
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时域有限差分法（FDTD 算法）时域有限差分法是1966年发表在AP 上的一篇论文建立起来的，后被称为Yee 网格空间离散方式。
这种方法通过将Maxwell 旋度方程转化为有限差分式而直接在时域求解, 通过建立时间离散的递进序列, 在相互交织的网格空间中交替计算电场和磁场。
FDTD 算法的基本思想是把带时间变量的Maxwell 旋度方程转化为差分形式，模拟出电子脉冲和理想导体作用的时域响应。
需要考虑的三点是差分格式、解的稳定性、吸收边界条件。
有限差分通常采用的步骤是：采用一定的网格划分方式离散化场域；对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化处理，建立差分格式，得到差分方程组；结合选定的代数方程组的解法，编制程序，求边值问题的数值解。
1.FDTD 的基本原理FDTD 方法由Maxwell 旋度方程的微分形式出发，利用二阶精度的中心差分近似，直接将微分运算转换为差分运算，这样达到了在一定体积内和一段时间上对连续电磁场数据的抽样压缩。
Maxwell 方程的旋度方程组为：E E H σε+∂∂=⨯∇t H HE m tσμ-∂∂-=⨯∇ （1） 在直角坐标系中，（1）式可化为如下六个标量方程：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂z z x y y y z x x x yz E t E y H x H E t E x H z H E t E z H y H σεσεσε，⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂z m zx y y m y z x x m x y z H t H y E x E H t H x E z E H t H z E y E σμσμσμ （2）上面的六个偏微分方程是FDTD 算法的基础。
Yee 首先在空间上建立矩形差分网格，在时刻t n ∆时刻，F(x,y,z)可以写成),,(),,,(),,,(k j i F t n z k y j x i F t z y x F n =∆∆∆∆= （3）用中心差分取二阶精度： 对空间离散：()[]2),,21(),,21(),,,(x O xk j i F k j i F x t z y x F n n xi x ∆+∆--+≈∂∂∆= ()[]2),21,(),21,(),,,(y O yk j i F k j i F y t z y x F n n yj y ∆+∆--+≈∂∂∆= ()[]2)21,,()21,,(),,,(z O zk j i F k j i F zt z y x F n n zk z ∆+∆--+≈∂∂∆= 对时间离散：()[]22121),,(),,(),,,(t O tk j i F k j i F t t z y x F n n tn t ∆+∆-≈∂∂-+∆= （4） Yee 把空间任一网格上的E 和H 的六个分量，如下图放置:图1 Yee 氏网格及其电磁场分量分布在FDTD 中，空间上连续分布的电磁场物理量离散的空间排布如图所示。
由图可见，电场和磁场分量在空间交叉放置，各分量的空间相对位置也适合于Maxwell 方程的差分计算，能够恰当地描述电磁场的传播特性。
同时，电场和磁场在时间上交替抽样，抽样时间间隔相差半个时间步，使Maxwell 旋度方程离散以后构成显式差分方程，从而可以在时间上迭代求解，而不需要进行矩阵求逆运算。
因此，由给定相应电磁问题的初始条件，FDTD 就可以逐步推进地求得以后各个时刻空间电磁场的分布。
根据这一原则可以写出六个差分方程:])2/1,,2/1()2/1,,2/1(),2/1,2/1(),,2/1([.),,2/1(2),,2/1(11.),,2/1(),,2/1(.),,2/1(2),,2/1(1),,2/1(2),,2/1(1),,1(2/12/12/12/11zk j i H k j i H yk j i H k j i H k j i tk j i k j i t k j i E k j i t k j i k j i t k j i k j i E n y n y n z n z nx n x ∆++--++∆-+-++∆+++∆+-++∆+++∆+-=++++++εσεεσεσ其余的也如法可以写出，每个网格点上的个场分两的新值依赖于该点在前一时间步长时刻的值机该点周围的临近点上另一场量在早半个时间步长时的值。
因此任一时刻可一次算出一个点，并行算法可计算出多个点。
通过这些运算可以交替算出电场磁场在各个时间步的值。
根据上述FDTD 差分方程组可得出计算电磁场的时域推进计算方法，如图2所示。
图2 FDTD 在时域的交叉半步逐步推进计算2.数值稳定性条件时间步长t ∆，空间步长x ∆，y ∆，z ∆必须满足一定的关系，否则就使得数值表现不稳定，表现为：随着计算步数的增加，计算场量的数值会无限的增大，这种增大不是由于误差积累造成的，而是由于电磁波的传播关系被破坏造成的。
（5）所以t ∆，x ∆，y ∆，z ∆必须满足一定的关系以保证稳定性。
Taflove 等在1975年对Yee 氏差分格式的稳定性进行了讨论，并导出了对时间步长的限制条件。
数值解是否稳定主要取决于时间步长t ∆与空间步长x ∆、y ∆、z ∆的关系。
对于非均匀媒质构成的计算空间选用如下的稳定性条件：222)1()1()1(1zy x v t ∆+∆+∆≤∆ （6） 若采用均匀立方体网格：s z y x ∆=∆=∆=∆， 3v st ∆≤∆ （7） 而一般取：cxt 2∆=∆，c 为光速。
当x ∆，y ∆，z ∆不相等时，cz y x t 2),,min(∆∆∆=∆ （8）3.数值色散FDTD 网格中，会导致数字波模在网格中发生改变，这种改变是由于计算网格本身引起的，而非物理因素，所以必须考虑。
即在FDTD 网格中，电磁波的相速与频率有关，电磁波的相速度随波长、传播方向及变量离散化的情况不同而改变。
色散将导致非物理因素引起的脉冲波形畸变、人为的各向异性和虚假折射等现象。
显然，色散与空间、时间的离散间隔有关，如下式所示：()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆+⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆+⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆2sin 12sin 12sin 12sin 12sin 12222222222z k z z k z y k y x k x t t c z z y x ω （9） 与数值色散关系相对应，在无耗介质中的单色平面波，色散解析关系是：()2222z y x k k k c ++=ω（10）由式（9）可知，当式（9）中的t ∆、x ∆、y ∆、z ∆均趋于零时，它就趋于式（10）。
也就是说数值色散是由于用近似差分替代连续微分而引起的，而且在理论上可以减小到任意程度，只要此时时间步长和空间步长都足够小。
为获得理想的色散关系，问题空间分割应按照小于正常网格的原则进行。
一般选取的最大空间步长为20m in m ax λ=∆，min λ为所研究范围内电磁波的最小波长。
由上分析说明，数值色散在用FDTD 法分析电磁场传播中的影响是不可能避免的，但我们可以尽可能的减小数值色散的影响。
现在适当选取时间和空间步长，传播方向，可以得到理想情况，如下所示： 3-D 方形网格：（数值稳定的极限状态，可得理想色散关系） 取波沿对角线传播3/k k k k z y x ===，3,μεδδ=∆=∆=∆=∆t z y x （11）2-D 方形网格:也是沿对角线传播2/k k k k z y x ===，2μεδ=∆t （12）1-D 网格： μεδ=∆t （13）4.吸收边界条件在电磁场的辐射和散射问题中，边界总是开放的，电磁场占据无限大空间，而计算机内存是有限的，所以只能模拟有限空间。
即：时域有限差分网格将在某处被截断。
这要求在网格截断处不能引起波的明显反射，因而对向外传播的波而言，就像在无限大的空间传播一样，一种行之有效的方法是在截断处设置一种吸收边界条件。
使传播到截断出的波被边界吸收而不产生反射。
下面只给出Engquist-Majda 吸收边界条件，采用Mur 差分格式，其总体虚假反射在1%~5%之间。
一维一阶近似情形, x=0边界：)]0()1([)1()0(11u u xt c x t c u u n nn -∆+∆∆-∆+=++ （14）二维二阶近似情形, x=0边界：)]1,1(),1(2)1,1()1,0(),0(2)1,0([.)()(2)()],1(),0([2)],0(),1([),1(),0(221111-+-++-+-+∆+∆∆∆∆++∆+∆∆+-∆+∆∆-∆+-=-+-+j W j W j W j W j W j W x t c y x t c j W j W x t c x j W j W xt c x t c j W j W n n n n n n n n n n n n 三维二阶近似情形, x=0边界：（15）)]1,,1(),,1(2)1,,1()1,,0(),,0(2)1,,0([)()(2)()],1,1(),,1(2),1,1(),1,0(),,0(2),1,0([.)()(2)()],,1(),,0([2)],,0(),,1([),,1(),,0(22221111-+-++-+-+∆+∆∆∆∆+-+-++-+-+∆+∆∆∆∆++∆+∆∆+-∆+∆∆-∆+-=-+-+k j W k j W k j W k j W k j W k j W x t c z x t c k j W k j W k j W k j W k j W k j W x t c y x t c k j W k j W x t c x k j W k j W xt c x t c k j W k j W n n n n n n n n n n n n n n n n n n 5.仿真m 文件见附件，程序表现的是使用二维FDTD 算法对TE 波的仿真。
（16）。