统计学第八讲讲义回归与相关
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《应用统计学》第八章相关和回归分析
《应用统计学》第八章相关和回归分析相关和回归分析是统计学中常用的分析方法，用来研究变量之间的关系以及预测因变量的值。
本章将介绍相关和回归分析的原理和应用。
相关分析是研究两个或多个变量之间关系的统计方法。
通过计算相关系数来衡量变量之间的线性相关程度。
常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数适用于两个连续变量的相关分析，而斯皮尔曼相关系数适用于两个有序变量的相关分析。
回归分析是研究因变量与自变量之间关系的统计方法。
通过建立回归模型来预测因变量的值。
回归模型可以是线性模型、非线性模型或者多元回归模型。
线性回归模型的表达式为Y=a+bX，其中Y为因变量，X为自变量，a和b为参数。
回归分析有两个主要目的，一是预测因变量的值，二是研究自变量对因变量的影响程度和方向。
常用的回归分析方法有简单线性回归分析、多元线性回归分析和逻辑回归分析等。
相关和回归分析在实际应用中有着广泛的应用。
在社会科学研究中，相关和回归分析可以用来研究变量之间的关系，如收入和教育水平的相关性。
在医学研究中，相关和回归分析可以用来探索疾病与一些特定因素之间的关系，如高血压和体重的相关性。
在商业领域中，相关和回归分析可以用来分析销售量与广告投资的关系，预测未来的销售量。
需要注意的是，相关和回归分析只是描述性分析方法，并不能确定因果关系。
除了变量之间的线性关系，还可能存在其他非线性的关系。
此外，相关和回归分析只能用于连续变量的分析，不能用于分类型变量的分析。
在进行相关和回归分析时，需要注意几个问题。
首先是样本的选择和数据的收集，确保样本具有代表性，并获得准确和可靠的数据。
其次是确保数据满足相关和回归分析的假设前提。
例如，线性回归模型要求因变量与自变量之间呈线性关系，并且误差项满足正态分布和独立性。
最后是正确选择和解释统计指标，如相关系数和回归系数。
总之，相关和回归分析是应用统计学中常用的分析方法，用来研究变量之间的关系和预测因变量的值。
八 相关与回归
y2
xy
576 840 625 950 576 960 784 1176 1024 1568 961 1612 1369 1998 1600 2360 1681 2542 1600 2560 2209 3055 2500 3400 2401 3381 2601 3621 2304 3456 3364 4408 26175 37887
某种股票的成交额Y与该股票的成交量X 成交价格P之间的关系可以用Y=PX来表示
一、相关分析的概念与类型
指客观现象间确实存在，但数量 相关关系 上不是严格对应的依存关系，在 这类关系中，对某一变量的某个 数值，另一个变量可能有若干个 数值与之相对应，从而表现出一 定的波动性。
例如：人均GDP高的国家，生育率往往较低，但 二者没有惟一确定的关系，这是因为除了经济因 素外，生育水平还受教育水平、城市化水平以及 不易测量的民族风俗、宗教和其他随机因素的共 同影响。
【例】计算工业总产值与能源消耗量之间的相 关系数。
结论：工业总产值与能源消耗量之间存 解：已知n = 16, ∑ = 916, ∑ = 625, x y
在高度的正相关关系。 , xy = 37887 x 2 = 55086 ,
∑
r=
∑ n∑ - ∑ ∑ xy x y n∑ - (∑ ) n∑ - (∑ ) x x y y
相关与回归分析已经广泛应用到企业 管理、商业决策、金融分析以及自然科学 和社会科学等许多研究领域。
第一节
相关分析
一、相关分析的概念与类型
函数关系 指现象间所具有的严格的确定性 的依存关系，表现为某一现象发 生变化时，另一些现象也随之发 生变化。而且有确定的值与之相 对应。
例如：圆面积S＝πR2，给定R值便有一个确 定的S
统计学第八讲回归与相关
(Y Y )2 (Y Yˆ )2 (Yˆ Y )2
即SS总 SS剩 SS回
同样有：
总＝ 剩＋ 回
几个平方和的意义
Today: 2021/3/9
SS 总＝(Y Y )2 ，Y 的离均差平方和(total sum of squares)，
未考虑 X 与Y 的回归关系时Y 的总变异。 n 1
Today: 2021/3/9
四、直线回归方程的区间估计
(一)总体回归系数的区间估计 （b-t/2(n-2)Sb ,b+t/2(n-2)Sb ）简记为 bt /2(n-2)Sb
求本例β的 95％可信区间 (0.9973－2.306×0.3794， 0.9973＋2.306×0.3794) ＝(0.1224， 1.8722)
0.3799
0.1443
7
1.68
4.32
4.6698
-0.3498
0.1244
8
1.72
4.99
4.7096
0.2804
0.0786
9
1.98
4.70
4.9689
-0.2689
0.0723
10
2.10
5.20
5.0886
0.1114
0.0124
合计
15.83 45.73
45.7300
0.0000 0.8632
备注 Y ˆ2.9 ： 94 0.939X 73
(二)方差分析
Today: 2021/3/9
F
Байду номын сангаас
SS回 SS剩
回 剩
MS回 MS剩
；回
1，剩
n2
统计量 F 服从自由度为回、剩 的 F 分布。
即SS总 SS剩 SS回
同样有：
总＝ 剩＋ 回
几个平方和的意义
Today: 2021/3/9
SS 总＝(Y Y )2 ，Y 的离均差平方和(total sum of squares)，
未考虑 X 与Y 的回归关系时Y 的总变异。 n 1
Today: 2021/3/9
四、直线回归方程的区间估计
(一)总体回归系数的区间估计 （b-t/2(n-2)Sb ,b+t/2(n-2)Sb ）简记为 bt /2(n-2)Sb
求本例β的 95％可信区间 (0.9973－2.306×0.3794， 0.9973＋2.306×0.3794) ＝(0.1224， 1.8722)
0.3799
0.1443
7
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4.32
4.6698
-0.3498
0.1244
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4.99
4.7096
0.2804
0.0786
9
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4.70
4.9689
-0.2689
0.0723
10
2.10
5.20
5.0886
0.1114
0.0124
合计
15.83 45.73
45.7300
0.0000 0.8632
备注 Y ˆ2.9 ： 94 0.939X 73
(二)方差分析
Today: 2021/3/9
F
Байду номын сангаас
SS回 SS剩
回 剩
MS回 MS剩
；回
1，剩
n2
统计量 F 服从自由度为回、剩 的 F 分布。
统计学课件第八章相关与回归分析
统计学概论
相关表将两个变量伴随变动结果编 成一张统计表，即相关表。
简单相关表两个变量均不分组而形 成的相关表。
分组相关表对变量进行分组而形成 的相关表。依两个变量是否同时分 组，又分为：
单变量分组相关表只对其中一 个变量分组。
单变量分组相关表对两个变量 同时分组。
课件
17
中南大学
两种相关表的适用范围
课件
8
中南大学
相关关系的种类
统计学概论
2、按相关关系形式可分为：
直线相关当自变量X值每变动一个单 位，因变量Y值则随着发生大致均等 的变动，这就是直线相关。亦称为简 单相关或一元线性相关。
曲线相关当自变量X值每变动一个单 位，因变量Y值则随之发生不均等的 变化，这就曲线相关。亦称为一元非 线性相关 。
0<|r|<1表示存在不同程度线性相关：
|r| < 0.4 为低度线性相关； 0.4≤ |r| ＜0.7为显著性线性相关； 0.7≤|r| ＜1.0为高度显著性线性相关。
课件
25
中南大学
序号
能源消耗量（十 万吨）x
1
35
2
38
3
40
4
42
5
49
6
52
7
54
8
59
9
62
10
64
11
65
12
68
13
69
37887
26
相关系数的计算
统计学概论
【例】计算工业总产值与能源消耗量之间的相关系数资料
解：已知n 16, x 916, y 625,
xy 37887, x2 55086, y2 26175
《统计学》课件第八章 相关回归分析
1．相关表 相关表是一种反映变量之间相关关 系的统计表。将某一变量按其取值的 大小排列，然后再将与其相关的另一 变量的对应值平行排列，便可得到简 单的相关表。 例1：某地区某企业近8年产品产量 与生产费用的相关情况如表6-1所示：
第一节 相关分析
表1 从表可看 出，产品产量 与生产费用之 间存在一定的 正相关关系。 产品产量与生产费用相关表
确定显著性水平 （通常 =0.05） 。 依据 和两个自由度 f1 、 f 2 查 F 分布表可得相应的临界值 F 。 第四步，做出判断。 如果 F > F ，拒绝原假设 H 0 ，表明回归效果显著；反之，则接受 原假设，表明线性回归方程的回归效果不显著。
回归分析
例6：以表6-1的资料为例，对其回归模型作F检验
第一节 相关分析
（五）相关系数
相关程度可分为以下几种情况： ① r 0.3 ，为无线性相关； ②0.3≤ r ＜0.5，为低度线性相关； ③0.5≤ r ＜0.8，为显著线性相关； ④ r ≥0.8，一般称为高度线性相关。 以上说明必须建立在相关系数通过显著 性检验的基础之上。
第一节 相关分析
180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
产 品 产 量
19 97 19 98 19 99 20 00 20 01 20 02 20 03 20 04
时间 生产费用（万元） 产品产量（千吨）
第一节 相关分析
（五）相关系数
相关系数是用来说明变量之间在直线相 关条件下相关关系密切程度和方向的统计分 析指标。其定义公式为：
（五）相关系数
4．相关系数的显著性检验 样本相关系数的检验包括两类检验： （1）对总体相关系数是否等于0进行检验； （2）对总体相关系数是否等于某一给定的不 为0的数值进行检验。
统计学原理第八章 相关与回归分析
一、相关系数
（二）相关系数的计算
2．简单相关系数的取值范围 第一，当r>0时，表示两个变量呈正相关，当r<0时，表示两变量负相关。 第二，当r=1或r=-1时，表明两变量之间为完全的相关，即为函数关系。 第三，当r=0时，表明两变量之间没有相关关系。如果r =0，则表明两个现象之间完 全没有直线相关关系。（但并不表明两个现象之间没有非线性相关）
21
§3 一元线性回归分析
➢ 在相关分析中，已知两个变量之间有直线相关关系。 ➢ 就需要确定一个数学表达式反映因变量与自变量之间的关系。 ➢ 有了这种数学表达式就便于进行解析，当有了自变量的一定数值，
就可以估计因变量的数值平均来说将会有怎样的变动。 ➢ 这样的数学表达式称为回归方程式。 ➢ 由于变量之间关系的复杂性，回归方程式也有多种类型和形式。 ➢ 一元线性回归方程式是指一个自变量且相关形式为直线。
• 由于研究对象的不同，相关系数有多种定义方式，较为常用的是皮尔 逊相关系数。
• 相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无 法确切地表明两个变量之间相关的程度。
• 相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。 • 相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基
程度的大小，由于变量之间是对等的，因此相关系数是惟一确定的；而在 回归分析中，对于互为因果关系的两个变量，则有可能存在两个回归方程。 当x为自变量、y为因变量时，称y倚x的回归方程，当y为自变量、x为因变 量时，称x倚y的回归方程。
24
第三节 回归分析的基本问题
二、回归分析与相关分析的关系
（二）回归分析与相关分析的联系 相关分析是回归分析的基础和前提，回归分析则是相关分析的深入和
统计学 第8章-相关回归分析
730 900 970
150
200 280 350
384400
532900 810000 940900
22500
40000 78400 122500
93000
146000 252000 339500
7
8
2009
2010 合计
1050
1170 6480
450
510 2200
1102500
1368900 5681200
150
200 280 350
7
8
2009
2010 合计
1050
1170
450
510
以上例1资料计算r：
序号 1 2 年份 2003 2004
x(万元)
500 540
y(万元)
120 140
x2
y2
xy
3
4 5 6
2005
2006 2007 2008
620
730 900 970
150
200 280 350
r
2.简捷法
n xy x y r n x x n y y
2 2 2
2
以上例1资料计算r：
序号 1 2 年份 2003 2004
x(万元)
500 540
y(万元)
120 140
3
4 5 6
2005
2006 2007 2008
620
730 900 970
5
6 7 8
2007
2008 2009 2010
900
970 1050 1170
280
350 450 510
150
200 280 350
384400
532900 810000 940900
22500
40000 78400 122500
93000
146000 252000 339500
7
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2009
2010 合计
1050
1170 6480
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1102500
1368900 5681200
150
200 280 350
7
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2009
2010 合计
1050
1170
450
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以上例1资料计算r：
序号 1 2 年份 2003 2004
x(万元)
500 540
y(万元)
120 140
x2
y2
xy
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2.简捷法
n xy x y r n x x n y y
2 2 2
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以上例1资料计算r：
序号 1 2 年份 2003 2004
x(万元)
500 540
y(万元)
120 140
3
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2005
2006 2007 2008
620
730 900 970
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280
350 450 510
统计学原理第八章相关与回归分析PPT课件
§8.1 相关分析
一、相关关系和函数关系 （一）什么是相关关系
客观事物之间是相互联系和制约的。现象之间的各种依存关 系，根据其相互依存的制约的程度不同，可以分为函数关系和相关 关系两种。
所谓相关关系反映的是事物之间存在的并不十分严格的依存 关系。在这种关系中，对于某一事物变量的每一个变动值，都有另 一个事物变量的不确定的但与它有联系的变动值与之相对应。
本章 内容
1
相关分析
2
回归分析
本章要求
【知识目标】 理解相关分析、回归分析、一元线性回归方程的的概念,理解各
种社会经济现象之间的依存关系和制约关系，并且将这种关系给予数 量化，掌握相关关系的判定方法和一元线性回归方程的建立方法及回 归预测法。 【能力目标】
能区别相关关系与函数关系、相关分析与回归分析，能分析判 定各种社会经济现象之间的关系，尤其是数量关系，能确定一元线性 回归方程并进行预测。
反映和说明社会经济现象之间的这种相互依存的数量关系， 就是相关关系。
导入案例
相关关系只用来表明两个变量相关程度的高低，但不能说明当一 个变量发生一定量变时，因变量将发生多大的变化。
当两个变量存在显著的相关关系时，如何用一个数学方程式提示 它们之间变化的联系呢？
例如：已知身高数与人们的体重数密切相关，试问：身高170Ｃm， 体重是多少公斤？又如，施肥量增加1公斤，产量会增加多少公斤？ 劳动生产率提高1元，生产费用会降低多少元？回答诸如此类的问题， 都需要利用数量联系式，根据掌握的统计资料进行回归分析。
§8.1 相关分析
（四）相关关系的种类 1.以相关的程度为划分标志，相关关系可以分为完全相关、不完全
相关和不相关三种。 2.以变量之间相关关系的方向为标志，相关关系可分为正相关和负