统计学相关与回归
统计学 第8章 相关与回归分析
2
-1 1 0 -1 -2 0 1 -2
4
1 1 0 1 4 0 1 4 20
6 * 20 r 1 2 1 0.8788 2 n(n 1) 10 * (10 1)
6 d 2
8.3
8.3.1 8.3.2 8.3.3 8.3.4 8.3.5
一元线性回归
一元线性回归模型 参数的最小二乘估计 回归直线的拟合优度 显著性检验 利用回归方程进行预测
共计
325
462 77
445 89
707 101
685 137
1043 149
E(Y|X) 65
Y
X=X1时Y 的分布
X=X2时Y 的分布 X=X3时Y 的分布
b0
X=X1时的E(Y)
b0+ b 1X
X=X2时的E(Y) X=X3时的E(Y)
X1=80
X2=100
X3=120
X
总体回归函数
(population regression function)
相关系数的显著性检验
(检验的步骤)
1. 检验两个变量之间是否存在线性相关关系 2. 利用样本的相关系数对总体相关系数进行 检验 3. 采用R.A.Fisher提出的 t 检验 4. 检验的步骤为
提出假设：H0： ；H1： 0
n2 计算检验的统计量： tr ~ t (n 2) 2 1 r 确定显著性水平，并作出决策
2
2
或化简为 r
n x x n y y
2 2 2
n xy x y
2
例 产品产量与单位成本相关系数
产 月 量 份 x 1 2 2 3 3 4 4 3 5 4 6 5 合 21 计 单位 成本 y 73 72 71 73 69 68
统计学中的回归分析与相关系数
回归分析是统计学中一种重要的分析方法，用于探索变量之间的关系和预测变量的变化。
相关系数是回归分析的一个重要指标，用于衡量变量之间的线性相关程度。
在统计学中，回归分析和相关系数常常一起使用，通过量化两个变量之间的关系，帮助我们更好地理解和解释数据。
回归分析通过建立一个数学模型来描述两个或多个变量之间的关系。
其中一个变量被称为因变量，它的值由其他变量的值决定。
其他变量被称为自变量，它们对因变量的值产生影响。
回归分析的目标是建立一个最佳拟合线，使得预测因变量的值最准确。
回归分析可以帮助我们了解哪些自变量对因变量的影响最大，预测因变量的值，以及控制其他自变量的情况下某个自变量对因变量的影响。
在回归分析中，相关系数是衡量变量之间线性相关程度的一个指标。
常见的相关系数有Pearson相关系数和Spearman等级相关系数。
Pearson相关系数适用于线性关系，其取值范围为-1到1，且0表示无线性关系。
当相关系数接近1时，表示变量之间的正向线性关系越强；当相关系数接近-1时，表示变量之间的反向线性关系越强。
Spearman等级相关系数适用于排名数据，无需考虑数据的分布。
相关系数可以帮助我们判断两个变量之间的关系是正向还是反向，以及关系的强度。
回归分析和相关系数在许多领域中都有广泛的应用。
在经济学领域，回归分析可以用来探索不同因素对经济指标的影响，如GDP和就业率。
在医学领域，相关系数可以帮助医生评估不同因素对疾病的风险或预后的影响。
在社会科学中，回归分析可以用来研究不同因素对人类行为的影响，如教育水平对就业机会的影响。
然而，需要注意的是，回归分析仅能描述变量之间的线性关系，非线性关系需要采用其他方法。
另外，相关系数只能衡量线性相关程度，无法确定因果关系。
因此，在使用回归分析和相关系数进行数据分析时，我们需要谨慎解读结果，并结合实际情况进行分析。
总之，回归分析和相关系数是统计学中重要的分析方法。
通过回归分析，我们可以探索变量之间的关系，预测因变量的变化；而相关系数可以帮助我们量化变量之间的线性相关程度。
统计学中的相关分析与回归分析的关系
统计学中的相关分析与回归分析的关系统计学是一门研究如何收集、整理、描述和解释数据的学科。
在统计学中，相关分析和回归分析是两个重要的方法，用于了解和探究变量之间的关系。
尽管相关分析和回归分析在某些方面有相似之处，但它们在目的、数据类型和结果解释方面存在一些差异。
相关分析是一种用于衡量和描述两个或多个变量之间关联关系的方法。
相关分析可以帮助我们确定变量之间的线性相关程度，即一个变量的变化伴随着另一个变量的变化。
通过计算相关系数，我们可以了解这种关系的强度和方向。
常用的相关系数包括皮尔逊相关系数和斯皮尔曼等级相关系数。
与此不同，回归分析旨在建立一个数学模型，以描述和预测因变量与自变量之间的关系。
回归分析可以通过拟合曲线或平面来表示变量之间的关系，并用方程式来描述这种关系。
回归分析使用的模型可以是线性回归、多项式回归、对数回归等。
通过回归分析，我们可以根据自变量的值来估计因变量的值，并评估自变量对因变量的影响程度。
虽然相关分析和回归分析在某些情况下可互相转化，但它们具有不同的目标和应用范围。
相关分析主要用于探索变量之间的关系，确定它们之间的关联强度和方向，但不提供因果关系。
而回归分析则旨在建立一个模型，通过这个模型可以对未知的因变量进行预测，并且可以评估自变量对因变量的影响。
此外，相关分析和回归分析适用于不同类型的数据。
相关分析通常用于分析连续变量之间的关系，而回归分析可以应用于连续变量、二分类变量和多分类变量之间的关系。
在实际应用中，相关分析和回归分析常常结合使用。
首先，我们可以通过相关分析来初步检验变量之间是否存在关系。
如果相关分析结果显示两个变量之间存在显著相关性，我们可以进一步使用回归分析来建立一个模型，以更好地理解和预测这种关系。
在总结中，统计学中的相关分析和回归分析是两个相互关联的方法。
相关分析用于探究变量之间的关系和相关性，而回归分析则用于建立一个数学模型，描述和预测因变量与自变量之间的关系。
统计学第七章 相关与回归分析
（四）按变量之间的相关程度分为完全相关、不完全相 关和不相关。
二、相关关系的测定
（一）定性分析，相关表，相关图 判断现象间有无相关关系是一个定性认 识问题，单纯依靠数学方法是无法解决的。 因此，进行相关分析必须以定性分析为前 提，这就要求研究人员首先必须根据有关 经济理论，专业知识，实际经验和分析研 究能力等。对被研究现象在性质上作出定 性判断。 相关表是将相关变量的观察资料，按照 其对应关系和一定顺序排列而成的表格。
Se
y
2
a y b xy n2
(7－ 12)
这个公式可以直接利用前面计算回归系 数和相关系数的现成资料。以表7－1的资 料计算如下：
Se y 2 a y b xy n2 56615-30.3 731-28.36 1213 10 2 65.02 8 2.85 (万件）
2
或
y- y R＝ 1－ 2 y y
ˆ 式中，y 为y的多元线性趋势值或回归估计值。
若变量间呈曲线（非直线）相关，则应
计算相关指数来测定变量间相关的密切程度。
ˆ y y y y
2 2
Ryx
( 7－7）
R
ˆ y y
由表7－4资料计算相关系数如下：
r
n xy x y n x x
2 2
n y y
2 2
2
10 1213－15.1 731
2
10 26.25－15.1 10 56615－731 1091.9 1091.9 38.49 31789 6.2 178.3 1091.9 0.988 1105.5
统计学06第六章相关与回归分析
-5.3339 -21.2729 -20.0669
0.02111209 -58.5559
0.0675121 -201.421
2019/11/7
第六章 相关与回归分析
20
2.2 相关系数的特征及判别标准
解法 1
n x y
Lxx
L yy
Lxy
2
xx
2
y y
xx
3559.59
22
2.2 相关系数的特征及判别标准
解法 2
n x y x2 y2 x y
10 6470 5.813 4814300 3.446609 3559.59
r
10 3559.59 6471 5.813
10 4814300 64702 10 3.446609 5.8132
第六章 相关与回归分析
第二节 简单线性相关分析
2.1 相关系数的计算公式 2.2 相关系数的特征及判别标准 2.3 相关系数的检验
2.1 相关系数的计算公式
相关系r数与计ρ算公式： X 、Y 的协方差
相总关样 系体数本：相关 系V数Caor是 vXX一，Va个 YrY统
计量。可以证明，样本相
y y
10 6470 5.813 628210 0.0675121 -201.421
r
201 .421
628210 0 .0675121
0 .978051034 0.9781
2019/11/7
第六章 相关与回归分析
21
2.2 相关系数的特征及判别标准
x
280 320 390 530 650 670 790 880 910 1050
统计学中的相关性和回归分析
统计学中的相关性和回归分析统计学中，相关性和回归分析是两个重要的概念和方法。
它们旨在揭示变量之间的关系，并可以用来预测和解释观察结果。
本文将介绍相关性和回归分析的基本原理、应用及其在实践中的意义。
一、相关性分析相关性是指一组变量之间的关联程度。
相关性分析可以帮助我们理解变量之间的关系，以及这种关系的强度和方向。
常用的相关性指标有皮尔逊相关系数、斯皮尔曼相关系数和判定系数等。
皮尔逊相关系数是最常见的衡量变量之间线性关系的指标。
它的取值范围在-1到1之间，其中-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示无相关。
例如，在研究身高和体重之间的关系时，如果相关系数为0.8，则说明身高和体重呈现较强的正相关。
斯皮尔曼相关系数则不要求变量呈现线性关系，而是通过对变量的序列进行排序，从而找到它们之间的关联程度。
它的取值也在-1到1之间，含义与皮尔逊相关系数类似。
判定系数是用于衡量回归模型的拟合程度的指标。
它表示被解释变量的方差中可由回归模型解释的部分所占的比例。
判定系数的取值范围在0到1之间，越接近1表示模型对数据的拟合越好。
二、回归分析回归分析是一种用于建立变量之间关系的统计方法。
它通过建立一个数学模型来解释和预测依赖变量和自变量之间的关系。
回归模型可以是线性的，也可以是非线性的。
线性回归是最常见的回归分析方法之一。
它假设自变量和因变量之间存在着线性关系，并通过最小二乘法来估计模型中的参数。
线性回归模型通常表示为y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn，其中y为因变量，x1、x2等为自变量，β0、β1等为模型的参数。
非线性回归则适用于自变量和因变量之间存在非线性关系的情况。
非线性回归模型可以是多项式回归、指数回归、对数回归等。
回归分析在实践中有广泛的应用。
例如，在市场营销中，回归分析可以用来预测销售量与广告投入之间的关系；在医学研究中，回归分析可以用来探究疾病发展与遗传因素之间的联系。
统计学中直线相关与回归的区别与联系
统计学中直线相关与回归的区别与联系在统计学中，直线相关和回归是两个相关的概念，但又有一些区别和联系。
区别：
1. 定义：直线相关是指两个变量之间的线性关系，即随着一个变量的增加，另一个变量也以一定的比例增加或减少。
回归分析是一种统计方法，用于建立一个或多个自变量与因变量之间的关系模型。
2. 目的：直线相关主要关注变量之间的关系和相关程度，通过相关系数来衡量。
而回归分析旨在通过建立数学模型来预测或解释因变量的变化，以及评估自变量对因变量的影响。
3. 变量角色：在直线相关中，两个变量没有明确的自变量和因变量的区分，它们之间的关系是对称的。
而在回归分析中，通常有一个或多个自变量作为预测因变量的因素。
联系：
1. 线性关系：直线相关和回归分析都假设变量之间存在线性关系，即可以用直线或线性模型来描述它们之间的关系。
2. 相关系数：直线相关中使用相关系数来度量变量之间的相关程度。
回归分析中也使用相关系数，但更多地关注回归模型的参数估计和显著性检验。
3. 数据分析：直线相关和回归分析都是常用的数据分析方法，在实际应用中经常同时使用。
直线相关可以帮助我们了解变量之间的关系和趋势，而回归分析可以进一步建立模型和进行预测。
总之，直线相关和回归分析是统计学中两个相关但又有区别的概念。
直线相关关注变量之间的线性关系和相关程度，而回归分析则更关注建立模型和预测变量之间的关系。
在实际应用中，它们常常相互补充使用，以帮助我们理解和解释数据。
统计学 第 七 章 相关与回归分析
（一）回归分析与相关分析的关系
回归分析与相关分析是研究现象 之间相互关系的两种基本方法。
区别：
1、相关分析研究两个变量之间相关的 方向和相关的密切程度。但是相关分析不 能指出两变量相互关系的具体形式，也无 法从一个变量的变化来推测另一个变量的 变化关系。
2、按研究变量多少分为单相关和 复相关
单相关即一元相关，亦称简单相 关，是指一个因变量与一个自变量 之间的依存关系。复相关又称多元 相关，是指一个因变量与两个或两 个以上自变量之间的复杂依存关系。
3、按相关形式分为线性相关和非 线性相关
从相关图上观察：观察的样本点的 分布近似表现为直线形式，即观察点近 似地分布于一直线的两边，则称此种相 关为直线相关或线性相关。如果这些样 本点近似地表现为一条曲线，则称这种 相关为曲线相关或非线性相关(curved relationship).
不确定性的统计关系 —相关关系
Y= f（X）+ε (ε为随机变量)
在这种关系中，变量之间的关系值 是随机的，当一个（或几个）变量的值 确定以后，另一变量的值虽然与它（们） 有关，但却不能完全确定。然而，它们
之间又遵循一定的统计规律。
相关关系的例子
▪ 商品的消费量(y)与居民收入(x)
之间的关系
▪ 商品销售额(y)与广告费支出(x)
▲相关系数只反映变量间的线性相关程度，不 能说明非线性相关关系。
▲相关系数不能确定变量的因果关系，也不能 说明相关关系具体接近于哪条直线。
例题1: 经验表明：商场利润额与 其销售额之间存在相关关系。下表为 某市12家百货公司的销售额与利润额 统计表，试计算其相关系数。
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3、不完全相关。如果变量间的关系介于不相关和完全相关之间，则 称为不完全相关。如妇女的结婚年龄与受教育程度之间的一种关系。 大多数相关关系属于不完全相关，是统计研究的主要对象
二、回归的概念和种类
• 1.回归的概念
• 现代概念：研究自变量与因变量之间关系,其目的在于根据已知自 变量来估计和预测因变量的总平均值。
• 2.回归的种类
• 根据回归变量多少，分为一元回归方程和多元回归方程 • 根据回归是否线性，分为线性回归方程和非线性回归方程 • 根据回归是否有滞后关系，分为自身回归方程和无自身回归现象
值增大（或减小），因变量随之减小（或增大）。 如劳动生产率提 高，产品成本降低；产品成本降低，企业利润增加等。
3.根据自变量的多少划分
1、单相关。两个因素之间的相关关系叫单相关，即研究 时只涉及一个自变量和一个因变量。
2、复相关。三个或三个以上因素的相关关系叫复相关， 即研究时涉及两个或两个以上的自变量和因变量。
4.根据变量间相互关系的表现形式划分
1、直线相关（或线性相关）。当相关关系的自变量x发生变动，因变量y 值随之发生大致均等的变动，从图像上近似地表现为直线形式，这种相 关通称为直线（或线性）相关。例如，销售量与销售额之间就呈直线相 关关系。
2、曲线（或非线性）相关。在两个相关现象中，自变量x值发生变动，因 变量y也随之发生变动，这种变动不是均等的，在图像上的分布是各种 不同的曲线形式，这种相关关系称为曲线（或非线性）相关。曲线相关 在相关图上的分布，表现为抛物线、双曲线、指数曲线等非直线形式。 例如，从人的生命全过程看，年龄与医疗费支出呈非线性相关。
• 相关关系
• 现象之间数量上不确定、不严格的依存关系。相关关系的全称 为统计相关关系，它属于变量之间的一种不完全确定的关系。
比较下面两种现象间的依存关系
⒈ 出租汽车费用与行驶里程：
函数关系 （确定性关系）
总费用=行驶里程 每公里单价
G KP
⒉ 家庭收入与恩格尔系数：
相关关系 （非确定性关系）
家庭收入高，则恩格尔系数低。
相关关系与函数关系的区别
函数关系是变量之间的一种严格、完全确定性的关系， 即一个变量的数值完全有另一个（或一组）变量的数值 所决定、控制。函数关系通常可以用数学公式确切地表 示出来。
相关关系难以像函数关系那样，用数学公式去准确表达。
• 相关关系与函数关系的联系
由于客观上常会出现观察或测量上的误差等原因，函数关系在实际工 作中往往通过相关关系表现出来。当人们对某些现象内部规律有较深刻 认识时，相关关系可能变为函数关系。为此，在研究相关关系时，又常 常使用函数关系作为工具，用一定的函数关系表现相关关系的数量联系。
• 7.相关分析与回归分析的步骤
• 进行相关关系的定性分析 • 确定回归方程 • 计算相关系数或相关指数，对回归方程进行显著性检验。 • 利用回归方程式进行推算和预测 • 对推算和预测作出置信区间估计。
第二节 简单直线相关分析
（一）直线相关分析的特点
1. 两个变量是对等关系
2. 只能算出一个相关系数 3. 相关系数有正负号，表示正相关或负相关 4. 相关系数的计算对资料有一定要求，相关的两个变量必须都是随机的，这
•
根据相关关系的程度划分
相
关
关
根据相关关系的方向划分
系
的
种
类
根据自变量的多少划分
不相关 完全相关 不完全相关 正相关 负相关
单相关 复相关
根据变量间相互关系的表现 形式划分
直线相关 曲线相关
1. 根据相关关系的程度划分
1、不相关。 如果变量间彼此的数量变化互相独立，则其关系为不相 关。自变量x变动时，因变量y的数值不随之相应变动。例如，产品 税额的多少与工人的出勤率、家庭收入多少与孩子的多少之间都不 存在相关关系。
通变量,因变量是随机变量。
• 4.相关关系与回归分析的联系
• 相关和回归是研究事务两个不可分割的方面。 • 二者具有共同的研究对象，而且在具体应用时，常常必须互相补充。相
关分析需要依靠回归分析来表明现象数量相关的具体形式，而回归分析 则需要依靠相关分析来表明现象数量变化的相关程度。只有当变量之间 存在着高度相关时，进行回归分析寻求其相关的具体形式才有意义。
的方程。
• 3.相关分析与回归分析的区别
• 相关分析研究随机变量之间相互依存关系的方向和密切程度。直线相 关用相关系数,曲线相关用相关指数表示。
• 回归分析研究某一因变量与一个或多个自变量之间数据关系变动趋势 的方法。用回归方程表示。
• 相关分析研究的都是随机变量，不用区分因变量和自变量 • 回归分析研究时，要定出因变量和自变量。其中，自变量是确定的普
第十一章 相关与回归
相关和回归分析是研究事物的相互关系、测定它们 联系的紧密程度、揭示其变化的具体形式和规律性 的统计方法，是经济分析、预测和控制的重要工具。
第一节 相关与回归分析的基本问题
一、相关的概念与种类
• 函数关系
• 现象之间确实存在数量上的相互依存关系。表现在：一个现象 发生数量上的变化，另一个与之相互联系的现象也会相应地发 生数量上的变化。
2.根据相关关系的方向划分
1、正相关。指两个因素（或变量）之间的变化方向一致，都是呈
增长或下降的趋势。即自变量x的值增加（或减少），因变量y的值 也相应地增加（或减少），这样的关系就是正相关。例如，工业总 产值增加，企业税利总额也随之增加；家庭消费支出随收入增加而 增加等。
2、负相关。指两个因素或变量之间变化方向相反，即自变量的数
• 5.相关与回归分析的作用
• 认识现象之间相关形式、方向、相关程度。 • 对经济现象进行推算和预测。 • 可用于补充缺少的资料。
6.相关分析和回归分析的任务
相关分析的主要内容 • 揭示现象之间是否存在相关关系。 • 确定相关关系的表现形式。 • 确定现象变量间相关关系的密切程度和方向。
回归分析的主要内容 • 建立相关关系的回归方程。 • 测定因变量的估计值与估计值的误差程度。