统计学相关及回归分析
统计学中的相关分析与回归分析的关系
统计学中的相关分析与回归分析的关系统计学是一门研究如何收集、整理、描述和解释数据的学科。
在统计学中，相关分析和回归分析是两个重要的方法，用于了解和探究变量之间的关系。
尽管相关分析和回归分析在某些方面有相似之处，但它们在目的、数据类型和结果解释方面存在一些差异。
相关分析是一种用于衡量和描述两个或多个变量之间关联关系的方法。
相关分析可以帮助我们确定变量之间的线性相关程度，即一个变量的变化伴随着另一个变量的变化。
通过计算相关系数，我们可以了解这种关系的强度和方向。
常用的相关系数包括皮尔逊相关系数和斯皮尔曼等级相关系数。
与此不同，回归分析旨在建立一个数学模型，以描述和预测因变量与自变量之间的关系。
回归分析可以通过拟合曲线或平面来表示变量之间的关系，并用方程式来描述这种关系。
回归分析使用的模型可以是线性回归、多项式回归、对数回归等。
通过回归分析，我们可以根据自变量的值来估计因变量的值，并评估自变量对因变量的影响程度。
虽然相关分析和回归分析在某些情况下可互相转化，但它们具有不同的目标和应用范围。
相关分析主要用于探索变量之间的关系，确定它们之间的关联强度和方向，但不提供因果关系。
而回归分析则旨在建立一个模型，通过这个模型可以对未知的因变量进行预测，并且可以评估自变量对因变量的影响。
此外，相关分析和回归分析适用于不同类型的数据。
相关分析通常用于分析连续变量之间的关系，而回归分析可以应用于连续变量、二分类变量和多分类变量之间的关系。
在实际应用中，相关分析和回归分析常常结合使用。
首先，我们可以通过相关分析来初步检验变量之间是否存在关系。
如果相关分析结果显示两个变量之间存在显著相关性，我们可以进一步使用回归分析来建立一个模型，以更好地理解和预测这种关系。
在总结中，统计学中的相关分析和回归分析是两个相互关联的方法。
相关分析用于探究变量之间的关系和相关性，而回归分析则用于建立一个数学模型，描述和预测因变量与自变量之间的关系。
统计学第七章 相关与回归分析
（四）按变量之间的相关程度分为完全相关、不完全相 关和不相关。
二、相关关系的测定
（一）定性分析，相关表，相关图 判断现象间有无相关关系是一个定性认 识问题，单纯依靠数学方法是无法解决的。 因此，进行相关分析必须以定性分析为前 提，这就要求研究人员首先必须根据有关 经济理论，专业知识，实际经验和分析研 究能力等。对被研究现象在性质上作出定 性判断。 相关表是将相关变量的观察资料，按照 其对应关系和一定顺序排列而成的表格。
Se
y
2
a y b xy n2
(7－ 12)
这个公式可以直接利用前面计算回归系 数和相关系数的现成资料。以表7－1的资 料计算如下：
Se y 2 a y b xy n2 56615-30.3 731-28.36 1213 10 2 65.02 8 2.85 (万件）
2
或
y- y R＝ 1－ 2 y y
ˆ 式中，y 为y的多元线性趋势值或回归估计值。
若变量间呈曲线（非直线）相关，则应
计算相关指数来测定变量间相关的密切程度。
ˆ y y y y
2 2
Ryx
( 7－7）
R
ˆ y y
由表7－4资料计算相关系数如下：
r
n xy x y n x x
2 2
n y y
2 2
2
10 1213－15.1 731
2
10 26.25－15.1 10 56615－731 1091.9 1091.9 38.49 31789 6.2 178.3 1091.9 0.988 1105.5
相关性分析和回归分析
相关性分析和回归分析相关性分析和回归分析是统计学中两种常见的统计工具，它们可以帮助我们更好地理解数据并从中提取出有用的信息。
相关性分析是研究两个或以上变量之间相互关系的一种方法，它确定两个变量之间的线性关系，试图推断其变量对其他变量的影响程度。
相关性分析通常分为两类，即变量间的相关性分析和单变量的相关性分析，它们通常使用皮尔森积矩关系来描述变量之间的关系。
回归分析是一种用于确定变量之间相互影响关系的统计分析方法，它可以用来预测变量的变化趋势，并以最小平方和误差度量结果的实际准确性。
回归分析通过构建预测模型来预测未来的结果，并通过残差分析来检测模型的准确性。
相关性分析和回归分析都是统计学中常用的分析方法，它们可以帮助我们更好地理解数据，并应用更多的知识进行数据分析。
首先，我们需要对数据进行观察，分析数据的规律。
为了进行有效的分析，必须了解数据变量之间的相关性，并正确记录变量值。
其次，我们需要使用相关性分析来确定数据变量之间的关系，并确定变量之间存在的线性关系。
接下来，要使用回归分析来建立模型，以预测未来的变量值。
最后，我们可以分析统计检验结果并进行总结，以指导下一步操作。
相关性分析和回归分析也可以用来评估两个或多个变量的影响，以支持业务决策。
在衡量两个或多个变量之间的关系时，可以利用将变量的数值表示成皮尔森积矩关系来评估彼此之间的函数关系。
回归分析也可以用来估算模型的精确性，可以用来评估模型的准确性并决定其可信度。
为此，我们只需要对模型的预测结果与实际观察值进行比较，并计算在模型上受误差影响的准确性。
总的来说，相关性分析和回归分析是统计学中重要的统计工具，它们可以有效地帮助研究人员更好地理解数据，并从中获得有用的信息。
它们可以用来监测数据变量之间的关系，并评估业务问题的潜在影响。
它们还可以用来估算模型的准确性和可信度，以便用于业务策略制定。
相关分析和回归分析
相关分析和回归分析相关分析和回归分析是统计学中最基础的两种分析方法，它们都用于研究数据变量之间的关系。
因为它们都是研究两个变量之间关系的，所以它们常常会被混淆起来，但它们其实在原理上是不同的，有不同的应用场景。
一、相关分析相关分析是一种简单的统计分析，用来检验不同变量之间是否存在相互关系。
它可以通过计算出变量之间的相关系数，来判断变量之间是线性关系还是非线性关系。
另外，它还可以度量两个变量的线性关系的相关程度，用来度量不同变量之间的关系强度。
相关分析的应用非常广泛，它可以帮助研究者了解数据之间的关系，也可以用来预测数据的变化趋势。
比如，可以用相关分析来研究一个地区的薪水水平和就业水平之间的关系，用来预测未来就业水平和薪资水平会有怎样的变化趋势。
二、回归分析回归分析是一种统计分析，用以研究两个变量之间的数量关系，并建立起变量之间的数量模型。
它用于预测和分析数据，从而探索数据之间的关系。
比如，从客户收入、购买频率等多个因素来建立一个回归模型，从而预测客户的未来购买意愿。
回归分析也是一种非常有用的统计方法，它可以用来研究数据之间的关系，并预测数据未来的变化趋势。
另外，它还可以用来预测特定变量的值，比如预测未来股市的涨跌情况。
总结以上就是相关分析和回归分析的基本内容介绍。
相关分析用于研究数据变量之间的关系，可以帮助研究者了解数据之间的关系，并预测数据的变化趋势；而回归分析是一种统计分析，用以研究两个变量之间的数量关系，可以用来预测特定变量的值，也可以研究数据之间的关系，并预测数据未来的变化趋势。
相关分析和回归分析可以说是统计学中最基础的两种分析方法，它们都具有重要的应用价值，广泛用于各种数据分析工作。
统计学中的相关性和回归分析
统计学中的相关性和回归分析统计学中，相关性和回归分析是两个重要的概念和方法。
它们旨在揭示变量之间的关系，并可以用来预测和解释观察结果。
本文将介绍相关性和回归分析的基本原理、应用及其在实践中的意义。
一、相关性分析相关性是指一组变量之间的关联程度。
相关性分析可以帮助我们理解变量之间的关系，以及这种关系的强度和方向。
常用的相关性指标有皮尔逊相关系数、斯皮尔曼相关系数和判定系数等。
皮尔逊相关系数是最常见的衡量变量之间线性关系的指标。
它的取值范围在-1到1之间，其中-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示无相关。
例如，在研究身高和体重之间的关系时，如果相关系数为0.8，则说明身高和体重呈现较强的正相关。
斯皮尔曼相关系数则不要求变量呈现线性关系，而是通过对变量的序列进行排序，从而找到它们之间的关联程度。
它的取值也在-1到1之间，含义与皮尔逊相关系数类似。
判定系数是用于衡量回归模型的拟合程度的指标。
它表示被解释变量的方差中可由回归模型解释的部分所占的比例。
判定系数的取值范围在0到1之间，越接近1表示模型对数据的拟合越好。
二、回归分析回归分析是一种用于建立变量之间关系的统计方法。
它通过建立一个数学模型来解释和预测依赖变量和自变量之间的关系。
回归模型可以是线性的，也可以是非线性的。
线性回归是最常见的回归分析方法之一。
它假设自变量和因变量之间存在着线性关系，并通过最小二乘法来估计模型中的参数。
线性回归模型通常表示为y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn，其中y为因变量，x1、x2等为自变量，β0、β1等为模型的参数。
非线性回归则适用于自变量和因变量之间存在非线性关系的情况。
非线性回归模型可以是多项式回归、指数回归、对数回归等。
回归分析在实践中有广泛的应用。
例如，在市场营销中，回归分析可以用来预测销售量与广告投入之间的关系；在医学研究中，回归分析可以用来探究疾病发展与遗传因素之间的联系。
统计学原理 相关与回归分析
粮食产量y 随机的
降雨量
土质
种子 耕作技术
X3
X4 X5
可 控 的
（二）相关的种类
完全相关 函数关系是相关关系的一种特例。 不完全相关 相关分析的基本内容
度相 关 密 切 程
y 完全由x的数值唯一确定，函数关系。
不相关
相 关 的 性 质
x、y值变化各自独立，变量间没有相关
关系
正相关 x 负相关
y
x
x2 26896 28900 31329 24336 25600 27556
y2
62540 73695 420857
70225 83521 463382
55696 65025 382469
合计
2114
从表上可以看出，随着个人收入的增加，消 费支出有明显的增长趋势，二者存在一定的依存 关系。正相关关系。 2、相关图（散点图） 直角坐标系第一象限
1、相关表
单变量分组相关表
分组相关表
双变量分组相关表
先做定性分析——相关资料排序——列在一张表上
个人收入x 164 170 177 182 192 207 225 243 265 289
消费支出y 156 160 166 170 178 188 202 218 236 255 1929
xy 25584 27200 29382
yc = 25.32 + 0.7927 300 = 263.13万元
（三）估计标准误差Syx P197
Syx = Syx =
=
(y - yc) 2 n-2 y2 - a y -b xy n-2
382469 -25.32 1929 -0.7927 420857
10 - 2
统计学 相关与回归分析.
2019年4月30日/上午2时57分
《统计学教程》
第9章 相关与回归分析
9.2 一元线性回归
《统计学教程》
第9章 相关与回归分析
9.2 一元线性回归
9.2.1一元线性回归模型
1．理论模型
从回归模型的一般形式，式（9.2）出发，一元线性回归模型可以表
述为
9.2.3 一元线性回归方程的拟合优度
9.2.4 一元线性回归方程的显著性检验
9.2.5 运用一元线性回归方程进行估计
9.3 多元线性回归
9.3.1 多元线性回归模型
9.3.2 多元线性回归方程的最小二乘估计
9.3.3 多元线性回归方程的拟合优度
2019年4月30日/上午2时57分
《统计学教程》
第9章 相关与回归分析
借助散点图还可以概略地区分和识别变量之间的非线性相关的具体类 型，为回归分析确定回归方程的具体形式提供依据，这也是散点图的重 要功能。例如，通过散点图展示的图形特征，初步地分辨出相关关系是 直线，还是二次曲线、三次曲线、指数曲线、对数曲线、S曲线等。所 以，散点图不仅是相关分析，也是回归分析中经常使用的最简便的基本 分析工具。
相关系数的正负取值取决于Lxy的正负。
并且，当相关系数的绝对值越是趋近于1，表明变量和变量的相关程 度越高，称之为强相关；反之，当相关系数的绝对值越是趋近于0，表 明变量和变量的相关程度越低，称之为弱相关。
2019年4月30日/上午2时57分
《统计学教程》
第9章 相关与回归分析
9.1 相关关系
例9.2 根据例9.1的表9.1中的数据。 表9.1某证券市场价格指数与A证券价格
1800
7统计学相关分析与回归分析
n n yi nb0 b1 xi i 1 i 1 n n n x y b x b x2 i i 0 i 1 i i 1 i 1 i 1
n n n n xi yi xi yi i 1 i 1 i 1 b 1 n n 2 2 n xi ( xi ) i 1 i 1 30 b0 y b1 x
回归分析：应用相关关系进行预测。
相关关系的识别
散点图 相关系数
10
相关系数
相关系数是对变量之间关系密切程度的度量。 对两个变量之间线性相关程度的度量称为简 单相关系数。 若相关系数是根据总体的全部数据计算的， 称为总体相关系数，记为ρ
若是根据样本数据计算的，则称为样本相关
系数，记为 r
8
相关分析的主要内容
确定现象之间有无相关关系，以及相关关系 的表现形态； 确定相关关系的密切程度（相关系数）； 确定相关关系的数字模型，并进行参数估计 和假设检验；
回归预测，并分析估计标准误差。
9
相关与回归
相关与回归紧密联系。 相关分析：
发现变量之间是否存在相关性，
以及相关的强度和相关的方向。
1
n
1
n
10
10
ˆ b0 b1 x 117 9.74 x y
39
7 相关分析与回归分析
相关分析
回归分析
一元线性回归分析
1
相关分析的概念
社会经济现象中，一些现象与另一些现象之间往 往存在着依存关系，当我们用变量来反映这些现 象的的特征时，便表现为变量之间的依存关系。
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南京财经大学统计学系
相关分析与回归分析是现代统计学中非常重要的内容，在 自然、管理科学和社会经济领域有着十分广泛的应用。
在分析变量之间关系的时，常用的基本模型: (1)相关模型; (2)回归模型 实践中到底使用哪种模型取决于研究者的研究目的和数据 的收集方式和条件。相关分析: 变量 X 和 Y 都被视为随机 变量，服从二元分布；经典的回归分析: 通常变量 x 不是 随机变量，在事先选好的值中取值，变量 Y 是随机变量， 在变量 x 的给定值处有相应的观测值。 例1：太阳镜的日销售数量 Y 与日最高气温 X 之间的关系 例2：人均消费与人均GDP的关系
变量多少、 相关性质
二、线性相关关系的识别
（一）散点图 （例子）
最简单、最直观的识别方法, 但难以给出相关的程度.
（二）直线相关系数
直线相关系数的设计思想 总体相关系数与Pearson相关系数
相关系数的检验
三、一元线性回归分析
一元线性回归模型的概念
y 0 1 x 变量y对x的一元线性回归总体模型
（3）给定显著性水平α ，查 F 分布表，得临界值 F ( p, n p 1) 。
)， （ 4） 若F F 则拒绝 H 0 ， 说明总体回归系数 i 不 ( p, n p 1
全为零，即回归方程是显著的；反之，则认为回归方程不显著。 表 10.4 多元线性回归模型的方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均方 回归 误差 总计 SSR SSE SST p n-p-1 n-1
写成矩阵形式为： Y X ε
x11 x12 1 1 x x 21 22 X ....... ...... ...... x n1 x n 2 1
x1 p ....... x 2 p ...... ...... ; ...... x np ......
E (Y | x) 0 1 x
一元线性回归方程
ˆ ˆ x 一元线性经验回归方程 ˆ y 0 1
估计方法：普通最小二乘估计 、标准误差 — 的估计 模型评价：可决系数、显著性检验1 2
New
预测方法：点预测，区间预测
将代入回归方程得=181.5830+0.4414×1000Байду номын сангаас=4595.5628（元）
4300
5300
6300
7300
8300
人均GDP 9300
本章内容
一、相关关系的概念和分类 二、线性相关关系的识别
相 关 分 析
三、一元线性回归分析
四、多元线性回归分析 五、非线性回归分析
New
New
一、相关关系的概念和分类 一、函数关系和相关关系
二、相关关系的分类
相关程度、 相关方向、 相关形式、
相关分析与回归分析
相关分析
用一个指标来表明现象间相互依存关系 的密切程度。
回归分析 根据相关关系的具体形态，选择一个合 适的数学模型，来近似地表达变量间关系。
相关分析所研究的变量是对等关系；回归分析所 研究的两个变量不是对等关系。 因果
3800 3300 2800 2300 1800
人均消费
年份 人均国内生产总值 人均消费金额 year x y 1995 4854 2236 1996 5576 2641 1997 6054 2834 1998 6308 2972 1999 6551 3138 2000 7086 3397 2001 7651 3609 2002 8214 3818 2003 9101 4089 4300
0 1 y1 y 1 2 2 Y ...... ； ...... ...... ； n yn p
基本假设
解释变量是确定性变量，不是随机变量，且要求矩 阵X中的自变量列之间不相关，样本容量的个数应 大于解释变量的个数。 独立、同分布、零均值 正态分布的假定条件：
四、多元线性回归分析
基本概念：回归系数、被解释变量（因变量）、解释 变量（自变量）、多元回归、 随机误差项。
多元线性回归模型的样本形式：
y1 0 1 x11 2 x12 ...... p x1 p 1 y2 0 1 x21 2 x22 ...... p x2 p 2 ...... yn 0 1 xn1 2 xn 2 ...... p xnp n
MSR
MSE
F值
MSR MSE
SSR p
SSE n p 1
F
模型评价-显著性检验2
• 单个回归系数的检验
（1） 要检验的假设：H 0 : i 0 ；H1 : i 0 （i=1,2,……,p）
i （2）t 检验的计算公式为： t S ，其中 S 是回归系数
i ~ N (0, 2 ) i, 1, 2, , n
参数估计
• 与一元线性回归方程的参数估计原理一样, 应该使得估 计值与观测值y之间的残差在所有样本点上达到最小， 即使Q达到最小
ˆ )T (Y X ˆ) Q ( yi yi ) 2 ei2 eT e (Y X
i i
y
y
2 2
• 而是用修正的可决系数
n 1 r 1 (1 r ) n p 1
2 a 2
模型评价-显著性检验1
• 整个回归方程的检验
H : 2 p 0 H1 : 1 , p （1）提出假设 0 1 ， 不全为 0. （2）根据表 10.4 构建 F 统计量，见表 10.4
i 1 i 1
n
^
n
• 参数的最小二乘估计值为：
• 另外，
ˆ ( X ' X )1 X ' Y β
2 ( y y ) i i ^
ˆ S y ( x x )
1 p
n p 1
模型评价-拟合优度
• 一般不再用可决系数
SSR r SST
2
ˆ y y