欧阳型积分不等式与应用
欧阳型积分不等式与应用
其 中 层 （ ‘ ） ＝ ｆ ｓ ） ｇ （ ｓ ） （ ｅ 印ｆ （ ｒ ） ｒ ） ＋ ｇ （ ｆ ） ］ 卉 ） 西
对一切 ‘ Ｅ［ ０ ， Ｔ ］ 成立， 这样的 ｔ 保 证
令‘ ＝Ｔ即得 定理 １的结论 。 注１ ： 如果Ｐ （ ｔ ） 单调递增， 则对 （ ９ ） 式 就 可 以 结 合 引 理 与 文 ［ ５ ］ （ Ｐ ． ） 中的推论 １ 得出所需结论， 在此不作证明。同时需要指 出。 如果 ～Ｅ Ｆ， 则定理包含了文［ ２ ］ 中的相关定理以及推论。
ｔ ） 音） ， 称 ， 属 于 函 数 类 Ｅ
则有
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对上 式两 边作 ０到 ‘ 的积分 ， 可得
妒 （ “ （ ‘ ） ） ≤ ｃ （ ｔ ） ＋ 口 （ ｔ ） ［ ｆ ｓ ） （ ｕ （ ｓ ） ） ＋ ｆ （ ｓ ） （ ｆ
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话 数外 学 习
Ｎ ｏ ． １ ０ ． ２ ０ １ ３
Ｙ ｕ Ｓ ｈ ｕ Ｗａ ｉ Ｘ ｕ ｅ Ｘ ｉ
２ ０ １ ３年第 ｌ Ｏ 期
欧 阳型 积 分不 等 式 与 应 用
李 永
（ 沭阳高级 中学， 江 苏 宿迁 ２ ２ ３ ３ ６ ０ ）
摘 要： 对欧阳不等式作进一步的推广， 给 出一个更广泛的 Ｏ ｕ — Ｉ ａ ｎ ｇ 型非线性不等式， 并利用所得结果讨论 了一类方程解的有界性。 关键词 ： 欧阳型； 积分不等式 ； 有界性 中 圈分类号 ： Ｃ ， ６ ３ ３ 文 献标识 码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ５— ６ ３ ５ １ （ ２ ０ １ ３ ） 一 １ ０— ０ ０ ２ ４一 Ｏ １
含高阶导数和变积分限的opial型不等式
含高阶导数和变积分限的opial型不等式Opial型不等式是数学分析中的一类重要不等式，它由波兰数学家Zdzisław Opial于1960年提出。
这类不等式通常具有含有高阶导数和变积分限的形式，具有广泛的应用背景和深刻的数学内涵。
Opial型不等式的一般形式可以表示为：$$f(x(t)) \geq g(x(t)) + \int_{a}^{t} h(x(s), x'(s), \ldots, x^{(n)}(s)) \, ds$$其中，$x(t)$是定义在区间$[a,b]$上的函数，$f,g,h$是给定的函数，$x'(t),x''(t),\ldots,x^{(n)}(t)$是$x(t)$的一阶到$n$阶导数。
这个不等式的含义是，对于给定的函数$f,g,h$和定义在区间$[a,b]$上的函数$x(t)$，如果满足上述不等式，那么函数$x(t)$在区间$[a,b]$上的某些性质将得到保证。
Opial型不等式在函数分析、偏微分方程、动力系统等领域有广泛的应用。
它可以用来研究函数的增长性、振动性、边界性质等，也可以用来证明偏微分方程的解的存在性和唯一性，以及动力系统的稳定性等问题。
在实际应用中，Opial型不等式常常被用来证明各种不等式和不等式组。
例如，在函数分析领域，可以利用Opial型不等式证明Hardy不等式、Sobolev不等式等；在偏微分方程领域，可以利用Opial型不等式证明椭圆型偏微分方程解的存在性和唯一性；在动力系统领域，可以利用Opial型不等式证明系统的稳定性和渐近行为等。
Opial型不等式的证明方法通常是基于函数分析和积分学的基本理论，需要运用到拓扑空间、测度论、泛函分析等数学工具。
证明过程中，常常需要运用到分部积分、Cauchy-Schwarz不等式、Holder 不等式、Young不等式等基本不等式。
Opial型不等式作为一类重要的数学工具，具有广泛的应用背景和深刻的数学内涵。
积分不等式的证明方法及其应用
积分不等式的证明方法及其应用一、积分不等式的证明方法：1.使用定积分定义证明：对于一个函数f(x)，如果在[a,b]上f(x)≥0，那么可以使用定积分的定义进行证明。
将[a,b]分成n个小区间，每个小区间长度为Δx=(b-a)/n，那么对于每个小区间，存在一个ξi ∈ [x_{i-1}, x_i]，使得f(ξi)Δx_i≤∫_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)dx。
对于所有小区间，将不等式相加并取极限即可得到定积分不等式。
2.使用导数的性质证明：对于一个函数f(x)，如果能够表示出它的导数f'(x)，那么可以使用导数的性质进行证明。
首先计算f'(x)，然后判断f'(x)的正负性，再根据函数在[a,b]上的取值情况，可以得到相应的不等式。
例如，如果f'(x)≥0，那么f(x)在[a,b]上是单调递增的，可以得到∫_a^bf(x)dx≥∫_a^b f(a)dx=f(a)(b-a)。
3.使用恒等式和变量替换证明：对于一个复杂的积分不等式，有时可以通过引入合适的恒等式或进行变量替换来简化证明过程。
例如，对于形如∫_a^b f(x)g(x)dx≥0的不等式，可以通过将f(x)g(x)拆分为两个函数的平方和，然后应用恒等式a^2+b^2≥0进行证明。
或者，可以通过进行变量替换将不等式转化为更简单的形式，然后再进行证明。
二、积分不等式的应用：1.极值问题：2.凸函数与切线问题：3.平均值不等式：平均值不等式是积分不等式的一种特殊情况，它可以用于证明平均值与极值之间的关系。
例如，对于一个连续函数f(x)，可以通过证明(1/(b-a))∫_a^b f(x)dx≥ƒ(ξ)来得到平均值与极值之间的关系。
4.泛函分析问题：总结起来，积分不等式的证明方法包括定积分定义证明、导数性质证明、恒等式和变量替换证明等等。
而积分不等式的应用包括解决极值问题、研究凸函数的性质、平均值不等式以及泛函分析问题等。
高中数学重要解题方法与技巧之欧阳学文创作
欧阳学文3利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。
配方法的主要根据有：①()222a 2b b ab a ±=+±②()2222222a c b a ca bc ab c b ++=+++++ ③()()()[]222222b a 21a c c b ca bc ab c b a +++++=+++++ ④ax2＋bx ＋c ＝a(x2＋b x a )＋c ＝a(x2＋b x a ＋224b a )＋c －24b a 224()24b b ac a x a a -=++ 4解某些复杂的特型方程要用到‘换元法’。
换元法解方程的一般步骤是：设元→换元→解元→还元5待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。
适用于求点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。
其解题步骤是：（1）设（2）列（3）解（4）写 6复杂代数等式型条件的使用技巧：左边化零，右边变形。
①因式分解型：()()0---------= 两种情况为或型②配成平方型：()()0---------22=+ 两种情况为且型7数学中两个最伟大的解题思路：（1）求值的思路−−−−→−方程思想与方法列欲求值字母的方程或方程组 （2）求取值范围的思路−−−−−→−不等式思想与方法列欲求范围字母的不等式或不等式组8化简二次根式m 的基本思路是：把m 化成完全平方式。
即：m −−→−=2m a 2a =a−−−−−→−的情况分类讨论按a 结果 9化简b 2a ±的方法是观察法：a b ±=(x y ±)2 其中，xy=b, x+y=a 且x>y>010代数式求值的方法有：（1）直接代入法 （2）化简代入法 3）适当变形法（和积代入法）注意：当求值的代数式是字母的“对称式”时，通常可以化为字母‘和与积’的形式，从而用‘和积代入法’求值。
关于n个独立变元的欧阳型非线性积分不等式
文 ［ ］给 出了上述 不等式 的 个推 广． ５
设 ． Ｈ 为 Ｆ， 上定 义 的实值 连续 函数 ， 若
ｎ
ｆ 【 ≤ ＋ ２ ［ （）： ） － ｓ （） Ｔ ） ｌ Ｆ ｚ（ ４ Ｈ（） ｓ］
ｎ ｃ ｎ
则有
Ｕ（） ： ＋ Ｉ ｓｄ２ｘ （） ｓ ， Ｅ Ｒ ｆ ≤ ＾ ）ｓｅｐ Ｉ ｓ ｝ｔ Ｈ（ Ｆ ｄ
（）ｄ ， ∈ Ｒ ｓ ］ ｓ｝
则 有
鉴 昙 鐾眢
（ｆ≤ 。 Ｇ Ｊ（ Ｊｆ Ｆ７ “） ≠ Ｇ ｌｆ ∈ ０ （） （＋ ． ） ， ・ Ｆ ］
学室 。 ∞， 省年 然学 尘 。 资 疆 基 东 青 自科 基 助 。 Ｑ
作 者 简 彳 ； 蛙峰 （ ０ ） － ｒ郭 １ ７ 颈 ２研 究生 ， 教 ． 竞 万 向 ： 分 方 程 稳 定 性 ９ 助 研 杜
可 导 ．（） Ｊ 一 Ｒ 单 调 非 减 ，，Ｆ Ｅ ｃ Ｒ Ｒ ， ｃｆ ＃ ： Ｒ ＋ ｆ， （ ， ） 若
（】 ｆ ）≤ ）一 ㈤ ） ， ∈ Ｒ
（ １）
则 “） ≠｛ 。（ ） （ ］ｏ ￡ 有 （≤ 。Ｇ ｃ ） Ｆ） ｝≤ ＜ ￡ 。＿Ｇ（ ＋ ，
非 线 性 积分 不 等 式
郭 继 峰
青 岛建 筑 工 程 学 院 ． 东青 岛 山 ２６２） ６ ５ ０
摘 要 ： 论 讨 关 键
上 的 ＯｕＩｎ 型 非 线 性 积 分 不 等 式 ， 得 结 论 是 扬 恩 浩 的 Ｒ —ａ ｇ 所 上 的
Ｏｕｌｎ ａ ｇ型 非 线 性 积 分 不 等 式 的 自然 推 广 和 政 进 词 ： 十 无 关 变 元 ； ａ ｇ型 积 分 不 等 式 ； 线 性 积 分 不 等 式 Ｏｕ Ｉｎ 非 文 章 编 号 －０ ８５ １ （０ ２ Ｏ ０ １０ １ － ０ ５ ３ ２ ０ 】 ｌ０ ０ ４ 中图分 类号 ： ７ ， Ｏ１ ５０１ ８ 文 献 标 识 码 ： ７ Ａ
积分等式与不等式的应用
积分等式与不等式的应用
积分等式和不等式是数学中重要的工具，它们在各个领域都有广泛的应用。
在微积分学中，积分等式和不等式可以用来证明和推导各种定理和公式，如牛顿-莱布尼茨公式、柯西-施瓦茨不等式等。
在微积分中，积分等式和不等式也可以用来求解各种积分和极限问题，如曲线长度、曲面面积、体积等。
在概率论和统计学中，积分等式和不等式被广泛应用于证明和推导各种概率分布的性质，如正态分布、泊松分布等。
此外，积分等式和不等式还可以用来证明和推导各种概率论和统计学中的重要定理和公式，如中心极限定理、大数定律等。
在工程学、物理学和经济学等应用领域中，积分等式和不等式也有着重要的应用。
例如，在工程学中，积分等式和不等式可以用于求解各种工程问题，如机械振动、流体力学等。
在物理学中，积分等式和不等式可以用来证明和推导各种物理学中的定理和公式，如热力学定律、电磁学定律等。
在经济学中，积分等式和不等式可以用来分析和解决各种经济问题，如消费者行为、市场供求等。
综上所述，积分等式和不等式在数学和各个应用领域中都有着广泛的应用，是一种重要的工具和方法。
- 1 -。
不定积分表之欧阳物创编
Yz.Liu.2013.09卷终公式表注解四基本不定积分表序言：微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。
虽其间发生很多在优先权上的争论，但最终依然走向了发展之正轨。
在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其基本微分表和基本积分表。
如今随微积分之发展，公式表逐渐全面，分类亦几乎覆盖各种不定积分。
积分表的编订对于积分运算可以说是必要，亦是数学发展之必要结果。
本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其中引入了除一般之换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。
而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式之反用，或均不在此给出推演方法，或仅以推演步骤简要之说明。
本表收录公式16组，151式。
公式一基本初等函数的不定积分18式：三角函数 反三角函数上述公式均为基本初等函数之不定积分，其中部分公式均可以由分部积分公式给出，特别的，对于正切函数，余切函数，正割函数与余割函数的不定积分，使用了诸多三角变换完成。
公式二 含ax b +的积分（要指出a 非零）10式：对于其中的第二式，是利用换元积分完成的。
对于第一者，可以利用凑的方式，我们考虑分式11x b ax b a ax b ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，则得其积分是显的：111()ln ||x b b dx x d ax x ax b aC ax b a a ax b a a ⎛⎫⎛⎫=-=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰。
而第二式依然采取类似的方式，可借由带余多项式除法算得：22211()2x x ax b ab b ax b a ax b ax b ⎡⎤=+-+⎢⎥+++⎣⎦，然后利用第一个积分式即可得到结论。
对于分母是二次多项式或者更高者，常常分成多个低次多项式之和，这两个积分便是沿用了此结论所得到的。
我们注意第一式中有111111()(/)/b x ax b a x x b a a x x b a a⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，积分即得。
积分不等式如何通过积分不等式解决高中数学问题
积分不等式如何通过积分不等式解决高中数学问题积分不等式是高中数学中常见的一种重要方法，它通过对不等式两边同时进行积分，将不等式问题转化为求解等式的问题，从而解决高中数学中的各种问题。
本文将介绍积分不等式的概念、求解步骤以及应用案例。
一、积分不等式的概念积分不等式是指在某个区间上满足一定关系的函数不等式。
具体来说，如果在区间[a, b]上，函数f(x)和g(x)满足f(x)≤ g(x)，则对于[a, b]上连续函数φ(x)，如果有∫[a, b] f(x)φ(x)dx ≤ ∫[a, b] g(x)φ(x)dx，那么就称这个不等式为积分不等式。
二、积分不等式的求解步骤解决积分不等式的一般步骤如下：1. 将积分不等式两边的函数进行积分，得到对应的不等式。
2. 利用已知的数学方法和技巧，对不等式进行简化和变形。
3. 运用数学推理和变换，得到最终的解或结论。
下面通过一个具体的案例来说明积分不等式的求解过程。
案例：已知函数f(x) = x^2sinx在区间[0, π/2]上连续，求证：∫[0, π/2]x^2sinx dx ≥ (π-2)/2π。
解：根据题目中给出的函数f(x)和区间[0, π/2]上的连续函数φ(x)，将不等式转化为积分形式：∫[0, π/2] x^2sinx φ(x)dx ≥ ∫[0, π/2] (π-2)/2π φ(x)dx。
由于函数φ(x)的具体形式未知，难以直接求解。
因此我们需要借助于已知条件及数学推理来简化和变形不等式。
首先，根据积分的线性性质，我们可以将不等式右边的积分进行拆分：∫[0, π/2] x^2sinx φ(x)dx ≥ ∫[0, π/2] φ(x)dx - ∫[0, π/2] φ(x)/π dx。
接着，考虑利用积分区间[0, π/2]上函数x^2sinx的特点，我们可以使用分部积分法对不等式左边的积分进行简化。
按照分部积分法的公式，我们令u = x^2，dv = sinxφ(x)dx，那么du = 2xdx，v = -cosxφ(x)。
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联合（ ９ ） 式和（ １ ２ ） 式， 可得
－ １ ｗ （ ｔ ） （ ｔ ） Ｅ （ ｔ ） Ｇ ［ Ｇ （ ｃ （ Ｔ ） ） ＋ ≤ｑ
ｈ （ ｓ ） ｑ （ ｓ ） Ｅ （ ｓ ） ） ｄ ｓ ］ φ φ （ ∫
ｔ － １ ０
令ｔ ＝ Ｔ即得定理 １ 的结论。 注１ ： 如果 ｐ （ ｔ ） 单调递增， 则对 （ ９ ） 式就可以结合引理与文 ｔ ｓ ［ ５ ］ （ Ｐ ） 中的推论 １ 得出所需结论， 在此不作证明。同时需要指 １ ５ ４ ０ ０ － １ 出， 如果 φ ， 则定理包含了文［ ２ ］ 中的相关定理以及推论。 φ ∈Ｆ 对一切 ｔ ０ ， Ｔ ］ 成立， 这样的 ｔ 保证 ∈［ 二、 应用 ｔ － １ － １ Ｇ （ ｃ （ ｔ ） ）＋ ０ｈ （ ｓ ） ｑ （ ｓ ） Ｅ （ ｓ ） ） ｄ ｓ ｏ ｍ （ Ｇ ） φ φ （ ∈Ｄ 考虑微分方程 １ ｔ 其中 Ｇ的定义同于引理。 ｕ ᶄ （ ｔ ）＝ ｈ （ ｔ ）＋ Ｆ （ ｔ ， ｕ （ ｔ ） ， Ｇ （ ｔ ， ｓ ， ｕ （ ｓ ） ） ｄ ｓ ） ㊀（ １ ３ ） ｕ （ ｓ ） ０ 证明 定义（ １ ） 式右端为 ｗ （ ｔ ） ， 则ｗ （ ｔ ） 是单调不减的函数， 且 ２ ２ － １ 其中 ｈ ： Ｒ＋→ Ｒ＋， Ｇ ： Ｒ＋ ˑＲ Ｆ ： Ｒ Ｒ＋ → Ｒ ＋→ Ｒ ＋， ＋ ˑ ＋ 都是连 ｗ （ ｔ ）＞ ０ ， ｕ （ ｔ ） ｗ （ ｔ ） ） 。 ≤φ （ 续函数。在此我们假设 ｔ ｔ ｓ ２ ｗ （ ｔ ） （ ｔ ）＋ｑ （ ｔ ） ［ ０ｆ （ ｓ ） ｗ （ ｓ ） ｄ ｓ ＋ ０ｆ （ ｓ ） ０ｇ （ ） ｗ （ ） ≤ｃ τ τ Ｇ （ ｔ ， ｓ ， ｕ （ ｓ ） ） （ ｔ ） ｇ （ ｓ ） ｕ （ ｓ ） ≤ｆ Ｆ （ ｔ ， ｕ （ ｔ ） ， ｖ ） （ ｔ ） ｕ （ ｔ ）＋ ｖ ㊀㊀㊀㊀㊀㊀（ １ ４ ） ≤ｆ ｔ － １ ｄ ） ｄ ｓ ］＋ ０ｈ （ ｓ ） ｗ （ ｓ ） ） ｄ ｓ ㊀㊀㊀㊀ ㊀（ ２ ） τ φ φ （ 其中 ｆ ， ｇ （ Ｒ Ｒ＋） ∈Ｃ ＋ ， ｔ － １ 现对（ １ ３ ） 式两边同时乘以 ｕ （ ｔ ） ， 并作 ０ 到ｔ 的积分可得 对任意正数 Ｔ ， 定义 ｎ （ ｔ ）＝ ｃ （ Ｔ ）＋ ０ｈ （ ｓ ） ｗ （ ｓ ） ） ｄ ｓ （ ３ ） φ φ （ １ ｓ ｔ ２ ２ ｕ（ ｔ ）＝ ｕ ２ ０［ ｕ （ ｓ ） Ｆ （ ｓ ， ｕ （ ｓ ） ， Ｇ （ ｔ ， ， ｕ （ ） ） ｄ ）＋ τ τ τ ０＋ ｔ ｔ ｕ （ ｓ ） ０ ２ ） 式变为 ｗ （ ｔ ） （ ｔ ）＋ｑ （ ｔ ） ［ ０ｆ （ ｓ ） ｗ （ ｓ ） ｄ ｓ ＋ ０ｆ （ ｓ ） 则（ ≤ｎ ｈ （ ｓ ） ｕ （ ｓ ） ］ ｄ ｓ ｓ （ ０ｇ （ ） ｗ （ ） ｄ ） ｄ ｓ ］ ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（ ４ ） τ τ τ １ ｔ ｔ ２ ２ 由假设条件可得： ｕ （ ｔ ）＝ ｕ ２ ０［ ｆ （ ｓ ） ｕ （ ｓ ） （ ｕ （ ｓ ）＋ ｇ ０＋ ｕ （ ｓ ） ０ 因ｎ （ ｔ ）＞ ０且单调递增， 上式两边同时除以 ｎ （ ｔ ） 得 ２ （ ） ｕ（ ） ｄ ）＋ ｈ （ ｓ ） ｕ （ ｓ ） ］ ｄ ｓ ㊀㊀ ㊀㊀㊀㊀（ １ ５ ） τ τ τ ｗ （ ｓ ） ｗ （ ） ｔ ｔ ｓ ｗ （ ｔ ） τ （ ｓ ） ｄ ｓ ＋ ０ｆ （ ｓ ） （ ０ｇ （ ） ｄ ） ｄ ｓ ＋ ｑ （ ｔ ） ０ｆ τ τ ≤１ 直接利用定理， 化简可得 ｎ （ ｓ ） ｎ （ ） ｎ （ ｔ ） τ ｔ ｓ ｕ （ ｔ ） （ ｔ ） ｅ ｘ ｐ （ ０ｆ （ ）＋ ｇ （ ） ｄ ） ｄ ｓ ｗ （ ｓ ） ｗ （ ） ｔ ｔ ｓ ≤ｐ τ τ τ τ １ ＋ ０ （ ｓ ） ｄ ｓ ＋ ０ｆ （ ｓ ） （ ０ｇ （ ） ｄ ） ｄ ｓ （ ｔ ） １＋ ０ｆ τ τ ≤ｑ ｎ （ ｓ ） ｎ （ ） τ ｔ 其中 ｐ （ ｔ ）＝ ｕ ｈ （ ｓ ） ｄ ｓ ｗ （ ｓ ） ｗ （ ） ｔ ｔ ｓ ０＋ ０ τ 定义： ｚ （ ｔ ）＝ １＋ ０ｆ （ ｓ ） ｄ ｓ ＋ ０ｆ （ ｓ ） （ ０ｇ （ ） ｄ ） ｄ ｓ τ τ ｎ （ ｓ ） ｎ （ ） τ ｗ （ ｔ ） 参考文献： （ ５ ） ， 则 （ ｔ ） ｚ （ ｔ ） ㊀㊀㊀㊀㊀㊀（ ６ ） ≤ｑ ｎ （ ｔ ） ［ １ ］ 欧阳亮． 线性微分方程 ｙ ᵡ ＋ Ａ （ ｔ ） ｙ ＝ ０解的有界性［ Ｊ ］ ． 数学进 ｗ （ ｔ ） ｗ （ ） ｔ τ １ ９ ５ ７ ， （ ３ ） ： ４ ０ ９－ ４ １ ５ ． 且ｚ ᶄ （ ｔ ）＝ ｆ （ ｔ ） ＋ ｆ （ ｔ ） ０ｇ （ ） ｄ （ ｔ ） ｑ （ ｔ ） ｚ （ ｔ ）＋ 展， τ τ ≤ｆ ｎ （ ｔ ） ｎ （ ） τ ［ ２ ］ 高庆龄， 王建国． 欧阳不等式的推广及应用［ Ｊ ］ ． 山东大学学报 ｔ ｔ ｆ （ ｔ ） ０ｇ （ ） ｑ （ ） ｚ （ ） ｄ （ ｔ ） ｑ （ ｔ ） ｇ （ ） ｑ （ ） ｚ （ ） ｄ ２ ０ ０ ８ ， ４ ３ （ ２ ） ： ７ ２ － ７ ６ ． （ 理学版） ， τ τ τ τ ≤ｆ τ τ τ τ ｚ （ ｔ ）＋ ０ ［ ３ ］ 温玉珍， 曹丽霞， 吕亚峰． Ｏ ｙ ａ ｎ ｇ型非线性积分不等式的推广 ｔ 定义 ｖ （ ｔ ）＝ ｚ （ ｔ ）＋ ０ｇ （ ） ｑ （ ） ｚ （ ） ｄ ㊀㊀㊀（ ７ ） τ τ τ τ ［ Ｊ ］ ． 曲阜师范大学学报， ２ ０ ０ ５ ， ３ １ （ ２ ） ： ３ ４ － ３ ８ ．
ｆ （ ｓ ） （ ｕ （ ｓ ） ） ｄ ｓ ＋∫ ｆ （ ｓ ） （∫ ｇ φ ∫
ｔ ｔ ｓ ０ ０ ０
－ １ ｎ （ ｔ ） Ｇ （ ｃ （ Ｔ ） ）＋ ≤Ｇ ［
ｈ （ ｓ ） ｑ （ ｓ ） Ｅ （ ｓ ） ） ｄ ｓ ］ ㊀（ １ ２ ） φ φ （ ∫
ｔ ０ － １
ｈ （ ｓ ） （ ｕ （ ｓ ） ） ｄ ｓ ㊀㊀㊀
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２ ４
欧阳型积分不等式与应用
作者： 作者单位： 刊名： 李永 沭阳高级中学,江苏 宿迁,223360 语数外学习（数学教育）
英文刊名： 年，卷(期)：
Yu Shu Wai XueXi 2013(10)
ｔ ｓ ０ ０
对一切 ｔ ０ ， Ｔ ］ 成立， 这样的 ｔ 保证 ∈［
－ １ Ｇ ［ Ｇ （ ｃ ）＋
∫
ｔ
由上式与（ ６ ） 式可得： ｗ （ ｔ ） （ ｔ ） ｑ （ ｔ ） Ｅ （ ｔ ） ㊀（ ９ ） ≤ｎ － １ － １ － １ 本文的主要目是获得更广泛的欧阳型非线性不等式， 所得结 利用 φ 可 得： ｗ （ ｔ ） ） ｎ （ ｔ ） ｑ （ ｔ ） Ｅ φ 的性质， φ φ （ ≤φ φ （ － １ － １ 果推广和改进了已有的部分结果。 （ ｔ ） ） ｎ （ ｔ ） ） ｑ （ ｔ ） Ｅ （ ｔ ） ） ㊀㊀（ １ ０ ） ≤φ φ （ φ φ （ 定义： 设ｆ ： Ｒ＋→Ｒ 如果 ｆ （ ｔ ） 单调不减且当 ｔ ， ｈ ＞ ０时， 有 ≥０ 由ｎ （ ｔ ） 的定义， 对ｎ （ ｔ ） 微分得： ＋， － １ １ ｔ ｎ ᶄ （ ｔ ）＝ ｈ （ ｔ ） ｗ （ ｔ ） ） ㊀㊀ （ １ １ ） φ φ （ （ ｔ ） （ ） ， 称ｆ 属于函数类 Ｆ ． ｆ ≤ｆ ｈ ｈ １ ０ ） 和（ １ １ ） 式， 可得 联合（ － １ － １ 一、 主要结果 ｎ ᶄ （ ｔ ） （ ｔ ） ｎ （ ｔ ） ） ｑ （ ｔ ） Ｅ （ ｔ ） ） ≤ｈ φ φ （ φ φ （ 定理 １设 ｕ （ ｔ ） ， ｆ （ ｔ ） ， ｇ （ ｔ ） ， ｈ （ ｔ ） 为Ｒ ｎ ᶄ （ ｔ ） ＋ 上的实值非负连续函 － １ 则有 －１ （ ｔ ） ｑ （ ｔ ） Ｅ （ ｔ ） ） ≤ｈ φ φ （ ｃ （ ｔ ） 与ｐ （ ｔ ） 是实值非负连续函数， ｃ （ ｔ ） 单调不减， 并且当 ｔ 数， ≥０ ｎ （ ｔ ） ） φ φ （ － １ 时， ｐ （ ｔ ） ： ， ≥１ φ φ单调不减且 φ φ 次可乘。如果 对上式两边作 ０ 到ｔ 的积分， 可得 （ ｕ （ ｔ ） ） （ ｔ ）＋ｑ （ ｔ ） ［ φ ≤ｃ （ ） （ ｕ （ ） ） ｄ ） ｄ ｓ ］＋ τ φ τ τ 则有 ｈ （ ｓ ） ｑ （ ｓ ） Ｅ （ ｓ ） ） ｄ ｓ ］ φ φ（ ]} ∫ （ ｔ ）＝∫ ｆ （ ｓ ） ｑ （ ｓ ） （ ｅ ｘ ｐ ｑ （ ） ［ ｆ （ ）＋ ｇ （ ） ］ ｄ ） ｄ ｓ 其中 Ｅ τ τ τ τ ∫
语数外学习
Ｎ ｏ ． １ ０ ． ２ ０ １ ３ Ｙ ｕＳ ｈ ｕＷａ ｉ Ｘ ｕ ｅ Ｘ ｉ ２ ０ １ ３年第 １ ０期
欧阳型积分不等式与应用
李㊀永 ２ ３ ３ ６ ０ ） （ 沭阳高级中学， 江苏㊀ 宿迁㊀２
摘㊀要： 对欧阳不等式作进一步的推广， 给出一个更广泛的 Ｏ ｕ － Ｉ ａ ｎ ｇ 型非线性不等式， 并利用所得结果讨论了一类方程解的有界性。 关键词： 欧阳型； 积分不等式； 有界性 中图分类号： Ｇ ６ ３ ３ 文献标识码： Ａ 文章编号： １ ０ ０ ５ － ６ ３ ５ １ （ ２ ０ １ ３ ）－ １ ０－ ０ ０ ２ ４ － ０ １ ㊀㊀引理： 设φ （ Ｒ＋，Ｒ＋） 是严格递增的， （ ∈Ｃ φ φ ∈Ｃ ɕ ）＝ɕ； （ Ｒ＋， Ｒ＋） 是递增的； 且ｕ ， ｆ （ Ｒ Ｒ＋） ． 若对于常数 ｃ ∈Ｃ ≥０及 ｔ ∈ ＋，
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