2020年天津市学业水平等级考适应性测试数学试题(含答案)
普通高考(天津卷)适应性测试数学试题
2020年普通高考（天津卷）适应性测试数学本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第I 卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题上并在规定位置粘贴考试用条形码，答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式：如果事件A ,B 互斥，那么如果事件A ,B 相互独立，那么()()()⋃=+P A B P A P B 如果事件A ,B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =，其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积h 表示棱锥的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{2,1,0,1,2}U =--，集合{2,0,1,2}=-A ，{1,0,1}B =-，则U A C B =I （ ） A. {0,1} B. {2,2}-C. {2,1}--D. {2,0,2}-【答案】B 【解析】 【分析】先利用补集的定义求出U C B ，再利用交集的定义可得结果. 【详解】因为全集{2,1,0,1,2}U =--， {1,0,1}B =-，所以{2,2}U C B =-， 又因集合{2,0,1,2}=-A ，所以U A C B =I {2,2}-. 故选：B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且不属于集合B 的元素的集合.2.设a R ∈，则“2a ≥”是“2320-+≥a a ”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法化简2320-+≥a a ，再由充分条件与必要条件的定义可得结果. 【详解】“2320-+≥a a ”等价于 “1a ≤或2a ≥”，“2a ≥”能推出“1a ≤或2a ≥”，而“1a ≤或2a ≥”不能推出“2a ≥”， 所以“2a ≥”是“2320-+≥a a ”的充分非必要条件， 故选：A.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3.函数2=x x y e的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数有两个极值点，可排除选项C 、D ；利用奇偶性可排除选项B ，进而可得结果.【详解】因为2=x x y e ，所以22'xx x y e-=， 令'0y =可得，0,2x x ==，即函数有且仅有两个极值点，可排除选项C 、D ；又因为函数2=x x y e即不是奇函数，又不是偶函数，可排除选项B ，故选：A.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4.如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是36，点E 在棱1CC 上，且12CE EC =，则三棱锥E -BCD 的体积是（ ）A. 3B. 4C. 6D. 12【答案】B 【解析】 【分析】由锥体的体积公式可得三棱锥的体积为119BC CD CC ⋅⋅，结合长方体1111ABCD A B C D -的体积是36可得结果.【详解】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积是36，点E 在棱1CC 上，且12CE EC =， 所以136BC CD CC ⋅⋅=，三棱锥E -BCD 的体积是1132BC CD EC ⎛⎫⨯⨯⋅⋅ ⎪⎝⎭111121136432399BC CD CC BC CD CC ⎛⎫=⨯⨯⋅⋅=⋅⋅=⨯= ⎪⎝⎭ 故选：B.【点睛】本题主要考查柱体的体积与锥体的体积，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.5.某市为了解全市居民日常用水量的分布情况，调查了一些居民某年的月均用水量（单位：吨），其频率分布表和频率分布直方图如图，则图中t的值为（）分组频数频率[0,0.5) 4 0.04[0.5,1)8 0.08[1,1.5)15 a[1.5,2)22 0.22[2,2.5)m 0.25[2.5,3)14 0.14[3,3.5) 6 0.06[3.5,4) 4 0.04[4,4.5) 2 0.02合计100 1.00A. 0.15B. 0.075C. 0.3D. 15【答案】C 【解析】 【分析】由频率和为1可求得0.15a =，再除以组距即可得结果. 【详解】因为0.04+0.08+a +0.22+0.25+0.14+0.06+0.04+0.02=1， 所以0.15a =， 又因为组距等于0.5， 所以t 的值为0.150.30.5=， 故选：C.【点睛】直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数. 6.已知()f x 是定义在R 上的偶函数且在区间[0,)+∞单调递减，则（ ） A. ()()221log log 23f f f ππ-⎛⎫>> ⎪⎝⎭B. ()()221log 2log 3-⎛⎫>> ⎪⎝⎭f f f ππ C. ()()2212loglog 3-⎛⎫>> ⎪⎝⎭f f f ππ D. ()()2212log log3-⎛⎫>> ⎪⎝⎭f f f ππ 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性判断出22log lo 2g 3ππ->> ，再利用函数()f x 的单调性与奇偶性可得结果.【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()2221log log 3log 33f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 根据对数函数单调性可得2223log 1l g 2o log π>=>， 根据指数函数的单调性可得01022π-<=<，所以22log lo 2g 3ππ->>，因为()f x 在区间[0,)+∞单调递减， 所以()()()222log 3log f f f ππ->>，即()()2212loglog 3-⎛⎫>> ⎪⎝⎭f f f ππ 故选：C.【点睛】解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.7.抛物线22(0)x py p =>的焦点与双曲线221169x y -=的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则p 的值为（ ）A.152B.403C.203D.3【答案】B 【解析】 【分析】先求出抛物线22(0)x py p =>的焦点与双曲线221169x y -=的右焦点，再利用直线垂直斜率相乘等于-1可得结果.【详解】抛物线22(0)x py p =>的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，双曲线221169x y -=的右焦点为()15,0F ，所以110FF p k =-，又因为双曲线的渐近线为34y x =?，所以134011043FF p k p =-⨯=-⇒=， 故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线与双曲线的焦点，考查了双曲线的渐近线方程以及直线垂直斜率之间的关系，属于基础题.8.已知函数()sin cos f x x x =+，则下列结论错误的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为2π B. ()y f x =的图象关于直线54=x π对称 C.74π是()f x 的一个零点 D. ()f x 在区间3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的周期性、对称性、单调性以及函数零点的定义逐一判断即可. 【详解】()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，对于A ，()f x 的最小正周期为221ππ=，正确； 对于B ，54=x π时，1y =-为最小值，()y f x =的图象关于直线54=x π对称，正确； 对于C ， 74x π=时，0y =，74π是()f x 的一个零点，正确；对于D ，()f x 在区间3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调函数，错误， 故选：D.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查正弦函数的周期性、对称性、单调性以及函数的零点的定义，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.9.已知函数22,0()24,0x x x f x x x x⎧+⎪=⎨->⎪⎩…，若函数()()|1|=--F x f x kx 有且只有3个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A. 90,16⎛⎫⎪⎝⎭B. 9,16⎛⎫+∞⎪⎝⎭C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.19,00,1616⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】画出函数图象，分两种情况讨论，分别求出直线与曲线()240x y x x-=>相切时的斜率，结合函数图象的交点个数，即可判断函数()()|1|=--F x f x kx 有且只有3个零点时实数k 的取值范围. 【详解】0k >时，1y kx =-过()0,1-，设1y kx =-与()240x y x x -=>切于11124,x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为24'y x =，214k x ∴=，则111211241489,,0316x x x k x x -+=⇒==- 画出()f x 的图象，由图可知，当90,16k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()y f x =与1y kx =-有三个交点 k 0<时，11y kx y kx =-==-+，1y kx =-+过()0,1，设1y kx =-+与()240x y x x -=>切于22224,x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为24'y x =，所以224k x -=， 可得222222241411801616x x x k k x x --=⇒=⇒-=⇒=--， 画出()f x 的图象，由图可知，当10,16k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，即1,016k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()y f x =与1y kx =-有三个交点，综上可得，19,00,1616k ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()y f x =与1y kx =-有三个交点，即()()1F x f x kx =--有三个零点. 故选：D.【点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．第II 卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共11小题，共105分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5份，共30分10.i 是虚数单位，复数321+=-ii________________.【答案】1522i + 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简求解即可.【详解】()()()()32132151112i i i i i i i ++++===--+1522i +， 故答案为：1522i +. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.11.已知直线250x y +-=与圆229x y +=交于点A ,B 两点，则线段AB 的长为____________. 【答案】4 【解析】 【分析】求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式，结合勾股定理可得结果. 【详解】因为229x y +=的圆心为()0,0，半径3r =，()0,0到直线250x y +-=的距离d ==，所以线段AB 的长为4=， 故答案为：4.【点睛】本题主要考查点到直线距离公式以及圆弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式12l x =-，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.12.在42x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项是________．【答案】8- 【解析】【分析】写出42x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式，让x 的指数为零，求出常数项.【详解】因为42x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为：44431442()(2)rrrr r rr T C C x x--+=⋅-=⋅-⋅，所以令44013r r -=⇒=，常数项为114(2)8C ⋅-=-. 【点睛】本题考查了利用二项式展开式的通项公式求常数项的问题，考查了运算能力. 13.已知某同学投篮投中的概率为23，现该同学要投篮3次，且每次投篮结果相互独立，则恰投中两次的概率为：_____________；记X 为该同学在这3次投篮中投中的次数,则随机变量X 的数学期望为____________. 【答案】 (1). 49(2). 2 【解析】 【分析】由独立重复试验的概率公式可得恰投中两次的概率；分析题意可得随机变量2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用二项分布的期望公式可得结果.【详解】由独立重复试验的概率公式可得，恰投中两次的概率为223213943C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； X 可取0，1，2，3， 3032(0)332117P X C ︒⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 21321)2(1339P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 223(22)33914P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭30332(3)327831P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则随机变量2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2323EX np ==⨯=， 故答案为：4,29. 【点睛】“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布(),X B n p ～），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．14.已知0,0a b >>，则2233224++a b a b a b的最小值为______________. 【答案】4 【解析】 【分析】 化简原式为2214ab b a++，两次运用基本不等式可得结果. 【详解】22332222414a b a b ab a b b a++=++ab ≥44ab ab =+≥=， 当且仅当22144b a ab ab ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即21a b =⎧⎨=⎩等号成立，所以，2233224++a b a b a b 的最小值为4，故答案为：4.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.15.如图，在ABC V 中，3,2,60︒==∠=AB AC BAC ，D ,E 分别边AB ,AC 上的点,1AE =且12⋅=u u u r u u u r AD AE ，则||=uuu r AD ______________，若P 是线段DE 上的一个动点，则⋅u u u r u u u r BP CP 的最小值为_________________.【答案】 (1). 1 (2). 116- 【解析】 【分析】由12⋅=u u u r u u u r AD AE 利用数量积公式可求||AD u u u r 的值为1，设DP 的长为x ，则1PE x =-，2,1BD EC ==，利用平面向量的几何运算法则结合数量积的运算法则，可得⋅u u u r u u u r BP CP 22x x =-，再利用配方法可得结果【详解】11cos60122AD AE AD AE AD ⋅=⋅⋅=⨯⨯=ou u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，1AD ∴=u u u r ；又因为1AE =且60BAC ︒∠=，∴ADE ∆为正三角形，1DE AD AE ∴===，120BDP CEP ∠=∠=o ，2,1BD EC ==，设DP 的长为x （01x ≤≤），则1PE x =-，，()()BP CP BD DP CE EP ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rBD CE BD EP DP CE DP EP =⋅+⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()()1112121111222x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+--+⋅⋅-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111,241616x x x ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭14x =时取等号，BP CP ∴⋅u u u r u u u r 的最小值为116-.故答案为：1，116-. 【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知223()32-=-a c b ac （1）求cos B 的值 （2）若53a b = （i ）求sin A 的值 （ii ）求sin 26A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】（1）23；（2）（i ;（ii . 【解析】 【分析】（1）化简原式，直接利用余弦定理求cos B 的值即可；（2）（i ）由（1）可得sin 3B =，再利用正弦定理求sin A 的值；（ii ）利用二倍角的余弦公式求得sin 5A =，可得25cos A =，再由二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式可得结果. 【详解】（1） 在ABC ∆中，由()22332a c b ac -=-，整理得222223a cb ac +-=，又由余弦定理，可得2cos 3B =； （2）（i ）由（1）可得5sin 3B =，又由正弦定理sin sin a b A B =， 及已知53a b =，可得sin 355sin 535a B Ab ==⨯=； （ii ）由（i ）可得23cos 212sin 5A A =-=，由已知53a b =，可得a b <，故有A B <， A ∴为锐角，故由5sin 5A =，可得25cos 5A =，从而有4sin 22sin cos 5A A A ==,4331433sin 2sin 2cos cos 2sin 666552A A A πππ+⎛⎫∴+=+=⨯+⨯=⎪⎝⎭. 【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 17.如图，在四棱锥P 一ABCD 中，已知5,4,22=====AB BC AC AD DC ，点Q为AC 中点，PO ⊥底面ABCD ,2PO =，点M 为PC 的中点.（1）求直线PB 与平面ADM 所成角的正弦值； （2）求二面角D -AM -C 的正弦值；（3）记棱PD 的中点为N ，若点Q 在线段OP 上，且//NQ 平面ADM ，求线段OQ 的长.【答案】（1）755；（2）110；（3）43.【解析】 【分析】以O 为原点，分别以向量,,OB OC OP u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向，可以建立空间直角坐标系，（1）求出直线PB 的方向向量，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面ADM 的法向量，可求直线PB 与平面ADM 所成角的正弦值；（2）由已知可得OB ⊥平面AMC ，故OB uuu r是平面AMC 的一个法向量，结合（1）中平面ADM 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可求二面角D -AM -C 的余弦值，从而可得正弦值；（3）设线段OQ 的长为()02h h ≤≤，则点Q 的坐标为()0,0,h ，由已知可得点N 的坐标为()1,0,1-，利用直线NQ uuu r与平面的法向量数量积为零列方程求解即可.【详解】依题意，以O 为原点，分别以向量,,OB OC OP u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向，可以建立空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0),(0,2,0),(1,0,0),(0,2,0)O A B C -，(2,0,0),(0,0,2),(0,1,1)D P M -.（1）依题意，可得(2,2,0),(0,3,1)AD AM =-=u u u u ru u u r ，设(),,n x y z =r 为平面ADM 的法向量，则00n AD n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v ， 即22030x y y z -+=⎧⎨+=⎩，不妨设1y =，可得()1,1,3n =-r ，又()1,0,2PB =-u u u r ， 故755cos ,||||PB n PB n PB n ⋅==u u u r r u u u r r u u u r r ，∴直线PB 与平面ADM（2）由已知可得,OB AC OB PO ⊥⊥， 所以OB ⊥平面AMC ，故OB uuu r是平面AMC 的一个法向量，依题意可得()1,0,0OB =u u u r，因此有cos ,||OB n OB n OB n ⋅==u u u r ru u u r r u u u r r，于是有sin ,OB n 〈〉=u u u r r ，∴二面角D -AM -C（3）设线段OQ 的长为()02h h ≤≤，则点Q 的坐标为()0,0,h ，由已知可得点N 的坐标为()1,0,1-，进而可得()1,0,1NQ h =-u u u r，由//NQ 平面ADM ，故,0NQ n NQ n ⊥∴⋅=u u u r r u u u r r，即()1310h --=，解得[]40,23h =∈， ∴线段OQ的长为43. 【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，点3⎛ ⎝⎭T 在椭圆上 （1）求椭圆的方程； （2）已短直线m =+y 与椭交于A 、B 两点，点P 的坐标为0)，且1PA PB ⋅=-uu r uu r,求实数m 的值.【答案】（1）22193x y +=；（2）3m =-. 【解析】【分析】（1）根据题意，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b ，即可得椭圆的方程；（2）直线与曲线联立，根据韦达定理，利用平面向量数量积公式，结合条件1PA PB ⋅=-uu r uu r列方程求解即可.【详解】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知有2223c a =，又由222a b c =+，可得223a b =，由点3⎛ ⎝⎭T 在椭圆上，有228113a b +=， 由此可得229,3a b ==，∴椭圆的方程为22193x y+=；（2）设点A 的坐标()11,x y ，点B 的坐标()22,x y ,由方程组22193y mx y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y，整理可得227390x m ++-=，①由求根公式可得2121239,77m x x x x -+=-=，② 由点P的坐标为()，可得()()1122,PA x y PB x y =-=-u u u r u u u r，故()12121212128PA PB x xy y x x x x y y ⋅=-+=-+++-u u u r u u u r，③又1122,y m y m =+=+Q，()21212122y y x x x x m ∴=++，代入上式可得()2121238PA PB x x x x m ⋅=+-+++u u u r u u u r ，由已知1PA PB ⋅=-uu r uu r ，以及②，可得()22339817m m -+=-，整理得2690m m ++=，解得3m =-，这时，①的判别式2122521440m ∆=-+=>，故3m =-满足题目条件，3m ∴=-.【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. 19.已知数列{}n a 是公差为1的等差数列，数列{}n b 是等比数，且347a a a +=,245⋅=b b b ,4234=-a b b 数列{}n c 满足212,32,31,3m n m mb n mc b n m a n m -=-⎧⎪==-⎨⎪=⎩其中*m ∈N .（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式（2）记()*3231313331n n n n n n n t c c c c c c n N---+=++∈，求数列{}nt 的前n 项和.【答案】（1）1,2n n n a n b -==；（2）262816415315n n n -⨯+⨯+. 【解析】 【分析】（1）利用341+=a a a ,245⋅=b b b ,4234=-a b b 列方程求出，等差数列的首项、等比数列的首项与公比，从而可得结果；（2）先根据212,32,31,3m n m mb n mc b n m a n m -=-⎧⎪==-⎨⎪=⎩得222121243212222232n n n n n n n t n n n -----=⋅+⋅+⋅=+⋅，再根据分组求和与错位相减求和法，结合等比数列的求和公式可得结果.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，则1d =，由347a a a +=，可得11a d ==，由245⋅=b b b ，可得24411b q b q ⋅=⋅，又10,0b q ≠≠Q ，故可得11b =，再由4234=-a b b ，可得2440q q -+=，解得2q =，()1,2n n n a n b n N -*∴==∈；（2）22212,322,31,3m m n n m c n m m n m --⎧=-⎪==-⎨⎪=⎩，其中n *∈N ，222121243212222232n n n n n n n t n n n -----∴=⋅+⋅+⋅=+⋅，记4321111,2,2nnnk k nk n n k k k T t A B k --======⋅∑∑∑，则()()442122161221612151515nnn nA ⨯--===⨯--， 2112283322n n B n -=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯，①故有2121418232(1)22n n n B n n -+=⨯+⨯++-⨯+⨯L ，② ①-②可得21213283222n n n B n -+-=++++-⨯L ()21214214n n n +-=-⨯-262433n n -=⨯-， 由此可得6223433n n n B -=⨯+， 由3n n n T A B =+，故可得262816415315n n n n T -=⨯+⨯+. 【点睛】“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.20.已知函数2()2ln =-f x x x x ，函数2()(ln )=+-ag x x x x，其中a R ∈，0x 是()g x 的一个极值点，且()02g x =. （1）讨论()f x 的单调性 （2）求实数0x 和a 的值 （3）证明()*11ln(21)2=>+∈nk n n N【答案】（1）()f x 在区间()0,∞+单调递增；（2）01,1x a ==；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出()'f x ，在定义域内，再次求导，可得在区间()0,∞+上()'0f x ≥恒成立，从而可得结论；（2）由()'0g x =，可得20002ln 0x x x a --=，由()02g x =可得()220000ln 20x x x x a --+=，联立解方程组可得结果；（3）由（1）知()22ln f x x x x =-在区间()0,∞+单调递增，可证明ln x>，取*21,21k x k N k +=∈-，可得ln(21)ln(21)k k >+--=，利用裂项相消法，结合放缩法可得结果.【详解】（1）由已知可得函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()22ln 2f x x x '=--，令()()'h x f x =，则有()21'()x h x x-=，由()'0h x =，可得1x =，可知当x 变化时，()()',h x h x 的变化情况如下表：()()10h x h ∴≥=，即()'0f x ≥，可得()f x 在区间()0,∞+单调递增；（2）由已知可得函数()g x 的定义域为()0,∞+，且22ln ()1a x g x x x'=--， 由已知得()'0g x =，即20002ln 0x x x a --=，①由()02g x =可得，()220000ln 20x x x x a --+=，②联立①②，消去a ，可得()20002ln 2ln 20x x x ---=，③ 令2()2(ln )2ln 2t x x x x =---，则2ln 22(ln 1)'()2x x x t x x x x--=--=， 由（1）知，ln 10x x --≥，故()'0t x ≥，()t x ∴在区间()0,∞+单调递增，注意到()10t =，所以方程③有唯一解01x =，代入①，可得1a =，01,1x a ∴==；（3）证明：由（1）知()22ln f x x x x =-在区间()0,∞+单调递增，故当()1,x ∈+∞时，()()11f x f >=，2222ln 1()1()0x x x f x g x x x'---==>， 可得()g x 在区间()1,+∞单调递增，因此，当1x >时，()()12g x g >=，即21(ln )2x x x +->，亦即22(ln )x >，0,ln 0x >>ln x >，取*21,21k x k N k +=∈-，ln(21)ln(21)k k >+--=，故11(ln(21)ln(21))ln(21)nk nk k k π==>+--=+∑11ln(21)()2ni x n N *=∴>+∈.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.。
天津市2020届高三学业水平等级考适应性测试数学试卷
2020年普通高考(天津卷)适应性测试 数学试卷本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷 选择题(共45分) 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B) ·如果事件A ，B 相互独立，那么P(AB)＝P(A)P(B)·棱柱的体积公式V ＝Sh.其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高． ·棱锥的体积公式V ＝13Sh.其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高．一、选择题(本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，集合A ＝{－2，0，1，2}，B ＝{－1，0，1}，则A∩(∁UB)＝( )A ．{0，1}B ．{－2，2}C ．{－2，－1}D ．{－2，0，2}2．设a∈R，则“a≥2”是“a 2－3a ＋2≥0”的( ) A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3．函数y ＝的图象大致是( )4．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积是36，点E 在棱CC 1上，且CE ＝2EC 1，则三棱锥E －BCD 的体积是( )A ．3B ．4C ．6D ．12 5．某市为了解全市居民日常用水量的分布情况，调查了一些居民某年的月均用水量(单位：吨)，其频率分布表和频率分布直方图如下，则图中t 的值为( )A ．0.15B ．0.075C ．6．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递减，则( ) A ．f(log 2π)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log213>f(2－π) B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log213>f(2－π)>f(log2π)C ．f(2－π)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log213>f(log2π)D ．f(2－π)>f(log2π)>f ⎝⎛⎭⎪⎫log2137．抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点与双曲线＝1的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则p 的值为( )A.152B.403C.203D.8738．已知函数f(x)＝sinx ＋cosx ，则下列结论错误的是( ) A ．f(x)的最小正周期为2πB ．y ＝f(x)的图象关于直线x ＝5π4对称C.7π4是f(x)的一个零点 D ．f(x)在区间⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2单调递减9．已知函数若函数F(x)＝f(x)－|kx －1|有且只有3个零点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，916B.⎝ ⎛⎭⎪⎫916，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－116，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，916 第Ⅱ卷 非选择题(共105分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在相应的横线上．) 10．i 是虚数单位，复数3＋2i1－i＝________．11．已知直线x ＋2y －5＝0与圆x 2＋y 2＝9交于A ，B 两点，则线段AB 的长为________．12．在⎝⎛⎭⎪⎫3x －2x 4的展开式中，常数项为________．13．已知某同学投篮投中的概率为23，现该同学要投篮3次，且每次投篮结果相互独立，则恰投中两次的概率为________；记X 为该同学在这3次投篮中投中的次数，则随机变量X 的数学期望为________．14．已知a>0，b>0，则的最小值为________．15．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC＝60°，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，AE ＝1，且AD →·AE →＝12，则|AD →|＝________，若P 是线段DE 上的一个动点，则BP →·CP →的最小值为________．三、解答题(本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)16．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3(a －c)2＝3b 2－2ac.(1)求cosB 的值； (2)若5a ＝3b. ①求sinA 的值；②求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6的值． 17．(本小题满分15分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知AB ＝BC ＝5，AC ＝4，AD ＝DC ＝22，点O 为AC 中点，PO⊥底面ABCD ，PO ＝2，点M 为棱PC 的中点．(1)求直线PB 与平面ADM 所成角的正弦值； (2)求二面角D －AM －C 的正弦值；(3)记棱PD 的中点为N ，若点Q 在线段OP 上，且NQ∥平面ADM ，求线段OQ 的长．18．(本小题满分15分)已知椭圆(a>b>0)的离心率为63，点T ⎝⎛⎭⎪⎫22，33在椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)已知直线y ＝2x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，点P 的坐标为(22，0)，且PA →·PB →＝－1，求实数m 的值．19．(本小题满分15分)已知数列{an}是公差为1的等差数列，数列{bn}是等比数列，且a3＋a4＝a7，b2·b4＝b5，a4＝4b2－b3，数列{cn}满足cn ＝其中m∈N*.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)记tn ＝c 3n －2c 3n －1＋c 3n －1c 3n ＋c 3n c 3n ＋1(n ∈N*)，求数列{tn}的前n 项和．20．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝x 2－2xlnx ，函数g(x)＝x ＋a x －(lnx)2，其中a∈R，x 0是g(x)的一个极值点，且g(x 0)＝2.(1)讨论f(x)的单调性； (2)求实数x 0和a 的值；(3)证明2020年普通高考(天津卷) 适应性测试 数学答案1．B [命题立意]本题考查不等式的补集、交集运算．[解析]∵B＝{－1，0，1}，∴∁UB ＝{－2，2}，∴A∩(∁UB)＝{－2，2}，故选B. 2．A [命题立意]本题考查不等式解法、充分必要条件．[解析]由a2－3a ＋2≥0得a≥2或a≤1，∴“a≥2”是“a2－3a ＋2≥0”的充分非必要条件，故选A.3．A [命题立意]本题考查函数的图象和性质．[解析]f(x)＝x2ex 的定义域为R ，∵f(－x)＝x2e －x ＝x2·ex≠f(x)且f(－x)≠－f(x)，∴f(x)不具有奇偶性，排除B 、D ；f′(x)＝2x －x2ex ＝x （2－x ）ex ，∴f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，排除C ，故选A.4．B [命题立意]本题考查三棱锥的体积．[解析]∵CE＝2EC1，∴CE＝23CC1，∴VE－BCD ＝13S△BCD×EC＝13S△BCD×23CC1＝13×12S ABCD×23CC1＝19VABCD －A1B1C1D1＝4，故选B.5．C [命题立意]本题考查频率分布直方图、频率分布表．[解析]由频率分布表得0.04＋0.08＋a ＋0.22＋0.25＋0.14＋0.06＋0.04＋0.02＝1，∴a＝0.15，∴t＝0.150.5＝0.3，故选C.6．C [命题立意]本题考查函数的奇偶性、单调性．[解析]∵f(x)是偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log213＝f(log23)，∵0<2－π<1<log23<log2π，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(2－π)>f(log23)>f(log2π)，即f(2－π)>f ⎝⎛⎭⎪⎫log213>f(log2π)，故选C.7．B [命题立意]本题考查抛物线与双曲线的几何性质．[解析]抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线x216－y29＝1的右焦点为F ′(5，0)，∴kFF′＝－p 10，双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，∴由已知得－p 10·34＝－1，∴p＝403，故选B.8．D [命题立意]本题考查正弦型函数的性质．[解析]∵f(x)＝sinx ＋cosx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴T＝2π，A 正确；∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＝2sin3π2＝－2，∴f(x)图象关于直线x ＝5π4对称，B 正确；∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π4＝2sin2π＝0，∴C 正确；当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2时x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，74π，f(x)不单调，D 错误，故选D.9．D [命题立意]本题考查分段函数、函数零点．[解析]F(x)＝f(x)－|kx －1|有且只有三个零点等价于y ＝f(x)与y ＝|kx －1|的图象有3个不同交点，画出图象如下图：当k ＝0时，如图1，两图象只有两个交点，不合题意；当k>0时，如图1，y ＝|kx －1|恒过(0，1)与x 轴交于⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，0，当y ＝kx －1与y ＝2x －4x (x>0)相切时，联立消y 得kx2－3x＋4＝0，由Δ＝9－16k ＝0，得k ＝916，由两图象有三个不同交点得0<k<916，当k<0时，如图2，y ＝|kx －1|恒过(0，1)与x 轴交于⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，0，当y ＝－kx ＋1与y ＝2x －4x (x>0)相切时，联立消y 得kx2＋x －4＝0，由Δ＝1＋16k ＝0得k ＝－116，由两图象有三个不同交点得－116<k<0，∴综上－116<k<0或0<k<916，故选D.10.12＋52i [命题立意]本题考查复数的除法运算． [解析]3＋2i 1－i ＝（3＋2i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝3－2＋5i 2＝12＋52i.11．4 [命题立意]本题考查直线与圆的位置关系． [解析]∵圆心(0，0)到直线x ＋2y －5＝0的距离d ＝55＝5，∴|AB|＝29－5＝4.12．－8 [命题立意]本题考查二项展开式的特定项．[解析]⎝⎛⎭⎪⎫3x －2x 4的展开式通项为Tr ＋1＝Cr4(3x)4－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r·Cr4x 4－r 3－r ，令4－r3－r ＝0得r ＝1，∴常数项为(－2)1C14＝－8.13.492 [命题立意]本题考查二项分布． [解析]由题意知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，∴恰好投中两次的概率P(X ＝2)＝C23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝49，E(X)＝3×23＝2.14．4 [命题立意]本题考查基本不等式．[解析]∵a>0，b>0，∴a2＋4b2＋a3b3a2b2≥4ab ＋a3b3a2b2(当且仅当a ＝2b 时等号成立)≥4a2b2a2b2＝4.(当且仅当4ab ＝a3b3即ab ＝2时等号成立)，∴a2＋4b2＋a3b3a2b2的最小值为4.15．1 －116[命题立意]本题考查向量的坐标运算、向量的模、向量的数量积．[解析]∵AE＝1，∠BAC＝60°，AD →·AE →＝12，∴AD＝1，以A 为原点，AB 所在直线为x轴，建立如图平面直角坐标系，则A(0，0)，D(1，0)，B(3，0)，C(1，3)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.因为D 、E 、P 三点共线，∴DP →＝λDE →，设P(x ，y)，则(x －1，y)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，∴x＝1－12λ，y ＝32λ，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12λ，32λ，∴BP →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－12λ，32λ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12λ，32λ－3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12λ12λ＋32λ⎝ ⎛⎭⎪⎫32λ－3＝λ2－λ2＝⎝⎛⎭⎪⎫λ－142－116，当λ＝14时，BP →·CP →取得最小值－116. 16．[命题立意]本题考查正、余弦定理、二倍角公式、两角和的正弦公式．[解题思路](1)由已知利用余弦定理求出cosB ；(2)①由(1)及同角三角函数关系式求出sinB ，利用正弦定理及已知求出sinA ；②由①得cosA ，利用二倍角公式求出sin2A 、cos2A ，代入两角和的正弦公式即可．[解](1)∵3(a－c)2＝3b2－2ac ， ∴3a2－6ac ＋3c2－3b2＝－2ac ，∴a2＋c2－b2＝43ac ，由余弦定理得cosB ＝a2＋c2－b22ac ＝43ac2ac ＝23.(2)①∵5a＝3b ，∴a＝35b ，由(1)知cosB ＝23，∴sinB＝1－cos2B ＝53， 由正弦定理得a sinA ＝bsinB ，∴sinA＝a b sinB ＝35b b ×53＝55，②由①得，cosA ＝1－sin2A ＝255， ∴sin2A＝2sinAcosA ＝2×55×255＝45， ∴cos2A＝cos2A －sin2A ＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝sin2A·cos π6＋cos2A·sin π6＝45×32＋35×12＝43＋310. 17．[命题立意]本题考查线面角、二面角、线面平行．[解题思路](1)建立空间直角坐标系，求出平面ADM 的一个法向量n 和PB →，利用向量法求得线面角的正弦值；(2)OB →为平面AMC 的一个法向量，利用向量法求出二面角的余弦值；再根据同角三角函数关系式求出二面角的正弦值；(3)设OQ ＝h ，写出NQ →，利用NQ →·n＝0求得h 即可．[解]依题意，可以建立以O 为坐标原点，OB ，OC ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，可得，O(0，0，0)，A(0，－2，0)，B(1，0，0)，C(0，2，0)，D(－2，0，0)，P(0，0，2)，M(0，1，1)．(1)依题意可得，AD →＝(－2，2，0)，AM →＝(0，3，1)，设平面ADM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝－2x ＋2y ＝0，n ·AM →＝3y ＋z ＝0，可取n ＝(1，1，－3)，又PB →＝(1，0，－2)， 故cos 〈PB →，n 〉＝PB →·n |PB →||n|＝75555，∴直线PB 与平面ADM 所成角的正弦值为75555；(2)由已知，可得OB⊥平面AMC ，故平面AMC 的一个法向量为OB →＝(1，0，0)． ∴cos〈OB →，n 〉＝OB →·n |OB →|·|n|＝1111，于是有sin 〈OB →，n 〉＝11011，∴二面角D —AM —C 的正弦值为11011. (3)设线段OQ 的长为h(0≤h≤2)，则点Q 的坐标为(0，0，h)，由已知可得点N 的坐标为(－1，0，1)，进而可得NQ →＝(1，0，h －1)， 由NQ∥平面ADM ，故NQ →⊥n， 则NQ →·n＝1－3(h －1)＝0，∴h＝43∈[0，2]，即线段OQ 的长为43.18．[命题立意]本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、向量的数量积．[解题思路](1)由已知列方程组求出a ，b ，写出椭圆方程；(2)将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及PA →·PB →＝－1求出m 值．[解](1)∵椭圆的离心率e ＝c a ＝63.∴不妨设a ＝3t ，c ＝6t(t>0)，∴b2＝a2－c2＝3t2，∵点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，33在椭圆上，∴89t2＋133t2＝1，解得t2＝1，∴椭圆的方程为x29＋y23＝1.(2)设A ，B 的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x29＋y23＝1，得7x2＋62mx ＋3m2－9＝0.∴x1＋x2＝－627m ，x1x2＝3m2－97，Δ＝(62m)2－4×7×(3m2－9)>0， 即0<m2<21，∵PA →·PB →＝－1，∴PA →·PB →＝(x1－22，y1)·(x2－22，y2) ＝3x1x2＋(2m －22)(x1＋x2)＋8＋m2＝3×3m2－97＋(2m －22)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－62m 7＋8＋m2＝4m2＋24m ＋297＝－1，整理得m2＋6m ＋9＝0，解得m ＝－3，满足Δ＞0，故m ＝－3，满足题目条件，所以m ＝－3.19．[命题立意]本题考查等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式、分组求和、错位相减法求和．[解题思路](1)由已知解方程组求出a1、b1和q ，得an ，bn ；(2)由(1)得tn ＝24n －3＋3n·22n－1.对24n －3利用等比数列的前n 项和公式求和，对3n·22n－1利用错位相减法求和．[解](1)数列{an}是公差d 为1的等差数列，且a3＋a4＝a7， 可得2a1＋5d ＝a1＋6d ，即a1＝d ＝1，则an ＝1＋n －1＝n ；设等比数列{bn}的公比为q ，由b2·b4＝b5，4b2－b3＝4， 可得b21·q4＝b1·q4，4b1q －b1q2＝4， 解得b1＝1，q ＝2，则bn ＝2n －1.(2)cn ＝⎩⎪⎨⎪⎧b2m －1，n ＝3m －2，b2m ，n ＝3m －1，am ，n ＝3m ＝⎩⎪⎨⎪⎧22m －2，n ＝3m －222m －1，n ＝3m －1，m ，n ＝3mm∈N*.tn ＝c3n －2c3n －1＋c3n －1c3n ＋c3nc3n ＋1＝22n －2·22n－1＋22n －1·n＋22n·n ＝24n －3＋3n·22n－1，设数列{tn}的前n 项和为Tn ，则Tn ＝(2＋25＋…＋24n －3)＋3(1×2＋2×23＋3×25＋…＋n×22n－1) ＝2（1－16n ）1－16＋3(1×2＋2×23＋3×25＋…＋n×22n－1)设Rn ＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n×22n－1， 4Rn ＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n×22n＋1，两式相减可得－3Rn ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n·22n＋1 ＝2（1－4n ）1－4－n·22n＋1，化简可得Rn ＝29＋22n ＋19(3n －1)，则数列{tn}的前n 项和为Tn ＝2×16n－215＋3Rn ＝815＋22n ＋13(3n －1)＋2×16n15.20．[命题立意]本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、证明不等式．[解题思路](1)对f(x)求导，利用f′(x)的正负判断f(x)的单调性；(2)对g(x)求导，由⎩⎪⎨⎪⎧g′（x0）＝0，g （x0）＝2消去a 得2x0－(lnx0)2－2lnx0－2＝0，构造函数t(x)＝2x －(lnx)2－2lnx －2,对t(x)求导，判单调结合t(1)＝0，求出x0及a ；(3)由(1)得x>1时f(x)>f(1)＝1，从而g′(x)>0得x>1时g(x)>g(1)＝2，即x －1x>lnx ，取x ＝2k ＋12k －1，k∈N*，整理得24k2－1>ln(2k ＋1)－ln(2k －1)，令k ＝1，2，…，n ，得n 个同向不等式，累加即可证得命题成立．[解](1)函数f(x)的定义域(0，＋∞)，f′(x)＝2x －2lnx －2，令h(x)＝2x －2lnx －2，则h′(x)＝2（x －1）x，由h′(x)＝0可得x ＝1，当x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，故当x ＝1时，函数取得极小值也是最小值h(1)＝0.所以h(x)≥0即f′(x)≥0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(2)g(x)的定义域(0，＋∞)，g′(x)＝1－a x2－2lnx x， 由题意可知，g′(x0)＝0即x20－2x0lnx0－a ＝0①，由g(x0)＝2可得x20－x0(lnx0)2－2x0＋a ＝0②，联立①②消去a 可得，2x0－(lnx0)2－2lnx0－2＝0，令t(x)＝2x －(lnx)2－2lnx －2，则t′(x)＝2－2lnx x －2x ＝2（x －lnx －1）x， 由(1)知x －lnx －1≥0，故t′(x)≥0，故t(x)在(0，＋∞)上单调递增，又t(1)＝0，故方程③有唯一的解x0＝1，代入①可得a ＝1， 所以x0＝1，a ＝1；(3)证明：由(1)f(x)＝x2－2xlnx 在(0，＋∞)上单调递增，故当x>1时，f(x)>f(1)＝1，g′(x)＝x2－2xlnx －1x2＝f （x ）－1x2>0 所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此当x>1时，g(x)>g(1)＝2，即x ＋1x －(lnx)2>2，故⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 2>(lnx)2， ∴x －1x >lnx ，取x ＝2k ＋12k －1，k∈N*. 可得2k ＋12k －1－2k －12k ＋1>ln(2k ＋1)－ln(2k －1)． 化简可得，2k ＋12k －1－2k －12k ＋1＝24k2－1，。
2020年天津市初中毕业生学业考试试卷数学与答案
（I）线段 AC 的长等于______；
（II）以 BC 为直径的半圆与边 AC 相交于点 D ，若 P ， Q 分别为边 AC ， BC 上的动点，当 BP PQ 取 得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 P ， Q ，并简要说明点 P ， Q 的位置是如
何找到的（不要求证明）_______．
的坐标是（ ）
A． 6,3
B． 3, 6
C． 0, 6
【解析】答案为 D，根据正方形的定义可得 BC CD 6 ，∴D（6,6）
B． x2 x3 x1
C． x1 x3 x2
D． x3 x1 x2
11．如图，在 ABC 中， ACB 90 ，将 ABC 绕点 C 顺时针旋转得到 DEC ，使点 B 的对应点 E 恰 好落在边 AC 上，点 A 的对应点为 D ，延长 DE 交 AB 于点 F ，则下列结论一定正确的是（ ）
13．计算 x 7x 5x 的结果等于______．
14．计算 ( 7 1)( 7 1) 的结果等于_______．
15．不透明袋子中装有 8 个球，其中有 3 个红球、 5 个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取 出1个球，则它是红球的概率是_______．
16．将直线 y 2x 向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为______．
17．如图， ABCD 的顶点 C 在等边 BEF 的边 BF 上，点 E 在 AB 的延长线上， G 为 DE 的中点，连接 CG ．若 AD 3 ， AB CF 2 ，则 CG 的长为_______．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， ABC 的顶点 A ， C 均落在格点上，点 B 在网格线上， 且 AB 5 ．
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷适应性月考卷理科数学
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷适应性月考卷理科数学创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂址重创作单位： 博恒中英学校第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数2()ln(1)f x x =-的定义域为( )A. (0,)+∞B.(1,)+∞C.(1,1)-D.(,1)(1,)-∞-+∞2.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点（一1，2），则C 的离心率为（ ）A ．5B ．3C 、52 D ．323.已知等差数列｛n a ｝中，1n n a a +<，且37469,10a a a a =+=，则此等差数列的公差d ＝（ ）A 、－4B 、－3C 、－2D 、13-4.已知,*x y N ∈且满足约束条件1225x y x y x -<⎧⎪->⎨⎪<⎩，则x y +的最小值为（ ）A 、6B 、5C 、4D 、35.一个棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则四棱锥侧面中最大侧面的面积是（ ） A 、1 B 3 C 2 D 76.已知平行四边形ABCD 中，点E ，F 满足2AE EC =，3BF FD =，则（ ）A 、151212EF AB AD =- B 、511212EF AB AD =-+ C 、511212EF AB AD =- D 、151212EF AB AD =-+7.已知,*,()2xa b N f x e x ∈=-，则“()()f a f b >”是“a b >”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件 8.已知函数()cos(2)(||)f x x ϕϕπ=+<的图象向右平移12π个单位后得到()sin(2)3g x x π=-的图象，则ϕ的值为（ ）A 、－23π B 、－3π C 、3π D 、23π9.执行如图所示的程序框图，若输入a ＝1，则输出的k ＝（ ） A 、8 B 、9 C 、10 D 、1110.已知三棱锥O ABC -的顶点A ，B ，C 都在半径为2的球面上，O 是球心，0120AOB ∠=，当△AOC ∆与BOC ∆的面积之和最大时，三棱锥O ABC -的体积为( )A 、32 B 、233C 、23D 、1311.已知圆C ：222430x y x y +--+=，若等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则｜PC ｜的最大值为（ ）A 、5B 、6C 、22D 、23 12.已知函数ln |1|,1(),()(2)(2)0,1x x f x g x a x a x a x -≠⎧==+-+⎨=⎩，若()f x 与()g x 同时满足条件：①,()0()0x R f x g x ∀∈>>或；②000(,1],()()0x f x g x ∃∈-∞-<，则实数a 的取值范围是（ ） A 、（－∞，－1）（12，2） B 、（－∞，－1）（0，23）（23，2） C 、（－∞，0）（12，2） D 、（－∞，0）（0，23）（23，2）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知复数(1)(2),z i i =+-则｜z ｜＝.14.若函数23()21x x a f x ⨯+=-是奇函数，则a ＝.15.已知集合A ＝｛（x ，y ）｜221,,x y x y Z +≤∈｝，B ＝｛（x ，y ）｜||2,||3,,x y x y Z ≤≤∈｝，设集合M ＝｛（x 1＋x 2，y 1＋y 2）｜1122(,),(,)x y A x y B ∈∈｝，则集合M 中元素的个数为.16.已知函数f （x ）的定义域为R ，对任意的x ，y 都有()()()2f x y f x f y +=+-，且当x ＞0时，()2f x <，若数列{}n a 满足1(0)a f =，且1()4((1))n n n f a f a n +=---⨯-（ ）*n N ∈，则2015a =.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1a =，A ＝4π，sin()sin()144b Cc B ππ+=++. （I ）求B ，C 的值； （II ）求ABC ∆的面积． 18.（本小题满分12分）如图3，多面体ABCDEF 中，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，已知//AB CD ，AD CD ⊥，2AB =，4CD =，直线BE 与平面ABCD 所成的角的正切值等于22（Ⅰ）求证：平面BCE ⊥平面BDE ；（II ）求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值. 19.（本小题满分12分）为了了解生的体能状况，某校抽取了n 名高一学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中第二小组频数为14． （I ）求频率分布直方图中a 的值及抽取的学生人数n ；（II ）现从跳绳次数在［179.5，199.5］内的学生中随机选取3人，记3人中跳绳次数在［189.5，199.5］内的人数为X ，求X 的分布列和数学期望。
2020届普通高考(天津卷)适应性测试数学试题及答案
【答案】
【解析】写出 的展开式的通项公式，让 的指数为零，求出常数项.
【详解】
因为 的展开式的通项公式为： ，
所以令 ，常数项为 .
【点睛】
本题考查了利用二项式展开式的通项公式求常数项的问题，考查了运算能力.
13．已知某同学投篮投中的概率为 ，现该同学要投篮3次，且每次投篮结果相互独立，则恰投中两次的概率为：_____________；记X为该同学在这3次投篮中投中的次数,则随机变量X的数学期望为____________.
15．如图，在 中， ，D,E分别边AB,AC上的点, 且 ，则 ______________，若P是线段DE上的一个动点，则 的最小值为_________________.
【答案】1
【解析】由 利用数量积公式可求 的值为1，设 的长为 ，则 ， ，利用平面向量的几何运算法则结合数量积的运算法则，可得 ，再利用配方法可得结果
所以 ，
又因为组距等于0.5，
所以t的值为 ，
故选：C.
【点睛】
直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为 ；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.
6．已知 是定义在R上的偶函数且在区间 单调递减，则（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性判断出 ，再利用函数 的单调性与奇偶性可得结果.
【详解】
因为 是定义在R上的偶函数，所以 ，
根据对数函数的单调性可得 ，
根据指数函数的单调性可得 ，
2020年普通高考数学适应性测试试卷(天津卷)
2020年普通高考数学适应性测试试卷（天津卷)一、单选题 (共9题；共18分)1．（2分）已知全集U={−2,−1,0,1,2}，集合A={−2,0,1,2}，B={−1,0,1}，则A∩C U B=（）A．{0,1}B．{−2,2}C．{−2,−1}D．{−2,0,2}2．（2分）设a∈R，则“ a≥2”是“ a2−3a+2≥0”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件3．（2分）函数y=x 2e x的图象大致是（）A．B．C．D．4．（2分）如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的体积是36，点E在棱CC1上，且CE=2EC1，则三棱锥E-BCD的体积是（）A．3B．4C．6D．125．（2分）某市为了解全市居民日常用水量的分布情况，调查了一些居民某年的月均用水量（单位：吨），其频率分布表和频率分布直方图如图，则图中t的值为（）A．0.15B．0.075C．0.3D．15 6．（2分）已知f(x)是定义在R上的偶函数且在区间[0,+∞)单调递减，则（）A．f(log2π)>f(log213)>f(2−π)B．f(log213)>f(2−π)>f(log2π)C．f(2−π)>f(log213)>f(log2π)D．f(2−π)>f(log2π)>f(log213)7．（2分）抛物线x2=2py(p>0)的焦点与双曲线x216−y29=1的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则p的值为（）A．152B．403C．203D．8√738．（2分）已知函数f(x)=sinx+cosx，则下列结论错误的是（）A．f(x)的最小正周期为2πB．y=f(x)的图象关于直线x=5π4对称C．7π4是f(x)的一个零点D．f(x)在区间(π,3π2)单调递减9．（2分）已知函数f(x)={x2+2x,x⩽02x−4x,x>0，若函数F(x)=f(x)−|kx−1|有且只有3个零点，则实数k的取值范围是（）A．(0,916)B．(916,+∞)C．(0,12)D．(−116,0)∪(0,916)二、填空题 (共6题；共8分)10．（1分）i 是虚数单位，复数 3+2i 1−i =. 11．（1分）已知直线 x +2y −5=0 与圆 x 2+y 2=9 交于点A,B 两点，则线段AB 的长为 .12．（1分）在 (√x 3−2x )4的展开式中，常数项是 ．13．（2分）已知某同学投篮投中的概率为 23，现该同学要投篮3次，且每次投篮结果相互独立，则恰投中两次的概率为： ；记X 为该同学在这3次投篮中投中的次数,则随机变量X 的数学期望为 .14．（1分）已知 a >0, b >0 ，则 a 2+4b 2+a 3b 3a 2b2 的最小值为 . 15．（2分）如图，在 △ABC 中， AB =3，AC =2， ∠BAC =60° ，D ，E 分别边AB ，AC 上的点， AE =1 且 AD⇀⋅AE ⇀=12，则 |AD ⇀|= ，若P 是线段DE 上的一个动点，则 BP ⇀⋅CP ⇀ 的最小值为 .三、解答题 (共5题；共60分)16．（10分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知 3(a −c)2=3b 2−2ac（1）（5分）求 cos B 的值 （2）（5分）若 5a =3b （i ）求 sinA 的值（ii ）求 sin(2A +π6) 的值.17．（15分）如图，在四棱锥P 一ABCD 中，已知 AB =BC =√5, AC =4, AD =DC =2√2 ，点Q 为AC 中点， PO ⊥ 底面ABCD, PO =2 ，点M 为PC 的中点.（1）（5分）求直线PB 与平面ADM 所成角的正弦值； （2）（5分）求二面角D-AM-C 的正弦值；（3）（5分）记棱PD 的中点为N ，若点Q 在线段OP 上，且 NQ// 平面ADM ，求线段OQ 的长.18．（10分）已知椭圆 x 2a 2+y 2b2=1 (a >b >0) 的离心率为 √63 ，点 T(2√2,√33) 在椭圆上（1）（5分）求椭圆的方程；（2）（5分）已短直线 y =√2x +m 与椭交于A 、B 两点，点P 的坐标为 (2√2,0) ，且 PA ⇀⋅PB⇀=−1 ,求实数m 的值. 19．（10分）已知数列 {a n } 是公差为1的等差数列，数列 {b n } 是等比数，且 a 3+a 4=a 7 , b 2⋅b 4=b 5 , a 4=4b 2−b 3 数列 {c n } 满足 c n ={b 2m−1,n =3m −2b 2m ,n =3m −1a m ,n =3m 其中 m ∈N ∗ .（1）（5分）求 {a n } 和 {b n } 的通项公式（2）（5分）记 t n =c 3n−2c 3n−1+c 3n−1c 3n +c 3n c 3n+1(n ∈N ∗) ，求数列 {t n } 的前n 项和.20．（15分）已知函数 f(x)=x 2−2xlnx ，函数 g(x)=x +a x−(lnx)2，其中 a ∈R ， x 0 是 g(x) 的一个极值点，且 g(x 0)=2 . （1）（5分）讨论 f(x) 的单调性 （2）（5分）求实数 x 0 和a 的值（3）（5分）证明 ∑1√4k −1nk=1>12ln(2n +1) (n∈N ∗)答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】因为全集 U ={−2,−1,0,1,2} ， B ={−1,0,1} ，所以 C U B ={−2,2} ， 又因为集合 A ={−2,0,1,2} ， 所以 A ∩C U B = {−2,2} . 故答案为：B.【分析】先利用补集的定义求出 C U B ，再利用交集的定义可得结果.2．【答案】A【解析】【解答】“ a 2−3a +2≥0 ”等价于 “ a ≤1 或 a ≥2 ”，“ a ≥2 ”能推出“ a ≤1 或 a ≥2 ”，而“ a ≤1 或 a ≥2 ”不能推出“ a ≥2 ”， 所以“ a ≥2 ”是“ a 2−3a +2≥0 ”的充分非必要条件， 故答案为：A.【分析】利用一元二次不等式的解法化简 a 2−3a +2≥0 ，再由充分条件与必要条件的定义可得结果.3．【答案】A【解析】【解答】因为 y =x 2e x ，所以 y′=2x−x2e x， 令 y′=0 可得， x =0,x =2 ，即函数有且仅有两个极值点，可排除选项C 、D ；又因为函数 y =x 2e x 即不是奇函数，又不是偶函数，可排除选项B ，故答案为：A.【分析】根据函数有两个极值点，可排除选项C 、D ；利用奇偶性可排除选项B ，进而可得结果.4．【答案】B【解析】【解答】因为长方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的体积是36，点E 在棱 CC 1 上，且 CE =2EC 1 ，所以 BC ⋅CD ⋅CC 1=36 ，三棱锥E-BCD 的体积是 13×(12×BC ⋅CD)⋅EC=13×(12×BC ⋅CD)⋅23CC 1=19BC ⋅CD ⋅CC 1=19×36=4 故答案为：B.【分析】由锥体的体积公式可得三棱锥的体积为19BC⋅CD⋅CC1，结合长方体ABCD−A1B1C1D1的体积是36可得结果.5．【答案】C【解析】【解答】因为0.04+0.08+ a+0.22+0.25+0.14+0.06+0.04+0.02=1，所以a=0.15，又因为组距等于0.5，所以t的值为0.150.5=0.3，故答案为：C.【分析】由频率和为1可求得a=0.15，再除以组距即可得结果.6．【答案】C【解析】【解答】因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(log213)=f(−log23)=f(log23)，根据对数函数的单调性可得log2π>log23>log22=1，根据指数函数的单调性可得0<2−π<20=1，所以log2π>log23>2−π，因为f(x)在区间[0,+∞)单调递减，所以f(2−π)>f(log23)>f(log2π)，即f(2−π)>f(log213)>f(log2π)故答案为：C.【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性判断出log2π>log23>2−π，再利用函数f(x)的单调性与奇偶性可得结果. 7．【答案】B【解析】【解答】抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F(0,p2)，双曲线x216−y29=1的右焦点为F1(5,0)，所以k FF1=−p10，又因为双曲线的渐近线为y=±34x，所以k FF1=−p10×34=−1⇒p=403，故答案为：B.【分析】先求出抛物线x2=2py(p>0)的焦点与双曲线x216−y29=1的右焦点，再利用直线垂直斜率相乘等于-1可得结果.8．【答案】D【解析】【解答】f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4 )，对于A，f(x)的最小正周期为2π1=2π，正确；对于B，x=5π4时，y=−1为最小值，y=f(x)的图象关于直线x=5π4对称，正确；对于C，x=7π4时，y=0，7π4是f(x)的一个零点，正确；对于D，f(x)在区间(π,3π2)上不是单调函数，错误，故答案为：D.【分析】利用辅助角公式化简f(x)=√2sin(x+π4)，再利用正弦函数的周期性、对称性、单调性以及函数零点的定义逐一判断即可. 9．【答案】D【解析】【解答】k>0时，y=kx−1过(0,−1)，设y=kx−1与y=2x−4x (x>0)切于(x1,2x1−4x1)，因为y′=4x2，∴k=4x12，则2x1−4x1+1x1−0=4x12⇒x1=83,k=916,画出 f(x) 的图象，由图可知，当 k ∈(0,916) 时， y =f(x) 与 y =|kx −1| 有三个交点k <0 时， y =|kx −1|=y =|−kx +1| ， y =−kx +1 过 (0,1) ， 设 y =−kx +1 与 y =2x−4x (x >0) 切于 (x 2,2x 2−4x 2) ，因为 y′=4x 2 ，所以 −k =4x 22 ， 可得 2x 2−4x 2−1x 2−0=4x 22⇒x 2=8⇒−k =116⇒k =−116 ，画出 f(x) 的图象，由图可知，当 −k ∈(0,116) ，即 k ∈(−116,0) 时， y =f(x) 与 y =|kx −1| 有三个交点，综上可得， k ∈(−116,0)∪(0,916) 时， y =f(x) 与 y =|kx −1| 有三个交点，即 F(x)=f(x)−|kx −1| 有三个零点. 故答案为：D.【分析】画出函数图象，分两种情况讨论，分别求出直线与曲线 y =2x−4x(x >0) 相切时的斜率，结合函数图象的交点个数，即可判断函数 F(x)=f(x)−|kx −1| 有且只有3个零点时实数k 的取值范围.10．【答案】12+52i【解析】【解答】 3+2i 1−i =(3+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=1+5i2= 12+52i ，故答案为： 12+52i .【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简求解即可.11．【答案】4【解析】【解答】因为 x 2+y 2=9 的圆心为 (0,0) ，半径 r =3 ，(0,0) 到直线 x +2y −5=0 的距离 d =|−5|√1+4=√5 ， 所以线段AB 的长为 2√9−5=4 ， 故答案为：4.【分析】求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式，结合勾股定理可得结果.12．【答案】−8【解析】【解答】因为 (√x 3−2x )4的展开式的通项公式为： T r+1=C 4r (√x 3)4−r⋅(−2x )r =C 4r ⋅(−2)r ⋅x 4−4r 3，所以令 4−4r 3=0⇒r =1 ，常数项为 C 41⋅(−2)1=−8 . 【分析】写出 (√x 3−2x )4的展开式的通项公式，让 x 的指数为零，求出常数项. 13．【答案】49；2【解析】【解答】由独立重复试验的概率公式可得，恰投中两次的概率为 C 32(23)2(13)=49； X 可取0，1，2，3，P(X =0)=C 30(23)°(13)3=127 ；P(X =1)=C 31(23)(13)2=29P(X =2)=C 32(23)2(13)=49P(X =3)=C 33(23)3(13)0=827则随机变量 X~B(3,23) ，所以 EX =np =3×23=2 ，故答案为： 49,2 .【分析】由独立重复试验的概率公式可得恰投中两次的概率；分析题意可得随机变量 X~B(3,23) ，利用二项分布的期望公式可得结果.14．【答案】4【解析】【解答】 a 2+4b 2+a 3b 3a 2b 2=1b2+4a 2+ab ≥2√1b2×4a 2+ab =4ab +ab ≥2√4ab ×ab =4 ，当且仅当 {1b2=4a 24ab =ab ，即 {a =2b =1 等号成立， 所以， a 2+4b 2+a 3b 3a 2b2 的最小值为4， 故答案为：4.【分析】化简原式为 1b 2+4a 2+ab ，两次运用基本不等式可得结果.15．【答案】1；−116【解析】【解答】 ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos60∘=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |×1×12=12 ， ∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ； 又因为 AE =1 且 ∠BAC =60° ， ∴ ΔADE 为正三角形，∴DE =1=AD =AE ， ∠BDP =∠CEP =120∘ ， BD =2，EC =1 ， 设 DP 的长为 x （ 0≤x ≤1 ），则 PE =1−x ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EP ⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EP⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1×12+2(1−x)(−12)+x ⋅1⋅(−12)+x(1−x)(−1) =x 2−x 2=(x −14)2−116≥−116， x =14 时取等号，∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 −116 . 故答案为：1， −116. 【分析】由 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12 利用数量积公式可求 |AD ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的值为1，设 DP 的长为 x ，则 PE =1−x ， BD =2，EC =1 ，利用平面向量的几何运算法则结合数量积的运算法则，可得 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−x2 ，再利用配方法可得结果16．【答案】（1）解：在 ΔABC 中，由 3(a −c)2=3b 2−2ac ，整理得 a 2+c 2−b 22ac =23，又由余弦定理，可得 cosB =23；（2）解：（i ）由（1）可得 sinB =√53 ，又由正弦定理 a sinA =b sinB ，及已知 5a =3b ，可得 sinA =asinB b =35×√53=√55；（ii ）由（i ）可得 cos2A =1−2sin 2A =35 ，由已知 5a =3b ，可得 a <b ，故有 A <B ，∴A 为锐角，故由 sinA =√55 ，可得 cosA =2√55 ，从而有 sin2A =2sinAcosA =45 ,∴sin(2A +π6)=sin2Acos π6+cos2Asin π6=45×√32+35×12=4√3+310 .【解析】【分析】（1）化简原式，直接利用余弦定理求 cos B 的值即可；（2）（i ）由（1）可得sinB =√53 ，再利用正弦定理求 sinA 的值；（ii ）利用二倍角的余弦公式求得 sinA =√55，可得 cosA =2√55 ，再由二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式可得结果.17．【答案】（1）解：依题意，以O 为原点，分别以向量 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向，可以建立空间直角坐标系（如图），可得 O(0,0,0),A(0,−2,0),B(1,0,0),C(0,2,0) ， D(−2,0,0), P(0,0,2), M(0,1,1) .依题意，可得 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0), AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,1) ， 设 n ⃗ =(x,y,z) 为平面ADM 的法向量，则 {n ⇀⋅AD ⇀=0n ⇀⋅AM⇀=0 ， 即 {−2x +2y =03y +z =0 ，不妨设 y =1 ，可得 n ⃗ =(1,1,−3) ， 又 PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−2) ， 故 cos〈PB⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗ |PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=7√5555 ， ∴ 直线PB 与平面ADM 所成角的正弦值为 7√5555（2）解：由已知可得 OB ⊥AC,OB ⊥PO ， 所以 OB ⊥ 平面 AMC ，故 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面 AMC 的一个法向量， 依题意可得 OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0) ， 因此有 cos〈OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√1111 ，于是有 sin〈OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=√11011， ∴ 二面角D-AM-C 的正弦值 √11011（3）解：设线段OQ 的长为 ℎ(0≤ℎ≤2) ，则点Q 的坐标为 (0,0,ℎ) ， 由已知可得点N 的坐标为 (−1,0,1) ，进而可得 NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,ℎ−1) ， 由 NQ// 平面ADM ，故 NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ,∴NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0 ， 即 1−3(ℎ−1)=0 ，解得 ℎ=43∈[0,2] ， ∴ 线段OQ 的长为 43.【解析】【分析】以O 为原点，分别以向量 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向，可以建立空间直角坐标系，（1）求出直线PB 的方向向量，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面ADM 的法向量，可求直线PB 与平面ADM 所成角的正弦值；（2）由已知可得 OB ⊥ 平面 AMC ，故 OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面 AMC 的一个法向量，结合（1）中平面ADM 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可求二面角D-AM-C 的余弦值，从而可得正弦值；（3）设线段OQ 的长为 ℎ(0≤ℎ≤2) ，则点Q 的坐标为 (0,0,ℎ) ，由已知可得点N 的坐标为 (−1,0,1) ，利用直线 NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与平面的法向量数量积为零列方程求解即可.18．【答案】（1）解：设椭圆的焦距为 2c ，由已知有 c 2a2=23 ，又由 a 2=b 2+c 2 ，可得 a 2=3b 2 ，由点 T(2√2,√33) 在椭圆上，有 8a 2+13b 2=1 ，由此可得 a 2=9,b 2=3 ， ∴ 椭圆的方程为 x 29+y 23=1（2）解：设点A 的坐标 (x 1,y 1) ，点B 的坐标 (x 2,y 2) ,由方程组 {y =√2x +mx 29+y 23=1，消去y ，整理可得 7x 2+6√2mx +3m 2−9=0 ，① 由求根公式可得 x 1+x 2=−6√2m 7,x 1x 2=3m 2−97，②由点P 的坐标为 (2√2,0) ，可得 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2√2,y 1),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−2√2,y 2) ， 故 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2√2)(x 2−2√2)+y 1y 2=x 1x 2−2√2(x 1+x 2)+8+y 1y 2 ，③ 又 ∵y 1=√2x 1+m,y 2=√2x 2+m ， ∴y 1y 2=2x 1x 2+√2m(x 1+x 2)+m 2 ， 代入上式可得 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x 1x 2+(√2m −2√2)(x 1+x 2)+m 2+8 ，由已知 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1 ，以及②，可得 3(3m 2−9)7+(√2m−2√2)(−6√2m)7+m 2+8=−1 ，整理得 m 2+6m +9=0 ，解得 m =−3 ，这时，①的判别式 Δ=−12m 2+252=144>0 ，故 m =−3 满足题目条件， ∴m =−3 .【解析】【分析】（1）根据题意，结合性质 a 2=b 2+c 2 ，列出关于 a 、 b 、 c 的方程组，求出 a 、 b ，即可得椭圆的方程；（2）直线与曲线联立，根据韦达定理，利用平面向量数量积公式，结合条件 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1 列方程求解即可.19．【答案】（1）解：设数列 {a n } 的公差为d ，数列 {b n } 的公比为q ，则 d =1 ，由 a 3+a 4=a 7 ，可得 a 1=d =1 ，由 b 2⋅b 4=b 5 ，可得 b 12⋅q 4=b 1⋅q 4 ，又 ∵b 1≠0,q ≠0 ，故可得 b 1=1 ，再由 a 4=4b 2−b 3 ，可得 q 2−4q +4=0 ，解得 q =2 ， ∴a n =n,b n =2n−1(n ∈N ∗) ；（2）解： c n ={22m−2,n =3m −222m−1,n =3m −1m,n =3m ，其中 n ∈N ∗ ，∴t n =22n−2⋅22n−1+22n−1⋅n +n ⋅22n =24n−3+3n ⋅22n−1 ， 记 T n =∑t k n k=1,A n =∑24k−3n k=1, B n =∑n k=1k ⋅22k−1 ，则 A n =2×(1−24n )1−24=2(16n−1)15=215×16n −215， B n =1×2+2×8+3×32+⋯+n ×22n−1 ，①故有 4B n =1×8+2×32+⋯+(n −1)×22n−1+n ×22n+1 ，② ①-②可得 −3B n =2+8+32+⋯+22n−1−n ×22n+1=2(1−4n )1−4−n ×22n+1 =2−6n 3×4n −23 ，由此可得 3B n =6n−23×4n +23， 由 T n =A n +3B n ，故可得 T n =215×16n +6n−23×4n+815. 【解析】【分析】（1）利用 a 3+a 4=a 1 , b 2⋅b 4=b 5 , a 4=4b 2−b 3 列方程求出，等差数列的首项、等比数列的首项与公比，从而可得结果；（2）先根据 c n ={b 2m−1,n =3m −2b 2m ,n =3m −1a m ,n =3m 得 t n =22n−2⋅22n−1+22n−1⋅n +n ⋅22n =24n−3+3n ⋅22n−1 ，再根据分组求和与错位相减求和法，结合等比数列的求和公式可得结果.20．【答案】（1）解：由已知可得函数 f(x) 的定义域为 (0,+∞) ，且 f ′(x)=2x −2lnx −2 ，令 ℎ(x)=f′(x) ，则有 ℎ′(x)=2(x−1)x，由 ℎ′(x)=0 ，可得 x =1 ， 可知当x 变化时， ℎ′(x),ℎ(x) 的变化情况如下表：∴ℎ(x)≥ℎ(1)=0 ，即 f′(x)≥0 ，可得 f(x) 在区间 (0,+∞) 单调递增（2）解：由已知可得函数 g(x) 的定义域为 (0,+∞) ，且 g ′(x)=1−a x2−2lnxx ，由已知得 g′(x)=0 ，即 x 02−2x 0lnx 0−a =0 ，①由 g(x 0)=2 可得， x 02−x 0(lnx 0)2−2x 0+a =0 ，②联立①②，消去a ，可得 2x 0−(lnx 0)2−2lnx 0−2=0 ，③令 t(x)=2x −(lnx)2−2lnx −2 ，则 t′(x)=2−2lnx x −2x =2(x−lnx−1)x ，由（1）知， x −lnx −1≥0 ，故 t′(x)≥0 ， ∴t(x) 在区间 (0,+∞) 单调递增， 注意到 t(1)=0 ，所以方程③有唯一解 x 0=1 ，代入①，可得 a =1 ， ∴x 0=1,a =1 ；（3）证明：由（1）知 f(x)=x 2−2xlnx 在区间 (0,+∞) 单调递增，故当 x ∈(1,+∞) 时， f(x)>f(1)=1 ， g ′(x)=x 2−2xlnx−1x 2=f(x)−1x 2>0 ，可得 g(x) 在区间 (1,+∞) 单调递增，因此，当 x >1 时， g(x)>g(1)=2 ，即 x +1x −(lnx)2>2 ，亦即 (√x 1√x)2>(lnx)2 ，这时 √x 1√x >0,lnx >0，故可得 √x 1√x >lnx ，取 x =2k+12k−1,k ∈N ∗ ， 可得 √2k+12k−1−√2k−12k+1>ln(2k +1)−ln(2k −1) ，而 √2k+12k−1−√2k−12k+1=2√4k −1， 故 ∑2√4k −1nk=1>∑(ln(nk=12k +1)−ln(2k −1))=ln(2π+1)∴∑1√4k −1ni=1>12ln(2x +1)( n ∈N ∗) .【解析】【分析】（1）求出 f′(x) ，在定义域内，再次求导，可得在区间 (0,+∞) 上 f′(x)≥0 恒成立，从而可得结论；（2）由 g′(x)=0 ，可得 x 02−2x 0lnx 0−a =0 ，由 g(x 0)=2 可得 x 02−x 0(lnx 0)2−2x 0+a =0 ，联立解方程组可得结果；（3）由（1）知 f(x)=x 2−2xlnx 在区间 (0,+∞) 单调递增，可证明 √x −1√x >lnx，取 x =2k+12k−1,k ∈N ∗ ，可得 √2k+12k−1−√2k−1√2k+1>ln(2k +1)−ln(2k −1) ，而 √2k+12k−1−√2k−12k+1=2√4k −1，利用裂项相消法，结合放缩法可得结果.。
天津市2020年【数学真题】初中学业水平考试卷(含解析)汇编版
∴ 4 22 5 ．
故选：B
【点睛】本题主要考查了无理数的估算,解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
2x y 4
7.方程组
x
y
1
的解是（
）
精品资源·备战中考
中考真题·真金试炼
x 1
A.
y
2
x 3
B.
y
2
x 2
C.
y
0
x 3
D.
y
1
【答案】A
【解析】
【分析】
利用加减消元法解出 x, y 的值即可．
4.在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形．下面 4 个汉字中,可以看作是轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】 【分析】 根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、是轴对称图形； D、不是轴对称图形； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的 知识,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重 合．
中考真题·真金试炼
『中考真题·真金试炼』
精品资源·备战中考
中考真题·真金试炼
2020 年天津市初中毕业生学业考试试卷
数学
一、选择题（本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分．在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的）
1.计算 30 20的结果等于（ ）
A. 10
B. 10
C. 50
故选：D． 【点睛】本题主要考查了三视图,关键是把握好三视图所看的 方向．
6.估计 22 的值在（ ）
A. 3 和 4 之间
B. 4 和 5 之间
2020年天津市学业水平等级考适应性测试
2020年天津市学业水平等级考适应性测试生物学本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时60分钟。
第I卷1至5页，第Ⅱ卷6至10页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1.每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共12题，每题4分，共48分。
在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
1.在下列细胞中，有氧呼吸的场所有别于其他细胞的是A.醋酸菌细胞B.酵母菌细胞C.叶肉细胞D.肝脏细胞2.纤维素分子水解成葡萄糖需三类酶协同催化。
下表信息体现出酶的催化特性是种类作用部位作用化学健葡聚糖内切酶纤维素分子内部β-1，4糖苷健葡聚糖外切酶纤维素分子非还原端β-1，4糖苷健β-葡萄糖苷酶纤维素二糖B-1，4糖苷健A.专一性B.高效性C.多样性D.作用条件温和3.一个蜜蜂蜂群含有蜂王、工蜂和雄蜂等不同个体。
下列叙述正确的是A.蜂群中的所有蜜蜂是一个群落B.蜂群中的所有工蜂是一个种群C.蜂群中的工蜂与蜂王为寄生关系D.工蜂觅食过程通过舞蹈传递行为信息4.下图能正确表示某真核细胞在一次细胞分裂过程中单个细胞着丝点数目变化的是5.生物膜的结构与功能存在密切的联系。
下列有关叙述正确的是A.叶绿体的类囊体膜上存在催化ATP水解的酶B.溶酶体膜破裂后释放的水解酶活性会发生改变C.核膜上的核孔对物质进出细胞核没有选择性D.线粒体外膜上与呼吸作用有关的酶催化水的合成6.为进行遗传规律的模拟实验，用四个圆桶分别代表四个亲本的生殖器官，每桶内有20个乒乓球（如下图所示），每个球代表一个配子，D和d表示一对等位基因。
某同学分别从两个桶内各抓取一球，记录字母组合形成子代个体的基因型，多次重复，统计结果。
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[2.5,3)
14
0.14
[3,3.5)
6
0.06
数学（天津卷）
第2页共6页
[3.5,4)
4
0.04
[4,4.5)
2
0.02
合计
100
1.00
A．0.15
B．0.075
C．0.3
D．15
6．已知 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 [0, ) 单调递增则 ( )
A．
f (log2 )
2020 年普通高考（天津卷）适应性测试
数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 3 至 6 页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时， 考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
·如果事件 A 、 B 相互独立，那么 P( AB) P( A)P(B) ． ·圆柱的体积公式V Sh ，其中 S 表示圆柱的底面面积， h 表示圆柱的高． ·棱锥的体积公式V 1 Sh ，其中 S 表示棱锥的底面面积， h 表示棱锥的高．
3
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷
注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其他答案标号。 2．本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。 参考公式：
·如果事件 A 、 B 互斥，那么 P( A B) P( A) P(B) ．
；记 X 为该同学在这 3 次投篮中投中的次数，则随机变量 X 的数学期望
为
．
14．已知
a
0，b
0
，则
a2
4b2 a2b2
a3b3
的最小值为
．
15．如图，在 ABC 中， AB 3 ， AC 2 ， BAC 60 ， D ， E 分别是边 AB ， AC 的中点， AE 1 ，
19．（本题满分 15 分） 已知数列 {an} 是公差为 1 的等差数列，数列 {bn} 是等比数列，且 a3 a4 a7 ，b2 b4 b5 ，a4 4b2 b3 ，
数列 {cn} 满足： cn = bb22mm,1, am ,
n 3m 2 n 3m 1 ，其中 m N * ． n 3m
（Ⅰ）求数列 {an} ，{bn} 的通项公式；
（Ⅱ）记 tn c c 3n2 3n1 c3n1c3n c3nc3n1(n N * ) ，求数列 {tn} 的前 n 项和．
20．（本题满分 15 分）
已知函数
f
(x)
x2
2x ln
x ，函数
g(x)
x
a x
(ln
x)2
(log2
1) 3
f (2 )
B．
f (log2
1) f (2 ) 3
f (log2 )
C．
f (2 )
f
(log2
1) 3
f
(log2 )
D．
f (2 )
f (log2 )
f (log2
1) 3
7．抛物线 x2 2 py( p 0) 的焦点与双曲线 x2 y2 1的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则 p 的 16 9
1．已知全集U {2 ，1 ，0，1，2} ，集合 A {2 ，0，1，2} ，B {1，0，1} ，则集合 AðU B (
)
A． 0,1
B． 2, 2
C． 2, 1
D． 2,0, 2
2．设 a R ，则“ a 2 ”是“ a2 3a 2 0 ”的 ( )
A．3
B．4
C．6
D．12
5．某市为了解全市居民日常用水量的分布情况，调查了一些居民某年的月均 用水量（单位：吨），其频率分布表和频率分别直方图如下：则图中 t 的值为 ( )
分组
频数
频率
[0,0.5)
4
0.04
[0.5,1)
5
0.08
[1,1.5)
15
a
[1.5,2)
22
0.22
[2,2.5)
m
0.25
f
(x)
在区间
，3 2
单调递减
9．已知函数
f
(x)
x2 2x
x
2x, x 4,x
0 0
，若函数
F (x)
f
(x)
kx
1
有且只有
3
个零点，则实数 k
的取值范
围( )
A．
0,
9 16
B．
9 16
,
C．
0,
数学（天津卷）
第5页共6页
18．（本题满分 15 分）
已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的离心率为
6 3
，点
T
2
2,
3 3
在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知直线 y 2x m 与椭圆交于 A ， B 两点，点 P 的坐标为 2 2, 0 ，且 PA PB 1 ，求实数 m 的值．
值为 ( )
A． 5 2
B． 40 3
C． 20 3
8．已知函数 f (x) sin x cos x 下列结论错．误．的是 ( )
D． 8 7 3
A． f (x) 的最小正周期为 2
B． y f (x) 的图象关于直线 x 5 对称 4
C． 7 是 f (x) 的一个零点 4
D．
．
1i
11．已知直线 x 2y 5 0 与圆 x2 y2 9 相交于 A ， B 两点．则线段 AB 的长为
．
12．
3
x
2 x
4
的展开式中，常数项是
．
13．已知某同学投篮投中的概率为 2 ，现该同学要投篮 3 次，且每次投篮结果互相独立，则恰投中两次的 3
概率为
1 2
D．
1 16
,
0
0, 9 16
数学（天津卷）
第3页共6页
2020 年普通高考（天津卷）适应性测试
数学
第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2．本卷共 11 小题，共 105 分。 二．填空题（共 6 小题）
10． i 是虚数单位，复数 3 2i
且
AD
AE
1
，则
AD
=
，若 P 是线段 DE 上的一个动点，则 BP CP 的最小值为
．
2
数学（天津卷）
第4页共6页
三．解答题（共 5 小题） 16．（本题满分 14 分） 在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ．已知 3(a c)2 3b2 2ac ．
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
3．函数
y
x2 ex
的图象大致是 (
D．既非充分也非必要条件
)
数学（天津卷）
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4．如图，长方体 ABCD A1B1C1D1 的体积为 36，E 为棱 CC1 上的点，且 CE 2EC1 ， 则三棱锥 E BCD 的体积是 ( )
（Ⅰ）求 cos B 的值； （Ⅱ）若 5a 3b ，
（i）求 sin A 的值；
（ii）求 sin(2A ) 的值． 6
17．（本题满分 15 分） 如图，已知在四棱锥 P ABCD 中，已知 AB BC 5 ， AC 4 ， AD DC 2 2 ，点 O 为 AC 的中点， PO 底面 ABCD ， PO 2 ，点 M 为棱 PC 的中点． （Ⅰ）求直线 PB 与平面 ADM 所成角的正弦值； （Ⅱ）求二面角 D AM C 的正弦值； （Ⅲ）记棱 PD 的中点 N 为，若点 Q 在线段 OP 上，且 NQ //平面 ADM ，求线段 OQ 的长．
，其中
aR
，x0
是
g(x) 的一个极值点，且
g(x0 )=2
．
（Ⅰ）讨论函数 f (x) 的单调性；
（Ⅱ）求实数 x0 和 a 的值；
n
（Ⅲ）证明
1 1 ln(2n 1) (n N*) ．
k1 4k 2 1 2
数学（天津卷）
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