三角函数专题二
高考数学二轮复习 专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质 理-
专题二 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲 三角函数的图象与性质1．角的概念．(1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”)． (2)确定角α所在的象限，只要把角α表示为α＝2k π＋α0[k ∈Z，α0∈[0，2π)]，判断出α0所在的象限，即为α所在象限．2．诱导公式．诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据，其记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.2．同角三角函数的基本关系． (1)sin 2α＋cos 2α＝1. (2)tan α＝sin αcos α．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√)(4)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．(√) (5)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．(×) (6)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×)1．(2015·某某卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于(D )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512解析：解法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－（－513）2＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512. 解法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．已知α的终边经过点A (5a ，－12a )，其中a ＜0，则sin α的值为(B ) A ．－1213 B.1213 C.513 D ．－5133．(2014·新课标Ⅰ卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为(A ) A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③解析：①中函数是一个偶函数，其周期与y ＝cos 2x 相同，T ＝2π2＝π；②中函数y ＝|cos x |的周期是函数y ＝cos x 周期的一半，即T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.故选A.4．(2015·某某卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(π6x ＋φ)＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(C )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.一、选择题1．若sin(α－π)＝35，α为第四象限角，则tan α＝(A )A ．－34B ．－43C.34D.43 解析：∵sin(α－π)＝35，∴－sin α＝35，sin α＝－35.又∵α为第四象限角， ∴cos α＝ 1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－3545＝－34.2. 定义在R 上的周期函数f (x )，周期T ＝2，直线x ＝2是它的图象的一条对称轴，且f (x )在[－3，－2]上是减函数，如果A ，B 是锐角三角形的两个内角，则(A )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (cos B )>f (sin A )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos B )>f (cos A )解析：由题意知：周期函数f (x )在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数．又因为A ，B 是锐角三角形的两个内角，A ＋B >π2，得：sin A >cos B ，故f (sin A )>f (cos B )．综上知选A.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为(A )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：用五点作图法画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的图象，注意0≤x ≤9知，函数的最大值为2，最小值为－ 3.故选A.4. 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是(A )解析：y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的解析式为y ＝cos (x ＋1)．故选A.5．(2015·新课标Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为(D )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象(部分)如图所示，则f (x )的解析式是(A )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π6(x ∈R)C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3(x ∈R) 解析：由图象可知其周期为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13＝2，∵2πω＝2，得ω＝π，故只可能在A ，C 中选一个，又因为x ＝13时达到最大值，用待定系数法知φ＝π6.二、填空题7．若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝－35．8．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝－45．解析：由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.三、解答题9. (2014·某某卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．分析：思路一 直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.思路二 先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.解析：解法一 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.解法二 因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.10．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3, 其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；word(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值． 解析：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期为 T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3. ∴α－π6＝π6，故α＝π3. 11．(2015·卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解析：(1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.。
高一数学三角函数章节复习2(教师版)
学科教师辅导讲义()22sin 1y x y ψ-=+，应用()sin 1x ψ-≤，解得3333y -≤≤，又0x π<<，则303y <≤，故欲求函数的最大值为33。
【解法二】设tan2x t =，则原函数变成223t y t=+，得()22300yt t y y -+=>，利用判别式24120y =-≥V ，即231y ≤，又0y >，解得303y <≤，故y 的最大值为33此时13t y ==，即2tan 3,23x x π== 【点拨】上述所给出的两种解法，均体现了一种转化与化归的数学思想方法，实际上，也给出了对求形如sin cos a x by c x d+=+值域的两种通法，另外，若以后学过《解析几何》之后，利用斜率的概念，还可以给出本题的另外一种数形结合的解题方法。
2、数形结合思想数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考察的思想，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究，简言之“数形互相取长补短”。
例2、定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =+，当[]3,5x ∈时，()24f x x =--，则（ ） A 、sincos 66f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B 、()()sin1cos1f f > C 、22cossin 33f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D 、()()cos2sin 2f f > 【分析】由()()2f x f x =+知()f x 是以2T =为周期的函数，又Q []3,5x ∈时，()24f x x =--，可知，当[]3,4x ∈，()2f x x =-；当(]4,5x ∈时，()6f x x =-+，如第一个图所示，知()f x 在[]1,0-上是增函数，在[]0,1上是减函数，由第二个图可知0cos2sin 2<<【答案】D。
专题二 微重点6 三角函数中ω,φ的范围问题
P0，12，现将 y＝f(x)的图象向左平移π3个单位长度得到的函数图象也过
点 P，则
√A.ω 的最小值为 2
B.ω 的最小值为 6
C.ω 的最大值为 2
D.ω 的最大值为 6
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依题意 f(0)＝sin φ＝12，0<φ<π2，φ＝π6， f(x)＝sinωx＋π6的图象向左平移π3个单位长度得到 g(x)＝sinωx＋π3＋π6＝sinωx＋π3ω＋π6，g(0)＝sinπ3ω＋π6＝12， 所以π3ω＋π6＝2k1π＋π6或π3ω＋π6＝2k2π＋56π， 即ω＝6k1或ω＝6k2＋2，其中k1，k2∈Z， 由于ω>0，所以ω的最小值为2.
跟踪演练3 (2022·湛江模拟)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|≤π2，f π3＋x
＝f π3－x，f －π3＝0，且 f(x)在区间1π0，π2上有且只有一个极大值点，
33 则 ω 的最大值为__4___.
由题意知，－π3ω＋φ＝k1π， π3ω＋φ＝k2π＋π2，
k1，k2∈Z，
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若 x∈(0,2π)，则 ωx＋π6∈π6，2ωπ＋π6. 设 t＝ωx＋π6，则 t∈π6，2ωπ＋π6， 因为 2ωπ＋π6∈π6，176π， 所以函数 y＝sin t 在π6，2ωπ＋π6上的零点最多有 2 个. 所以f(x)在(0,2π)上的零点最多有2个.
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4.(2022·萍乡模拟)设函数 f(x)＝sin2x＋π4在区间a，a＋π3上的最大值为
M，最小值为 m，则 M－m 的最小值为
A.
2 2
√B.12
C.1－
2 2
2－1 D. 2
专题二 三角函数与平面向量的综合应用
的参数 A，ω ，φ，从图象的特征上寻找答案，A 主要由最值 确定，ω 是由周期确定，周期通过特殊点观察求得，如相邻 两个最大、最小值点相差半个周期，φ 可由点在函数图象上 求得，确定 φ 值时，注意它的不惟一性．如果函数的最大值 与最小值不互为相反数，说明解析式为 y＝Asin( ω x＋φ)＋k 的形式．设最大值为 m，最小值为 n，则 A＋k＝m，－A＋k m－n m＋n ＝n，从而 A＝ 2 ，k＝ 2 .
π 由图象最高点为 ， 3得 6
(2)由 (1)知，函数的最小值为－ 3； π π π 由 2x＋ ＝2kπ－ ，k∈Z，得 x＝kπ－ ，k∈ Z， 6 2 3 π ∴函数取得最小值时自变量 x 的集合为x|x＝kπ－ ， k∈ Z. 3
探究提高
确定函数关系式 y＝Asin( ω x＋φ)就是确定其中
题型分类 深度剖析
题型一 三角函数的化简求值问题 3 1 1 例1 求 2 － 2 · 的值． sin 140° cos 140° 2sin 10°
思维启迪 从角、函数名称、式子结构入手找其
特征，构造“相消”、“约分”或构造特殊角．
3cos2140° － sin2140° 1 解 原式＝ · sin2140° cos2140° 2sin 10° 3cos240° － sin240° 1 ＝ · sin240° cos240° 2sin 10° ( 3cos 40° － sin 40° )( 3cos 40° ＋ sin 40° ) 1 ＝ · 1 2 2sin 10° sin 80° 4 2sin(60° － 40° )· 2sin(60° ＋ 40° ) 1 ＝ · 1 2 2sin 10° cos 10° 4 8sin 20° sin 100° 16sin 10° · cos210° ＝ ＝ ＝ 16. cos210° · sin 10° cos210° · sin 10° π 探究提高 若 α＋β＝π，则 sin α＝sin β；若 α＋β＝2，
专题2 三角函数压轴小题(原卷版)
专题2 三角函数压轴小题一、单选题1．已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2b aC a-=，则sin sin B A +的取值范围是（ ） A ．332⎫⎪⎪⎝⎭B ．(3⎤⎦C ．32,2⎫⎪⎭D ．832,⎦2．已知正实数C 满足：对于任意θ，均存在,,0255i j i j ∈≤≤≤Z ，使得2cos iC jθ-≤，记C 的最小值为λ，则（ ） A ．1120001000λ<< B ．111000500λ<< C ．11500200λ<< D ．11200100λ<<3．已知△ABC 中，22AB AC ==()min 2AB BC R λλ+=∈，2AM MB =，22sin cos AP AB AC αα=⋅+⋅，,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则MP 的最小值为（ ） A 3B ．23C 5D 64．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，若222sin()SA C b a +=-，则1tan 3tan()A B A +-的取值范围为（ ）A ．33⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2343⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2343⎫⎪⎪⎝⎭D ．2343⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭5．在ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，设ABC 的面积为S ，则24Sa bc+的最大值为（ ） A 2B 3C 3D 26．已知函数()sin 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间[0,]π上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：△()f x 在区间(0,)π上有且仅有3个不同的零点； △()f x 的最小正周期可能是2π； △ω的取值范围是131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭，；△()f x 在区间0,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．△△B ．△△C ．△△D ．△△△7．设函数()211f x x =-，()122x fex --=，()31sin 23f x x π=，99i ia =，0i =、1、2、、99.记()()()()()()10219998k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-++-，1k =、2、3，则（ ）A ．123I I I <<B ．321I I I <<C ．132I I I <<D ．213I I I <<8．设a △R ，函数f (x )()()2222215cos x a x a x a x a x a ππ⎧-⎪=⎨-+++≥⎪⎩＜，若函数f (x )在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．（2，94]△（52，114]B ．（74，2]△（52，114]C ．（2，94]△[114，3）D ．（74，2）△[114，3）9．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则222b c bc+的取值范围为（ ）A ．4359,1515⎛⎫⎪⎝⎭B ．4315⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．5915⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．)⎡+∞⎣10．直线1y =与函数π()2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像在y 轴右侧交点的横坐标从左到右依次为12n a a a 、、、，下列结论：△π2cos 23f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；△()f x 在π5π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；△12n a a a 、、、为等差数列；△121234πa a a +++=．其中正确的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．011．）已知()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ，给出下述四个结论: △()y f x =是偶函数; △()y f x =在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数;△()y f x =在(,2)ππ上为增函数; △()y f x =的最大值为22 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△12．已知函数()()()()()222sin 2π2π3,R 216,x a x af x a x a x a x a ⎧-<⎪=∈⎨-++-+≥⎪⎩，若()f x 在区间()0,∞+内恰好有7个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．5817,,3236⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦B ．581711,,2363⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦C ．51711,3,263⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦D ．81711,3,363⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦13．已知函数()()()sin cos cos sin f x x x =+，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 的最大值为2 C ．()(),x f x f x π∀∈-=RD ．[]()0,,0x f x ππ∀∈+>14．已知 11sin 65a =, 11sin 56b =, 15cos 156c =, 则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ． c a b <<15．在ABC 中，角A B C ､､所对的边分别是,120,a b c A D =､､是边BC 上一点，AB AD ⊥且3AD =，则2b c +的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．916．（2022·江苏南通·高三开学考试）已知锐角ABC 满足23AB =60C ∠=°且O 为ABC 的外接圆圆心，若OC OA OB λμ=+，则2λμ-的取值范围为（ ） A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．[2,2)-D ．(2,2)-17．（2023·全国·高三专题练习）已知,x y ∈R ，则表达式22cos cos cos x y xy （ ）A ．既有最大值，也有最小值B ．有最大值，无最小值C ．无最大值，有最小值D ．既无最大值，也无最小值18．（2023·全国·高三专题练习）设数列{}n a 的通项公式为()()()*121cos1N 2nn n a n n π=--⋅+∈，其前n 项和为n S ，则120S =（ ） A ．60- B ．120- C ．180 D ．24019．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，7cos 25A =，ABC 的内切圆的面积为16π，则边BC 长度的最小值为（ ） A ．16B ．24C ．25D ．3620．（2023·全国·高三专题练习）在锐角ABC中，cos cos()sin sinA CA B Ca c+=，且cos2C C+=，则a b+的取值范围是（）A．(4⎤⎦B．(2,C．(]0,4D．(]2,4 21．（2022·山西·忻州一中模拟预测（文））定义：设不等式()0f x>的解集为A，若A中只有唯一整数，则称A为“和谐解集”．若关于x的不等式sin cos2sin cosx x mx x x+>+-在(0,)π上存在“和谐解集”，则实数m的取值范围为（）A．cos2[,cos1)2B．cos2(,cos1]2C．[]cos2,cos1D．[]cos2,sin222．（2023·全国·高三专题练习）设ω∈R，函数()()22,0,6314,0,22sin x xf xg x xx x xπωωω⎧⎛⎫+≥⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎪++<⎪⎩．若()f x在1,32π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且函数()f x与()g x的图象有三个交点，则ω的取值范围是（）A．12,43⎛⎤⎥⎝⎦B．23⎤⎥⎝⎦C．14⎡⎢⎣⎭D．4412,0,33⎡⎫⎡⎤-⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦23．（2022·全国·高三专题练习（文））在三角函数部分，我们研究过二倍角公式2cos22cos1x x=-，实际上类似的还有三倍角公式，则下列说法中不正确的有（）A．3cos34cos3cosx x x=-B．存在||1x≤时，使得3|43|1x x->C．给定正整数n，若||1ix≤，(1,2,,)i n=，且31niix==∑，则1||3niinx=≤∑D．设方程38610x x--=的三个实数根为1x，2x，3x，并且123x x x<<，则2232312()xx x x-=-二、多选题24．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）若()sin cosx x x xf x=-，则下列说法正确的是（）A．()f x的最小正周期是2πB．()f x的对称轴方程为212kxππ=-，()k∈ZC．存在实数a，使得对任意的x∈R，都存在125,01,2x xπ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且12x x≠，满足()()()210k f x af x f x -+=⎡⎤⎣⎦，()1,2k =D ．若函数()()2g x f x b =+，250,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，（b 是实常数），有奇数个零点()12221,,,,N n n x x x x n +⋅⋅⋅∈，则()1232215023n n x x x x x π++++⋅⋅⋅++=25．（2022·重庆十八中两江实验中学高三阶段练习）已知在平行四边形ABCD 中，3AB =，2AD =，60A ∠=︒，把△ABD 沿BD 折起使得A 点变为'A ，则（ ）A ．7BD =B ．三棱锥'A BCD -3C ．当'A C BD =时，三棱锥'A BCD -10D ．当'A C BD =时，'60A BC ∠=︒26．（2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习）已知函数()()()sin 0,f x x ωϕωϕ=+>∈R 在区间75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有下列结论正确的有( ) A ．203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．若()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π； C ．关于x 的方程()1f x =在区间[0,2)π上最多有4个不相等的实数解 D ．若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦ 27．（2022·全国·高三专题练习（文））由倍角公式2cos 22cos 1x x =-，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．一般地，存在一个n （n *∈N ）次多项式()12012n n n n n P t a t a ta t a --=+++⋅⋅⋅+（012,,,n a a a a ⋅⋅⋅∈R ），使得()cos cos n nx P x =，这些多项式()n P t 称为切比雪夫（P ．L ．Tschebyscheff )多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（ ）A ．()3343P t t t =-+B ．()424881P t t t =-+C ．51sin18-︒=D ．51cos18+︒=28．（2022·全国·高三专题练习）设正整数k 使得关于x 的方程sin kx x =在区间()33ππ-，内恰有5个实根12345x x x x x <<<<，则（ ） A ．123450x x x x x +++=+B ．5295122x ππ<< C ．55tan x x =D ．2x ，4x ，5x 成等差数列 三、填空题29．（2022·安徽淮南·二模（理））ABC 中，120,BAC AO ∠︒=为BC边上的中线，AO =则2AB AC -的取值范围是________．30．（2023·全国·高三专题练习）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，c ＝2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是________ ．31．（2022·全国·高三专题练习（文））1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知ABC 中，其中60A ∠=︒，1BC =，P 为费马点，则PB PC PA +-的取值范围是__________.32．（2022·全国·高三专题练习）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，以MN 为边作等边PMN ，使得点A ，P 位于直线MN 的两侧，则PN PB ⋅的最小值为______．33．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高三阶段练习（文））设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，n =1，2，3…，若11b c >，1112b c a +=，11,2n n n n n a c a a b +++==，12n n n a bc ++=，则nA ∠的最大值是________________.34．（2022·天津西青·高三期末）在等腰直角三角形ABC 中，π2C ∠=，点P 在三角形内，满足2(222)0PA PB PC +++=，则APB ∠=______.35．（2022·全国·高三专题练习（理））函数ππ5sin (1510)55y x x ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭的图象与函数25(1)22x y x x +=++图象的所有交点的横坐标之和为___________.36．（2022·全国·高三专题练习）△ABC 内接于半径为2的圆，三个内角A ，B ，C 的平分线延长后分别交此圆于1A ，1B ，1C .则111coscos cos 222sin sin sin A B CAA BB CC A B C++++的值为_____________.37．（2022·福建师大附中高三阶段练习）已知非零实数,x y 满足222x yxy x y y x++=-， 则22x y +的最小值为_____．38．（2022·全国·成都七中高三开学考试（文））ABC 的外心为O ，三个内角A B C ，，所对的边分别为1825a b c AO BC a a c ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭，，，，4b =.则ABC 面积的最大值为____________. 39．（2022·上海·华师大二附中高三开学考试）对开区间(),I a b =，定义I b a =-，当实数集合M 为n 段（n 为正整数）互不相交的开区间12n I I I ､､､的并集时，定义1||nk k M I ==∑，若对任意上述形式的()0,2π的子集A ，总存在Z k ∈，使得k A A λ≥，其中|,|tan 214k k A x x A x π⎧⎫⎛⎫=∈+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∣，则λ的最大值为___________. 40．（2021·江苏·南京市第一中学高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知4Cπ， 2222a b c -=，则A ＝____________.41．（2022·安徽·高三开学考试）有下列命题: △函数tan y x =在定义域内是增函数;△函数1π()cos 234f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为3π;△直线πx =为函数()sin(cos )cos f x x x =+图像的一条对称轴; △函数()|sin |cos f x x x =+的值域为[2]-.其中所有正确命题的序号为_____.42．（2021·江西南昌·高三阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足2224,4c c a b ==+， 则ABC 的面积取得最大值时，cos C =______．43．（2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sin sin cos cos 3sin B C A C A a c =+，且ABC的面积222)ABC S a b c +-△，则c a b+的取值范围是___________.44．（2022·全国·高三专题练习）已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin 22sin αββ+=，则tan β的最大值为________.45．（2022·北京·测试学校四高三）若ABC 三边长为等差数列，则cos cos cos A B C ++的取值范围是___________.46．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，()2ABCcSa b =-，其外接圆半径2R =，且())224sin sin sin A B b B -=-，则sinsin 22A B C-+=___________. 47．（2022·北京·测试学校四高三）已知凸四边形ABCD 满足50,40ABD BDC CAD ACB ∠∠∠∠====，则符合题意且不相似的凸四边形ABCD 的个数为___________.48．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω，0πϕ<< ，π()()4f x f ≤恒成立，且()y f x =在区间3π0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有3个零点，则ω的取值范围是______________．49．（2022·上海金山·二模）设()sin f x a x =+，若存在125,,,,36n x x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()()()121n n f x f x f x f x -+++=成立的最大正整数n 为9，则实数a 的取值范围是__________.50．（2023·全国·高三专题练习）已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且A B >，若7sin 2cos sin 25C A B =+，则tan B 的取值范围为_______． 四、双空题51．（2022·辽宁·东北育才双语学校一模）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222222a b a b c c ab-+-=，若4C π，则A =___________；若ABC 为锐角三角形，则2cos ab B的取值范围是___________.52．（2022·广东佛山·高三期末）菱形ABCD 中，ππ1,,32AB A ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，点E ，F 分别是线段,AD CD 上的动点（包括端点），AE CF =，则()AE CF AC +⋅=___________，ED EB ⋅的最小值为___________.53．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，D 是BC 边上一点，且6B π=，12AD BD =，若D 是BC 的中点，则ACAB=______；若3AC =ADC 的面积的最大值为_________．。
【高三数学】二轮复习：专题二 第1讲 三角函数的图象与性质
)
A.sin x + 3
B.sin 3 -2x
C.cos 2x + 6
D.cos
5
-2x
6
答案 BC
解析 由题中函数图象可知2 =
2π π
+
3 6
x=
2
5π
5π
π
2π
= 2,则 T=π,所以 ω= =
3π
2π
=2,当
π
2π
= 12时,y=-1,所以 2× 12+φ= 2 +2kπ(k∈Z),解得 φ=2kπ+ 3 (k∈Z),所
看图比较容易得出,困难的是求ω和φ,常用如下两种方法
(1)由ω= 2 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或
T
下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.
(2)代入图象中已知点的坐标,将一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐
标代入解析式,再结合图象解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,
高考数学
专题二
第1讲 三角函数的图象与性质
1.“1”的变换
1=sin 2α+cos 2α=cos 2α(1+tan2α).
这是针对函数中的单个变量x
2.三角函数图象变换
而言的
三角函数y=sin ωx的图象向左或向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的图象
对应函数解析式是y=sin[ω(x+φ)]或y=sin[ω(x-φ)],而不是y=sin(ωx+φ)或
以函数的解析式为 y=sin 2 +
微专题2 三角恒等变换与解三角形
微专题2 三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题重点，其中关键是运用倍角公式、两角和与差公式进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心； 2.正、余弦定理及应用是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题，常与三角恒等变换交汇融合，注重基础知识、基本能力的考查.1.(2021·全国乙卷)cos 2π12－cos 25π12＝( ) A.12B.33C.22D.32答案 D解析 因为cos 5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－5π12＝sin π12，所以cos 2π12－cos 25π12＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32.故选D.2.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin β，则( ) A.tan(α－β)＝1 B.tan(α＋β)＝1 C.tan(α－β)＝－1 D.tan(α＋β)＝－1 答案 C解析 由题意得sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β ＝22×22(cos α－sin α)sin β，整理，得sin αcos β－sin βcos α＋cos αcos β＋sin αsin β＝0， 即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0， 所以tan(α－β)＝－1，故选C.3.(2021·全国甲卷)在△ABC 中，已知B ＝120°，AC ＝19，AB ＝2，则BC ＝( ) A.1 B. 2 C. 5 D.3答案 D解析 法一 由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，得BC 2＋2BC －15＝0，解得BC ＝3或BC ＝－5(舍去). 故选D.法二 由正弦定理AC sin B ＝AB sin C ，得sin C ＝AB ·sin B AC ＝5719，从而cos C ＝41919(C 是锐角)，所以sin A ＝sin [π－(B ＋C )]＝sin (B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝32×41919－12×5719＝35738. 又AC sin B ＝BC sin A ，所以BC ＝AC ·sin Asin B ＝3.故选D.4.(2021·浙江卷)在△ABC 中，B ＝60°，AB ＝2，M 是BC 的中点，AM ＝23， 则AC ＝________；cos ∠MAC ＝________. 答案 21323913解析 由B ＝60°，AB ＝2，AM ＝23，及余弦定理可得BM ＝4， 因为M 为BC 的中点，所以BC ＝8. 在△ABC 中，由余弦定理可得AC 2＝AB 2＋BC 2－2BC ·AB ·cos B ＝4＋64－2×8×2×12＝52， 所以AC ＝213，所以在△AMC中，由余弦定理得cos∠MAC＝AC2＋AM2－MC22AC·AM＝52＋12－162×213×23＝23913.5.(2022·全国乙卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C sin(A －B)＝sin B sin(C－A).(1)若A＝2B，求C；(2)证明：2a2＝b2＋c2.(1)解由A＝2B，A＋B＋C＝π，可得A＝2π－2C3.将A＝2B代入sin C sin(A－B)＝sin B sin(C－A)，可得sin C sin B＝sin B sin(C－A).因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以sin C＝sin(C－A).又A，C∈(0，π)，所以C＋C－A＝π，即A＝2C－π，与A＝2π－2C3联立，解得C＝5π8.(2)证明法一由sin C sin(A－B) ＝sin B sin(C－A)，可得sin C sin A cos B－sin C cos A sin B ＝sin B sin C cos A－sin B cos C sin A，结合正弦定理可得，ac cos B－bc cos A＝bc cos A－ab cos C，即ac cos B＋ab cos C＝2bc cos A(*).由余弦定理得，ac cos B＝a2＋c2－b22，ab cos C＝a2＋b2－c22，2bc cos A＝b2＋c2－a2，将上述三式代入(*)式并整理，得2a2＝b2＋c2.法二因为A＋B＋C＝π，所以sin C sin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2A cos2B－cos2A sin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，同理有sin B sin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.又sin C sin(A－B)＝sin B sin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.热点一三角恒等变换1.三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”.2.三角恒等变换“四大策略”(1)数值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等.(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等.(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次. (4)弦、切互化，实现角和函数名的统一.例1 (1)(2022·长沙长郡中学调研)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且12cos 2α＋7sin 2α－4＝0，若tan(α＋β)＝3，则tan β＝( ) A.－113或－7 B.－711或1 C.1D.－113(2)(2022·深圳质检)已知α，β∈(0，π)且tan α＝12，cos β＝－1010，则α＋β＝( ) A.π4 B.3π4 C.5π6 D.5π4 答案 (1)D (2)B解析 (1)由12cos 2α＋7sin 2α－4＝0，得4cos 2α＋7sin αcos α－2sin 2α＝0， ∴2tan 2α－7tan α－4＝0， 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得tan α＝4. 又∵tan(α＋β)＝3， ∴tan β＝tan(α＋β－α)＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝3－41＋3×4＝－113，故选D.(2)因为α，β∈(0，π)且tan α＝12， cos β＝－1010，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，23π，sin β＝1－cos 2β＝31010，tan β＝sin βcos β＝－3，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，56π，因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋（－3）1－12×（－3）＝－1，所以α＋β＝3π4.故选B.易错提醒 (1)求三角函数值时，要注意根据角的范围判断三角函数值的符号来确定其值.(2)对于给值求角问题，要根据已知角求这个角的某个三角函数值，然后结合角的范围求出角的大小，求解时，要尽量缩小角的取值范围，避免产生增解. 训练1 (1)(2022·重庆诊断)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝( )A.4－3310 B.33－410C.43－310D.4＋3310(2)(2022·盐城二模)计算2cos 10°－sin 20°cos 20°所得的结果为( ) A.1 B. 2 C. 3D.2 答案 (1)D (2)C解析 (1)由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且sin α＝45， 得cos α＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos αcos π6＋sin αsin π6＝4＋3310.故选D.(2)原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°cos 20°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°＝ 3.热点二 正弦定理和余弦定理1.正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径).变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等.2.余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .例2 (1)(2022·邢台联考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(a ＋b )·(sin A －sin B )＝c sin C ＋b (1＋cos A )·sin C ，则cos A ＝( ) A.－13 B.－23 C.13D.23(2)(2022·烟台模拟)在△ABC 中，已知C ＝120°，sin B ＝2sin A ，且△ABC 的面积为23，则AB 的长为________. 答案 (1)A (2)27解析 (1)由题意及正弦定理可得(a ＋b )(a －b )＝c 2＋bc (1＋cos A )， 整理得a 2＝b 2＋c 2＋bc (1＋cos A )， 因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以－2cos A ＝1＋cos A ， 解得cos A ＝－13.(2)设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 由sin B ＝2sin A 及正弦定理可得b ＝2a ， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12a ×2a ×32＝23，∴a ＝2，b ＝4，由余弦定理可得c 2＝4＋16－2×2×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝28，∴c ＝27.规律方法 (1)利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理.(2)涉及边a ，b ，c 的齐次等式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形.训练2 (1)(2022·泰安三模)在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝2，cos C ＝34，则tan A ＝( ) A.56B.76C.53D.73(2)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B 等于( ) A.19 B.13 C.12 D.23 答案 (1)D (2)A 解析 (1)由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2BC ·AC cos C ＝32＋22－2×3×2×34＝4， 所以AB ＝2，所以AB ＝BC ， 所以A ＝C ，所以cos A ＝cos C ＝34， 则sin A ＝74，故tan A ＝73.故选D.(2)由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9， 所以AB ＝3，所以cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝19.故选A.热点三 正弦定理、余弦定理的综合应用1.利用正、余弦定理解决实际问题的一般流程：分析→列关系式→求解→检验2.涉及正、余弦定理与三角形面积的综合问题求三角形面积时常用S＝12ab sin C形式的面积公式.3.在△ABC中，有a＝b cos C＋c cos B，b＝a cos C＋c cos A，c＝a cos B＋b cos A，称为射影定理，在小题中使用可快速化简，大题解答时需有简单证明过程.Ｋ例3 (2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(3≈1.732)()A.346B.373C.446D.473答案 B解析如图所示，根据题意过C作CE∥C′B′，交BB′于E，过B作BD∥A′B′，交AA′于D，则BE＝100，C′B′＝CE＝100tan 15°.在△A′C′B′中，∠C′A′B′＝180°－∠A′C′B′－∠A′B′C′＝75°，则BD＝A′B′＝C′B′·sin 45°sin 75°，又在B 点处测得A 点的仰角为45°， 所以AD ＝BD ＝C ′B ′·sin 45°sin 75°，所以高度差AA ′－CC ′＝AD ＋BE ＝C ′B ′·sin 45°sin 75°＋100＝100tan 15°·sin 45°sin 75°＋100 ＝100sin 45°sin 15°＋100＝100×2222×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋100＝100(3＋1)＋100≈373.例4 (2022·北京海淀区模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＝3b cos A . (1)求A ；(2)从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使△ABC 存在且唯一确定，并求△ABC 的面积.第①组条件：a ＝19，c ＝5. 第②组条件：cos C ＝13，c ＝4 2. 第③组条件：AB 边上的高h ＝3，a ＝3.注：如果选择多种情形分别解答，按第一个解答计分.解 (1)因为a sin B ＝3b cos A ，由正弦定理可得sin A sin B ＝3sin B cos A ， 又B ∈(0，π)，所以sin B ≠0， 则sin A ＝3cos A ，即tan A ＝3，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)若选择第①组条件，由余弦定理可得 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即19＝b 2＋25－5b ，解得b ＝2或3，不符合题意， 故不能选第①组条件.若选择第②组条件，因为C ∈(0，π)， cos C ＝13，所以sin C ＝223，由正弦定理a sin A ＝c sin C 可得a ＝c sin Asin C ＝42×32223＝33，则sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝32×13＋12×223＝22＋36，此时△ABC 的面积S ＝12ac sin B＝12×33×42×22＋36＝43＋3 2.若选择第③组条件，因为AB 边上的高h ＝3， 所以b sin π3＝3， 则b ＝332＝2， 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得9＝4＋c 2－2c ，解得c ＝1＋6(舍负)，此时△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×(1＋6)×32＝3＋322.规律方法 (1)对于解三角形的开放性问题，要根据自己的实际情况，选择自己最熟悉，易转化的条件用以求解.(2)与面积有关的问题，一般要根据已知角来选择三个面积公式(S ＝12ab sin C bc sin A ＝12ac sin B )中的一个，同时再用正、余弦定理进行边角转化.训练3 (1)(2022·湖南三湘名校联考)如图是2021年9月17日13时34分神舟十二号返回舱(图中C )接近地面的场景.伞面是表面积为1 200 m 2的半球面(不含底面圆)，伞顶B 与返回舱底端C 的距离为半球半径的5倍，直线BC 与水平地面垂直于D ，D 和观测点A 在同一水平线上，在A 测得点B 的仰角∠DAB ＝30°，且sin ∠BAC ＝732247，则此时返回舱底端离地面的距离CD ＝______(π＝3.14，sin ∠ACB ＝93247，计算过程中，球半径四舍五入保留整数).答案 20 m解析 设半球的半径为r m ， 则2πr 2＝1 200，∴r ≈14， ∴BC ＝5r ＝70 m.在△ABC 中，由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC，则AB ＝BC sin ∠ACB sin ∠BAC ＝70×93247×224773＝180(m)，∴BD ＝90 m ，则CD ＝BD －BC ＝20(m).(2)(2022·青岛调研)从①2b sin A ＝a tan B ，②a 2－b 2＝ac －c 2，③3sin B ＝cos B ＋1这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且________. (ⅰ)求B 的大小；(ⅱ)若b ＝2，S △ABC ＝32，求△ABC 的周长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解 (ⅰ)若选①：因为2b sin A ＝a tan B ＝a sin B cos B ，所以2ab ＝abcos B ， 所以cos B ＝12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.若选②：因为a 2－b 2＝ac －c 2， 所以a 2＋c 2－b 2＝ac ， 所以2ac cos B ＝ac ， 所以cos B ＝12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3. 若选③：因为3sin B ＝cos B ＋1， 所以3sin B －cos B ＝1， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6＝12，因为B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6，所以B －π6＝π6，所以B ＝π3.(ⅱ)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 所以a 2＋c 2－ac ＝4，又S △ABC ＝12ac sin B ＝32，所以ac ＝2， 所以(a ＋c )2－3ac ＝4，所以(a ＋c )2＝10， 所以a ＋c ＝10，所以△ABC 的周长为2＋10.一、基本技能练1.(2022·河北省级联测)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝135°，b ＝15，c ＝3，则a ＝( ) A.2 B. 6 C.3 D.2 6答案 B解析 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2＋2ac ，即15＝a 2＋6a ＋3，解得a ＝6(舍负).故选B.2.(2022·山东新高考联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π12＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝( )A.－29B.29C.－79D.79 答案 D解析 设α＝θ－π12，则θ＝α＋π12，sin α＝13，从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos 2α＝1－2sin 2α＝79. 故选D.3.(2022·贵阳质检)在△ABC 中，若3a sin B ＝c －b cos A ，则B ＝( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 答案 B解析 由3a sin B ＝c －b cos A 及正弦定理， 得3sin A sin B ＝sin C －sin B cos A ，又sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 则3sin A sin B ＝sin A cos B ， ∵sin A ≠0，∴sin B cos B ＝tan B ＝33，又B ∈(0，π)，则B ＝π6.4.(2022·深圳六校联考)已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，则根据条件解三角形时有两解的一组条件是( ) A.a ＝1，b ＝2，A ＝π4 B.a ＝2，b ＝1，A ＝π4 C.a ＝2，b ＝3，A ＝π6 D.a ＝4，b ＝3，A ＝2π3答案 C解析 对于A ，由a sin A ＝b sin B 且a ＝1，b ＝2，A ＝π4， 得1sin π4＝2sin B ，sin B ＝2>1， 所以△ABC 无解.对于B ，由a sin A ＝b sin B 且a ＝2，b ＝1，A ＝π4，得2sin π4＝1sin B ，sin B ＝24<1，又b <a ，所以B 唯一确定，△ABC 有一解.对于C ，由a sin A ＝b sin B 且a ＝2，b ＝3，A ＝π6，得2sin π6＝3sin B ，sin B ＝34，又b >a ，B ∈(0，π)， 所以B 的值有2个，△ABC 有两解.对于D ，由a sin A ＝b sin B 且a ＝4，b ＝3，A ＝23π，得4sin 23π＝3sin B ，sin B ＝338<1，又b <a ，所以B 唯一确定，△ABC 有一解. 5.(2022·辽宁百校联盟质检)如图，无人机在离地面高300 m 的M 处，观测到山顶A 处的俯角为15°，山脚C 处的俯角为60°，已知AB ＝BC ，则山的高度AB 为( )A.150 2 mB.200 mC.200 2 mD.300 m答案 B解析 在Rt △MNC 中，∠MCN ＝60°， MN ＝300 m ， 所以MC ＝MNsin 60°＝200 3 m. 在△ACM 中，由已知得∠MAC ＝15°＋45°＝60°，∠AMC ＝60°－15°＝45°， 由正弦定理得MC sin 60°＝AC sin 45°， 故AC ＝2003×2232＝200 2 m.在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝AC sin 45° ＝2002×22＝200 m ， 所以山的高度AB ＝200 m.故选B.6.(2022·郑州二模)已知函数f (x )＝sin(πx ＋φ)在某个周期内的图象如图所示，A ，B 分别是f (x )图象的最高点与最低点，C 是f (x )的图象与x 轴的交点，则tan ∠BAC ＝( )A.12B.47C.255D.76565答案 B解析 过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，设AB 与x 轴交于E ，由题意可得函数的周期为2，设C (a ，0)，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12，－1，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32，1，所以CD ＝32，AD ＝1，DE ＝12，tan ∠CAD ＝CD AD ＝32，tan ∠EAD ＝ED AD ＝12，所以tan ∠BAC ＝tan(∠CAD －∠EAD )＝tan ∠CAD －tan ∠EAD 1＋tan ∠CAD ·tan ∠EAD ＝32－121＋32×12＝47.故选B.7.(2022·皖南八校联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝35，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝________. 答案 －725解析 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12－π2＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12－1 ＝－725.8.(2022·山东省实验中学二诊)已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝13，则cos(α－β)＝________. 答案 5972 解析由⎩⎪⎨⎪⎧cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝13得⎩⎪⎨⎪⎧cos 2α－2cos αcos β＋cos 2β＝14， ①sin 2α－2sin αsin β＋sin 2β＝19， ②①＋②得2－2cos(α－β)＝1336， 则cos(α－β)＝5972.9.(2022·济宁二模)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝12，则cos 2α＝________.答案 45解析 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝12，∴tan α＝13，因此cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－191＋19＝45. 10.(2022·长沙长郡中学质检)《易经》中记载着一种几何图形——八卦图，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积，如图，现测得正八边形的边长为8 m ，代表阴阳太极图的圆的半径为2 m ，则每块八卦田的面积为________ m 2.答案 162＋16－π2解析 由题图可知，正八边形被分割成8个全等的等腰三角形，顶角为360°8＝45°， 设等腰三角形的腰长为a m ， 由正弦定理可得a sin 135°2＝8sin 45°，解得a ＝82sin 135°2，所以等腰三角形的面积S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫82sin 135°22sin 45°＝322·1－cos 135°2＝16(2＋1)(m 2)，则每块八卦田的面积为16(2＋1)－18×π×22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫162＋16－π2(m 2).11.在平面直角坐标系xOy 中，锐角α的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的非负半轴，终边上有一点P (1，2). (1)求cos 2α＋sin 2α；(2)若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求角β的值.解 (1)∵锐角α的终边上有一点P (1，2)， ∴sin α＝25＝255，cos α＝15＝55， ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×255×55＝45， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35，∴cos 2α＋sin 2α＝－35＋45＝15.(2)由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2得α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∵sin(α－β)＝1010， ∴cos(α－β)＝1－sin 2（α－β）＝1－⎝⎛⎭⎪⎫10102＝31010， 则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22，因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.12.(2022·北京卷)在△ABC 中，sin 2C ＝3sin C . (1)求C ；(2)若b ＝6，且△ABC 的面积为63，求△ABC 的周长. 解 (1)因为sin 2C ＝3sin C ， 所以2sin C cos C ＝3sin C . 因为C ∈(0，π)，所以sin C ≠0， 所以cos C ＝32， 又C ∈(0，π)，故C ＝π6.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×a ×6×12＝63，所以a ＝4 3. 由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝48＋36－72＝12，所以c ＝23， 所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝43＋6＋23＝6(3＋1). 二、创新拓展练13.若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且cos 2α＝25sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，则tan α＝________. 答案 34解析 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＋cos α＞0. 因为cos 2α＝25sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，所以(cos α＋sin α)(cos α－sin α) ＝15(sin α＋cos α)，所以cos α－sin α＝15>0，可得α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4. 所以sin αcos α＝1225，所以sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝1225， 整理得tan α＝34或tan α＝43，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以tan α＝34. 14.(2022·浙江卷)若3sin α－sin β＝10，α＋β＝π2，则sin α＝________，cos 2β＝________.答案 31010 45解析 因为α＋β＝π2，所以β＝π2－α，所以3sin α－sin β＝3sin α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝3sin α－cos α＝10sin(α－φ)＝10，其中sin φ＝1010，cos φ＝31010.所以α－φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， 所以α＝π2＋φ＋2k π，k ∈Z ，所以sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＋2k π＝cos φ＝31010，k ∈Z . 因为sin β＝3sin α－10＝－1010，所以cos 2β＝1－2sin 2β＝1－15＝45.15.(2022·沈阳市郊联体一模)滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古.如图，在滕王阁旁水平地面上共线的三点A ，B ，C 处测得其顶点P 的仰角分别为30°，60°，45°，且AB ＝BC ＝75米，则滕王阁的高度OP ＝________米.答案 1515解析 设OP ＝3h ，由题意知∠P AO ＝30°，∠PBO ＝60°，∠PCO ＝45°，所以OA ＝PO tan 30°＝3h 33＝3h ，OB ＝PO tan 60°＝3h 3＝h ，OC ＝PO tan 45°＝3h . 在△OBC 中，由余弦定理OC 2＝OB 2＋BC 2－2OB ·BC ·cos ∠OBC ，得3h 2＝h 2＋752－2×75h cos ∠OBC ，①在△OAB 中，由余弦定理OA 2＝OB 2＋AB 2－2OB ·AB ·cos ∠OBA ，得9h 2＝h 2＋752－2×75h cos ∠OBA ，②因为cos ∠OBC ＋cos ∠OBA ＝0，所以①＋②，得12h 2＝2h 2＋2×752，解得h ＝155，所以OP ＝3h ＝1515(米).16.(2022·北京昌平区调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝3c ，a ＝6.(1)若A ＝π6，求c 的值；(2)在下面三个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积.①3cos B ＝cos C ，②cos B ＝sin C ，③B ＝2C .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解(1)在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，因为b＝3c，a＝6，A＝π6，所以36＝3c2＋c2－23c2·32，解得c2＝36，所以c＝6.(2)若选条件①：3cos B＝cos C.b＝3c，由正弦定理可得sin B＝3sin C，又3cos B＝cos C，所以sin B cos B＝sin C cos C，所以sin 2B＝sin 2C，因为0<B＋C<π，0<2B＋2C<2π，所以2B＝2C或2B＋2C＝π，因为b＝3c，所以B>C，所以2B＝2C不成立，所以2B＋2C＝π，所以B＋C＝π2，所以A＝π2.则在Rt△ABC中，36＝3c2＋c2，解得c＝3，所以b＝33，所以S△ABC＝12bc＝93 2.若选条件②：cos B＝sin C.在△ABC中，因为b＝3c，由正弦定理可得sin B＝3sin C，又cos B ＝sin C ，所以sin B cos B ＝3sin C sin C ＝3， 所以tan B ＝3，因为0<B <π，所以B ＝π3，所以sin C ＝cos B ＝12，因为0<C <π，且b ＝3c ， 所以C ＝π6，所以A ＝π2.后同选择条件①.若选条件③：B ＝2C .在△ABC 中，因为b ＝3c ，由正弦定理得sin B ＝3sin C ， 因为B ＝2C ，所以sin B ＝2sin C cos C ，所以2sin C cos C ＝3sin C ，又sin C ≠0，所以cos C ＝32，因为0<C <π，所以C ＝π6，所以B ＝2C ＝π3， 所以A ＝π2. 后同选择条件①.。
高三数学总复习 专题二三角函数教学案
芯衣州星海市涌泉学校赣榆县智贤中学高三数学总复习专题二第1讲三角函数〔1〕教学案教学内容：三角函数的图象与性质〔1〕教学目的：1三角函数的图象与解析式2.利用三角函数的图象与解析式教学重点：1.求三角函数的解析式；教学难点：三角函数的图象与解析式教学过程：一、知识点复习：1．必记的概念与定理(1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.(2)诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限〞．(3)三角函数的图象及常用性质函数y＝sinx y＝cosx y＝tanx图象单调性在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上单调递增对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝＋kπ(k∈Z)对称中心：(＋kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：(，0)(k∈Z)2.记住几个常用的公式与结论对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)要记住下面几个常用结论：(1)定义域：R.(2)值域：[－A，A]．当x＝(k∈Z)时，y取最大值A；当x＝(k∈Z)时，y取最小值－A.(3)周期性：周期函数，周期为.(4)单调性：单调递增区间是(k∈Z)；单调递减区间是(k∈Z).(5)对称性：函数图象与x轴的交点是对称中心，即对称中心是(，0)，对称轴与函数图象的交点纵坐标是函数的最值，即对称轴是直线x＝，其中k∈Z.(6)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，A影响函数图象的最高点和最低点，即函数的最值；ω影响函数图象每隔多少重复出现，即函数的周期；φ影响函数的初相．(7)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，相邻的两个对称中心或者者两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中心和一条对称轴相距周期的四分之一．复备栏3．需要关注的易错易混点三角函数图象平移问题(1)看平移要求：拿到这类问题，首先要看题目要求由哪个函数平移到哪个函数，这是判断挪动方向的关键点．(2)看挪动方向：在学习中，挪动的方向一般我们会记为“正向左，负向右〞，其实，这样不理解的记忆是很危险的．上述规那么不是简单地看y＝Asin(ωx＋φ)中φ的正负，而是和它的平移要求有关．正确地理解应该是：平移变换中，将x变换为x＋φ，这时才是“正向左，负向右〞．(3)看挪动单位：在函数y＝Asin(ωx＋φ)中，周期变换和相位变换都是沿x轴方向的，所以ω和φ之间有一定的关系，φ是初相位，再经过ω的压缩，最后挪动的单位是||.二、根底训练：1．函数y＝tan的定义域是________．解析：∵x－≠kπ＋，∴x≠kπ＋，k∈Z.答案：2．(2021·模拟)函数f(x)＝sinxcosx的最小正周期是________．解析：由题知f(x)＝sin2x，所以T＝＝π.答案：π3．将函数y＝2sinx的图象上每一点向右平移1个单位长度，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍(纵坐标保持不变)，得函数y＝f(x)的图象，那么f(x)的解析式为________．解析：函数y＝2sinx向右平移1个单位得y＝2sin(x－1)＝2sin，将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍(纵坐标保持不变)，那么y＝2sin，即y＝2sin.答案：y＝2sin4．(2021·模拟)函数f(x)＝2sin，x∈[－π，0]的单调增区间为________．解析：当x－∈，k∈Z时，f(x)单调递增，又因为x∈[－π，0],故取k＝0得x∈.答案：1三、例题教学：例1、(2021·模拟)假设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象如下列图，这个函数的解析式为________．[解析]由题意知：周期T＝2(－)＝π，ω＝＝2，设f(x)＝Asin(2x＋φ)，点(，0)为五点作图中的第三点，所以2×＋φ＝π，即φ＝.设f(x)＝Asin(2x＋)，因为点(0，)在原函数的图象上，故Asin＝，所以A＝，综上知：f(x)＝sin(2x＋)．[答案]f(x)＝sin(2x＋)变式训练：1．(2021·高考卷)函数y＝cosx与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为的交点，那么φ的值是________．解析：由题意，得sin＝cos，因为0≤φ<π，所以φ＝.答案：例2、2021·模拟)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的图象如下列图，直线x＝，x ＝是其两条对称轴．(1)求函数f(x)的解析式并写出函数的单调增区间；(2)假设f(α)＝，且<α<，求f(＋α)的值．[解](1)由题意，＝－＝，∴T＝π，又ω>0，故ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，由f()＝2sin(＋φ)＝2，解得φ＝2kπ－(k∈Z)，又－<φ<，∴φ＝－，∴f(x)＝2sin(2x－)，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)知，kπ－≤x≤kπ＋，(k∈Z)，∴函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．(2)依题意得：2sin(2α－)＝，即sin(2α－)＝，∵<α<，∴0<2α－<，∴cos(2α－)＝＝＝，f(＋α)＝2sin[(2α－)＋]，∵sin[(2α－)＋]＝sin(2α－)cos＋cos(2α－)sin＝(＋)＝，∴f(＋α)＝.稳固练习：完成专题强化训练。
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例题1.（15北京理科）已知函数2()2sin cos 2sin 222
x x x f x =-． (Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．
练习1.（15年安徽文科）已知函数2()(sin cos )cos2f x x x x =++
（1）求()f x 最小正周期；
（2）求()f x 在区间[0,
]2π上的最大值和最小值.
例题2.（15年广东文科）已知tan 2α=． ()1求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的值； ()2求2sin 2sin sin cos cos 21
ααααα+--的值．
例题3.（15年江苏）在ABC ∆中，已知 60,3,2===A AC AB .
（1）求BC 的长；
（2）求C 2sin 的值
练习2（15年新课标2文科）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC . （I ）求sin sin B C
∠∠ ； （II ）若60BAC ∠=,求B ∠.
例题4（15年陕西文科）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(,3)m a b =与(cos ,sin )n A B =平行.
(I)求A ；(II)若7,2a b ==求ABC ∆的面积.
练习3已知向量m ＝(1，cos A )，n ＝(sin A cos B ，sin B )，m ·n ＝sin2C ，且A 、B 、C 分别是△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角．
(1)求角C 的大小；
(2)设sin A 、sin C 、sin B 成等比数列，且CA →·(AB
→－AC →)＝8，求边c 的值．
练习4已知向量a ＝(sin ωx,2cos ωx )，b ＝(cos ωx ，－233
cos ωx )(ω>0)，函数f (x )＝a·(3b ＋a )－1，且函数f (x )的最小正周期为π
2.
(1)求ω的值；
(2)设△ABC 的三边a 、b 、c 满足：b 2＝ac ，且边b 所对的角为x ，若方程f (x )＝k 有两个不同的实数解，求实数k 的取值范围．
例题5（15年天津文科）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为315,12,cos ,4
b c A -==- （I ）求a 和sin C 的值； （II ）求cos 26A π⎛⎫+
⎪⎝⎭ 的值.
例题6（15年福建文科）已知函数()2103sin
cos 10cos 222x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6
π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2．
（ⅰ）求函数()g x 的解析式；
（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．。