3.7切线长定理
北师大版九年级下数学教案：3.7切线长定理
2.教学难点
-理解切线长定理的本质：学生需要理解切线长定理并非仅仅是一个几何性质，而是具有普遍意义的数学原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“切线长定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.增强学生的应用意识：将切线长定理应用于解决实际问题，培养学生将所学知识应用于实际情境的能力，提高应用意识。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-切线长定理的概念：理解并掌握切线长定理，即从圆外一点引两条切线，切线长相等。
-切线长的计算方法：学会运用切线长定理求解实际问题中的切线长。
-切线长定理在实际问题中的应用：掌握将切线长定理应用于解决实际问题的方法。
北师大版九年级下数学教案：3.7切线长定理
一、教学内容
本节课选自北师大版九年级下册数学教材第三章“圆”的3.7节：“切线长定理”。教学内容主要包括以下两点：
1.探索并掌握切线长定理：通过观察和操作，让学生理解并掌握切线长定理，即从圆外一点引两条切线，切线长相等。
2.应用切线长定理解决问题：培养学生将切线长定理应用于解决实际问题的能力，如求某点到圆上一点的切线长等。
然而，我也发现了一些不足之处。在讲解切线长定理的过程中，可能部分学生仍然难以理解其本质。为了帮助学生更好地突破这个难点，我考虑在下次课中增加一些互动环节，如让学生上台演示，用自己的语言解释切线长定理，这样既能检验他们的理解程度，也能提高课堂氛围。
北师大版九年级数学下册：3.7《切线长定理》教学设计
北师大版九年级数学下册：3.7《切线长定理》教学设计一. 教材分析《切线长定理》是北师大版九年级数学下册第3章第7节的内容。
本节课主要介绍切线长定理及其应用。
切线长定理是初中数学中的一个重要定理，它涉及到圆的切线性质和几何图形的对称性。
在学习本节课时，学生需要掌握切线与圆的位置关系，以及如何运用切线长定理解决实际问题。
教材通过生动的例题和丰富的练习，帮助学生理解和掌握切线长定理，并能够灵活运用它解决相关问题。
二. 学情分析在学习本节课之前，学生已经掌握了相似三角形的性质、圆的性质等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力。
然而，对于部分学生来说，理解和运用切线长定理解决实际问题仍存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对性地进行辅导，帮助学生克服学习中的困难。
三. 教学目标1.理解切线长定理的含义，掌握切线长定理的证明过程。
2.能够运用切线长定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的空间想象力，提高学生的逻辑思维能力。
4.激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和合作精神。
四. 教学重难点1.重点：切线长定理的证明过程，切线长定理的应用。
2.难点：切线长定理的证明过程，以及如何运用切线长定理解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究切线长定理。
2.运用几何画板等教学软件，直观展示切线与圆的位置关系，帮助学生理解切线长定理。
3.通过例题讲解和练习，巩固学生对切线长定理的理解和运用。
4.鼓励学生相互讨论、交流，培养学生的合作精神和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关教学课件，包括切线与圆的位置关系示意图、切线长定理的证明过程等。
2.准备一些实际问题，用于巩固和拓展学生对切线长定理的应用。
3.准备几何画板等教学软件，用于直观展示切线与圆的位置关系。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用几何画板展示一个圆和一条切线，引导学生观察切线与圆的位置关系，提出问题：“切线与圆有什么特殊的性质？”让学生回顾已学过的知识，为新课的学习做好铺垫。
3.7北九数学下第三章圆第七节切线长定理
A D
O
F
例题1图
E
C
2015.01
• 变式1：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA,AB分 别相切于点 D，E，F，且AB=9cm,BC=14cm, CA=13cm,求AF,BD,CE的长。(知识技能2)
A F O E
B
D 第 2题
C
2015.01
随堂练习
已知O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm，过P 作O的两条切线，求这两条切线的长。
2015.01
2、由（6）得出定理：
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切 线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 .
A
O B
P
2015.01
证明：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切 线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 已知：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点。 求证：PA=PB，PO平分∠APB 证明：连接OA、OB ∵PA、PB是⊙O的切线 ∴∠PAO=∠PBO=90° 在Rt△POA和Rt△POB中 ∵OA=OB，OP=OP ∴Rt△POA ≌Rt△POB ∴PA=PB ,PO平分∠APB A
∴AB= AB BC 10 24 26
2 2 2 2
∵⊙O分别与AB，BC，CA相切于D,E,F ∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC， BE=BD， AF=AD，CE=CF 又∵∠C=90°∴四边形OECF为正方形 ∴EC=FC=r∴BE=24-r,AF=10-r ∴AB=BD+AD=BE+AF=34-2r=26 ∴r=4 即⊙O半径为4
切线是到圆心距离等于圆的半径的直线，
而切线长是线段的长度，指过圆外一点做圆的切 线，该点到切点的距离。
北师大版九年级下数学第3章圆3.7切线长定理(教案)
一、教学内容
本节课选自北师大版九年级下数学第3章圆中的3.7节，主要内容为切线长定理。具体内容包括：
1.探索并掌握切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
2.应用切线长定理解决实际问题。
3.通过切线长定理的学习，加深对圆的性质的理解，培养学生的逻辑思维能力和空间观念。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解切线长定理的基本概念。切线长定理是指从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。这个定理在几何学中有着重要的地位，它不仅帮助我们理解圆的性质，还能解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设有一个圆形花坛，我们要确定从花坛边缘到两个不同位置的最短距离。通过应用切线长定理，我们可以轻松找到这个距离。
4.结合切线长定理，解决与圆相关的综合问题，提高学生的综合运用能力。
二、核心素养目标
1.通过对切线长定理的探究，培养学生的几何直观和逻辑推理能力，提升数学抽象思维。
2.结合实际问题的解决，发展学生的数学建模素养，使其能够运用数学知识解释和解决现实生活中的问题。
3.在合作探究中，增强学生的团队协作能力和交流表达能力，培养良好的学习习惯和探究精神。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调切线长定理的概念和实际应用这两个重点。对于难点部分，如定理的证明和在不同图形中的应用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与切线长定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过使用尺规作图，学生将直观地看到切线长定理的应用。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
第3章 3.7 切线长定理
∴∠OBC＋∠OCB＝12(∠ABC＋∠DCB)＝12×180°＝ 90°. ∴∠BOC＝90°，∴BO⊥CO.
(2)求 BE 和 CG 的长．
解：如图，连接 OF，则 OF⊥BC．
∵在 Rt△BOC 中，BO＝6 cm，CO＝8 cm， ∴BC＝ 62＋82＝10(cm)． 易证 Rt△BOF∽Rt△BCO， ∴BBOF＝BBOC.
∴B6F＝160，∴BF＝3.6 cm. ∵AB，BC，CD 分别与⊙O 相切， ∴BE＝BF＝3.6 cm，CG＝CF. ∵CF＝BC－BF＝10－3.6＝6.4(cm)， ∴CG＝CF＝6.4 cm.
★【思维拓展训练】
►答案见：D19
如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝2，以 BC 为直径在矩
形内作半圆，自点 A 作半圆的切线 AE，则 sin∠CBE＝( D )
A．
6 3
B．23
C．31
D．
10 10
谢谢您的观看与聆听
∴∠BAC＝90°－60°＝30°. 又∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ABC＝90°.∴BC＝12AC＝OA＝2.
如图，AB，BC，CD 分别与⊙O 相切于点 E，F，G.且
AB∥CD．BO＝6 cm，CO＝8 cm.
(1)求证：BO⊥CO；
证明：∵AB∥CD， ∴∠ABC＋∠BCD＝180°. ∵AB，BC，CD 分别与⊙O 相切于点 E，F，G，
►答案见：D18
如图，从⊙O 外一点 P 引⊙O 的两条切线 PA，PB，切点分别
为 A，B．如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦 AB 的长是( B )
3.7 切线长定理课件(共19张PPT) 北师大版九年级下册数学
点，可以度量.
预习导学
3.过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长 相等 .
·导学建议·
在引入时，教师可找实物悠悠球，拆开球，出示球的剖面，
球的整体和中心轴可分别抽象成圆形，被拉直的线绳可抽象成
线段.
预习导学
1.如图，PA、PB是☉O的切线，切点分别是A、B，若PB＝5
A.32°
B.48°
C.60°
D.66°
(1)写出此图中相等的线段.
(2)请你设计一种可以通过计算求出直径
的测量方法.(写出主要解题过程)
合作探究
解:(1)根据切线长定理，知AB＝AC.
(2)如图，连接OB、OA.
根据切线长定理，得∠OAB＝60°.
在直角三角形AOB中，OB＝ AB，
则只需测得AB的长，即可求得圆的直径.
合作探究
如图，P为☉O外一点，PA、PB为☉O的切线，A和B是切
学习.
预习导学
根据条件画出图形:已知☉O外一点P，过点P作☉O的切线，
可以画几条？
你有几种方法？
预习导学
切线长的概念
阅读教材本课时相关内容，并回答下列问题.
1.过圆外一点作圆的切线，这点和 切点 之间的 线段
叫做这点到圆的切线长.
预习导学
2.切线和切线长有何区别？
切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；
合作探究
(2)∵CD是☉O的切线，∴CA＝CE，DB＝DE，
∴AC＋BD＝CD，
△PCD的周长＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋
PB＝20.
合作探究
如图，AB是☉O的直径，点C为☉O外一点，CA、CD
3.7 切线长定理及其推论
E
。
OC
D
P
OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，
A
角相等，弧相等，垂直关系提供了理 论依据，必须掌握并能灵活应用。
2.圆的外切四边形的两组对边的和相等
课后作业
完成课堂点睛第71-72页
谁在装束和发型上用尽心思， 谁就没有精力用于学习；谁只注 意修饰外表的美丽，谁就无法得 到内在的美丽。 —— 杨尊田
关系.
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OEP O C D
P
（2）写出图中与∠OAC相等的角. B ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
（3）写出图中所有的全等三角形. △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
例1 PA、PB是⊙O的两条切线，
典例精析 A、B为切点，直线OP交于⊙O于点
∴r=4 即⊙O半径为4
r 12(102426) r 12(abc)
例3 如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点
E，△PCD的周长为12，∠APB=60°．求： （1）PA的长； （2）∠COD的度数．
解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线， ∴CA=CE 同理DE=DB，PA=PB
∴三角形PDE的周长 =PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD =PA+PB =2PA =12，
过⊙O外一点作⊙O的切线
A
OO
P
B
获取新知
一、切线长定义:
A
经过圆外一点做圆
的切线，这点和切点之间
的线段的长叫做这点到
O
P
圆的切线长。
切线与切线长的区别与联系： B
（1）切线是一条与圆相切的直线； （2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。
北师大版丨九下数学3.7切线长定理知识点精讲！
北师大版丨九下数学3.7切线长定理知识点精讲！
知识点总结
(一）切线的判定定理和性质定理
1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
（二）切线长定理
1.切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.注意：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.
2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
3.圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.
（三）三角形的内切圆
1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
注意：
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
切线长的定义
1.切线长的定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长．
2.切线长与切线的区别在哪里？
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
几何语言:
切线的性质。
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3.7切线长定理
一、选择题
1. 一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( ) A ．21 B ．20 C ．19 D ．18
2.如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，AC 是⊙O 的直径，连结AB 、BC 、OP ，则与∠PAB 相等的角(不包括∠PAB 本身)有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3.如图，已知△ABC 的内切圆⊙O 与各边相切于点D 、E 、F ，则点O 是△DEF 的( ) A ．三条中线的交点B ．三条高的交点
C ．三条角平分线的交点
D ．三条边的垂直平分线的交点
4.△ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（ ） A ．120° B ．125° C ．135° D ．150°
5.一个钢管放在V 形架内，右图是其截面图，O 为钢管的圆心．如果钢管的半径为25cm ，∠MPN = 60 ，则OP =( )
A ．50cm
B ．25cm
C ．
cm D ．50
cm
6．如图1，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B 两点，C 为劣弧AB 上一点，∠APB=30°，则∠ACB=（ ）． A ．60° B ．75° C ．105° D ．120°
7．圆外一点P ，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，C 为优弧AB 上一点，若∠ACB=a ，则∠APB=（ ） A ．180°-a B ．90°-a C ．90°+a D ．180°-2a 33
3
503
二、填空题
8. 如图，在△ABC 中，，cosB ． 如果⊙O
cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO=cm ．
9.如图，、分别切⊙于点、，点是⊙上一点，且
，则度． 10. 如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若
AD=20，则△ABC 的周长是．
11. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为点A 、B ，若直径AC= 12，∠P=60o
，弦AB 的长为．
三、解答题：
12. 如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长．
13. 如图，已知AB 为⊙O 的直径，AD 、BC 、CD 为⊙O 的切线，切点分别是A 、B 、E ，则有一下结论：（1）CO ⊥DO ；（2）四边形OFEG 是矩形.试说明理由.
14.如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°． （1）求∠APB 的度数；
（2）当OA ＝3时，求AP 的长．
15. 如图，在△ABC 中，已知∠ABC=90o
，在AB 上取一点E ，以BE 为直径的⊙O 恰与AC 相切于点D ，若AE=2 cm ，AD=4 cm ． (1)求⊙O 的直径BE 的长； (2)计算△ABC 的面积． 5cm AB AC ==35
=
PA PB O A B E O
60=∠AEB =∠P
参考答案
1. C
2. B (提示：②④错误)
3. D （提示：AD=AF,BD=BE,CE=CF ∴周长=821218
⨯+⨯=）
4. C
5. D
6. C
7.D
8. A（提示：∠MPN=600可得∠OPM=300可得OP=2OM=50）
（提示：连接OB，易得：∠ABC=∠AOB ∴cos∠AOB=cos∠3
5
=
OB
OA
=
os300=AB
AC
∴
AB=
10. ∠P=600
11. 760（提示：连接ID,IF ∵∠DEF=520∴∠DIF=1040∵D、F是切点∴DI⊥AB,IF⊥AC
∴∠ADI=∠AFI=900∴∠A=1800-1040=760）
12. 52 (提示：AB+CD=AD+BC)
13. 1150 (提示：∵∠A=500∴∠ABC+∠ACB=1300∵OB,OC分别平分∠ABC,∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=650∴∠BOC=1800-650=1150)
14. 解：∵AD,AE切于⊙O于D,E ∴AD=AE=20 ∵AD,BF切于⊙O于D,F ∴BD=BF 同理：CF=CE ∴C△ABC=AB+BC+AC=AB+BF+FC+AC=AB+BD+EC+AC=AD+AE=40
14 解：（1）∵在△ABO中，OA＝OB，∠OAB＝30°
∴∠AOB＝180°－2×30°＝120°
∵PA、PB是⊙O的切线
∴OA⊥PA，OB⊥PB．即∠OAP＝∠OBP＝90°
∴在四边形OAPB中，
∠APB＝360°－120°－90°－90°＝60°．
（2）如图①，连结OP
∵PA 、PB 是⊙O 的切线
∴PO 平分∠APB ，即∠APO
＝1
2
∠APB ＝30°
又∵在Rt △OAP 中，OA ＝3， ∠APO ＝30° ∴AP ＝tan 30OA
°
＝
15 解：（1）连接OD ∴OD ⊥AC ∴△ODA 是Rt △
设半径为r ∴AO=r+2 ∴（r+2）2
—r 2
=16 解之得：r=3 ∴BE=6
(2) ∵∠ABC=900
∴OB ⊥BC ∴BC 是⊙O 的切线 ∵CD 切⊙O 于D ∴CB=CD 令CB=x
∴AC=x+4，BC=4，AB=x ，AB=8 ∵ ∴
∴S △ABC =
222
8(4)x x +=+6x =1
86242
⨯⨯=。