广东省2020年高考数学试题分类汇(2)简易逻辑
广东高考文科数学 试题分类汇编 集合与简易逻辑
1.集合与简易逻辑(2007年高考广东卷第1小题)已知集合1{10{0}1M x x N x x=+>=>-，，则M N =（C ）A ．{11}x x -<≤B ．{1}x x >C ．{11}x x -<<D ．{1}x x -≥(2008年高考广东卷第1小题)第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（D ） A. A B ⊆B. B C ⊆C. B ∪C = AD. A∩B = C(2009年高考广东卷第1小题).已知全集U=R ，则正确表示集合M= {－1，0，1} 和N= { x |x 2+x=0} 关系的韦恩（Venn ）图是【答案】B【解析】由N= { x |x 2+x=0}{1,0}-得N M ⊂,选B.(2010年高考广东卷第1小题)若集合A =｛0，1，2，3｝，B =｛1，2，4｝，则集合A B =( A.)A ．｛0，1，2，3，4｝B ．｛1，2，3，4｝C ．｛1，2｝D ．｛0｝(2010年高考广东卷第8小题) “x >0”是>0”成立的( A.)A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件(2011年高考广东卷第2小题)已知集{}{}22(,),1,(,),1A x y x y x y B x y x y x y =+==+=为实数，且为实数，且，则A B 的元素个数为(C)A ．4 B.3 C.2 D. 1(2012年高考广东卷第2小题)2．设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,3,5M =，则U C M =(A)A ．{}2,4,6B ．{}1,3,5C ．{}1,2,4D ．U (2013年高考广东卷第1题)1．已知集合{}220,S x x x x R=+=∈，{}220,T x x x x R=-=∈，则ST =（ A ）A.{0}B.{0,2}C.{-2,0}D. {-2,0,2}(2014年高考广东卷第1小题)已知集合{}{}5,3,2,0,4,3,2==N M ,则N M （ B ）A. {}2,0B. {}3,2C. {}4,3D. {}5,3(2014年高考广东卷第7小题)在ABC ∆中，角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a 则“b a ≤”是“B A sin sin ≤”的（ A ）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件。
专题2 集合与简易逻辑用语-2020届全国卷高考数学真题分类汇编含答案
专题2 集合与简易逻辑用语研究发现，课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和延续性，每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定，掌握了全国卷的各种题型，就把握了全国卷命题的灵魂，基于此，潜心研究全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及高考数学考试说明，精心分类汇总至少最近三年全国卷的所有题型（按年份先理后文排列），对把握全国卷命题的方向，指导我们的高考有效复习，走出题海，快速提升成绩，会起到事半功倍的效果。
集合与简易逻辑用语——近3年集合考了18道，每年每卷都是1题，简易逻辑用语近3年未考，在2015年和2017年各考了1题，集合都是以子、交、并、补的运算为主，多以解不等式等交汇，难度较低，基本上是每年的送分题，相信命题小组对集合题进行大幅度变化的决心不大。
简易逻辑用语这个考点包含的小考点较多，并且容易与函数、不等式、数列、三角函数、立体几何等交汇，热点就是“充要条件”，难点是“否定”与“否命题”，冷点是“全称”与“特称”，思想是“逆否”，要注意，这类问题可分为两大类，一类只涉及形式的变换，比较简单，另一类涉及命题的真假判断，较为复杂。
1.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理2））已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A=（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}【考点】补集及其运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；不等式．【分析】通过求解不等式，得到集合A，然后求解补集即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，可得A={x|x＜﹣1或x＞2}，则：∁R A={x|﹣1≤x≤2}．故选：B．【点评】本题考查不等式的解法，补集的运算，是基本知识的考查．2.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理1））已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（）A．A∩B={x|x＜0} B．A∪B=RC．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．3.（2016年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理1））设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；定义法；集合．【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．4.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理2））已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9 B．8 C．5 D．4【考点】集合中元素个数的最值．【专题】分类讨论；定义法；集合．【分析】分别令x=﹣1，0，1，进行求解即可．【解答】解：当x=﹣1时，y2≤2，得y=﹣1，0，1，当x=0时，y2≤3，得y=﹣1，0，1，当x=1时，y2≤2，得y=﹣1，0，1，即集合A中元素有9个，故选：A．【点评】本题主要考查集合元素个数的判断，利用分类讨论的思想是解决本题的关键．5.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标2卷数学（理2））设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}【考点】交集及其运算．【专题】方程思想；定义法；集合．【分析】由交集的定义可得1∈A且1∈B，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合B．【解答】解：集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，可得1﹣4+m=0，解得m=3，即有B={x|x2﹣4x+3=0}={1，3}．故选：C．【点评】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法，运用定义法是解题的关键，属于基础题．6. （2016年普通高等学校招生统一考试新课标2卷数学（理2））已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B等于（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}【考点】并集及其运算．【专题】计算题；转化思想；定义法；集合．【分析】先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}={0，1}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选：C．【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．7.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅲ卷数学（理1））已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】37：集合思想；4A：数学模型法；5J：集合．【分析】求解不等式化简集合A，再由交集的运算性质得答案．【解答】解：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}．故选：C．【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．8. （2017年普通高等学校招生统一考试新课标3卷数学（理1））已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】解不等式组求出元素的个数即可．【解答】解：由，解得：或，∴A∩B的元素的个数是2个，故选：B．【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题．9. （2016年普通高等学校招生统一考试新课标3卷数学（理1））设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），∵T=（0，+∞），∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．10.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（文1））已知集合A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{0，2}B．{1，2}C．{0}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；49：综合法；5J：集合．【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可．【解答】解：集合A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B={0，2}．故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，交集的求法，是基本知识的考查．11.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（文1））已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（）A．A∩B={x|x＜} B．A∩B=∅C．A∪B={x|x＜}D．A∪B=R【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；5J：集合．【分析】解不等式求出集合B，结合集合交集和并集的定义，可得结论．【解答】解：∵集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}={x|x＜}，∴A∩B={x|x＜}，故A正确，B错误；A∪B={x||x＜2}，故C，D错误；故选：A．【点评】本题考查的知识点集合的交集和并集运算，难度不大，属于基础题．12. （2016年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（文1））设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；5J：集合．【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可．【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B={3，5}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力．13.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标2卷数学（文2））已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（）A．{3}B．{5}C．{3，5}D．{1，2，3，4，5，7}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，∴A∩B={3，5}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标2卷数学（文1））设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{2，3，4}D．{1，3，4}【考点】1D：并集及其运算．【专题】11：计算题；49：综合法．【分析】集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，求A∪B，可用并集的定义直接求出两集合的并集．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，3，4}，∴A∪B={1，2，3，4}故选：A．【点评】本题考查并集及其运算，解题的关系是正确理解并集的定义及求并集的运算规则，是集合中的基本概念型题．15.（2016年普通高等学校招生统一考试新课标2卷数学（文1））已知集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{1，2，3}D．{1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B的值．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}={x|﹣3＜x＜3}，∴A∩B={1，2}．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．16.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标3卷数学（文1））已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】37：集合思想；4A：数学模型法；5J：集合．【分析】求解不等式化简集合A，再由交集的运算性质得答案．【解答】解：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}．故选：C．【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题17.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标3卷数学（文1））已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】1E：交集及其运算【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B中元素的个数．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，∴A∩B={2，4}，∴A∩B中元素的个数为2．故选：B．【点评】本题考查交集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．18.（2016年普通高等学校招生统一考试新课标3卷数学（文1））设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁A B=（）A．{4，8}B．{0，2，6}C．{0，2，6，10} D．{0，2，4，6，8，10}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题；29：规律型；5J：集合．【分析】根据全集A求出B的补集即可．【解答】解：集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁A B={0，2，6，10}．故选：C．【点评】本题考查集合的基本运算，是基础题．19. （2015年普通高等学校招生统一考试新课标3卷数学（理3））设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n【考点】2J：命题的否定．【专题】5L：简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．20. （2017年普通高等学校招生统一考试新课标1卷数学（理3））设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】2A：探究型；5L：简易逻辑；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；p 3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠，故命题p3为假命题；p4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，难度不大，属于基础题．。
广东省部分地区2020届高三上学期考试数学理试题分类汇编：集合与常用逻辑用语
3、D 8、C 13、B
4、A 9、D 14、D
5、A 10、C 15、B
二、常用逻辑用语
1、（惠州市 2020 届高三第二次调研）设 p ：实数 x, y 满足 (x −1)2 + ( y −1)2 ≤ 2 ，q ：实数 x, y 满
y≥ x −1
A．{x x > 1}
B．{x x ≥ 1}
C．{x x > 0}
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D．{x x ≥ 0}
10、（广东省六校 2020 届高三第二次联考）已知集合=P {x | x2 − 2x − 3 < 0},=Q {x | 2x > 1} ，则
PQ =( ) A. {x | x > −1}
B. {x | x < −1}
广东省部分地区 2020 届高三上学期考试数学理试题分类汇编
集合与常用逻辑用语
一、集合
{ } { } 1、（广东省 2020 届高三调研考试 I）已知集合 A = x x < 4 ， B = x x2 − 5x ≤ 0 ，则 A B =
A.{x 0 ≤ x < 4} B.{x x ≤ 5} C.{x 0 < x < 4} D.{x x ≤ 0}
（B） (2, 3]
（C） (−∞, 3]
（D） (2, + ∞)
8、（惠州市 2020 届高三第二次调研）集合 M = {x | lg x > 0}, N = {x | x2 ≤ 4} ，则 M N =
（）
A． (−2, 0)
B．[1, 2)
C． (1, 2]
D． (0, 2]
广东省高考数学(理科)
2020年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2010•广东）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，则集合A∩B=（）A ．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|0＜x＜1}2．（5分）（2010•广东）若复数z1=1+i，z2=3﹣i，则z1•z2=（）A．4+2i B．2+i C．2+2i D．33．（5分）（2010•广东）若函数f（x）=3x+3﹣x与g（x）=3x﹣3﹣x的定义域均为R，则（）A．f（x）与g（x）均为偶函数B．f（x）为奇函数，g（x）为偶函数C．f（x）与g（x）均为奇函数D．f（x）为偶函数，g（x）为奇函数4．（5分）（2010•广东）已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．35 B．33 C．31 D．295．（5分）（2010•广东）“”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的（）A．充分非必要条件B．充分必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件6．（5分）（2010•广东）如图，△ABC为三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC 且3AA′=BB′=CC′=AB，则多面体△ABC﹣A′B′C′的正视图（也称主视图）是（）A．B．C．D．7．（5分）（2010•广东）sin7°cos37°﹣sin83°cos53°的值为（）A．﹣B．C．D．﹣8．（5分）（2010•广东）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（）A1205秒B1200秒C1195秒D1190秒．．．．二、填空题（共7小题，满分30分）9．（5分）（2011•上海）函数f（x）=lg（x﹣2）的定义域是_________．10．（5分）（2010•广东）若向量，，，满足条件，则x=_________．11．（5分）（2010•广东）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC=_________．12．（5分）（2010•广东）若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是_________．13．（5分）（2010•广东）某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x1，…，x4（单位：吨）．根据如图所示的程序框图，若分别为1，1.5，1.5，2，则输出的结果s为_________．14．（5分）（2010•广东）如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，他们相交于AB的中点P，，∠OAP=30°，则CP=_________．15．（2010•广东）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1的交点的极坐标为_________．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（14分）（2010•广东）已知函数f（x）=Asin（3x+ρ）（A＞0，x∈（﹣∞，+∞），0＜ρ＜π）在时取得最大值4．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的解析式；（3）若，求sinα．17．（12分）（2010•广东）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．18．（14分）（2010•广东）如图，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足，．（1）证明：EB⊥FD；（2）已知点Q，R为线段FE，FB上的点，，，求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值．19．（12分）（2010•广东）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？20．（14分）（2010•广东）已知双曲线的左、右顶点分别为A1，A2，点P（x1，y1），Q（x1，﹣y1）是双曲线上不同的两个动点．（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；（2）若过点H（0，h）（h＞1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值．21．（14分）（2010•广东）设A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离ρ（A，B）为ρ（A，B）=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|对于平面xOy上给定的不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），（1）若点C（x，y）是平面xOy上的点，试证明ρ（A，C）+ρ（C，B）≥ρ（A，B）；（2）在平面xOy上是否存在点C（x，y），同时满足①ρ（A，C）+ρ（C，B）=ρ（A，B）②ρ（A，C）=ρ（C，B）若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明．参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．D 2．A3．D 4. C5. 解：由x2+x+m=0知，⇔．（或由△≥0得1﹣4m≥0，∴．），反之“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”必有，未必有，因此“”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的充分非必要条件．故选A．6. 解：△ABC为三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC，且3AA′=BB′=CC′=AB，则多面体△ABC﹣A′B′C′的正视图中，CC′必为虚线，排除B，C，3AA′=BB′说明右侧高于左侧，排除A．故选D7. 解：sin7°cos37°﹣sin83°cos53°=cos83°cos37°﹣sin83°sin37°=cos（83°+37°）=cos120°=﹣，8. 解：由题意知共有5！=120个不同的闪烁，每个闪烁时间为5秒，共5×120=600秒；每两个闪烁之间的间隔为5秒，共5×（120﹣1）=595秒．那么需要的时间至少是600+595=1195秒．故选C二、填空题（共7小题，满分30分）9．（2，+∞10．211. 1．12．（x+2）2+y2=213. 解：程序运行过程中，各变量值变化情况如下表：第一（i=1）步：s1=s1+x i=0+1=1第二（i=2）步：s1=s1+x i=1+1.5=2.5第三（i=3）步：s1=s1+x i=2.5+1.5=4第四（i=4）步：s1=s1+x i=4+2=6，s=×6=第五（i=5）步：i=5＞4，输出s=故答案为：14. 解：因为点P是AB的中点，由垂径定理知，OP⊥AB．在Rt△OPA中，．由相交弦定理知，BP•AP=CP•DP，即，所以．故填：15. 解：两条曲线的普通方程分别为x2+y2=2y，x=﹣1．解得由得点（﹣1，1），极坐标为．故填：三、解答题（共6小题，满分80分）16．解：（1）由周期计算公式，可得T=（2）由f（x）的最大值是4知，A=4，即sin（）=1∵0＜ρ＜π，∴∴，∴∴f（x）=4sin（3x+）（3）f（）=4sin[3（）+]=，即sin[3（）+]=，，，，17. 解：（1）重量超过505克的产品数量是40×（0.05×5+0.01×5）=12件；（2）Y的所有可能取值为0，1，2；，，，Y的分布列为（3）从流水线上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量超过505克的概率服从二项分布∴从流水线上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为=18. 1）证明：连接CF，因为是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，所以EB⊥AC．在RT△BCE中，．在△BDF中，，△BDF为等腰三角形，且点C是底边BD的中点，故CF⊥BD．在△CEF中，，所以△CEF为Rt△，且CF⊥EC．因为CF⊥BD，CF⊥EC，且CE∩BD=C，所以CF⊥平面BED，而EB⊂平面BED，∴CF⊥EB．因为EB⊥AC，EB⊥CF，且AC∩CF=C，所以EB⊥平面BDF，而FD⊂平面BDF，∴EB⊥FD．（2）解：设平面BED与平面RQD的交线为DG．由，，知QR∥EB．而EB⊂平面BDE，∴QR∥平面BDE，而平面BDE∩平面RQD=DG，∴QR∥DG∥EB．由（1）知，BE⊥平面BDF，∴DG⊥平面BDF，而DR，DB⊂平面BDF，∴DG⊥DR，DG⊥DB，∴∠RDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角．在Rt△BCF中，，，．在△BDR中，由知，，由余弦定理得，=由正弦定理得，，即，．故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值为．19. 解：设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位的晚餐，设费用为F，则F=2.5x+4y，由题意知约束条件为：画出可行域如下图：变换目标函数：20. 解：（1）由A1，A2为双曲线的左右顶点知，，则，，两式相乘得，因为点P（x1，y1）在双曲线上，所以，即，所以，即，故直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程为．（x≠，x≠0）（2）设l1：y=kx+h（k＞0），则由l1⊥l2知，．将l1：y=kx+h代入得，即（1+2k2）x2+4khx+2h2﹣2=0，若l1与椭圆相切，则△=16k2h2﹣4（1+2k2）（2h2﹣2）=0，即1+2k2=h2；同理若l2与椭圆相切，则．由l1与l2与轨迹E都只有一个交点包含以下四种情况：[1]直线l1与l2都与椭圆相切，即1+2k2=h2，且，消去h2得，即k2=1，从而h2=1+2k2=3，即；[2]直线l1过点，而l2与椭圆相切，此时，，解得；[3]直线l2过点，而l1与椭圆相切，此时，1+2k2=h2，解得；[4]直线l 1过点，而直线l2过点，此时，，∴．综上所述，h的值为．21. （1）证明：由绝对值不等式知，ρ（A，C）+ρ（C，B）=|x﹣x1|+|x2﹣x|+|y﹣y1|+|y2﹣y≥|（x﹣x1）+（x2﹣x）|+|（y﹣y1）+（y2﹣y）|=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|=ρ（A，B）当且仅当（x﹣x1）•（x2﹣x）≥0，且（y﹣y1）•（y2﹣y）≥0时等号成立．（2）解：由ρ（A，C）+ρ（C，B）=ρ（A，B）得（x﹣x1）•（x2﹣x）≥0且（y﹣y1）•（y2﹣y）≥0 （Ⅰ）由ρ（A，C）=ρ（C，B）得|x﹣x1|+|y﹣y1|=|x2﹣x|+|y2﹣y|（Ⅱ）因为A（x1，y1），B（x2，y2）是不同的两点，则：1°若x1=x2且y1≠y2，不妨设y1＜y2，由（Ⅰ）得x=x1=x2，且y1≤y≤y2，由（Ⅱ）得，此时，点C是线段AB的中点，即只有点满足条件；2°若x1≠x2且y1=y2，同理可得：只有AB的中点满足条件；3°若x1≠x2且y1≠y2，不妨设x1＜x2且y1＜y2，由（Ⅰ）得x1≤x≤x2且y1≤y≤y2，由（Ⅱ）得，此时，所有符合条件的点C的轨迹是一条线段，即：过AB的中点，斜率为﹣1的直线夹在矩形AA1BB1之间的部分，其中A（x1，y1），A1（x2，y1），B（x2，y2），B1（x1，y2）．。
2020年高考数学真题汇编 1：集合与简易逻辑 理
2020高考真题分类汇编：集合与简易逻辑1.【2020高考真题浙江理1】设集合A={x|1＜x ＜4}，集合B ={x|2x -2x-3≤0}, 则A ∩（C R B ）=A .(1,4)B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2)∪（3,4） 【答案】B 2.【2020高考真题新课标理1】已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【答案】D3.【2020高考真题陕西理1】集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则M N =（ ）A. (1,2)B. [1,2)C. (1,2]D. [1,2] 【答案】C.4.【2020高考真题山东理2】已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,3,2,4A B ==，则U C AB 为（A ）{}1,2,4 （B ）{}2,3,4 （C ）{}0,2,4 （D ）{}0,2,3,4 【答案】C5.【2020高考真题辽宁理1】已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则)()(B C A C U U 为(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6} 【答案】B【点评】本题主要考查集合的交集、补集运算，属于容易题。
采用解析二能够更快地得到答案。
6.【2020高考真题辽宁理4】已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是(A) ∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0(B) ∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 (C) ∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 (D) ∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 【答案】C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于容易题。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(广东卷,解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（广东卷，解析版）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时．请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的．答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式V =13sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合A={x|-2＜x ＜1},B=A={x|0＜x ＜2},则集合A ∩B=A.{x|-1＜x ＜1}B.{x|-2＜x ＜1}C.{x|-2＜x ＜2}D.{x|0＜x ＜1} 1． 答案：D【命题意图】本题考查了集合的运算，考查了学生的计算能力。
【解析】本题考查了集合的运算。
结合数轴易得}10|{<<=x x B A I ．2.若复数z 1=1+i,z 2=3-i,则z1`z1= A.4+2i B.2+i C.2+2i D.3+i 2．答案：A【命题意图】本题考查复数的乘法运算，考查了学生的计算能力。
【解析】本题考查复数的乘法运算，考查了学生的计算能力。
计算得212(1)(3)3342z z i i i i i i •=+•-=-+-=+．3.若函数f(x)=3x+3x-与g(x)=33xx--的定义域均为R ，则 A ．f(x)与g(x)均为偶函数 B ．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数 C ．f(x)与g(x)均为奇函数 D ．f(x)为偶函数．g(x)为奇函数3．答案：B4．已知数列{n a }为等比数列，ns 5是它的前n 项和,若2a *3a =2a ．，且4a 与27a 的等差中项为54，则5s = A ．35 B ．33 C ．3l D ．29 4．答案：C5. “14m <”是“一元二次方程20x x m ++=有实数解”的 A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 5．答案：A 【命题意图】本题是在知识的文汇处命题，考查了充要条件的相关知识及一元二次方程有解的条件【解析】本题考查充要条件的相关知识及一元二次方程有解的条件。
高考数学模拟试题分类汇编：集合与简易逻辑
高考数学模拟试题分类汇编：集合与简易逻辑一、选择题1、(某某省某某执信中学、某某纪念中学、某某外国语学校三校期末联考)设全集U=R ，A={x∈N ︱1≤x ≤10}，B={ x ∈R ︱x 2+ x －6=0}，则下图中阴影表示的集合为（ ） A ．{2} B ．{3} C ．{－3，2}D ．{－2，3} 答案：A 2、(某某省启东中学2008年高三综合测试一)当x ∈R ，下列四个集合中是空集的是（ ） A. {x|x 2-3x+2=0} B. {x|x 2＜x} C. {x|x 2-2x+3=0} C. {x|sinx+cosx=65} 答案：C3、(某某省启东中学2008年高三综合测试一)若命题“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，则（ ）A.命题p 和命题q 都是假命题B.命题p 和命题q 都是真命题C.命题p 和命题“非q ”的真值不同D. 命题p 和命题q 的真值不同 答案：D4、(某某省启东中学2008年高三综合测试一)设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为M-P={x|x ∈M 且x ∉p},则M-（M-P ）等于（ ） A. P B. M P C. MP D. M答案：B5、(某某省启东中学高三综合测试二)定义集合A*B ＝｛x |x ∈A,且x ∉B ｝,若A ＝｛1，3，5，7｝，B ＝｛2，3，5｝，则A*B 的子集个数为A.1B.2C.3D.4 答案：D6、(某某省启东中学高三综合测试二)已知集合{}4,3,2,1=A ，集合{}2,1-=B ，设映射B A f →:，如果集合B 中的元素都是A 中元素的f 下的象，那么这样的映射f 有A ．16个B ．14个C ．12个D ．8个答案：B7、(某某省启东中学高三综合测试二)若A.、B 均是非空集合，则A ∩B ≠φ是A ⊆B 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件 答案：B8、(某某省启东中学高三综合测试三)已知0<a<1，集合A={x||x －a|<1}, B={x|log a x>1}，若A ∩B=A ．(a －1,a)B ．(a,a+1)C ．(0,a)D ．(0,a+1)答案：C 9、(某某省启东中学高三综合测试四)已知集合}4,3,2,1{=I , }1{=A ,}4,2{=B , 则A ( I B )=（）A ．}1{B ．}3,1{C ．}3{D ．}3,2,1{ 答案：B10、(某某省皖南八校2008届高三第一次联考)已知条件p ：2|1|>+x ，条件q ：a x >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值X 围可以是（）A ．1≥a ；B ．1≤a ；C ．1-≥a ；D ．3-≤a ；答案：A11、(某某省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)已知集合A={x|x-m<0}，B={y|y=x 2+2x ，x ∈N}，若A∩B=Φ，则实数m 的X 围为A ．m≤-1B ．m<-1C ．m≤0D ．m<0答案：C12、(某某长安二中2008届高三第一学期第二次月考)已知集合M =},23|{2R a a a x x ∈+-=，N =},|{2R b b b x x ∈-=，则N M ,的关系是A ．M ≠⊆NB ．M ≠⊇NC ．M =ND ．不确定答案：C13、(某某省某某市新都一中高2008级一诊适应性测试)设集合M ＝{θ|θ＝k π4，k ∈Z }，N ＝{x |c os2x ＝0，x ∈R }，P ＝{α|si n 2α＝1，α∈R }，则下列关系式中成立的是（ ）A ．P ≠⊂N ≠⊂MB ．P ＝N ≠⊂MC ．P ≠⊂N ＝MD ．P ＝N ＝M 答案：A14、(某某省某某市一诊)已知集合P ＝{a,b,c},Q ＝{－1,0,1}，映射f:P →Q 中满足f(b)＝0的映射个数共有 A 、2个B 、4个C 、6个D 、9个答案：D a 的象有C 31种，c 的象有C 31种，满足f(b)＝0的映射个数为C 31C 31＝9.选D 15、(某某省某某市新都一中高2008级12月月考)集合{|1}P x y x ==-，集合{|1}Q y y x ==-，则P 与Q 的关系是( )A 、P ＝QB 、PQC 、P ≠⊂QD 、P ∩Q ＝∅本题主要考查集合的基本概念和运算解析：P ＝{x|x ≥1}，Q ＝{y|y ≥0}，故P 是Q 的真子集. 答案：C16、(某某省某某市2008届高三第一次模拟考试)已知集合P={x |5x －a ≤0}，Q={x |6x －b >0}，a ,b ∈N, 且A ∩B ∩N={2，3，4}，则整数对(a , b )的个数为（ ） A. 20B. 30C. 42D. 56 答案：B17、(某某省某某市2008届高三第二次教学质量检测)设全集U R =，集合2{2}M x x x x R ==-∈，，{12}N x x x R =+∈，，则()U M N 等于( )A.{2}B.{|1223}x x x -<<<≤，或C.{|1223}x x x -≤<<≤，或D.{|321}x x x x ≤≠≠-，且， 答案：C18、(市某某区2008年高三数学一模)已知集合2M x x，103x N x x ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则集合N M 等于A ．{}2-<x x B ．{}3>x xC ．{}21<<-x xD ．{}32<<x x答案：C19、(市某某区2008年高三数学一模)已知aR 且0a ，则“11<a”是 “a >1的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B20、(市崇文区2008年高三统一练习一)如果全集U=R ，A=⋂=≤<A B x x 则},4,3{},42|{（U B ）（ ） A ．（2，3）∪（3，4） B ．（2，4） C ．（2，3）∪（3，4]D ．（2，4]答案：A21、(市东城区2008年高三综合练习二)设命题42:2>>x x p 是的充要条件，命题b a cbc a q >>则若,:22，则 （ ） A ．“p 或q ”为真B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p ，q 均为假命题答案：A22、(市丰台区2008年4月高三统一练习一)设集合{}25, log (3)A a =+，集合{, }B a b =，若{2}AB =, 则A B 等于（A ）{}1,2,5 （B ）{}1,2,5- （C ）{}2,5,7 （D ）{}7,2,5- 答案：A23、(市丰台区2008年4月高三统一练习一)设集合{} 0 1 2 3 4 5, , , , , S A A A A A A =，在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i + j 被4除的余数 , ,0,1,2,3,4,5i j =.则满足关系式20()x x A A ⊕⊕=的 ()x x S ∈的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 答案：C24、(市海淀区2008年高三统一练习一)若集合{}21,A m =，集合{}2,4B =，则“2m =”是“{}4AB =”的（）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件答案：A25、(市十一学校2008届高三数学练习题)已知A 、B 、C 分别为ΔABC 的三个内角，那么“sin cos A B >”是“ΔABC 为锐角三角形”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B26、(市西城区2008年4月高三抽样测试)若集合2{|540}A x x x =-+<，{|||1}B x x a =-<，则“(23)a ∈，”是“B A ⊆”的（ ）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 答案：A27、(市西城区2008年5月高三抽样测试)设A ，B 是全集I 的两个子集，且A B ⊆，则下列结论一定正确的是（ ）A ．I AB = B ．I A B =C ．()I B A =D ．()II A B =答案：C28、(某某省博兴二中高三第三次月考)若集合()()1,,,2,A B =+∞=-∞全集,U R =则()UA B 是A ．(,1)(2,)-∞+∞B ．(,1)[2,)-∞+∞C ．(,1][2,)-∞+∞D ．(,1](2,)-∞+∞ 答案：C29、(某某省某某市高2008届毕业班摸底测试)已知集合U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3}，集合B={3，5}，则A ∩(U B) =（ ） A ．{2} B ．{2，3，5} C ．{1，4，6}D ．{5}答案：A30、东北区三省四市2008年第一次联合考试)设集合{}{}1,12>=>=x x P x x M ，则下列关系中正确的是A ．M ＝PB ．P P M =C ．M P M =D ．P P M =答案：B31、(东北三校2008年高三第一次联考)若,,R y x ∈则“()324log 2=-+y x xy ”是“0258622=++-+y x y x ”成立的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B32、(东北师大附中高2008届第四次摸底考试)已知命题p ：1≤∈x cos R x ，有对任意，则（ ）A ．1≥∈⌝x cos R x p ，使：存在B ．1≥∈⌝x cos R x p ，有：对任意C ．1>∈⌝x cos R x p ，使：存在D ．1>∈⌝x cos R x p ，有：对任意 答案：C33、(某某省某某一中2007～2008学年上学期期末考试卷)设M 为非空的数集，M ≠⊂{1，2，3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有（ ） A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个答案：B34、(某某省某某一中高2008届第一次模拟检测)集合{}{}2160,2,P x x Q x x n n Z =-<==∈，则P Q =（ ）A ．{}2,2-B ．{}2,2,4,4--C ．{}2,0,2-D ．{}2,2,0,4,4--答案：C35、(某某省某某一中高2008届第一次模拟检测)已知a ﹑b 均为非零向量，:p 0,a b ⋅>:q a b p q 与的夹角为锐角，则是成立的（ ）Ａ．充要条件Ｂ．充分而不必要的条件 Ｃ．必要而不充分的条件Ｄ．既不充分也不必要的条件答案：C36、(某某省师大附中2008年高三上期期末考试)已知命题p : :对任意的,sin 1x R x ∈≤有，则p ⌝是（ ）A ．存在,sin 1x R x ∈≥有B ．对任意的,sin 1x R x ∈≥有C ．存在,sin 1x R x ∈>有D ．对任意的,sin 1x R x ∈>有 答案：C37、(某某省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)设2:x x f →是集合A 到B 的映射，如果B={1，2}，则A ∩B 只可能是( ) A.φ或{1} B.{1} C.φ或{2} D.φ或{1}或{2} 答案：A38、(某某省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)已知α、β是不同的两个平面，直线α⊂a ，直线β⊂b ，命题p ：a 与b 没有公共点；命题q ：βα//，则p 是q 的( )A.充分不必要的条件B.必要不充分的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件B 答案：B39、(某某省某某一中2008年上期期末考试)已知命题p ：不等式12x x m -++>的解集为R ；命题q ：(52)()log m f x x -=为减函数. 则p 是q 成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B40、(某某省河西五市2008年高三第一次联考)已知集合M ＝{x|x ＜3}，N ＝{x |122x>}，则M ∩N 等于（ ）A ∅B {x |－1＜x ＜3}C {x |0＜x ＜3}D {x |1＜x ＜3}答案：B41、(某某省河西五市2008年高三第一次联考)在ABC ∆中，“0>⋅AC AB ”是“ABC ∆为锐角三角形”的（ ） A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件答案：B42、(某某省某某一中2008届高三上期期末考试)已知集合},3sin|{Z n n x x A ∈==π，则集合A 的真子集的个数为（ ）A ．3B ．7C ．15D ．31答案：B43、(某某省某某一中2008届高三上期期末考试)"0102""0)1)(2(">->->--x x x x 或是的（ ） A ．充要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件答案：D44、(某某省2008届六校第二次联考)已知{}{}2230,A x x x B x x a =--<=<, 若A ⊆/B ,则实数a 的取值X 围是( )A. (1,)-+∞B. [3,)+∞C. (3,)+∞D. (,3]-∞ 答案：B45、(某某省2008届六校第二次联考)命题“ax 2－2ax + 3 > 0恒成立”是假命题, 则实数a 的取值X 围是( )A. a < 0或a ≥3B. a ≤0或a ≥3C. a < 0或a >3D. 0<a <3答案：A46、（某某省某某市2008年高三教学质量检测一）已知I 为实数集，2{|20},{|1}M x x x N x y x =-<==-，则I ()M N = （ ）． A ．{|01}x x <<B ．{|02}x x <<C ．{|1}x x <D ．∅ 答案：A 47、（某某省某某市2008年高三教学质量检测一）“2a =”是“函数()f x x a =-在区间[2,)+∞上为增函数”的（ ）.A ．充分条件不必要B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A48、(某某省某某市2008届高三第三次调研考试)设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是（ ）.A ．1B ．3C ．4D ．8解析：{1,2}A =，{1,2,3}A B ⋃=，则集合B 中必含有元素3，即此题可转化为求集合{1,2}A =的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有224=个。
2020届广东省普通高等学校招生全国统一考试模拟(二)数学(文)试题解析
2020届广东省普通高等学校招生全国统一考试模拟（二）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}5217A x x =-<+<，{}24B x x =-<<，则A B =（ ）A ．{}34x x -<< B ．{}24x x -<< C ．{}33x x -<< D ．{}23x x -<<答案：D求出集合A ，B ，由此能求出A B ．解： 解：集合{|5217}{|33}A x x x x =-<+<=-<<，{|24}B x x =-<<， {|23}A B x x ∴⋂=-<<．故选：D ． 点评：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．2．已知复数()z i a i =-（i 为虚数单位，a ∈R ），若z =，则a =（ ） A ．4 B ．2C ．2±D ．2-答案：C先利用复数的乘法化简复数为()1z i a i ai =-=+，再由z ==. 解：因为复数()1z i a i ai =-=+，所以z == 解得2a =± 故选：C 点评：本题主要考查复数的运算和复数的模的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3．小青和她的父母到照相馆排成一排拍照，则小青不站在两边的概率为（ ）A ．13B ．23C ．16D ．12答案：A先求小青不站在两边的站法有多少种，再求三个人全排列的站法，两者之比即可求解. 解：解：小青只能站中间1种站法，其父母站两边有222A =，所以小青不站在两边的站法有212⨯=种站法，三个人全排列有336A =种站法，所以小青不站在两边的概率为2163P ==. 故选：A. 点评：考查用分步计数原理解古典概型问题；基础题.4．若x ，y 满足约束条件30,30,10,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩则2z y x =-的最大值是（ ）A ．9B ．7C ．3D ．6答案：D由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数的答案． 解：解：由x ，y 满足约束条件303010x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪+⎩，作出可行域如图，联立3010x y x +-=⎧⎨+=⎩，解得(1,4)A -，化目标函数2z y x =-为直线方程的斜截式：2y x z =+．由图可知，当直线2y x z =+过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为42(1)6-⨯-=；故选：D ．点评：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．5．《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（ ） A ．1.5尺 B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺答案：D设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意列出方程组求解即可. 解：∵夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列{}n a ，设其首项为1a ，公差为d ，根据题意9131115= 1.510.49.593649.5365.5110S a a a a a d d a d +==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨++==⎩+=⎩⎩， ∴立秋的晷长为4 1.53 4.5a =+=. 故选：D 点评：本题考查等差数列的通项公式、求和公式，属于基础题.6．一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为3π，则该圆锥的体积为（ ）A ．23πB ．233π C ．433π D ．833π 答案：D由题意画出图形，由圆柱的体积求得圆柱的高，再由相似三角形对应边成比例求得圆锥的高，则圆锥体积可求. 解：作出该几何体的轴截面图如图，2BC =，1BD =，设内接圆柱的高为h ， 由213h ππ⨯⨯=，得3h =∵CAB CED △∽△， ∴ED CD AB CB =312=， 得23AB =∴该圆锥的体积为2183233π⨯⨯⨯=. 故选：D. 点评：本题主要考查圆锥的内接圆柱的体积，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递减，()30f -=，则不等式()10f x ->的解集为（ ） A ．()3,3- B ．()2,4-C ．()(),22,-∞-+∞ D ．()4,2-根据题意，由函数的奇偶性与单调性的性质以及(3)0f -=分析可得：(1)0f x ->等价于|1|3x -<，解可得x 的取值范围，即可得答案． 解：解：根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0，)+∞上单调递减， 又由(3)0f -=，则()(1)0(1)(3)(|1|)3|1|3f x f x f f x f x ->⇒->-⇒->⇒-<， 解可得：24x -<<，即不等式的解集为(2,4)-； 故选：B ． 点评：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及绝对值不等式的解法，属于基础题．8．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B .若0FA FB ⋅=，则该双曲线的离心率为（ ） A ．5 B ．2C ．3D ．2答案：D由题意画出图形，可得渐近线的倾斜角，得到1ba=，则离心率可求. 解： 如图，由0FA FB ⋅=，得90AOB ∠=︒， 即45AOF ∠=︒，∴tan 451ba=︒=，即a b =. 则212c b e a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 故选：D.本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查双曲线离心率的求法，是基础题.9．已知数列{}n a 满足11nn na a a +=+（n *∈N ），且11a =，设1n n n b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则2019S =（ ） A ．20182019B ．20192020C ．2019D ．12019答案：B 根据11n n n a a a +=+，变形为11111n n n na a a a ++==+，利用等差数列的定义得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，从而得到1n a n=，然后由()11111n b n n n n ==-++，用裂项相消法求解. 解： 因为11nn na a a +=+， 所以11111n n n na a a a ++==+ 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以1为公差的等差数列，所以()1111nn n a =+-⨯=， 所以1n a n=， 所以()11111n b n n n n ==-++，所以201911111112019 (11223202020202020)S n =-+-++-=-=， 故选：B 点评：本题主要考查等差数列的定义以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．把函数()2sin f x x =的图象向右平移3π个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，关于()g x 的说法有：①函数()g x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称；②函数()g x 的图象的一条对称轴是12x π=-；③函数()g x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()[]0,g x π∈上单调递增，则以上说法正确的个数是（ ） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个答案：C通过平移变换与伸缩变换求得函数()g x 的解析式.由03g π⎛⎫≠ ⎪⎝⎭判断①错误；由212g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭求得最小值判断②正确；由x 的范围求得函数值域判断③正确；由x 的范围可知函数()g x 在[]0,π上不单调判断④错误. 解：把函数()2sin f x x =的图象向右平移3π个单位长度，得2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则()2sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.①∵22sin 0333g πππ⎛⎫⎛⎫=-=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()g x 的图象不关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故①错误； ②∵2sin 21263g πππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()g x 的图象的一条对称轴是12x π=-，故②正确；③当,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，则2sin 223x π⎛⎫⎤-∈ ⎪⎦⎝⎭，即函数()g x在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故③正确；④当[]0,x π∈时，52,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，可知函数()g x 在[]0,π上不单调，故④错误. ∴正确命题的个数为2. 故选：C. 点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查()sin y A ωx φ=+型函数的图象与性质，是中档题.11．已知椭圆C 的焦点为()1,0F c -，()2,0F c ，P 是椭圆C 上一点，若椭圆C 的离心率为2，且112PF F F ⊥，12PF F △的面积为2，则椭圆C 的方程为（ ） A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22142x y +=D ．2214x y +=答案：A利用椭圆的离心率以及三角形的面积，求出a 、b ；即可得到椭圆方程． 解：解：椭圆C 的焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c ，P 是椭圆C 上一点．若椭圆C的离心率为2，且112PF F F ⊥，△12PF F的面积为2，可得：22222122c a b c a a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩a =1b =，所以椭圆方程为：2212x y +=．故选：A ． 点评：本题考查椭圆的简单性质的应用、椭圆方程的求法，是基本知识的考查，属于基础题． 12．已知函数()21cos 12f x ax x =+-（a R ∈），若函数()f x 有唯一零点，则a 的取值范围为（ ）A ．(),0-∞B ．()[),01,-∞+∞C ．(][),01,-∞⋃+∞D ．(][),11,-∞-+∞答案：B根据函数的奇偶性变换得到22sin 2x a x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，设2sin 2x k x =，利用其几何意义根据图象得到范围. 解：()21cos 12f x ax x =+-，易知函数为偶函数，且()00f =，故考虑0x >的情况即可，当0x >时，()21cos 102f x ax x =+-=，即()222sin 21cos 2x x a x x ⎛⎫ ⎪-== ⎪⎪⎝⎭， 设2sin 2xk x=，表示函数2sin 2xy =上的点到原点的斜率，根据图象知： cos 2xy '=，当0x =时，max1y '=，故1k <，故22sin 201x x ⎛⎫ ⎪≤< ⎪ ⎪⎝⎭， ()222sin 21cos 2x x a x x ⎛⎫ ⎪-== ⎪⎪⎝⎭无解，故()[),01,a ∞∞∈-+.故选：B.点评：本题考查了利用导数解决函数的零点问题，将题目转化为函数2sin 2xy =上的点到原点的斜率是解题的关键.二、填空题13．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若214a =，378S =，则公比q =______. 答案：12或2 由214a =，378S =，可得：11174448q q ++=，化简解出即可得出．解： 解：由214a =，378S =， ∴11174448q q ++=，化为：22520q q -+=． 解得12q =或2． 故答案为：12或2． 点评：本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．已知向量()1,3a =，1b =，且向量a 与b 的夹角为3π，则2a b -=______. 答案：2根据向量a 的坐标即可求出||2a =，进而求出a b 的值，进而得出()22a b -的值，从而得出2a b -． 解：解：因为()1,3a =，1b =，且向量a 与b 的夹角为3π (2||12a =+，∴·1a b =，∴()2222444444a b a a b b -=-+=-+=，∴22a b -=．故答案为：2． 点评：本题考查了根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量数量积的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．15．对于任意实数a ，b ，定义{},,min ,,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩函数()2f x ex e =-+，()xg x e =，()()(){}min ,h x f x g x =，若函数()()Q x h x k =-有两个零点，则k 的取值范围为______. 答案：()0,e根据题意得到()h x 解析式为,1()2,1x e x h x ex e x ⎧=⎨-+>⎩，作出其图象，数形结合即可；解：解：因为()2f x ex e =-+单调递减，()xg x e =单调递增，且f （1）e g ==（1），故(){()h x min f x =，,1()}2,1x e x g x ex e x ⎧=⎨-+>⎩，作出函数()h x 的图象如下：函数()()Q x h x k =-有两个零点等价于函数()h x 与直线y k =图象有2个交点， 由图可知，(0,)k e ∈； 故答案为：(0,)e ． 点评：本题主要考查函数与方程的应用，将方程转化为函数图象的交点问题是解决本题的关键．要注意使用数形结合的数学思想，属于中档题．16．如图，在矩形ABCD中，已知22AB AD a==，E是AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成1A DE△，连接1A C.若当三棱锥1A CDE-的体积取得最大值时，三棱锥1A CDE-外接球的体积为823π，则a=______.22，球心在平面DEBC的投影为DC中点G ，根据勾股定理解得R a=，代入体积公式计算得到答案.解：三棱锥1A CDE-的底面积为定值2S a=，故当高最大值，体积最大，易知1A DE△为等腰直角三角形，取DE中点为F，连接1A F，故1A F DE⊥，当平面1A DE⊥平面DEBC2，易知DEC为等腰直角三角形，球心在平面DEBC的投影为DC中点G，且DEC的外接圆半径为r a=，设OG h=，1222FG EC a==故2222222222R h aR a a h⎧=+⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎨=+-⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得R a=，0h=，348233V Rπ==，故2R=，即2a=2.点评：本题考查了三棱锥体积的最值问题，三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2222cos cos 2A a b C c B ⎛-=⋅+⋅ ⎝.（1）求角A 的大小；（2）若62c =，且AB 边上的高等于13AB ，求sin C 的值. 答案：（1）4A π=；（2）310sin C =（1）先根据二倍角余弦公式化简，再根据正弦定理化边为角，即得结果； （2）根据AB 边上的高可得,AD BD 以及BC ，再根据正弦定理求sin C 的值. 解：（1）依题意得1cos 22cos cos 2A a b C c B +⎛=⋅+⋅ ⎝， 2cos cos cos a A b C c B ⋅=⋅+⋅2cos sin cos sin cos A A B C C B =⋅+⋅，()2cos sin A A B C =+2cos sin A A A =.()0,A π∈，sin 0A ∴≠.2cos1A∴=，即2 cos2A=.()0,Aπ∈，4Aπ=.（2）设AB边上的高为CD，在Rt CDA△易得22AD CD==，则42BD=.在Rt CDB△中，根据勾股定理，得22210BC CD BD=+=.在ABC 中，根据正弦定理sin sinAB BCC A=，得262sin3102sin10210AB ACBC⨯⋅===.点评：本题考查二倍角余弦公式、正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.18．如图，四棱锥P ABCD-中，四边形ABCD是边长为4的菱形，PA PC=，BD PA⊥，E是BC上一点，且1BE=，设AC BD O=.（1）证明：PO⊥平面ABCD；（2）若60BAD∠=︒，PA PE⊥，求三棱锥P AOE-的体积.答案：（1）证明见解析；（2）32.（1）由已知可先证BD⊥平面PAC，得到BD PO⊥，再由PO AC⊥，进一步得到PO⊥平面ABCD；（2）根据条件，解三角形求出三棱锥P AOE-的高PO，底面积AOES，再利用棱锥的体积公式求出三棱锥P AOE-的体积解：（1）证明：四边形ABCD是菱形，BD AC∴⊥，O是AC的中点.BD PA⊥，PA AC A=，BD∴⊥平面PAC.PO ⊂平面PAC ，BD PO ∴⊥.PA PC =，O 是AC 的中点，PO AC ∴⊥. AC ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，ACBD O =，PO ∴⊥平面ABCD .（2）解：由四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒， 得ABD △和BCD 都是等边三角形4BD AB ∴==.O 是BD 的中点，2BO ∴=.在Rt ABO △中，2223AO AB BO =-=.在Rt PAO △中，222212PA AO PO PO =+=+. 取BC 的中点F ，连接DF ，则DF BC ⊥.∴在Rt BDF △中，2223DF BD BF =-=1BE =，E ∴是BF 的中点.又O 是BD 的中点，132OE DF ∴==在Rt POE 中，22223PE OE PO PO =+=+.在ABE △中，由余弦定得2222cos12021AE AB BE AB BE =+-⋅︒=.PA PE ⊥，222PA PE AE ∴+=.2212321PO PO ∴+++=.3PO ∴=.AOEABC ABE COE SS S S =--△△△1113344sin12041sin12033222=⨯⨯⨯︒-⨯⨯⨯︒-⨯=， 1133333322P AOE AOE V S PO -∴=⋅=⨯=△.点评：本题考查直线与平面垂直的判定，棱锥的体积的计算，解三角形，余弦定理，三角形的面积公式，考查空间想象能力与思维能力，运算能力，属于中档题.19．为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有15,45以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指产品质量指标值均在(]15,30的产品为合格品，旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所标值在(]示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示.质量指标值频数(]15,202(]20,258(]25,3020(]30,3530(]35,4025(]40,4515合计100（1）请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率.（2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高，根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有95%的把握认为“产品质量高于新设备有关”.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. （3）已知每件产品的纯利润y （单位：元）与产品质量指标值t 的关系式为2,3045,1,1530,t y t <≤⎧=⎨<≤⎩若每台新设备每天可以生产1000件产品，买一台新设备需要80万元，请估计至少需要生产多少天方可以收回设备成本.答案：（1）70%，55%；（2）列联表见解析，有95%的把握认为产品质量高与新设备有关；（3）471天方.（1）根据旧设备所生产的产品质量指标值的频率分布直方图中后3组的频率之和即为旧设备所生产的产品的优质品率，根据新设备所生产的产品质量指标值的频数分布表即可估计新设备所生产的产品的优质品率；（2）根据题目所给的数据填写22⨯列联表，计算K 的观测值2K ，对照题目中的表格，得出统计结论；（3）根据新设备所生产的产品的优质品率，分别计算1000件产品中优质品的件数和合格品的件数，得到每天的纯利润，从而计算出至少需要生产多少天方可以收回设备成本． 解： 解：（1）估计新设备所生产的产品的优质品率为：3025150.770%100++==，估计旧设备所生产的产品的优质品率为：()50.060.030.020.5555%⨯++==. （2）由列联表可得，()2220030554570 4.8 3.84175125100100K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯， ∴有95%的把握认为产品质量高与新设备有关.（3）新设备所生产的产品的优质品率为0.7∴每台新设备每天所生产的1000件产品中，估计有10000.7700⨯=件优质品，有1000700300-=件合格品.∴估计每台新设备一天所生产的产品的纯利润为700230011700⨯+⨯=（元）.8000001700471÷≈（天）， ∴估计至少需要生产471天方可以收回设备成本.点评：本题考查了独立性检验的应用问题，考查了频率分布直方图，也考查了计算能力的应用问题，属于中档题．20．已知曲线C 上每一点到直线l ：2y =-的距离比它到点()0,1F 的距离大1. （1）求曲线C 的方程；（2）曲线C 任意一点处的切线m （不含x 轴）与直线2y =相交于点M ，与直线l 相交于点N ，证明：22FM FN -为定值，并求此定值.答案：（1）24x y =；（2）证明见解析，22FM FN -为定值0.（1）利用抛物线的定义可得曲线C 是顶点在原点，y 轴为对称轴，(0,1)F 为焦点的抛物线，从而求出曲线C 的方程；（2）依题意，切线m 的斜率存在且不等于0，设切线m 的方程为：(0)y ax b a =+≠，与抛物线方程联立，利用△0=得到2b a =-，故切线m 的方程可写为2y ax a =-，进而求出点M ，N 的坐标，用坐标表达出FM 和FN ，即可证得22||||FM FN -为定值． 解：解：（1）由题意可知，曲线C 上每一点到直线1y =-的距离等于该点到点()0,1F 的距离，∴曲线C 是顶点在原点，y 轴为对称轴，()0,1F 为焦点的抛物线. ∴曲线C 的轨迹方程为：24x y =.（2）依题设，切线m 的斜率存在且不等于零，设切线m 的方程为y ax b =+（0a ≠），代入24x y =得()24x ax b =+，即2440x ax b --=.由0∆=得()24160a b +=，化简整理得2b a =-.故切线m 的方程可写为2y ax a =-.分别令2y =，2y =-得M ，N 的坐标为2,2M a a ⎛⎫+⎪⎝⎭，2,2N a a ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭， 2,1FM a a ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，2,3FN a a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.222222190FM FN a a a a ⎛⎫⎛⎫∴-=++--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即22FM FN -为定值0. 点评：本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．21．已知函数()xf x ae ex a =--（a e <），其中e 为自然对数的底数.（1）若2a =，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若函数()f x 的极小值为1-，求a 的值. 答案：（1）2y ex =-；（2）1a =.（1）求导计算()1f e '=，()12f e =-，得到切线方程.（2）考虑0a ≤和0a e <<两种情况，求导得到函数单调区间，得到ln 10e a a -+=，构造函数，根据单调性计算得到答案. 解： （1）2a =，()22x f x e ex ∴=--，()2xf x e e '∴=-，()12f e e e '∴=-=，()1222f e e e =--=-，∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为：()()21y e e x --=-，即2y ex =-.（2）函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，()xf x ae e '=-，当0a ≤时，()0f x '<对于(),x ∈-∞+∞恒成立，()f x ∴在(),-∞+∞单调递减，()f x ∴在(),-∞+∞上无极值.当0a e <<时，令()0f x '>，得lne x a>. ∴当ln ,e x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当,ln e x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<.()f x ∴在,ln e a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减，在ln ,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，∴当lnex a=时，()f x 取得极小值1-. ln ln ln 1e a e e f ae e a a a ⎛⎫∴=--=- ⎪⎝⎭，即ln 10e a a -+=.令()ln 1m x e x x =-+（0x e <<），则()1e e xm x x x-'=-=. 0x e <<，()0m x '∴>，()m x ∴在()0,e 上单调递增.又()10m =，1a.点评：本题考查了求切线方程，根据函数极值求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为221124x y +=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l ()cos 40a a πθ⎛⎫- ⎪⎝=>⎭. （1）求直线l 的直角坐标方程；（2）已知P 是曲线C 上的一动点，过点P 作直线1l 交直线于点A ，且直线1l 与直线l的夹角为45°，若PA 的最大值为6，求a 的值.答案：（1）0x y a +-=（2）2a =（1cos 4a πθ⎛⎫- ⎪⎭=⎝展开，结合cos x ρθ=，sin y ρθ=可得直线l 的直角坐标方程；（2）依题意可知曲线C的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），设(),2sin P αα，写出点P 到直线l 的距离，利用三角函数求其最大值，可得PA 的最大值，结合已知列式求解a 即可.解：（1cos 4a πθ⎛⎫- ⎪⎭=⎝cos cos sin sin 44a ππθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 即cos sin a ρθρθ+=.∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴直线l 的直角坐标方程为x y a +=，即0x y a +-=.（2）依题意可知曲线C的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.设(),2sin P αα，则点P 到直线l 的距离为：d ==∵0a >， ∴当sin 13πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，max d =.又过点P 作直线1l 交直线于点A ，且直线1l 与直线l 的夹角为45， ∴cos 45d PA =，即PA =. ∴PAmax 6=6=.∵2a >，∴解得2a =.点评：本题第一问考查直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，第二问考查了利用椭圆的参数方程求最值，属于中档题.23．已知函数()|1||3|f x x x =-++.（1）解不等式：()6f x ≤；（2）若a ，b ，c 均为正数，且()min a b c f x ++=，证明：()()()222491113a b c +++++≥. 答案：（1）2{|}4x x -≤≤（2）见解析（1）由()()()()22,3134,3122,1x x f x x x x x x ⎧--<-⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩，再分3x <-，31x -≤≤，x >1求解.（2）由（1）得到 4a b c ++=，构造()()()1117a b c +++++=，两边平方展开，再利用基本不等式求解.解：（1）函数()()()()22,3134,3122,1x x f x x x x x x ⎧--<-⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩. 当3x <-时，226x --≤，解得4x ≥-，故43x -≤-＜.当31x -≤≤时，4≤6，恒成立.当1x >时，226x +≤，解得2x ≤，故12x ≤＜，所以不等式的解集为2{|}4x x -≤≤.（2）由（1）知：()min 4f x =，所以：4a b c ++=，所以()()()1117a b c +++++=，所以()()()211149a b c +++++=⎡⎤⎣⎦，所以()()()()()()()()()22211121121121149a b c a b a c b c ++++++++++++++=()()()2223111a b c ⎡⎤≤+++++⎣⎦. 当且仅当43a b c ===时，等号成立. 所以()()()222491113a b c +++++≥. 点评： 本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.。