运筹学基础及应用第五版 胡运权绪论汇总
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《运筹学教程》胡云权-第五版-运筹学复习
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✓ 右端项非负
解的重要概念
可行解（或可行点）：满足所有约束条件的向量 x ( x1 , x 2 , x n )
可行域：所有的可行解的全体
D { x Ax b, x 0}
最优解：在可行域中目标函数值最大（或最小）的可行解，最优解的全体
称为最优解集合
O {x D c x c y, y D }
0
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bi
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运筹学基础及应用第五版 胡运权第四章
在分配问题中，利用不同资源完成不同计划活动的效
率通常用表格形式表示为效率表，表格中数字组成效率 矩阵。
例2. 有一份说明书，要分别翻译成英、日、德、俄 四种文字，交甲、乙、丙、丁四个人去完成。因各人专长 不同，使这四个人分别完成四项任务总的时间为最小。效 率表如下：
效率矩阵用[aij] 表示，为
2 10 9 7
这样松弛问题 L0 变为了求解下述两个问题：
L1 : m ax z 3 x1 2 x2 L2 : m ax z 3 x1 2 x2
2 x1 3 x2 14
x1 x2
0.5 x2 2
4 .5
x1 , x 2 0
2 x1 3 x2 14
x1 x2
0.5 3
x2
4 .5
③矩阵中所有零元素或被划去，或打上括号，但打括 号的零元素少于 m ，这时转入第四步。
第四步：按定理 1 进行如下变换
1. 从矩阵未被直线覆盖的数字中找出一个最小的 k ；
2. 对矩阵中的每行，当该行有直线覆盖时，令 ui= 0， 无直线覆盖的，令 ui= k ；
3. 对矩阵中有直线覆盖的列，令 vj= -k，对无直线覆 盖的列，令 vj= 0 ；
现在还没有任何整数解，可以令（0，0）作为初始整
数解，因此有 z =0 。
（3）分枝
将线性规划问题 L0分为两枝。 在 L0的最优解中，任选一个非整数变量，如 x2=2.5 ； 因 x2 的最优整数解只可能是 x2≤2 或 x2≥3 ，故在 L0中分 别增加约束条件： L0加上约束条件 x2≤2 ，记为 L1； L0加 上约束条件 x2≥3 ，记为 L2 。这样，将分解成两个子问题 L1 和 L2（即两枝）。
x1
,
率通常用表格形式表示为效率表，表格中数字组成效率 矩阵。
例2. 有一份说明书，要分别翻译成英、日、德、俄 四种文字，交甲、乙、丙、丁四个人去完成。因各人专长 不同，使这四个人分别完成四项任务总的时间为最小。效 率表如下：
效率矩阵用[aij] 表示，为
2 10 9 7
这样松弛问题 L0 变为了求解下述两个问题：
L1 : m ax z 3 x1 2 x2 L2 : m ax z 3 x1 2 x2
2 x1 3 x2 14
x1 x2
0.5 x2 2
4 .5
x1 , x 2 0
2 x1 3 x2 14
x1 x2
0.5 3
x2
4 .5
③矩阵中所有零元素或被划去，或打上括号，但打括 号的零元素少于 m ，这时转入第四步。
第四步：按定理 1 进行如下变换
1. 从矩阵未被直线覆盖的数字中找出一个最小的 k ；
2. 对矩阵中的每行，当该行有直线覆盖时，令 ui= 0， 无直线覆盖的，令 ui= k ；
3. 对矩阵中有直线覆盖的列，令 vj= -k，对无直线覆 盖的列，令 vj= 0 ；
现在还没有任何整数解，可以令（0，0）作为初始整
数解，因此有 z =0 。
（3）分枝
将线性规划问题 L0分为两枝。 在 L0的最优解中，任选一个非整数变量，如 x2=2.5 ； 因 x2 的最优整数解只可能是 x2≤2 或 x2≥3 ，故在 L0中分 别增加约束条件： L0加上约束条件 x2≤2 ，记为 L1； L0加 上约束条件 x2≥3 ，记为 L2 。这样，将分解成两个子问题 L1 和 L2（即两枝）。
x1
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运筹学基础及应用第五版 胡运权34015电子教案
例：要离最小的方案。
A
5 S
5 B
5
D
T
C
E
4
即求图中的最小部分树
2、求法
方法一： 避圈法 将图中所有的点分V为V两部分， V——最小部分树中的点的集合 V——非最小部分树中的点的集合
⑴ 任取一点vi，令vi∈V，其他点在V中 ⑵ 在V与V相连的边中取一条最短的边(vi,vj)， 加粗(vi,vj)，令vj∈V ，并在V中去掉vj ⑶ 重复⑵ ，至所有的点均在V之内。
人
ABCDE F
甲
√
√
√
乙
√
√
√
丙
√
√
丁
√
√
戊
√
√
√
己
√
√
√
解：构造一个六阶图如下： 点：表示运动项目。
边：若两个项目之间有同一名运动员报名参加， 则对应的两个点之间连一条边。
A
F
B
E
C
D
为满足题目要求，应 该选择不相邻的点来 安排比赛的顺序：
A—C—B—F—E—D
或D—E—F—B—C—A
§6.2 树图和图的最小部分树
e4
e5
e6 e7
v3
v4
例如：e6= [v2,v3]
特别的，若边e的两个端点重合，则称e为环。
若两个端点之间多于一条边，则称为多重边。 简单图：无环、无多重边的图。
e7 v4
e3
v1 e8
v5
e5
e6 e2
e1
v3
e4
v2
4、点v的次（或度，degree）
与点v关联的边的条数，记为dG(v)或d(v)。 • 悬挂点 次为1的点，如 v5
运筹学胡运权第五版课件
运筹学胡运权第五 版课件大纲
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汇报人：
目录
添加目录项标题 运筹学基础知识 整数规划 图论与网络优化
课件概览 线性规划 动态规划
01
添加章节标题
02
课件概览
课件简介
课程名称：运筹学胡运权第五版课件 课程内容：包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、图与网络优化等 课程目标：帮助学生掌握运筹学的基本理论和方法提高分析和解决问题的能力 课程特点：理论与实践相结合注重案例分析和实际问题的解决
最小生成树问题：在无向图中寻找最小生 成树
最大流问题：在流网络中寻找最大流
最小费用流问题：在流网络中寻找最小费 用流
网络可靠性问题：评估网络可靠性提高网 络稳定性
网络优化算法：如Dijkstr算法、Floyd算 法、Kruskl算法等
网络优化算法
最短路径算 法：Dijkstr
算法、 Floyd算法
等
图论与网络优化应用案例
物流网络优化：通过图论方 法优化物流网络降低物流成 本
社交网络优化：通过图论方 法优化社交网络提高社交网
络的稳定性和可靠性
交通网络优化：通过图论方 法优化交通网络提高交通效 率
电力网络优化：通过图论方 法优化电力网络提高电力系
统的稳定性和可靠性
感谢观看
汇报人：
课件结构
• 运筹学概述 • 线性规划 • 非线性规划 • 动态规划 • 随机规划 • 决策分析 • 网络规划 • 排队论 • 库存论 • 博弈论 • 运筹学应用案例 • 运筹学发展前景 • 运筹学与其他学科的关系 • 运筹学学习方法与技巧
课件特点
内容全面：涵盖了运筹学的基本概念、理论和方法 结构清晰：按照章节进行划分便于理解和掌握 实例丰富：提供了大量的实例和案例便于理解和应用 习题丰富：提供了大量的习题和练习便于巩固和提高
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课件概览 线性规划 动态规划
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课件简介
课程名称：运筹学胡运权第五版课件 课程内容：包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、图与网络优化等 课程目标：帮助学生掌握运筹学的基本理论和方法提高分析和解决问题的能力 课程特点：理论与实践相结合注重案例分析和实际问题的解决
最小生成树问题：在无向图中寻找最小生 成树
最大流问题：在流网络中寻找最大流
最小费用流问题：在流网络中寻找最小费 用流
网络可靠性问题：评估网络可靠性提高网 络稳定性
网络优化算法：如Dijkstr算法、Floyd算 法、Kruskl算法等
网络优化算法
最短路径算 法：Dijkstr
算法、 Floyd算法
等
图论与网络优化应用案例
物流网络优化：通过图论方 法优化物流网络降低物流成 本
社交网络优化：通过图论方 法优化社交网络提高社交网
络的稳定性和可靠性
交通网络优化：通过图论方 法优化交通网络提高交通效 率
电力网络优化：通过图论方 法优化电力网络提高电力系
统的稳定性和可靠性
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课件结构
• 运筹学概述 • 线性规划 • 非线性规划 • 动态规划 • 随机规划 • 决策分析 • 网络规划 • 排队论 • 库存论 • 博弈论 • 运筹学应用案例 • 运筹学发展前景 • 运筹学与其他学科的关系 • 运筹学学习方法与技巧
课件特点
内容全面：涵盖了运筹学的基本概念、理论和方法 结构清晰：按照章节进行划分便于理解和掌握 实例丰富：提供了大量的实例和案例便于理解和应用 习题丰富：提供了大量的习题和练习便于巩固和提高
运筹学基础及应用第五版 胡运权第三章
例3
设有三个化肥厂供应四个地区的农用化肥，假
定等量的化肥在这些地区使用效果相同，已知各化肥厂 年产量，各地区年需要量及从各化肥厂到各地区单位化 肥的运价表如下，试决定使总的运费最节省的化肥调拨 方案。
解：这是一个产销不平衡的运输问题，总产量为
160万t，四个地区最低需求为110万t ，最高需求为无限。 当其它地区都是满足最低需求时，第Ⅳ地区每年最多能 分配到60万t ，这样最高需求就是210万t，大于产量。 为建立产销平衡表，在表中增加一假想化肥厂D ， 其年产量为50万t 。并把各地区的最低需求和额外需求 区分开来，建立产销平衡表。
例1
现在把问题概括一下，在线性规划中我们研究这样 一类运输问题：有某种物资需要调运，这种物资的计量
单位可以是重量、包装单位或其他。已知有m个地点可以
供应该种物资（以后通称产地，用 i 1,, m 表示），有 n个地点需要该种物资（以后通称销地，用 j 1,, n 表示），又知这m个产地的可供量（以后通称产量）为 （可通写为 a i ），n个销地的需要量（以后 a1 , a2 ,, am
第三章 运输问题
§1．运输问题的典例和数学模型
§ 2．表上作业法
§ 3．产销不平衡的运输问题及其应用
§1．运输问题的典例和数学模型
某食品公司经销主要产品之一是糖果，它下面 设有三个加工厂，每天的糖果生产量分别为： A1 7t ， A3 9t。该公司把这些糖果分别运往四个地区 A2 4t ， 的门市部销售，各地区每天的销售量： B1 3t ， B2 6t， B4 6t 。已知从每个加工厂到各销售门市部每 B3 5t， 吨糖果的运价如下表： 单位：元/t
产 销 平 衡 表
当一个产地的产量不能运往某一个销地的时候，认为 运价为M(表示任意大正数)。额外需求部分的销量，由于 是否满足都可以，所以假想厂运往这些销地的运价定为 0。
第四章 整数规划整数规划数学模型运筹学基础及其应用胡运权第五版
§4.1 整数规划数学模型 Mathematical Model of IP
Ch4 Integer Programming
2012年12月31日星期一 Page 3 of 15
【例4.1 】某人有一背包可以装10公斤重、0.025m3的物品。他准备 用来装甲、乙两种物品，每件物品的重量、体积和价值如表5－1所 示。问两种物品各装多少件，所装物品的总价值最大？ 表4—1 重量 体积 价值 物品 （公斤/每件） （m3/每件） (元/每件)
甲 乙
1.2 0.8
0.002 0.0025
4 3
【解】设甲、乙两种物品各装x1、x2件，则数学模型为： max Z 4 x1 3 x 2
1.2 x1 0.8 x 2 10 2 x1 2.5 x 2 25 x , x 0, 且均取整数 1 2
(4.1)
Ch4 Integer Programming
2012年12月31日星期一 Page 7 of 15
（1） 由于所装物品不变，式(8.1)约束左边不变，整数规划数学 max Z 4 x1 3x 2 模型为 1.2 x1 0.8 x 2 10 y1＋12 y 2 2 x1 2.5 x 2 25y1 20 y 2 y1 y 2 1 xi 0, 且取整数, yi 0或1 i 1,2 （2） 由于不同载体所装物品不一样，数学模型为
j 1,2,3 x j My j x1 x 2 x3 2000 x1 600, x 2 800, x3 1200 x j 0, y j 1或0，j 1,2,3
式中 x j My j是一个特殊的约束条件，显然当xj>0时，yj=1, 当xj ＝0时，为使Z极小化，只有yj=0才有意义。 用QSB软件求解得到：X＝（0，800，1200），Y＝（0，1，1）， Z=8100.
(完整版)运筹学胡运权第五版课件(第1章)
四运筹学研究的基本特点?系统的整体优化?多学科的配合?模型方法的应用五五运筹学研究的基本步骤运筹学研究的基本步骤?分析与表述问题?建立数学模型?对问题求解?对模型和模型导出的解进行检验?建立对解的有效控制?方案的实施第一章线性规划及单纯形法linearprogrammingandsimplexmethodggp11一般线性规划问题的数学模型11问题的提出例1用一块边长为a的正方形铁皮做一个无盖长方体容器应如何裁剪可使做成的容器的容积最大
（3）L.P. 的顶点与基可行解一一对应。
§1.3 单纯形法（Simplex Method）原理
3-1 预备知识：凸集与顶点
（1）凸集：对于集合C中任意两点连线段上的点，若全在C内， 则称集合C为凸集。
直观特征：图形从内部向外部凸出。
凸集
非凸集
（2）顶点：凸集中不在任意两点的连线段内部的点。
X1
转化为
（2）若约束条件为不等式，
则依次引入松弛变量或剩余变量（统称为松弛变量），
转化为等式约束条件。
约束为≥不等式，减去松弛变量，化为等式约束条件；
多 退
约束为≤不等式，加上松弛变量，化为等式约束条件。
少 补
注意：松弛变量在目标函数中系数全为0。
例：max z=2 x1+3 x2
2 x1+2 x2 12
s.t.
4x1
16
5 x2 15
x10， x2 0
标准化
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
2x1 2x2 x3
12
s.t.
4
x1
5 x2
x4 16 x5 15
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
（3）若决策变量xj≤0，则令
（3）L.P. 的顶点与基可行解一一对应。
§1.3 单纯形法（Simplex Method）原理
3-1 预备知识：凸集与顶点
（1）凸集：对于集合C中任意两点连线段上的点，若全在C内， 则称集合C为凸集。
直观特征：图形从内部向外部凸出。
凸集
非凸集
（2）顶点：凸集中不在任意两点的连线段内部的点。
X1
转化为
（2）若约束条件为不等式，
则依次引入松弛变量或剩余变量（统称为松弛变量），
转化为等式约束条件。
约束为≥不等式，减去松弛变量，化为等式约束条件；
多 退
约束为≤不等式，加上松弛变量，化为等式约束条件。
少 补
注意：松弛变量在目标函数中系数全为0。
例：max z=2 x1+3 x2
2 x1+2 x2 12
s.t.
4x1
16
5 x2 15
x10， x2 0
标准化
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
2x1 2x2 x3
12
s.t.
4
x1
5 x2
x4 16 x5 15
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
（3）若决策变量xj≤0，则令
运筹学基础及应用第五版 胡运权资料
约束方程 i: =
对偶问题(原问题) 约束右端项 目标函数系数 约束条件系数向量 AT 约束条件个数
min
约束方程 j : =
变量 y i : yi 0 y i 无约束 yi0
2.3 对偶问题的基本性质
Max z = CX
Min w = Y b
s t . AX b
s t . YA C
X0
X1 0 , X2 0
2.资源最低售价模型
设第i种资源收购价格为yi,（ i=1, 2, 3, 4,） 则有 min w= 12y1 + 8y2 + 16y3 +12 y4
s.t 2y1 + y2 + 4y3 +0 y4 2
2y1 +2y2 + 0y3 +4 y4 3 yi 0, (i=1, 2, 3, 4 )
s.t AX b X 0
min w’’ = -CX s.t -AX -b X0
min w = Y b
s.t YA C Y0 例2
max w’ = -Y b
s.t -YA -C Y0
对偶模型其它结构关系
（2）若模型为
max z = C X
s.t AX b
变形
X 0
min w=Y ´(-b)
Y0
(1) 弱对偶性：
若 X0——原问题可行解，Y0——对偶问题可行解 则 CX0 Y0b
证明： ∵ Y0 0， AX0 b， ∴ Y0 AX0 Y0 b，
而 Y0 A C ， ∴ Y0AX0 CX0 ，
∴ CX0 Y0 AX0 Y0 b
（2）最优性：
若 X0——原问题可行解，Y0——对偶问题可行解，且 CX0 = Y0b
对偶问题(原问题) 约束右端项 目标函数系数 约束条件系数向量 AT 约束条件个数
min
约束方程 j : =
变量 y i : yi 0 y i 无约束 yi0
2.3 对偶问题的基本性质
Max z = CX
Min w = Y b
s t . AX b
s t . YA C
X0
X1 0 , X2 0
2.资源最低售价模型
设第i种资源收购价格为yi,（ i=1, 2, 3, 4,） 则有 min w= 12y1 + 8y2 + 16y3 +12 y4
s.t 2y1 + y2 + 4y3 +0 y4 2
2y1 +2y2 + 0y3 +4 y4 3 yi 0, (i=1, 2, 3, 4 )
s.t AX b X 0
min w’’ = -CX s.t -AX -b X0
min w = Y b
s.t YA C Y0 例2
max w’ = -Y b
s.t -YA -C Y0
对偶模型其它结构关系
（2）若模型为
max z = C X
s.t AX b
变形
X 0
min w=Y ´(-b)
Y0
(1) 弱对偶性：
若 X0——原问题可行解，Y0——对偶问题可行解 则 CX0 Y0b
证明： ∵ Y0 0， AX0 b， ∴ Y0 AX0 Y0 b，
而 Y0 A C ， ∴ Y0AX0 CX0 ，
∴ CX0 Y0 AX0 Y0 b
（2）最优性：
若 X0——原问题可行解，Y0——对偶问题可行解，且 CX0 = Y0b
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§0.3 运筹学的主要内容
规划理论 线性规划 运输问题 动态规划
图与网络理论 排队论 存储论 决策论 对策论
非线性规划 整数规划 目标规划
§0.4 运筹学方法解决问题的思路
☆ 提出问题：从实际问题中提出需运作、决策的 问题。
☆ 建立模型：抽象归纳形成表达式。 ☆ 求解：运用运筹学方法求出问题的解。
我国朴素的运筹学思想：田忌赛马、丁渭修皇宫 1938年英国最早出现了军事运筹学，命名为“Operational
Research”,1942年，美国从事这方面工作的科学家命其名为 “Operations Research”这个名字一直延用至今。
§0.1 运筹学简述
美国运筹学的早期著名工作之一是研究深水炸弹起爆深度问 题。当飞机发现潜艇后，飞机何时投掷炸弹及炸弹的引爆引 度是多少？运筹学工作者对大量统计数字进行认真分析后， 提出如下决策：1.仅当潜艇浮出水面或刚下沉时，方投掷深 水炸弹。2.炸弹的起爆深度为离水面25英尺（这是当时深水 炸弹所容许的最浅起爆点）。空军采用上述决策后，所击沉 潜艇成倍增加，从而为反法西斯战争的胜利做出了贡献，为 运筹学增添了荣誉。
1957年，我国将O.R.正式译为“运筹学”
§0.2 运筹学的发展
战后运筹学的活动扩展到工业和政府部门，发展大致可分为 三个阶段：
1. 1945年到50年代初——创建时期 人数少，范围小，出版物学会寥寥无几。
1948年，英国 “运筹学俱乐部”，美国麻省理工 介绍该课 程；1950年，英国伯明翰大学正式开设课程，第一本《运筹 学季刊》在英国创刊； 1952年美国喀斯工业大学设运筹学 硕士和博士学位； 美国运筹学会成立
运筹学
(O.R.)
§0.1 运筹学简述
运筹学（Operations Research）是系统工程的最重要的理论 基础之一，在美国有人把运筹学称之为管理科学 (Management Science)。运筹学所研究的问题，可简单地归 结为一句话：“依照给定条件和目标，从众多方案中选择最 佳方案”，故有人称之为最优化技术。
§0.1 运筹学简述
运筹学是研究从众多方案（甚至无限多个方案）中选佳的优化技术，那 么在当代计算机技术迅速发展的今天，这种优化技术是否会丧失其重要 性？事实正相反，新型计算机的出现，恰为运筹学的应用开辟了新天地。
假设有70艘油轮向70个港口运货，已知每艘油轮驶向每个港口的费用， 油轮公司需制订出最优运输方案。采用全枚举法（穷举法）需计算方案 数为70!(大于10100 ）；IBM公司当时生产的大计算机1秒种大约可算出 109（即10亿）个方案。若要逐个算出全部方案，则需调用占有空间为 1050个地球一样大的IBM公司生产的众多大计算机同时计算几百亿年以 上。而在这种大机器上用线性规划的单纯形法计算只需几秒钟（这是整 数规划问题）。
§0.2 运筹学的发展
2. 20世纪50年代初期到50年代末期——成长时期 电子计算机技术的迅速发展促进运筹学的推广； 美国的约半数的大公司经营管理中融入运筹学； 大批的国家成立运筹学会，各种运筹学刊物相继问世 ； 1957年，牛津大学，第一次国际运筹学会议 1959年，国际 结果分析与调整：分析解是否合理，如果需要，修 改模型后在求解。
☆ 实施：按获取的方案组织实施。
可见，将运筹学与计算机科学及其它科学结合应用，将会产生更好的效 果。
§0.1 运筹学简述
《史记-高祖本纪》记载： 夫运筹策帷帐之中，决胜於千里之外，吾不如子房。 镇国家，抚百姓，给馈饷，不绝粮道，吾不如萧何。 连百万之军，战必胜，攻必取，吾不如韩信。 此三者，皆人杰也，吾能用之，此吾所以取天下也。
3. 20世纪60年代后——迅速发展和开始普及时期 运筹学进一步细分为各个分支； 更多团队，更多期刊，更多书籍，更多学校开设课程； 开始研究一些大的复杂系统，如城市交通、环境污染、国民 经济计划
§0.2 运筹学的发展
我国的运筹学发展： 1956年 第一个运筹学小组于中国科学院力学研究所成立 1958年 成立运筹学研究室 1960年 山东济南召开全国应用运筹学经验交流会 1962年和1978年 先后在北京和成都召开全国运筹学专业学 术会议 1980年4月 中国运筹学会 正式成立