江苏省丹阳市2018届高三数学下学期期初三校联考试题(实验班)

江苏省丹阳中学2018届高三数学下学期期初三校联考试题数学 Ⅰ一．填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知复数2(12)z i =-，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 ▲ ． 2．集合2{|0}1x A x x -=-≥，{|}B x x t =>，若A B R = ，则实数t 的取值范围是 ▲ ． 3．若圆锥侧面积为6π，高为5，则其底面半径为 ▲ ．4．设R a ∈，则命题p ：1a ≤， 命题q ：21a ≤，则非p 是非q 的 ▲ 条件． (填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)． 5．如图伪代码的输出结果为 ▲ ．6. 以下茎叶图（如图）记录了甲.乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为8.16,则,x y 的值分别为 ▲ ．7. 如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πθ=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是 ▲ ．8．已知等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，若12310S S S ++=，23415S S S ++=， 则公比q =__________．9.当满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+27422y x x y y x 时,22≤-≤-y kx 恒成立,则实数k 的取值范围是▲ ．10.在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠所对边的长分别为a ，b ，c ．已知a ＋ 2c ＝2b ，sin B ＝2sin C ，则s i n 2C＝ ▲ ．第6题图0 1 2 甲 乙 9 5y 8 9 474 x 2 第7题图11．已知动圆C 与直线20x y ++=相切于点()02A -，，圆C 被x 轴所截得的弦长为2，则满足条件的所有圆C 的半径之积是 ▲ ．12．已知实数,x y 满足223x y +=，x y ≠，则2214(2)(2)x y x y ++-的最小值为 ▲ ．13．已知m R ∈，函数()()221,1log 1,1x x f x x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩，()2221g x x x m =-+-，若函数()y f g x m =-⎡⎤⎣⎦有6个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14. ABC ∆中，AB AC ⊥，2AB AC +=uu u r uuu r ，点M 是线段BC （含端点）上的一点，且()1AM AB AC ⋅+=uuu r uu u r uuu r，则AM uuur的取值范围是 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分14分）已知向量2(cos ,sin )a αα= ，(sin ,)b t α=，(0,)απ∈.(1)若1(,0)5a b -= ，求t 的值；(2)若1t =，1a b =，求tan(2)4πα+的值.16. （本小题满分14分）如图,在四棱锥P ABCD -中,O 为AC 与BD 的交点, AB ⊥平面PAD , PAD ∆是正三角形, //DC AB ,2DA DC AB ==.(1)若点E 为棱PA 上靠A 近的三等分点,证明：直线//OE 平面PBC ； (2)求证:平面PBC ⊥平面PDC.B APDCEO第16题图17. （本小题满分14分）2017年6月以来，某地区再度爆发“流感”疫情，引起某种消毒液热销．消毒液原来每瓶的成本为8元，售价为10元，月销售量为6万瓶．（1）据市场调查，若售价每提高0.5元，则月销售量相应减少0.4万瓶，要使提价后月 利润不低于原来的月利润，则消毒液每瓶售价最高为多少元？（2）为了提高月总利润，厂家决定下月投入部分资金进行广告促销，计划每瓶的售价为(12)x x ≥ 元，并投入34(12)5x -万元作为广告费用．据市场调查，售价每瓶每提高 0.5元，月销售量将相应减少21.8(10)x -万瓶．当售价x 为多少元时，下月利润最大，并求出最大利润．18. （本小题满分16分）如图1，已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直，椭圆E上一点与椭圆E 的长轴的两个端点构成的三角形的最大面积为2，且椭圆E的离心率e =. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设P 是椭圆E 上异于A 、B 的任意一点，连接AP 并延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点.①试判断直线PN 与椭圆E 的位置关系，并证明你的结论.②若点F 为椭圆左焦点，F 关于直线PN 的对称点为Q ，求证：当点P 在椭圆E 上运动时，直线PQ 恒过定点，并求出此定点的坐标．19. （本小题满分16分）设函数3()(,,0)3a f x x cx a c a =+∈≠R ． （1）若3a =-，函数()y f x =在[2,2]-的值域为[2,2]-，求函数()y f x =的零点； （2）若2a =，(1)3f '=，)()1g x x m =+．① 对任意的[]1,1-∈x()g x ≤恒成立, 求实数m 的最小值；②令()x ϕ=,若存在[]1,0,21∈x x 使得()()()m g x x ≥-21ϕϕ,求实数m 的取值范围.20. （本小题满分16分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，把满足条件a n ＋1≤S n (n ∈N *)的所有数列{a n }构成的集合记为M ． （1）若数列{a n }通项为a n ＝12n ，求证：{a n }∈M ；（2）若数列{a n }是等差数列，且{a n ＋n }∈M ，求2a 5－a 1的取值范围；（3）若数列{a n }的各项均为正数，且{a n }∈M ，数列{4na n}中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列{a n }的通项；若不存在，说明理由．第18题图2018届高三三校联考试卷数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，点A ，B ，D ，E 在圆O 上，ED ，AB 的延长线交于点C ，AD ，BE 交于点F ，且AE EB BC ==．若2DE =，4AD =，求DF 的长．B ．[选修4 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为21⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．矩阵110B -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a b ，求1()-AB ．C ．[选修4 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆A 极坐标方程为6cos =ρθ，点M 为圆A 上异于极点O 的动点，求弦OM 中点的轨迹的直角坐标方程．D ．[选修4 5：不等式选讲]（本小题满分10分）(第21(A)题)EAEDCB A已知x ，y ，z ∈R ，且2380x y z +++=．求证：222(1)(2)(3)14x y z -+++-≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22．（本小题满分10分）如图1，在直角梯形ABCD 中，1AD =，6=CD ，AD //BC ，AB ⊥BC ，BD ⊥DC ，点E 是BC 边的中点, 将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ,AC ,DE , 得到如图2所示的几何体.（1）求异面直线,AD BC 所成角的余弦值.（2）求二面角B AD E --的平面角的大小.图1 图223. （本小题满分10分） 求证：（1）*1!()(2,)2+<≥∈nn n n n N ；（2）*!()<∈n n n N数学Ⅰ(160分)一．填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．5； 2．(,1)-∞； 3．2； 4．充分不必要； 5．25； 6．5,8； 7.；8．1； 9.1,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 10.24； ；11．10； 12．35； 13．30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭； 14.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分14分）已知向量2(cos ,sin )a αα= ，(sin ,)b t α=，(0,)απ∈.(1)若1(,0)5a b -= ，求t 的值；(2)若1t =，1a b =，求tan(2)4πα+的值. 解：（1）因为向量2(cos ,sin )a αα= ，(sin ,)b t α= ，1(,0)5a b -= ，所以1cos sin 5αα-=，………………2分 2sin t α=.由1cos sin 5αα-=，两边平方得242sin cos 25αα=且(0,)2πα∈， 所以249(sin cos )12sin cos 25αααα+=+=.………………4分 因为(0,)2πα∈，所以7sin cos 5αα+=，所以3sin 5α=，29sin 25t α==.………………6分（1） 因为1t =，1a b =， 所以2sin cos sin 1ααα+=，即2sin cos cos ααα=，……………8分 当cos 0α=，(0,)απ∈，所以2πα=，则tan(2)14πα+=，.………………10分当cos 0α≠，tan 1α=，(0,)απ∈，所以4πα=，则tan(2)14πα+=-，.………………12分综上，tan(2)4πα+的值为1或-1..………………14分16、（本小题满分14分）如图,在四棱锥P ABCD -中,O 为AC 与BD 的交点, AB ⊥平面PAD , PAD ∆是正三角形, //DC AB ,2DA DC AB ==.(1)若点E 为棱PA 上靠A 近的三等分点,证明：直线//OE 平面PBC ； (2)求证:平面PBC ⊥平面PDC. 证: (1)因为//DC AB ,2DC AB =, 所以::1:2AO OC AB DC ==.……………2分点E 为棱PA 上靠A 近的三等分点, 即:1:2:AE EP AO OC ==， 所以//OE PC ，.………………4分 又因为OE ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ， 所以//OE 平面PBC ..………………6分 (2) 取PC 的中点F,连结FB,FD.因为PAD ∆是正三角形, DA DC =,所以DP DC =.. 因为F 为PC 的中点,所以DF PC ⊥.因为AB ⊥平面PAD ,所以AB PA ⊥,AB AD ⊥,AB PD ⊥. 因为//DC AB ,所以DC PD ⊥DC DA ⊥..………………8分设AB a =,在等腰直角三角形PCD 中, DF PF ==.在Rt PAB ∆中, BP =. 在直角梯形ABCD 中, BD BC =.因为BC BP ==,点F 为PC 的中点,所以PC FB ⊥. 在Rt PFB ∆中, FB .在FDB ∆中,由DF =,FB =,BD ,可以知道,所以FB DF ⊥..………………12分由DF PC ⊥,DF FB ⊥,PC FB F ⋂=,PC 、FB ⊂平面PBC ,所以DF ⊥平面PBC . 又DF ⊂平面PCD ,所以平面PBC ⊥平面PDC ..………………14分 17、（本小题满分14分）2017年6月以来，某地区再度爆发“流感”疫情，引起某种消毒液热销．消毒液原来每瓶的成本为8元，售价为10元，月销售量为6万瓶．（1）据市场调查，若售价每提高0.5元，则月销售量相应减少0.4万瓶，要使提价后 月利润不低于原来的月利润，则消毒液每瓶售价最高为多少元？（2）为了提高月总利润，厂家决定下月投入部分资金进行广告促销，计划每瓶的售价B APDCEO第16题图为(12)x x ≥ 元，并投入34(12)5x -万元作为广告费用．据市场调查，售价每瓶每提高0.5元，月销售量将相应减少21.8(10)x -万瓶．当售价x 为多少元时，下月利润最大，并求出最大利润．解: (1)设每瓶售价提高a 个0.5元，由题意得，(80.56)(60.4)(108)6a a +--≥-⨯，解得011a ≤≤，.………………2分所以=11a 时，最高售价10+110.5=15.5⨯元，.………………4分 所以最高售价为15.5元．.………………5分（2）由题意，下月利润为210 1.834(8)[6](12)0.5(10)5x y x x x -=--⨯--- 1834(8)[6](12)5(10)5x x x =-----.………………8分222214-190+15364-20+914(7)(13)-'--5105(10)5(10)x x x x x x y y x x x --=⨯=⨯=⨯---，.………………10分令'=0y ，=7x (舍)或=13x ，则 13x <<12时'0y > ，13x >时'0y < 所以x=13时，y 取最大值，此时y=17.2.………………12分答：当每瓶售价13元时，月销售利润最大，最大值为17.2万元．.………………14分 18、（本小题满分16分）如图1，已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直，椭圆E上一点与椭圆E 的长轴的两个端点构成的三角形的最大面积为2，且椭圆E的离心率e =. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设P 是椭圆E 上异于A 、B 的任意一点，连接AP 并延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点.①试判断直线PN 与椭圆E 的位置关系，并证明你的结论.②若点F 为椭圆左焦点，F 关于直线PN 的对称点为Q ，求证：当点P 在椭圆E 上运动时，直线PQ 恒过定点，并求出此定点的坐标．解 （Ⅰ）依题设条件可得：2ab =，c a =.又222a c b -=，解得24a =，21b =，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=..………………2分 （Ⅱ）①直线PN 与椭圆E 相切于点P .证明如下：设00(,)P x y ，又(2,0)A -，所以直线AP 的方程为00(2)2y y x x =⋅++，令2x =，得042y y x =+，即004(2,)2y M x +..………………4分又(2,0)B ，N 为MB 的中点，所以002(2,)2y N x +于是直线PN 的方程为0000022()2y y x y y x x x -+-=⋅--，即000020()4x yy x x y x =-+-.………………6分因为220014x y +=，所以220044x y -=-，所以000020()4x y y x x y y =-+-，整理得0044x x y y -=.………………8分由22001444x y y x x y y ⎧+=⎪⎪=⎨-⎪=⎪⎩消去y 并整理得22220000(4)816160x y x x x y +-+-=，即220020x x x x -+=，此方程的根的判别式2200(2)40x x ∆=--=，所以直线PN 与椭圆E 相切 于点P .………………10分②由①可得直线PN 的方程为0044x xy y -=，设左焦点F （）关于直线PN 的对称点为11(,)Q x y，则0001004124y x x y y y =⎪=-⎪⎩，解得10001204)163x y y x ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪-⎩即00Q ，.………………12分直线PQ的直线方程为00)y y x x --.令0y =，即000)y x x --，解得x =所以直线PQ过椭圆右焦点..………………16分 19、（本小题满分16分）第18题图设函数3()(,,0)3a f x x cx a c a =+∈≠R ． （1）若3a =-，函数()y f x =在[2,2]-的值域为[2,2]-，求函数()y f x =的零点； （2）若2a =，(1)3f '=，)()1g x x m =+．①对任意的[]1,1-∈x()g x ≤恒成立, 求实数m 的最小值；②令()x ϕ=,若存在[]1,0,21∈x x 使得()()()m g x x ≥-21ϕϕ,求实数m 的取值范围.【解析】（1）当3a =-时，32(),()3f x x cx f x x c '=-+=-+① 若0c ≤，则()0f x '≤恒成立，函数()y f x =单调递减，又函数()y f x =在[2,2]-的值域为[2,2]-，(2)2(2)2f f -=⎧∴⎨=-⎩，此方程无解．……2分② 若0c>，则()0,f x x '=∴= （i 2>，即12c >时，(2)2(2)2f f =⎧⎨-=-⎩，此方程组无解；（ii2≤312c≤≤时，2(2f f ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以c =3；（iii ）2，即3c <时，(2)2(2)2f f -=⎧⎨=-⎩，此方程无解． 由①、②可得，c =3．3()3f x x x ∴=-+的零点为：1230,x x x === ……6分（2）由2a =，(1)3f '=得：()323f x x x =+，()221f x x '=+， 又)()1g x x m=+，对任意的[]1,1-∈x ,()g x ≤恒成立⇔m x x +-≤+)13(122．当0=x 时，1≥m ， ……8分 又1=m 时,对任意的[]1,1-∈x ,))2221)12121x x x ⎡⎤-+=-⎣⎦)()2110x x =-≤，即1=m 时，1)13(122+-≤+x x ，∴实数m 的最小值是1，即min 1m =． ……10分(3) 法1：由题意可知()()m x x 3max 21≥-ϕϕ，()()2222121121033x x x +-+=-≥Q 在[]1,0∈x 上恒成立， ∴()136122+≥+x x 在[]1,0∈x 上恒成立； ……12分 由(Ⅱ)得：1)13(122+-≤+x x 在[]1,0∈x 上恒成立， ……13分)11)1x x +≤≤+．又因为当[]1,0∈x 时,[]1,01∈-x ，)111)(1)1x x -+≤-+．∴()()()()11)13(1)13(1136136+--++-≤≤+-++x x x x x ϕ， 即()136+≤≤x ϕ，621min=⎪⎭⎫⎝⎛ϕ，()()1310max max +==ϕϕ，……15分∴()()613max 21-+=-x x ϕϕm 3≥,∴2331-+≤m . ……16分 法2：]21)1(21[21)1(212)(2222+-++=+-++=x x x x x ϕ，……12分设)22,1(),22,0(),0,(-B A x P ，则()PB PA x +=2)(ϕ，由下图得： (),3min==+AB PB PA ()2622max +=+=+OB OA PB PA ， ∴31)(,6)(max min +==x x ϕϕ，∴()()613max 21-+=-x x ϕϕm 3≥，1m ∴≤+- ……16分 20、（本小题满分16分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，把满足条件a n ＋1≤S n (n ∈N *)的所有数列{a n }构成的集合记为M ． （1）若数列{a n }通项为a n ＝12n ，求证：{a n }∈M ；（2）若数列{a n }是等差数列，且{a n ＋n }∈M ，求2a 5－a 1的取值范围；（3）若数列{a n }的各项均为正数，且{a n }∈M ，数列{4na n}中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列{a n }的通项；若不存在，说明理由． 解:（1）因为a n ＝12n ，所以S n ＝12×1－(12)n1－12＝1－(12)n，所以a n ＋1－S n ＝(12)n ＋1－1＋(12)n ＝32(12)n －1≤32×12－1＝－14＜0，所以a n ＋1＜S n ，即{a n }∈M ． ………………4分 （2）设{a n }的公差为d ，因为{a n ＋n }∈M ，所以a n ＋1＋n ＋1≤(a 1＋1)＋(a 2＋2)＋…＋(a n ＋n ) （*） 特别的当n ＝1时，a 2＋2≤a 1＋1，即d ≤－1， 由（*）得a 1＋nd ＋n ＋1≤na 1＋n (n －1)2d ＋n (n ＋1)2，整理得d ＋12n 2＋(a 1－32d －12)n －a 1－1≥0，因为上述不等式对一切n ∈N *恒成立，所以必有d ＋12≥0，解得d ≥－1，又d ≤－1，所以d ＝－1，于是(a 1＋1)n －a 1－1≥0，即(a 1＋1)(n －1)≥0，所以a 1＋1≥0，即a 1≥－1， 所以2a 5－a 1＝2(a 5－a 1)＋a 1＝8d ＋a 1＝－8＋a 1≥－9，因此2a 5－a 1的取值范围是[－9，＋∞)． ………………10分 （3）由a n ＋1≤S n 得S n ＋1－S n ≤S n ，所以S n ＋1≤2S n ，即S n ＋1S n≤2， 所以S n ＋1S 1＝S 2S 1×S 3S 2×…×S n ＋1S n≤2n ，从而有S n ＋1≤S 1×2n ＝a 1×2n， 又a n ＋1≤S n ，所以a n ＋2≤S n ＋1≤a 1×2n，即a n ≤a 1×2n －2(n ≥3)，又a 2≤S 1＝a 1×22－2，a 1＜a 1×21－2，所以有a n ≤a 1×2n －2(n ∈N *)，所以4na n ≥4a 1×2n，假设数列{4na n}中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第n 项为dn ＋b (b 为常数)，则存在m ∈N ，m ≥n ，使得dn ＋b ＝4ma m ≥4a 1×2m ≥4a 1×2n ，即da 1n ＋ba 1≥2n ＋2，设f (n )＝n 22n ＋2，n ∈N *，n ≥3， 则f (n ＋1)－f (n )＝(n ＋1)22n ＋3－n 22n ＋2＝2－(n －1)22n ＋3＜0， 即f (n ＋1)＜f (n )≤f (3)＝932＜1，于是当n ≥3时，2n ＋2＞n 2，从而有：当n ≥3时da 1n ＋ba 1＞n 2，即n 2－da 1n －ba 1＜0，于是当n ≥3时，关于n 的不等式n 2－da 1n －ba 1＜0有无穷多个解，显然不成立， 因此数列{4na n}中是不存在无穷多项依次成等差数列． ………………16分数学Ⅱ参考答案与评分标准21．A ．因为EB BC =，所以CBEC ??．因为BED BAD ??，所以CBED BAD ???．因为2EBA CBECC ????，AE EB =，所以2EAB EBA C ???，又CBAD ??．所以EAD C ??，故BAD EAD ??．……………………………………………5分所以EADCFED ???，又因为ED AFD E ??，所以EAD △∽FED △，则DE ADDF ED=． 又因为2DE =，4AD =，所以1DF =．…………………………………………10分B ．解：（1）由条件知，2=A αα，即1222111a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2422a b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦， 所以24,22,a b +=⎧⎨-+=⎩ 解得2,4.a b =⎧⎨=⎩ 所以1214⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ． ………………………………4分 121331166A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………………………………………………………………………6分 111211012332204113366()AB B A ---⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦…………………………………10分 C ．解：设弦OM 中点为(,)N ρθ，则(2,)M ρθ，因为点M 在圆A 上，由圆A 的极坐标方程为6cos =ρθ，所以26cos =ρθ， 即3cos =ρθ， ……………………………4分 又点M 异于极点O ，所以0ρ≠，所以弦OM 中点的轨迹的极坐标方程为3cos (0)=≠ρθρ．…………………………6分 即直角坐标方程为2230(0)+-=≠x y x x ……………………………………………10分 D ． 因为2222222[(1)(2)(3)](123)[(1)2(2)3(3)]x y z x y z -+++-++-+++-≥22(236)14x y z =++-=，………8分当且仅当123123x y z -+-==，即0,4x z y ===-时，取等， 所以222(1)(2)(3)14x y z -+++-≥． …………………10分 22. 解：（1）过A 作⊥AH BD ，垂足为H ，过H 作⊥HI BD ，HI 与BC 交于I .由平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面=BCD BD ，⊂AH 平面ABD ，⊥AH BD ，所以⊥AH 平面BCD ..………………2分以H 为原点O ，HB 为x 轴，HI 为y 轴，HA 为z 轴，建立空间直角坐标系-H xyz 因为1AD =， 6=CD .设()0AB x x =>，则12+=x BD .依题意△ABD ～△BDC ，所以AB CDAD BD =，即1612+=x x .解得x =3AB BD BC ====.ABD ∆中，1===AB ,BD===AH ,HD （H 为BD 三等分点）.………………4分 （1）易得)0,0,31(-D ，)0,0,32(B ，⎛⎫ ⎝A，⎛⎫⎪⎝⎭C ，(= AD ，(= BC 则，设=<⋅> AD BC θ，则1cos 3⋅===⋅ AD BCAD BCθ， 所以异面直线,AD BC 所成角的余弦值为13..………………6分（2）易得)0,0,31(-D ，)0,0,32(B ，⎛⎫ ⎝A，⎛⎫⎪⎪⎭E ，所以DE ⎫=⎪⎪⎝⎭，DA =⎝⎭.易得平面BAD 的法向量)0,1,0(= 设平面ADE 的法向量),,(z y x m =由0,0,m DE m DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,220.33x y x z +=⎪⎪⎪+=⎪⎩令6=x，得y z ==所以)3,3,6(--=. 所以21||||,cos -=⋅>=<m n .由图可知二面角B AD E --的平面角为锐角， 所以二面角B AD E --的平面角为3π. （第二问也可以以D 为原点建系）.………………10分23. 证明：（1）①当2=n 时，2!2=，2219()224+=>，不等式成立..………………1分 ②假设当*(2,)=≥∈n k k k N 时不等式成立，即*1!()(2,)2+<≥∈k k k k k N ， 则当1=+n k 时，欲证12(1)!()2+++<k k k ，由归纳假设， 只要证112(1)()()22++++<k k k k k ， 只要证112(1)(2)+++<+k k k k 只要证11212()(1)11+++<=+++k k k k k 由二项式定理可得112211111(1)1()112111++++=+++⋅⋅⋅>+=+++k k k C C k k k 即1=+n k 时，不等式也成立.综上所述，由①②可得命题成立………………4分 （2）①当1=n时，不等式11!<，显然成立.………………5分 ②假设当*()=∈n k k N时不等式成立，即*!()<∈kk k N ， 则当1=+n k 时，(1)!(+<+k k k，下证：1(++<k k k ，只要证1(1)(2)(3)+++<+k k k k113212()(1)2121+++++⋅=+⋅++++k k k k k k k k k 由二项式定理可得：1211(1)1(1)1(1)()2222+++=++⋅+⋅+⋅⋅⋅+++k k k k k k k21(1)11(1)()222+>++⋅+⋅++k k k k k ，故11221(1)122112(2)12(2)++++⋅>++=++++++++k k k k k k k k k k k ，注意到52>，只要证：1112(2)2+>++k k k ， 只要证：12112(2)2>=+++k k k .显然成立. 即则当1=+n k 时，不等式也成立.综上所述，由①②可得命题成立………………10分。