数值分析复习

数值分析复习1，0和有效数字原则：“前不算后算”，级m位后的0算为有效数字，m位之前的不算。

eg：0.000980，m位为9，9之前的0不算，980的0算为有效数字，故有效数字位数n=3。

2，误差限计算似于求导公式ε（f（x*））=丨f（x）-f（x*）丨≈丨f’（x*）丨ε（x*）习题：Y0=28，Yn=Yn-1- 1100783，取783≈27.982，当n=100时Yn的误差。

Yn= Y0- n100783，Y100= Y0- 783，ε（Y100）=ε（Y0）+ε（783）≤0+12×10−3ε（Y100）误差限为12×10−3习题：正方形变长为100cm，怎样测量能使误差不超过1cm2？S=a2，ε（S）≤2aε（a），若ε（S）≤1，则2aε（a）≤1，ε（a）≤0.005。

3，条件数问题利用δf xδx =xf′xf x。

习题：x>0，x的相对误差为δ，则ln（x）的误差。

δln x=δln x，e=δ。

4，插值法的余项和截断误差（误差估计）【注：L n，P n称为插值多项式。

l k为插值基函数。

】习题：已知f（-1）=2，f(1)=1，则f（x）的插值多项式为【L2（x）=−12x+32】余项公式Rn（x）=f n+1ηn+1!ωn+1(x)，也就是插值函数的误差。

计算某一点a时，误差估计为丨Rn（a）丨≤丨f n+1ηn+1!ωn+1a丨=M n+1n+1!丨ωn+1a丨。

M n+1是f（n+1）（x）在区间x0到x n的最大值。

【也可按给定区间求得导数最大值】5，插值法的n的意义，n为阶数，插值点的个数。

6，差分习题：f（x）=100x2+5，f[1,2,3]=【100】，f[1,2,3,4]=【0】差分和导数的关系：f[x0，x1，…，x n]=f nηn!，η∈(a,b)这个公式经常用到计算给出y’(xi)，y’’(xi)的插值函数中。

7，对于牛顿插值法而言，一共有两种方法，一种利用差分表，一种利用均差表，但是原理和多项式公式是一致的。

3P 3 (x)=43x 3−2x 2+83x +1有表知f （x ）=3x ，故当f （x ）= 3时x=0.5，此时P 3 (0.5)=43×（0.5）3−2×（0.5）2+83×（0.5）+1=28，其实埃米尔特插值法中的3点1导就是考虑导数要求的牛顿法，求解过程完全可以用差分表或均差表计算，对于差分不存在的点，可以用差分与导数的关系转化为可求值。

而另一种情况2点2导书上给出的是2点3次插值多项式H 3（x ）=αk （x k ）Y k +βk （x k ）M k +αk+1（x k+1）Y k+1+βk+1（x k+1）M k+1 构造α使得αk （x k ）=1，αk （x k+1）=0，βk ’（x k ）=1, βk ’（x k+1）=0 2点：（ax+b ）三次：（ax+b ）1次再乘以（x k ）=1，αk （x k+1）=0的条件：[(x−x k +1)x k −x k +1]2即αk （x ）=（ax+b ）[(x−x k +1)xk −x k +1]2，同理βk =a （x-x k+1）[(x−x k +1)x k −x k +1]2。

例题：16．求一个次数不高于4次的多项式P （x ），使它满足(0)(0)0,(1)(1)0,(2)0P P P P P ''=====解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式0101010,10,10,1x x y y m m ====== 22323()(32)(1)2H x x x x x x x ∴=-+-=-+设22301()()()()P x H x A x x x x =+-- 其中，A 为待定常数3222(2)1()2(1)P P x x x Ax x =∴=-++-14A ∴=从而221()(3)4P x x x =-9，正交多项式 三种正交多项式：第一种是将函数族｛1，x ，x 2，…｝进行施密特正交化（函数内积公式：(f(x),g(x))= ρ(x )f (x )g (x )dx ba ）。

过于复杂,几乎不用第二种是勒让德正交多项式，积分区间为[-1，1],权函数为1，有（n+1）Pn+1（x ）=（2n+1）xPn （x ）-nPn-1（x ）P 0=1，P 1=x ，P 2=32x 2−12，P 3=52x 3−32x ，…（（P i ，P i ）=2/2i+1）第三种是切比雪夫正交多项式，积分区间[-1，1]，权函数为1−x 2，有Tn （x ）=cosnacrcosxTn+1=2xTn-Tn-1。

（T 0，T 0）=п，（T n ，T n ）=п/2T 0=1，T 1=x ，T 2=2x 2−1，P 3=4x 3−3x ，… 10，函数逼近法 最佳一致逼近利用切比雪夫正交多项式S*（x ）=f （x ）-kTn （x ）消去f （x ）的最高阶n 次项。

最佳平方逼近Ha=d ，求向量内积矩阵H 时，如果为正交多项式，H 为对角阵。

解出a 为多项式系数。

最小二乘拟合先画图估计曲线（多数曲线可拟合为直线，少部分出现抛物线拟合情况。

）Ga=d ，此时G 为离散点内积矩阵（（φi （x ），φj （x ））=Σk ωφi （x k ）φj （x k ）） 注a=｛a ，b ｝T 对应S*（x ）=a+bx【另一种题：区间近似为y=ae bx ，则首先应两边取对数：lny=lna+bx ，看成y#=a#+bx 的直线拟合。

P76，例题10。

】习题：求线性方程使其成为f （x ）= x 的解（x ∈[1/4,1]）。

H= 254541716a= a b d= 3298 解得a=1912，b=−43，S*（x ）=1912−43x11，函数逼近的误差：均方误差 δ 22= f x −S ∗ x = f 2 x dx −Σa i ∅ x i ，f x = f 2 x dx −Σa i d i 。

最大误差 δ ∞= f x −S ∗ x ∞，优先考虑区间端点。

【P68，例题6】习题：内积（f （x ），g （x ））= f (x )g (x )10dx ，在{1,x}中找对于f （x ）= x 的最佳逼近函数和误差。

Ha=d H= 1121213a= a b d= 2325,a=415,b=45S*（x ）=415 +45 xδ 22= f 2(x )10dx −Σa i d i ≤0.5−415×23−45×25=0.0022212，求积公式 分类记忆：机械求积公式： f (x )dx ba = A k f (x k )n k =0→当x k 为高斯点或精度为2n +1时，得到高斯求积公式，高斯点： ω(x )φ x dx =0ba 当f x 用插值函数l j x 替换后得到插值型求积公式： Ln x dx=ba[ l k(x )dx ba L (x k )n k =0] 区间选择类：梯形公式：T x = b −a 2 f a +f b →复合梯形公式：T n x =2(f a +2 f x i n−1i =1+f (b ))辛普森公式:S x =b −a 6 f a +4f a +b 2 +f b →复合辛普森公式:S n x =6(f a +4 f x i +12n−1i =0+2 f x i n−1i =1+f (b ))高斯公式类：高斯勒让德求积公式： f x dx ba = A k f x k nk =0,x k 是P n +1 x =0的解，A k由方程组求解高斯切比雪夫求积公式： f x dx b a =п f x k n k =1，x k =cos ⁡(2k −1п) 13，求积公式的余项：R[f]= f n +1 ηn+1 !ωn +1(x )b a dx =K f n+1 ηK=1n+1 ! 1m+2(b m+2−a m+2 − A k x kk +1n k =0] R[T]=−b−a 312f ’‘η ； R[S]=−b−a 180b−a 24f 4η ；复合型：R[T]=−b −a 122f ’‘ η ； R[S]=−b −a 180 24f 4 η ；高斯公式：R[f]=f 2n +2 η 2n+2 ! ωn +12(x )b adx习题：f （x ）=80x 5+31x 3+25x+12，求积公式 f (x )dx ba = A k f (x k )2k =0是高斯型的，则 f (x )dx ba − A k f (x k )2k =0=【0】习题：计算 f x dx 1−1的具有两个点的高斯求积公式。

一般型：设ω=（x-x 0）（x-x 1）=x 2+ax+b ， ωdx 1−1=0， ωx dx =01−1，解a=0，b=-1/3，解x 0=− 13， x 1= 13，在代入 1dx 1−1=A 0f （− 13）+A 1f （ 13）， xdx 1−1=A 0f （− 13）+A 1f （ 13）得 A 0=1，A 1=1，高斯公式为 f (x )dx ba = f （− 13）+f （ 13）或用高—勒公式，有两个点x 0，x 1，n=1，P 2=0的解就是高斯点。

14，直接法解线性方程组在保证主元素最大的同时利用三角分解法将矩阵A 化为三角阵。

Doolittle 分解和Crout 分解。

注意，如果A 的前n-1个主子式中有等于0的，A 就不能进行doolittle 分解。

此时需要换行。

习题：A= 123252315 ，b= 141820A → 12321−43−5−24 = 1213−511231−4−24=LU LUx=b ，Ly=b ，Ux=y ，y= 14−10−72 ，x= 12315，A 的谱条件数的应用，扰动。

CondA= A −1 A ，有 δxx≤cond δbb(事后误差估计： δb =r =b −A x ， δx = x −x )习题：设有方程组，已知它有解,如果右端有扰动，试估计由此引起方程组解x 的相对误差。

A -1= −11−12−132−21−1δx x≤condδb b ， δb ∞=12×10−6, b ∞=23， A ∞=5， A −1 ∞=4.5，相对误差为1.6875×10−516,迭代公式的敛散性判断：J 阵（D -1（L-U ））和G 阵（（D-L ）-1U ）的收敛性： (1)A 严格对角占优（2）J/G 谱半径小于1（3）对称阵A 正定【高斯-赛德尔收敛】，A 和2D-A 正定【雅可比收敛】（4）弱对角占优且不可约. 习题： A= a 131a 2−32a ，J = 0−1a −3a −1a0−2a 3a−2adetJ=λ(λ-4a)2,Ax b =11023Tx -⎛⎫= ⎪⎝⎭61||||*102b -∞∆=101221022A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦121323b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭丨2/a 丨＜1，丨a 丨＞2 习题：A= 20231812−315 ，b=｛24，12，30｝T，Jocobi 迭代是否收敛，若收敛需要迭代多少次保证各分量的绝对误差值小于10-6。