【配套K12】九年级数学上册 第21章 一元二次方程复习小结(无答案)(新版)新人教版
(人教版新课标)九年级数学第21章《一元二次方程》知识小结
- 1 -一元二次方程是初中数学的重要内容，在初中数学中占有重要的地位，它和二次函数的联系非常密切．这部分内容是各地考试热点和同学们容易出错的地方，是历年各地中考的必考内容之一，在试卷中占有较大的分值比例．考试中不仅基础题会考查，更重要的是后面的综合题也会重点考查，一般以函数等知识为背景进行综合考查，因此同学们应对这部分内容予以高度重视． 【知识网络】【知识解读】1．一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的次数是二次的整 式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式：20ax bx c ++=（0a ≠）． （1）判断一个方程是不是一元二次方程时应抓住三点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③方程是整式方程（即含有未知数的式子是整式）．三者必须同时满足，否则就不是一元二次方程．（2）20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数，0a ≠）称为一元二次方程的一般形式，其中0a ≠是定义中的一部分，不可缺少，否则就不是一元二次方程． 2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数，二者是不同的概念，不可混淆．2．一元二次方程的解法注意事项：解一元二次方程常见的思维误区是忽略几个关键：用因式分解法解方程的关键是先使方程的右边为0；用公式法解方程的关键是先把一元二次方程化为一般形式，正确写出a、b、c的值；用直接开平方法解方程的关键是先把方程化为(mx-n) 2=h的形式；用配方法解方程的关键是先把二次项系数化为1，再把方程的两边都加上一次项系数一半的平方.解具体的一元二次方程时，要分析方程的特征，灵活选择方法．公式法是解一元二次方程的通法，而配方法又是公式法的基础（公式法是直接利用了配方法的结论）．分解因式法可解某些特殊形式的一元二次方程．掌握各种方法的基本思想是正确解方程的根本．一般说来，先特殊后一般，即先考虑分解因式法，后考虑公式法．没有特别说明，一般不用配方法．4．一元二次方程的是实际应用方程是解决实际问题的有效模型和工具，解方程的技能训练要与实际问题相联系，在解决问题的过程中体会解方程的技巧，理解方程的解的含义．利用方程解决实际问题的关键是找出问题中的等量关系，找出题目中的已知量与未知量，分析已知量与未知量的关系，再通过等量关系，列出方程，求解方程，并能根据方程的解和具体问题的实际意义，检验解的合理性．列一元二次方程解应用题的一般步骤可归纳为审、设、列、解、验、答．审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系；设：设元，也就是设未知数；列：列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程；解：解方程，求出未知数的值；验：检验方程的解能否保证实际问题有意义；答：写出答语．相等关系的寻找应从以下几方面入手：①分清本题属于哪一类型的应用题，如行程问题，则其基本数量关系应明确（v t s=）．②注意总结各类应用题中常用的等量关系．如工作量（工程）问题．常常是以工作量为基础得到相等关系（如各部分工作量之和等于整体1等）．③注意语言与代数式之间的转化．题目中多数条件是通过语言给出的，我们要善于将这些语言转化为我们列方程所需要的代数式．④从语言叙述中寻找相等关系．如甲比乙大5应理解为“甲=乙＋5”等．⑤在寻找相等关系时，还应从基本的生活常识中得出相等关系．总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程的基础，找相等关系是列方程解应用题的关键．【易错点】一、忽视一元二次方程定义中的条件例 1 关于x的一元二次方程（01)122=-+++axxa的一个根为0，则a=_______.错解：∵0是一元二次方程的根，∴将0=x代入方程得,012=-a∴1±=a。
人教版九年级上册数学第21章一元二次方程知识点复习总结
一元二次方程知识点复习总结1. 一元二次方程的一般形式:a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、c ；其中 a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式:当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根；Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根；Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.4. 一元二次方程的根系关系：当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：.ac x x ab x x )2(a2ac4bbx )1(212122,1，；※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式acx x a bx x 2121，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数ab = 0且Δ≥0 b = 0且Δ≥0；（2）两根互为倒数a c =1且Δ≥0 a = c 且Δ≥0；（3）只有一个零根a c = 0且a b ≠0 c = 0且b ≠0；（4）有两个零根a c = 0且a b = 0c = 0且b=0；（5）至少有一个零根a c =0 c=0；（6）两根异号a c ＜0 a 、c 异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值a c ＜0且a b ＞0a 、c 异号且a 、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值a c ＜0且a b ＜0a 、c 异号且a 、b 同号；（9）有两个正根a c ＞0，ab ＞0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；（10）有两个负根ac ＞0，ab ＜0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax 2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax 2+bx+c=a2ac4bb xa2ac4bb xa 22.7．求一元二次方程的公式：x 2-（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0.注意：所求出方程的系数应化为整数.8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x ）：(1)第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程：第一年+第二年+第三年=总和.9．分式方程的解法：.0)1(），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法.0.2分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，换元法）（10. 二元二次方程组的解法：.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1分组为应注意：的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（※11．几个常见转化：；；或；；；)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x1x(x1x2)x1x(x1xx x 4)x x ()x x (x x 2)x x (xx )1(2121221221212122122121222222212212212122122214x x .22x x 2x x .12x x )2(221212121）两边平方为（和分类为；.,)2(34x x 34x x )1()916x x (34x x )3(2121222121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或；.0x ,0x :.1x x Bsin A cos ,1Acos Asin ,90BAB sin x ,A sin x )4(2122212221注意隐含条件可推出由公式时且如.0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个。
九年级数学上册 第21章 一元二次方程小结
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第二页，共十六页。
1.学习(xuéxí)过程回顾
阅读课本(kèběn)24页“回顾与思考”， 回顾本章学习过程及相关知识点。
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第三页，共十六页。
2．概念 梳 (gàiniàn)
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5．一元二次方程的实际(shíjì)应用
结合以上两个例题说明一元二次方程作为数学模型解决 (jiějué)实际问题的过程．
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第十四页，共十六页。
6．体系(tǐxì)建构
请同学们整理一下本章所学的主要知识(zhī shi)，你能发现 它们之间的联系吗？你能画出本章的知识(zhī shi)结构图吗？
未知数个数：1 个
次数： 2 次
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3．解法(jiě fǎ)回顾
例2 用适当的方法解下列(xiàliè)方程： x2 - 2x + 1 = 25．
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3．解法回顾
问题2 一元二次方程有哪些(nǎxiē)解法？各种解法在什
么情况下最适用？
解。4．一元二次方程的根的情况。4．一元二次方程的根的情况。请同学们整理一下本章所学的主要 知识，你能发现 它们之间的联系吗。6．体系建构
Image
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ax2 + bx + c = 0（a≠0）
两根之和 x 1 + x 2 =-
b a
两根之积
九年级数学人教版(上册)第21章小结与复习
当m=2，x2-2x=2，解得x=1± 3，
所以，原方程的解为x1=3，x2=-1， x3=1+ 3 ，x4=1- 3 ．
侵权必究
考点3 一元二次方程的根的判别式的应用
例4 已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等
的实数根，则m的取值范围是（ A ）
A. m 4 B. m<2
3
C. m ≥0
第二十一章 一元二次方程 小结与复习
侵权必究
目录页
要点梳理
考点精讲
课堂小结
当堂练习
侵权必究
要点梳理
✓ 教学目标 ✓ 教学重点
侵权必究
要点梳理 一、一元二次方程的基本概念 1.定义：
只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的 方程叫做一元二次方程． 2.一般形式：
解析 本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如 下：设公司每天的销售价为x元.
侵权必究
单件利润 销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
4
32
128
涨价销售
x-20
32-2(x-24)
150
其等量关系是：总利润=单件利润×销售量.
解：（1）32-(x-24) ×2=80-2x; （2）由题意可得(x-20)(80-2x)=150.
侵权必究
解：设销售单价为x元.则月销售量为［500-10(x-50)］kg. 由题意可得 (x-40)［500-10(x-50)］=8000， 解得 x1=60, x2=80， 又 40［500-10(x-50)］≤10000. x≥75. ∴x=60<75(舍去) 答：销售单价应为80元.
秋九年级数学上册 第21章 一元二次方程单元复习整合 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年级上
一元二次方程答知识专题复习专题一巧用一元二次方程及根的定义探究引路【例1】 若0=x 是关于x 的方程0823)2(22=-+++-m m x x m 的解，某某数m 的值，并讨论此方程解的情况.思路图示 0=x 为方程的解 0822=-+m m 求出m 的值 代入原方程验证.答案因0=x 是此方程的根，所以代入的0822=-+m m 解得21=m ，42-=m .当2=m 时，此方程是一元一次方程03=x ，所以0=x . 当4-=m 时，此方程是一元二次方程0362=+-x x ， 解得01=x ，212=x . 归纳拓展求一元二次方程中的某一个字母的取值X 围时，将方程先化为一般式(有时已经是一般式，就不用转化)，再根据一元二次方程的定义，使这个字母或含这个字母的代数式的值同时满足两条：二次项的系数不等于0且未知数的最高次数是2.或者已知一元二次方程的根求方程中某个字母的值时，所求出的字母的值也应满足两条：二次项的系数不等于0且未知数的最高次数是2.否则，应舍去不符合以上两条的这个字母的值.【迁移应用1】已知0=x 是一元二次方程023)2(22=-++-m x x m 的根，求m 的值.答案 ∵0=x 是方程的根，∴02030)2(2=-+⨯+⨯-m m . ∴022=-m解得2±=m 又∵02≠-m ∴2≠m ∴2-=m .专题二 一元二次方程的解法技巧与运用 探究引路【例2】解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a解析 此方程没指明是什么方程，也没指明a 的取值X 围，因此应分类讨论，分别求解. 答案 (1)当1=a 时，原方程是一元一次方程012=+-x ， ∴21=x . (2)当1≠a 时，∵a a a a ac b 4)1(4)2(422=---=-=△. ①当0<a 时，原方程无实数解. ②当0=a 时，021==x x . ③当0>a 且1≠a 时，1121--=-+=a aa x a a a x ，.【例3】 解方程：(1)04424=+-x x ； (2)08736=--x x解析 “换元法”，可使高次方程化为二次方程达到逐步降次求解的目的. 答案 (1)设y x =2，则原方程可化为0442=+-y y∴221==y y .∴22=x ，2±=x ，即2221-==x x ，.(2)设y x =2，则原方程可化为0872=--y y ， ∴11-=y ，82=y ，∴13-=x 或83=x∴2121=-=x x ， 归纳拓展在解一元二次方程时，要观察方程的结构特点，在没给出解法要求时，可选取简单解法.要先看是否能用因式分解法或直接开平方法，否则就用公式法，一般不用配方法.【迁移应用2】 解方程04)1(5)1(222=+---x x . 答案 设y x =-12，则原方程可化为0452=+-y y ，解得4121==y y ，. 当112=-x 时，52=x ，∴5±=x ，∴21=x ，22-=x .当112-=-x 时，22=x ，∴2±=x ，∴51=x ，52-=x .∴原方程的解为：21=x ，22-=x ，53=x ，54-=x .专题三一元二次方程在日常生活中的应用 探究引路【例4】润滑用油90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油为36千克。
人教版九年级数学上册第21章《一元二次方程》知识点小结与复习
当 a 0 时,它不是一元二次方程.
方程2ax2 -2bx+a=4x2, (1)在什么条件下此方程为一元二次方程？ (2)在什么条件下此方程为一元一次方程？
解： 原方程转化为(2a-4)x2 -2bx+a=0 当a≠2时是一元二次方程； 当a＝2,b≠0时是一元一次方程；
m=
。
3、当m
时，关于x的方程3x2－
2(3m+1)x+3m2－1=0有两个不相等的实数
根。
4、关于x的一元二次方程mx2+(2m－1)x－
2=0的根的判别式的值等于4，则m=
。
一元二次方程的根与系数的关系： （韦达定理）
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 ,
那么X1+x2= -
2(a－2)x+a２－5=0有实数根，且两 根之积等于两根之和的2倍，求a的值。
【例4】已知x1,x2是关于x的方程 x2+px+q=0的两根，x1+1,x2+1是关 于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常 数p、q的值。
拓展练习：
１、当a,c异号时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根的
情况是
一元二次方程的解法：（公式法）
例：（3） 2x2 3x 4 0
解： a 2,b 3,c 4
b2 4ac 32 4 24
9 32 41
3 41
x 22
3 41 3 41 x1 4 , x2 4
注：当一元二次方程二次项系数不为1且
难以用因式分解时常用公式法比较简便。
b2 4ac 0,
九年级上册数学第二十一章 一元二次方程 知识归纳
第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0）21.2解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法：用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=± m.直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果.2、配方法通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。
这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。
1.转化：将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式）2.系数化1：将二次项系数化为13.移项：将常数项移到等号右侧4.配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.变形：将等号左边的代数式写成完全平方形式6.开方：左右同时开平方7.求解：整理即可得到原方程的根3、公式法公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
21.3 实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．。
九年级数学上册 第21章 一元二次方程本章小结
(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了
多少时间?
(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多少时间?
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【自主解答】(1)当t=4时,
l= ×1 42+ ×3 4=14(cm).答:甲运动4s后的路程是14cm.
2
2
(2)设它们运动了ms后第一次相遇,根据(gēnjù)题意,得:
小明设计了点做圆周运动的一个雏型(chú xínɡ).如图所示,甲、乙两点分
别从直径的两端点A,B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运1 动.甲运3 动的 路程l(cm)与时间t(s)满足关系:l= t2+ t(t≥0),乙以4cm/s2的速度2 匀速
运动,半圆的长度为21cm. (1)甲运动4s后的路程是多少(duōshǎo)?
21
本章(běn zhānɡ)小结
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第一页，共十八页。
定义(dìngyì)
一般(yībān)形式
一 元 解法(jiě fǎ)
二
次
方
程
根与系数
的关系
应用
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ax2+bx+c=0(a≠0)
因式分解法
配方法
公式法
x1+x2=-b/a x1·x2=c/a
增长率问题
前提
根的判别式 △≥0
际情况.
6.答——完整地写出答案(dá àn),注意单位.
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练习 1.(2013(·l天iàn水xí)中考)从一块正方形的木板(mù bǎn)上锯掉2m宽的长方形木条,
剩下的面积是48m2,则原来这块木板的面积是( ) A.100 m2 B.64 m2 C.121 m2 D.144 m2
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第21章 一元二次方程
复习目标：
能分析实际问题中的相等关系，并能解其中的未知数为背景的实际问题；进一步认识一元二次方程的有关概念，会根的判别式判断方程根的情况。
根据转化的思想，抓住“将次”这一基本策略，掌握用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，知道根与系数的关系并会简单应用。
经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学“模型”思想的作用，进一步提高在实际问题中运用方程工具的基本能力。
重点与难点：
一元一次方程的解法及应用。
复习过程：
构建知识网络：
一元二次方程的
⑴定义________________________________
⑵一般式______________________________
⑶解法有①______________②______________③_____________④_____________。
⑷根的判别式___________①当________时，方程有两个不相等的实数根；②当__________时，方程有两个相等的实属根；③当________时，方程没有实数根。
⑸设ax 2+bx+c=0(a ≠0且b 2--4ac ≥0)的两个根为x 1、x 2，则x 1+x 2=___，x 1x 2=_______。
⑹应用题模型。
核心知识梳理：
一元二次方程的根的定义___________________________________________。
直接开平方法解方程的类型为______________或___________________；公式法解方程时，首先把方程化为_______________，确定__________的值，若___________时，则直接代入求根公式_______________；
形如x 2+mx=n 的方程用“______法”比较方便；当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，用“___________法”比较方便。
合作探究：
1、一元二次方程及解得定义
(1)关于x 的一元二次方程(m+1)12 m x +4x+2=0的解为（ ）
A.x 1=1,x 2=–1
B.x 1=x 2=1
C.x 1=x 2=1
D.无解
(2)若方程3x 2–5x –2=0有一个根为m ，则6m 2–10m –5的值为__________。
变式：已知关于x 的方程x 2+bx+a=0的一个根为–a （a ≠0），则a –b 的值为____________。
归纳：______________________________________________________________。
一元二次方程的解法
用恰当的方法解下列方程：
⑴ 2(x+3)2=8 ⑵ 4x 2
–42x+1=0 ⑶ (3x –4)2
=9x –12 ⑷ 2x2–43x –22=0 归纳：______________________________________________________________。
3、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
(1)已知关于x 的方程kx 2+(1–k)x –1=0，下列说法正确的是（ ）
当k=0时，方程无解 B.当k=1时，方程有一个实数解
C.当k=–1时，方程有两个相等的实数根
D.当k ≠0时，方程总有两个不相等的实数根
(2)已知方程kx 2–4x+2=0有两个实数根，求k 的取值范围。
(3)若方程x 2+x –1=0的两个根为x 1、x 2，求(11x –2)(2
1x –2)的值。
变式：已知α、β是关于x 的一元二次方程x 2+(2m+3)x+m 2=0的两个不相等的实数根，且满足
=+βα1
1–1，则m 的值是（ ）
A.3
B.1
C.3或–1
D.–3或1
归纳：___________________________________________________。
一元二次方程的应用
(1)某电冰箱厂今年每个月的产量都比上个月增长的百分率相同，。
已知该厂今年4月份的电冰箱产量为5万台，6月份比5月份多生产了12000台，求该厂今年产量的月平均增长率。
(2)现有一块长40m ，宽30m 的场地，欲在中央建一个游泳池，周围是等宽的便道及休息区，且游泳池与周围部分的面积之比为1：1，请给出这块场地建设的设计方案，并用图形及相关尺寸表示出来。
(3)在实数范围内分解因式：①–2x 2–4x+3 ②4x 2–4x –1
归纳：____________________________________________________________。
复习小结：
谈谈本章学习的收获和存在的问题。
五、达标检测：
完成同步作业。