数学规划模型及LINGO讲义

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§2 LINGO中的集

集是LINGO建模语言的基础，是程序设计 最强有力的基本构件。借助于集，能够用 一个单一的、长的、简明的复合公式表示 一系列相似的约束，从而可以快速方便地 表达规模较大的模型。
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集是一群相联系的对象，这些对象也称为集的 成员。一个集可能是一系列产品、卡车或雇员。 每个集成员可能有一个或多个与之有关联的特 征，我们把这些特征称为属性。属性值可以预 先给定，也可以是未知的，有待于LINGO求解。 例如，产品集中的每个产品可以有一个价格属 性；卡车集中的每辆卡车可以有一个牵引力属 性；雇员集中的每位雇员可以有一个薪水属性， 也可以有一个生日属性等等。
Model – LINGO1的窗口是LINGO的默认
模型窗口，建立的模型都都要在该窗口内
编码实现。
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下面举两个例子
例1.1求解前面介绍的LP问题
max Z 2 x1 3 x2 x1 2 x2 8 4 x 16 1 4 x2 12 x1 , x2 0
model: sets: cd/1..6/: a; xd/1..8/: b; links(cd,xd): c, x; endsets min=@sum(links: c*x); @for(xd(j): @sum(cd(i): x(i,j))=b(j));
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@for(cd(i) @sum(xd(j): x(i,j))<=a(i)); data: a=60 55 51 43 41 52; b=35 37 22 32 41 32 43 38; c= 6 2 6 7 4 2 9 5 49538582 52197433 76739271 23957265 5 5 2 2 8 1 4 3; enddata end
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Q:这些模型如何求解呢？
我们可以利用LINGO软件进行求解。
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二 LINGO软件介绍
§1 LINGO入门 当在windows下开始运行LINGO系统时，会 得到类似下面的一个窗口：

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外层是主框架窗口，包含了所有菜单命令
和工具条，其它所有的窗口将被包含在主
窗口之下。在主窗口内的标题为LINGO

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如何生成稀疏集？ 有两种方式生成：①显式罗列；②设置成 员资格过滤器。 使用前面的例子，显式罗列派生集的成员：

allowed(product,machine,week)/A M 1,A N 2,B N 1/;
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如果需要生成一个大的、稀疏的集，那么 显式罗列就很讨厌。幸运地是许多稀疏集 的成员都满足一些条件以和非成员相区分。 我们可以把这些逻辑条件看作过滤器，在 LINGO生成派生集的成员时把使逻辑条 件为假的成员从稠密集中过滤掉。

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如何定义派生集
为了定义一个派生集，必须详细声明： · 集的名字 · 父集的名字 · 可选，集成员 · 可选，集成员的属性 可用下面的语法定义一个派生集： setname(parent_set_list)[/member_list/][:attribute_list];
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setname是集的名字。parent_set_list是已 定义的集的列表，多个时必须用逗号隔开。 如果没有指定成员列表，那么LINGO会自 动创建父集成员的所有组合作为派生集的 成员。派生集的父集既可以是原始集，也 可以是其它的派生集。
Oct..Jan Oct2001..Jan2002
Oct,Nov,Dec,Jan Oct2001,Nov2001,Dec2001,Ja n2002
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③ 集成员不放在集定义中，而在随后的数据部分来定 义。 例2.2 sets: students:sex,age; endsets data: students,sex,age= John 1 16 Jill 0 14 Rose 0 17 Mike 1 13; enddata
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Member_list是集成员列表。如果集成员放 在集定义中，那么对它们可采取显式罗列 和隐式罗列两种方式。如果集成员不放在 集定义中，那么可以在随后的数据部分定 义它们。 ① 当显式罗列成员时，必须为每个成员 输入一个不同的名字，中间用空格或逗号 搁开，允许混合使用。
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例2.1 可以定义一个名为students的原始集， 它具有成员John、Jill、Rose和Mike，属 性有sex和age： sets: students/John Jill, Rose Mike/: sex, age; endsets
数学规划模型及LINGO讲义
黄志勇 河南科技大学理学院 zyhwan@
一 数学规划引论

数学规划是运筹学中的重要的一个大分支。
所研究的问题来源于军事、经济、管理等
领域的实际问题。

数学规划主要包括线性规划、非线性规划、 整数规划、动态规划、多目标规划等
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数学规划主要解决两个方面的问题： 一、对于给定的人力、物力和财力，怎样 才能发挥他们的最大效益； 二、对于给定的任务，怎样才能用最少的 人力、物力和财力去完成它。
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在模型窗口中输入如下代码：
max=2*x1+3*x2; x1+2*x2<=8; 4*x1<=16; 4*x2<=12; 然后点击工具条上的按钮 或者按ctr+s
即可。
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例1.2 使用LINGO软件计算6个发点8个收
点的最小费用运输问题。产销单位运价表
如下所示：
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B1 A1 A2 A3 A4 A5 A6 销 量 6 4 5 7 2 5 35

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② 当隐式罗列成员时，不必罗列出每个集 成员。可采用如下语法： setname/member1..memberN/[:attribute_list];

这里的member1是集的第一个成员名， memberN是集的最末一个成员名。LINGO将 自动产生中间的所有成员名。LINGO也接受 一些特定的首成员名和末成员名，用于创 建一些特殊的集。列表如下：
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如何定义原始集 为了定义一个原始集，必须详细声明： ·集的名字 ·可选，集的成员 ·可选，集成员的属性 定义一个原始集，用下面的语法： setname[/member_list/][:attribute_list]; 注意：用“[]”表示该部分内容可选。

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Setname是你选择的来标记集的名字，最 好具有较强的可读性。集名字必须严格符 合标准命名规则：以拉丁字母或下划线 （_）为首字符，其后由拉丁字母（A— Z）、下划线、阿拉伯数字（0，1，„，9） 组成的总长度不超过32个字符的字符串， 且不区分大小写。
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对于如此简单的线性规划问题可以利用图 解法、单纯形法等求得最优解。也可以利 用LINDO、LINGO等软件求解。
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Q：数学建模竞赛中所建模型会简单么？ 显然是不可能的。 如果建模中建立的是规划模型，那肯定是 综合的规划模型。

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借助上面的例子，可以有以下几种变形： 整数规划模型：

max Z 2 x1 3x2 x1 2 x2 8 4x 16 1 4 x2 12 x1 , x2 0，且取整
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非线性规划模型：
max Z 2 x12 3x2 x1 2 x2 8 4 x 16 1 4 x2 12 x1 , x2 0
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例2.4 sets: students/John,Jill,Rose,Mike/:sex,age; linkmf(students,students)|sex(&1) #eq# 1 #and# sex(&2) #eq# 0: friend; linkmf2(linkmf) | friend(&1,&2) #ge# 0.5 : x; endsets data: sex,age = 1 16 0 14 0 17 0 13; friend = 0.3 0.5 0.6; enddata
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LINGO有两种类型的集：原始集 (primitive set)和派生集(derived set)。 一个原始集是由一些最基本的对象组成的。 一个派生集是用一个或多个其它集来定义 的，也就是说，它的成员来自于其它已存 在的集。

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集部分是LINGO模型的一个可选部分。在 LINGO模型中使用集之前，必须在集部分 事先定义。集部分以关键字“sets:”开始， 以“endsets”结束。一个模型可以没有集 部分，或有一个简单的集部分，或有多个 集部分。一个集部分可以放置于模型的任 何地方，但是一个集及其属性在模型约束 中被引用之前必须定义了它们。
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隐式成员列表格式
示例
所产生集成员
1..n
StringM..StringN DayM..DayN
1..5
Car2..car14 Mon..Fri
1,2,3,4,5
Car2,Car3,Car4,…,Car14 Mon,Tue,Wed,Thu,Fri
MonthM..MonthN MonthYearM..MonthYearN
ห้องสมุดไป่ตู้35
例2.3 sets: product/A B/; machine/M N/; week/1..2/; allowed(product,machine,week):x; endsets

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成员列表被忽略时，派生集成员由父集成 员所有的组合构成，这样的派生集成为稠 密集。 如果限制派生集的成员，使它成为父集成 员所有组合构成的集合的一个子集，这样 的派生集成为稀疏集。