大学物理与实验(I)2时间空间与运动学

(1)平动 )
(2)本身线度 << 其活动范围 )
地球
太阳
地球绕太阳公转
三,时间 空间 时间是物体运动过程的持续性和顺序性的反映 时间是物体运动过程的持续性和顺序性的反映 持续性 空间是物体运动过程的广延性或物体形状, 空间是物体运动过程的广延性或物体形状,相 广延性 对位置的反映 对位置的反映
o t
o t
vz = v0z + ∫ az (t )dt
o
v =vxi + vy j + vz k
例1:一质点在(X,Y)平面内运动, 一质点在( , )平面内运动, 一质点在 运动方程为: 运动方程为:
r (t ) = 2ti + (2 t ) j
2
(SI )
求: (1)质点的轨迹; )质点的轨迹; (2)在最初 内质点的位移和平均 )在最初2S内 速度; 速度; (3)在第2S时质点的速度和加速度. )在第 时质点的速度和加速度.
t dx ∴∫ = ∫ dt 0 1+ 2x 0 x
1 ln(1+ 2x) = t 2
1 2t ∴x = (e 1) 2
d x 2t a = 2 = 2e dt
2
平面内运动, [例4]一质点在xOy平面内运动,运动方 4]一质点在 y=19(1)写出质点任意 程为x=2t,y=19-2t2.(1)写出质点任意 时刻的位置矢量, 时刻的位置矢量,速度矢量和加速度矢 (2)写出轨迹方程 写出轨迹方程; 量;(2)写出轨迹方程; 2 解 : 1) (
d x(t) 1 2 ∵ v(t) = = 2+t + t dt 2 x( t ) t 1 2 ∴∫ d x(t ) = ∫ (2 + t + t )dt x0 0 2
质点的运动方程: 质点的运动方程:
1 2 1 3 x(t ) = 1 + 2t + t + t 2 6
[例3]质点沿x轴作直线运动,速度 3]质点沿 轴作直线运动, 质点沿x v=1+2x,初始时刻质点位于原点, v=1+2x,初始时刻质点位于原点,求质点 的位置和加速度 解:∵v = dx dt =1+ 2x
r = 2ti + (19 2t ) j v = dr dt = 2i 4tj a = dv dt = 4 j
2
(2)消去t: 消去t
∴y =19 2(x 2) =19 x 2
2
[例5]质点沿x轴正向作直线运动,加速 5]质点沿 轴正向作直线运动, 质点沿x a=-mx(m为正常数 为正常数) t=0时 度a=-mx(m为正常数).t=0时, x=0, v 在什么位置质点开始停止运动? =v0,在什么位置质点开始停止运动? 问什么位置质点停止运动?需令速度等零, 解: 问什么位置质点停止运动?需令速度等零,
v0 ∴x = m
七, 运动学的一类特殊的微分问题
求当 为匀速时, v0为匀速时, ? v =?
v0
h
a
s
v
l = s +h
2 2
2
求导: 两边对 t 求导:
dl ds 2l = 2s dt dt
ds = v dt
2 2
dl = v0 而 dt
l s +h ∴ v = v0= v0 s s
八.抛体运动 二维运动,分解成两个一维运动 X: v0 x = v0 cos θ ,
时间, 第二章 时间,空间与质点运动学
的物体的运动规律. 研究可简化为质点的物体的运动规律.
参考系, §2–1 参考系,坐标系和质点 §2-2位矢,速度和加速度 位矢, §2-3圆周运动,自然坐标(内禀坐标) 圆周运动,自然坐标(内禀坐标) §2-4运动的相对性,Galileo坐标变换 运动的相对性,Galileo坐标变换
(3)a=a( x)
dv dv dx dv = 由 a( x) = =v dt dx dt dx
得 积分: 积分: 得
2
vdv = a( x)dx
vdv = ∫ a( x)dx
x x0
2 0 x x0
∫
v
v0
v = v + 2∫ a( x)dx
(4)v=v( t)
dx 由 v= dt
两边取定积分
o
地心系
Y
的数学抽象. 坐标系: 参考系的数学抽象 坐标系: 参考系的数学抽象. 常用: 常用: 直角坐标系 自然坐标系 球坐标系 柱坐标系 极坐标系
二,质点: 质点: 具有物体的全部质量, 不考虑其 具有物体的全部质量,而不考虑其大小 物体的全部质量 形状的理想物体 的理想物体. 和形状的理想物体. 物体可简化为质点的情况: 物体可简化为质点的情况:
§2–1 参考系和坐标系
一, 参考系
质点
研究物体的运动时所选的参考物体. 研究物体的运动时所选的参考物体. 同一物体,对不同参考系, 同一物体,对不同参考系,运动不同 ----运 运 动描述的相对性. 动描述的相对性.
可根据研究问题的方便,选不同参考系 可根据研究问题的方便,选不同参考系
Z
地面系 日心系 X
方向: 方向: dv 沿
在直角坐标系中
dvy dv dvx dvz a= = i+ j+ k dt dt dt dt
d x d y d z = 2 i+ 2 j+ 2 k dt dt dt
2 2 2
= ax i + ay j + az k
六, 运动学的两类问题 1,已知 r , = r (t),求 r v和 a
故需求速度
dv dv dx dv ∵a = = =v dt dx dt dx dv ∴v = mx dx v x vdv = ∫ mxdx 积分 ∫
v0 0
得
2
1 2 2 1 2 (v v0 ) = mx 2 2
∴v v = mx
2 0
2
v = v0 mx
2
2
质点停止运动时
v =0
v0 ( x= 舍去) 舍去) m
解:(1)运动方程的分量形式: :( )运动方程的分量形式:
x = 2t 2 y = 2 t
两式联立消去 t ,得轨迹方程: 得轨迹方程:
x y = 2 4
2
(2)在最初 内质点的位移: )在最初2S内质点的位移:
r = r (2) r (0) = 4i 4 j
= (x2 x0 )i + ( y2 y0 ) j
x = 2t 2 y = 2 t
x y = 2 4
2
路程:质点经历的实际路径长度. 路程:质点经历的实际路径长度.
二,位移矢量(位移) r 位移矢量(位移) 一段时间内位矢( 增量. 一段时间内位矢(置)的增量.
PP = r = r2 r 1 2 1
分量式: r分量式:
z
r = r2 r1
x
o
t
( )dt
∫
v
vo
dv = ∫ a(t )dt
t o
0
= ∫ a(t )dt或v = v0 + ∫ a(t )dt
t o o
(2)a=a(v)
dv 得 由 a(v) = dt
t
dv dt = a(v)
v
dv 两边取定积分: 两边取定积分: dt = ∫0 ∫v0 a(v) v dv 得 t =∫ 运动方程) (运动方程) v0 a(v)
P (x,y,z)
i
k 0
y
rz
j
x
Y
在直角系中分量表达式: r在直角系中分量表达式:
r = xi + yj + zk
大小: 大小:
r = r= x + y + z
2 2
2
方向余弦: 方向余弦:
x cosα = r
y cos β = r
z cosγ = r
运动方程: 位置随 变化的函数式, 运动方程:----位置随 t 变化的函数式,
a = t +1 1 x0 = 1m , v0 = 2m s
求:质点的运动方程. 质点的运动方程.
dv 解: = = t +1 a dt
分离变量, 分离变量, dv = (t + 1)dt 两边积分, 两边积分,
∫
v(t )
v0
dv = ∫ (t +1)dt
0
t
得
1 2 v(t ) = 2 + t + t 2
--矢量 v --矢量
r 大小: 大小: v = t
方向: 方向: r的方向
2,瞬时速度(速度): ,瞬时速度(速度)
r lim 的极限值, t → 0时, v 的极限值, v = t→0 t
dr v= dt
dr 大小: 大小: = v = v dt v矢量
----速率 速率
方向:dr方向, 轨道切向. 方向: 方向, 轨道切向. ----轨道切向
r = r (t)= x(t)i + y(t) j + z(t)k
分量式: 分量式:
空间运动
平面运动
x = 2t 2 y = 2 t
x = x(t ) y = y(t )
x = x (t ) y = y (t ) z = z (t )
轨迹(道 :运动质点在空间经过路径的形状. 轨迹 道):运动质点在空间经过路径的形状 运动方程分量式中消去t,可得轨迹方程. 运动方程分量式中消去 ,可得轨迹方程.
ds v= dt
∵ dr = ds
五,加速度 ----速度随时间的变化率 速度随时间的变化率
v1