2018届高考数学一轮复习专项检测试题推理与证明(1)
2018年高考数学一轮复习单元滚动检测十三推理与证明算法复数理新人教B版
单元滚动检测十三 推理与证明、算法、复数考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·青岛质检)设i 是虚数单位，复数1＋ai2－i为纯虚数，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2C ．－12 D.122．观察下列各式：71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807，…，则72 016的末两位数字为( )A ．49B ．43C ．07D ．013．(2016·黄岗质检)已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是( )A ．2B ．－1 C.12 D.144．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B．a 2＋b 2－1－a4＋b42≤0C.＋2－1－a 2b 2≤0 D．(a 2－1)(b 2－1)≥05．(2016·安徽“江淮十校”第三次联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程2＋x＝x确定x＝2，则1＋11＋11＋…等于( )A.－5－12B.5－12C.1＋52D.1－526．(2016·宝鸡质检)定义某种运算s＝ab，运算原理如程序框图所示，则2ln e＋2(1 3)－1的值为( )A．12 B．11 C．8 D．47．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为( )A．n＋1 B．2nC.n2＋n＋22D．n2＋n＋1 8．(2016·沈阳质检二)用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n－1>12764(n∈N＋)成立，其初始值至少应取( )A．7 B．8 C．9 D．10 9．(2016·西安地区八校联考)执行如图所示的程序框图，若输出的值是13，则判断框内应为( )A．k＜6 B．k≤6 C．k＜7 D．k≤7。
最新-2018高中数学系列一轮复习 推理与证明课件 理 新人教B版 精品
(3) 数 学 归 纳 法 是 专 门 证 明 与 正 整 数 集 有 关 的 命 题 的 一 种 方 法．它是一种完全归纳法，它的证明共分两步，其中第一步是命题 成立的基础，称为“归纳基础”(或称特殊性)．第二步解决的是延续 性问题(又称传递性)．运用数学归纳法证明有关命题要注意以下几 点：
①两个步骤，缺一不可； ②第二步中，证明“当 n＝k＋1 时结论正确”的过程里，必须 利用“归纳假设”即必须用上“当 n＝k 时结论正确”这一条件，不 用归纳假设的证明是错误的． ③在第二步的证明中，“当 n＝k 时结论正确”这一归纳假设起 着已知的作用；“当 n＝k＋1 时结论正确”则是求证的目标．在这 一步中，一般首先要凑出归纳假设里给出的形式，以便利用归纳假
2．合情推理 (1)定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再 进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．其包括归纳推理和类比推理． 合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结 论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结 论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向． 合情推理的过程概括为： 从具体问题出发 ―→
(2)原理：这是因为第一步首先验证了 n 取第一个值 n0，这样假 设就有了存在的基础．至少 k＝n0 成立．由假设和合理推证，证明 出 n＝k＋1 也成立．这实质上是证明了一种循环．如验证了 n0＝1 成立，又证明了 n＝k＋1 也成立，这就一定有 n＝2 成立，＝4 也成立．如此反复以至无 穷，对所有 n≥n0 的整数就都成立了．
考点串串讲
1．推理 (1)定义 在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布， 燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断——天要下雨 了；张三今天没来上课，我们会推断——张三一定生病了；谚语： “八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”，等等，这样根据一个 或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫做推理．推 理是人们思维活动的过程．
2018版高考数学(理)一轮复习文档：第十二章推理证明、算法、复数12.5含解析
1．条件概率及其性质（1)一般地，设A,B为两个事件,且P（A)>0，称P（B|A）＝错误!为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．在古典概型中,若用n（A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A）＝错误!。
(2）条件概率具有的性质①0≤P（B|A)≤1;②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C｜A)＝P（B|A)＋P(C|A）．2．相互独立事件（1）设A，B为两个事件，若P（AB)＝P(A）P（B），则称事件A 与事件B相互独立．（2）若A与B相互独立,则P（B|A）＝P(B)，P(AB)＝P（A）P(B｜A）＝P(A）P（B）．（3）若A与B相互独立，则A与错误!，错误!与B，错误!与错误!也都相互独立．3．二项分布（1)一般地，在相同条件下重复做的几次试验称为n次独立重复试验．（2)一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C错误!p k（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n。
此时称随机变量X服从二项分布,记为X～B(n，p),并称p为成功概率．【知识拓展】超几何分布与二项分布的区别（1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；（2)超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取(独立重复)．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×”）（1)条件概率一定不等于它的非条件概率．( ×）（2）相互独立事件就是互斥事件．（×)(3)对于任意两个事件,公式P(AB）＝P(A)P（B)都成立．( ×）(4)二项分布是一个概率分布,其公式相当于（a＋b)n二项展开式的通项公式,其中a＝p,b＝1－p.( ×）（5)P（B|A）表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率,P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．（√）1．袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为（）A。
2018版高考数学理人教大一轮复习讲义教师版文档第十三
数学归纳法一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n ＝1时结论成立．( × ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．( × ) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( × )(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，项数都增加了一项．( × )(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，验证n ＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( √ )(6)用数学归纳法证明凸n 边形的内角和公式时，n 0＝3.( √ )1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1时，等式左边的项是( ) A ．1 B ．1＋a C ．1＋a ＋a 2 D ．1＋a ＋a 2＋a 3答案 C解析 当n ＝1时，n ＋1＝2，∴左边＝1＋a 1＋a 2＝1＋a ＋a 2.2．(2016·黄山模拟)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2(1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n )时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立 答案 B解析 因为n 为正偶数，n ＝k 时等式成立， 即n 为第k 个偶数时命题成立，所以需假设n 为下一个偶数，即n ＝k ＋2时等式成立．3．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0答案 C解析 凸n 边形边数最小时是三角形， 故第一步检验n ＝3.4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( ) A ．k 2＋1 B ．(k ＋1)2 C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2 答案 D解析 等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到n 2.故n ＝k ＋1时，最后一项是(k ＋1)2，而n ＝k 时，最后一项是k 2，应加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.5．(教材改编)已知{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ∈N *，且a 1＝2，则a 2＝________，a 3＝________，a 4＝________，猜想a n ＝________. 答案 3 4 5 n ＋1题型一 用数学归纳法证明等式例1 设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)．求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)．证明 ①当n ＝2时，左边＝f (1)＝1， 右边＝2(1＋12－1)＝1，左边＝右边，等式成立．②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即 f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1]， 那么，当n ＝k ＋1时， f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k ) ＝k [f (k )－1]＋f (k )＝(k ＋1)f (k )－k ＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1k ＋1]－k＝(k ＋1)f (k ＋1)－(k ＋1)＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时结论成立．由①②可知当n ∈N *时，f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)． 思维升华 用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值n 0的取值并验证n ＝n 0时等式成立．(2)由n ＝k 证明n ＝k ＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标． (3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1)(n ∈N *)． 证明 ①当n ＝1时，左边＝121×3＝13，右边＝1×(1＋1)2×(2×1＋1)＝13，左边＝右边，等式成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立． 即121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)，当n ＝k ＋1时，左边＝121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k (k ＋1)(2k ＋3)＋2(k ＋1)22(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(2k 2＋5k ＋2)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)，右边＝(k ＋1)(k ＋1＋1)2[2(k ＋1)＋1]＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)，左边＝右边，等式成立． 即对所有n ∈N *，原式都成立． 题型二 用数学归纳法证明不等式例2 (2016·烟台模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上． (1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1成立． (1)解 由题意，S n ＝b n ＋r ， 当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r .所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)．由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列． 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，所以a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r ＝b ，解得r ＝－1.(2)证明 由(1)及b ＝2知a n ＝2n －1.因此b n ＝2n (n ∈N *)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n>n ＋1.①当n ＝1时，左式＝32，右式＝2，左式>右式，所以结论成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立， 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k>k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)>k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1， 要证当n ＝k ＋1时结论成立， 只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)，由基本不等式得2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立，故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，所以当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，当n ∈N *时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1成立．思维升华 数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)关键：由n ＝k 时命题成立证n ＝k ＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．若函数f (x )＝x 2－2x －3，定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过点P (4,5)、Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2≤x n <x n ＋1<3. 证明 ①当n ＝1时，x 1＝2，f (x 1)＝－3，Q 1(2，－3)． 所以直线PQ 1的方程为y ＝4x －11， 令y ＝0，得x 2＝114，因此2≤x 1<x 2<3，即n ＝1时结论成立．②假设当n ＝k 时，结论成立，即2≤x k <x k ＋1<3.当n ＝k ＋1时，直线PQ k ＋1的方程为y －5＝f (x k ＋1)－5x k ＋1－4·(x －4)．又f (x k ＋1)＝x 2k ＋1－2x k ＋1－3， 代入上式，令y ＝0，得x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1＝4－52＋x k ＋1，由归纳假设，2<x k ＋1<3，x k ＋2＝4－52＋x k ＋1<4－52＋3＝3；x k ＋2－x k ＋1＝(3－x k ＋1)(1＋x k ＋1)2＋x k ＋1>0，即x k ＋1<x k ＋2， 所以2≤x k ＋1<x k ＋2<3， 即当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②知对任意的正整数n,2≤x n <x n ＋1<3. 题型三 归纳—猜想—证明 命题点1 与函数有关的证明问题例3 (2017·绵阳质检)已知数列{x n }满足x 1＝12，x n ＋1＝11＋x n ，n ∈N *.猜想数列{x 2n }的单调性，并证明你的结论．解 由x 1＝12及x n ＋1＝11＋x n ，得x 2＝23，x 4＝58，x 6＝1321，由x 2>x 4>x 6，猜想：数列{x 2n }是递减数列． 下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，已证命题成立．②假设当n ＝k 时命题成立，即x 2k >x 2k ＋2， 易知x k >0，那么x 2k ＋2－x 2k ＋4＝11＋x 2k ＋1－11＋x 2k ＋3＝x 2k ＋3－x 2k ＋1(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋3)＝11＋x 2k ＋2－11＋x 2k (1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋3) ＝x 2k －x 2k ＋2(1＋x 2k )(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋2)(1＋x 2k ＋3)>0，即x 2(k ＋1)>x 2(k ＋1)＋2.所以当n ＝k ＋1时命题也成立． 结合①②知，对于任何n ∈N *命题成立．命题点2与数列有关的证明问题例4在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝λa n＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*，λ>0)．(1)求a2，a3，a4；(2)猜想{a n }的通项公式，并加以证明．解(1)a2＝2λ＋λ2＋2(2－λ)＝λ2＋22，a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23，a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24.(2)由(1)可猜想数列通项公式为：a n＝(n－1)λn＋2n.下面用数学归纳法证明：①当n＝1,2,3,4时，等式显然成立，②假设当n＝k(k≥4，k∈N*)时等式成立，即a k＝(k－1)λk＋2k，那么当n＝k＋1时，a k＋1＝λa k＋λk＋1＋(2－λ)2k＝λ(k－1)λk＋λ2k＋λk＋1＋2k＋1－λ2k＝(k－1)λk＋1＋λk＋1＋2k＋1＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1，所以当n＝k＋1时，a k＋1＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1，猜想成立，由①②知数列的通项公式为a n＝(n－1)λn＋2n(n∈N*，λ>0)．命题点3存在性问题的证明例5设a1＝1，a n＋1＝a2n－2a n＋2＋b(n∈N*)．(1)若b＝1，求a2，a3及数列{a n}的通项公式；(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n<c<a2n＋1对所有n∈N*成立？证明你的结论．解(1)方法一a2＝2，a3＝2＋1.再由题设条件知(a n＋1－1)2－(a n－1)2＝1.从而{(a n－1)2}是首项为0，公差为1的等差数列，故(a n－1)2＝n－1，即a n＝n－1＋1(n∈N*)．方法二a2＝2，a3＝2＋1.可写为a1＝1－1＋1，a2＝2－1＋1，a3＝3－1＋1.因此猜想a n＝n－1＋1.下面用数学归纳法证明上式：当n＝1时结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1， 则a k ＋1＝(a k －1)2＋1＋1＝(k －1)＋1＋1 ＝(k ＋1)－1＋1.所以当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． (2)方法一 设f (x )＝(x －1)2＋1－1， 则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝(c －1)2＋1－1， 解得c ＝14.下面用数学归纳法证明加强命题： a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1， 所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1.易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即1>c >a 2k ＋2>a 2. 再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1，故c <a 2k ＋3<1. 因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.方法二 设f (x )＝(x －1)2＋1－1， 则a n ＋1＝f (a n )．先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)．① 当n ＝1时，结论显然成立． 假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1， 即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 故①成立．再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)．②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，有a 2<a 3，即n ＝1时②成立． 假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1. 由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得 a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2， a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1. 这就是说，当n ＝k ＋1时②成立， 所以②对一切n ∈N *成立． 由②得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1，即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2，因此a 2n <14.③又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数， 得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2， 所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1. 解得a 2n ＋1>14.④综上，由②③④知存在c ＝14使得a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．思维升华 (1)利用数学归纳法可以探索与正整数n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．(2015·江苏)已知集合X ＝{1,2,3}，Y n ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }，令f (n )表示集合S n 所含元素的个数． (1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明． 解 (1)Y 6＝{1,2,3,4,5,6}，S 6中的元素(a ，b )满足： 若a ＝1，则b ＝1,2,3,4,5,6；若a ＝2，则b ＝1,2,4,6； 若a ＝3，则b ＝1,3,6.所以f (6)＝13. (2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5.(t ∈N *)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立；②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论： (ⅰ)若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立；(ⅱ)若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k3＋1＝(k ＋1)＋2＋(k ＋1)－12＋(k ＋1)－13，结论成立；(ⅲ)若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋(k ＋1)－23，结论成立；(ⅳ)若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2＝(k ＋1)＋2＋(k ＋1)－12＋k ＋13，结论成立；(ⅴ)若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k3＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋(k ＋1)－13，结论成立；(ⅵ)若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1＝(k ＋1)＋2＋(k ＋1)－12＋(k ＋1)－23，结论成立．综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立．9．归纳—猜想—证明问题典例 (12分)数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)证明(1)中的猜想．思维点拨 (1)由S 1＝a 1算出a 1；由a n ＝S n －S n －1算出a 2，a 3，a 4，观察所得数值的特征猜出通项公式．(2)用数学归纳法证明． 规范解答(1)解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1； 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4， ∴a 4＝158.[2分]由此猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)．[4分](2)证明 ①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．[5分] ②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立， 即a k ＝2k －12k 1，那么n ＝k ＋1时，[7分]a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1， ∴2a k ＋1＝2＋a k .[9分]∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k .∴当n ＝k ＋1时，结论成立．[11分] 由①②知猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)成立．[12分]归纳—猜想—证明问题的一般步骤：第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测 数列的通项或一般结论；．第二步：验证一般结论对第一个值n 0(n 0∈N *) 成立；第三步：假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时结论成立，证明当 n ＝k ＋1时结论也成立；第四步：下结论，由上可知结论对任意n ≥n 0，n ∈N * 成立．1．如果命题p (n )对n ＝k (k ∈N *)成立，则它对n ＝k ＋2也成立．若p (n )对n ＝2也成立，则下列结论正确的是( ) A ．p (n )对所有正整数n 都成立 B ．p (n )对所有正偶数n 都成立 C ．p (n )对所有正奇数n 都成立 D ．p (n )对所有自然数n 都成立 答案 B解析 n ＝2时，n ＝k ，n ＝k ＋2成立， n 为2,4,6，…，故n 为所有正偶数．2．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，在第二步时，正确的证法是( )A ．假设n ＝k (k ∈N *)，证明n ＝k ＋1时命题成立B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1时命题成立C ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N *)，证明n ＝k ＋1时命题成立D ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2时命题成立 答案 D解析 相邻两个正奇数相差2，故D 选项正确．3．(2017·淄博质检)设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：当f (k )≥k ＋1成立时，总能推出f (k ＋1)≥k ＋2成立，那么下列命题总成立的是( ) A ．若f (1)<2成立，则f (10)<11成立B ．若f (3)≥4成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k ＋1成立C ．若f (2)<3成立，则f (1)≥2成立D ．若f (4)≥5成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k ＋1成立 答案 D解析 当f (k )≥k ＋1成立时，总能推出f (k ＋1)≥k ＋2成立，说明如果当k ＝n 时，f (n )≥n ＋1成立，那么当k ＝n ＋1时，f (n ＋1)≥n ＋2也成立，所以如果当k ＝4时，f (4)≥5成立，那么当k ≥4时，f (k )≥k ＋1也成立．4．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A.1(n －1)(n ＋1) B.12n (2n ＋1) C.1(2n －1)(2n ＋1) D.1(2n ＋1)(2n ＋2)答案 C解析 当n ＝2时，13＋a 2＝(2×3)a 2，∴a 2＝13×5.当n ＝3时，13＋115＋a 3＝(3×5)a 3，∴a 3＝15×7.当n ＝4时，13＋115＋135＋a 4＝(4×7)a 4，a 4＝17×9.故猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).5．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是( ) A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋1 答案 B解析 当n ＝k (k ∈N *)时， 左式为(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )；当n ＝k ＋1时，左式为(k ＋1＋1)·(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k －1)·(k ＋1＋k )·(k ＋1＋k ＋1)， 则左边应增乘的式子是(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝_________________________________________________. 答案n n ＋1解析 由(S 1－1)2＝S 1·S 1，得S 1＝12，由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2，得S 2＝23，依次得S 3＝34，猜想S n ＝nn ＋1.7．设S 1＝12，S 2＝12＋22＋12，…，S n ＝12＋22＋32＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12，用数学归纳法证明S n ＝n (2n ＋1)3时，第二步从“k ”到“k ＋1”应添加的项为________．答案 (k ＋1)2＋k 2解析 由S 1，S 2，…，S n 可以发现由n ＝k 到n ＝k ＋1时，中间增加了两项(k ＋1)2＋k 2(n ，k ∈N *)． 8．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n >4时，f (n )＝________(用n 表示)． 答案 5 12(n ＋1)(n －2)解析 f (3)＝2，f (4)＝f (3)＋3＝2＋3＝5， f (n )＝f (3)＋3＋4＋…＋(n －1) ＝2＋3＋4＋…＋(n －1) ＝12(n ＋1)(n －2)． 9．(2016·北京东城区质检)在数列{b n }中，b 1＝2，b n ＋1＝3b n ＋42b n ＋3(n ∈N *)．求b 2，b 3，试判定b n 与2的大小，并加以证明． 解 由b 1＝2，b n ＋1＝3b n ＋42b n ＋3，得b 2＝3×2＋42×2＋3＝107，b 3＝5841.经比较有b 1>2，b 2>2，b 3> 2. 猜想b n >2(n ∈N *)． 下面利用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，∵b 1＝2，∴ 2 <b 1.②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立， 即 2 <b k ，∴b k － 2 >0.当n ＝k ＋1时，b k ＋1－2＝3b k ＋42b k ＋3－ 2＝(3－22)b k ＋(4－32)2b k ＋3＝(3－22)(b k －2)2b k ＋3>0.∴b k ＋1> 2，也就是说，当n ＝k ＋1时，结论也成立． 根据①②知b n >2(n ∈N *)．10．数列{x n }满足x 1＝0，x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c (n ∈N *)．(1)证明：{x n }是递减数列的充要条件是c <0； (2)若0<c ≤14，证明：数列{x n }是递增数列．证明 (1)充分性：若c <0，由于x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c ≤x n ＋c <x n ， 所以数列{x n }是递减数列．必要性：若{x n }是递减数列，则x 2<x 1，且x 1＝0. 又x 2＝－x 21＋x 1＋c ＝c ，所以c <0. 故{x n }是递减数列的充要条件是c <0. (2)若0<c ≤14，要证{x n }是递增数列．即x n ＋1>x n ，即x x ＋1－x n ＝－x 2n ＋c >0，也就是证明x n < c .下面用数学归纳法证明当0<c ≤14时，x n < c 对任意n ≥1，n ∈N *都成立．①当n ＝1时，x 1＝0< c ≤12，结论成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即x k < c .因为函数f (x )＝－x 2＋x ＋c 在区间(－∞，12]内单调递增，所以x k ＋1＝f (x k )<f (c )＝c ，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立． 故x n < c 对任意n ≥1，n ∈N *都成立．因此，x n ＋1＝x n －x 2n ＋c >x n ，即{x n }是递增数列．11．已知函数f 0(x )＝sin x x (x >0)，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *.(1)求2f 1(π2)＋π2f 2(π2)的值；(2)证明：对任意的n ∈N *，等式|nf n －1(π4)＋π4f n (π4)|＝22都成立．(1)解 由已知，得f 1(x )＝f ′0(x )＝(sin x x )′＝cos x x －sin x x 2，于是f 2(x )＝f ′1(x )＝(cos x x )′－(sin xx 2)′＝－sin x x －2cos x x 2＋2sin xx 3，所以f 1(π2)＝－4π2，f 2(π2)＝－2π＋16π3，故2f 1(π2)＋π2f 2(π2)＝－1.(2)证明 由已知，得xf 0(x )＝sin x ，等式两边分别对x 求导， 得f 0(x )＋xf ′0(x )＝cos x ，即f 0(x )＋xf 1(x )＝cos x ＝sin(x ＋π2)，类似可得2f 1(x )＋xf 2(x )＝－sin x ＝sin(x ＋π)， 3f 2(x )＋xf 3(x )＝－cos x ＝sin(x ＋3π2)，4f 3(x )＋xf 4(x )＝sin x ＝sin(x ＋2π)．下面用数学归纳法证明等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin(x ＋n π2)对所有的x ∈N *都成立．①当n ＝1时，由上可知等式成立．②假设当n ＝k 时，等式成立，即kf k －1(x )＋xf k (x )＝sin(x ＋k π2)．因为[kf k －1(x )＋xf k (x )]′＝kf ′k －1(x )＋f k (x )＋xf ′k (x )＝(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )， [sin(x ＋k π2)]′＝cos(x ＋k π2)·(x ＋k π2)′＝sin[x ＋(k ＋1)π2]，所以(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )＝sin[x ＋(k ＋1)π2]． 因此当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合①②可知等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin(x ＋n π2)对所有的n ∈N *都成立．令x ＝π4，可得nf n －1(π4)＋π4f n (π4)＝sin(π4＋n π2)(n ∈N *)，所以|nf n －1(π4)＋π4f n (π4)|＝22(n ∈N *)．*12.设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数． (1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N *，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N *，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明． 解 由题设得，g (x )＝x1＋x(x ≥0)．(1)由已知，g 1(x )＝x 1＋x ，g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x 1＋2x ，g 3(x )＝x1＋3x ，…，可猜想g n (x )＝x 1＋nx. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x1＋x ，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立， 即g k (x )＝x 1＋kx. 那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k (x )1＋g k (x )＝x 1＋kx 1＋x 1＋kx ＝x1＋(k ＋1)x ，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N *成立． (2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立． 设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a(1＋x )2＝x ＋1－a (1＋x )2， 当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增． 又φ(0)＝0，∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax 1＋x 恒成立(仅当x ＝0时等号成立)．当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )≤0， ∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0， ∴ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立，综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，n －f (n )＝n －ln(n ＋1)，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)．证明如下：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N *，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N *成立．。
2018届高中数学人教A版 推理与证明单元测试(Word版,含答案)1
2017-2018学年度xx学校xx月考卷一、选择题(共15小题,每小题5.0分,共75分)1.已知{an}为等差数列，a1 006＝3，a1＋a2＋a3＋…＋a2 011＝3×2 011，若{bn}为等比数列，b1 006＝3，则{bn}的类似结论是()A．b1＋b2＋…＋b2 011＝3×2 011B．b1b2…b2 011＝3×2 011C．b1＋b2＋…＋b2 011＝32 011D．b1b2…b2 011＝32 0112.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数3.已知数列的前几项为1，，，…，它的第n项(n∈N*)是()A．B．C．D．4.某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误5.下面几个类比中正确的有()(1)l1∥l2，l1∥l3⇒l2∥l3类比为a1∥a2，a1∥a3⇒a2∥a3；(2)a≠0，ab＝ac⇒b＝c类比为a1·a2＝a1·a3⇒a2＝a3；(3)平面α⊥l1，平面α⊥l2⇒l1∥l2类比为平面α1⊥平面α，平面α2⊥平面α⇒平面α1⊥平面α2；(4)|a＋b|≤|a|＋|b|类比为|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|(其中z1，z2为复数)．A． 0个B． 1个C． 2个D． 3个6.数列4,7,10,13，…，(3n＋1)按照如下方式排列413107161922 2528……第i行第j列的记作ai－j，例如a3－3＝22，a3－4＝25，则a20－4的值是()A． 1 192B． 1 310C． 1 201D． 707.实数a，b，c不全为0等价于()A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为08.要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()A． 2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－≤0C．－1－a2b2≤0D． (a2－1)(b2－1)≥09.用数学归纳法证明＋＋＋…＋≥(n∈N*)，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边应添加的项是()A．B．＋C．＋－D．＋－－10.观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中和第n个图中有小正方形的个数分别为()A． 28，B． 14，C． 28，D． 12，11.在平面上，若两个正三角形的边长之比为1∶2，则它们的面积之比为1∶4；类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1∶2，则它的体积比为()A． 1∶4B． 1∶6C． 1∶8D． 1∶912.下面使用类比推理正确的是()A．由“a(b＋c)＝ab＋ac”类比推出“cos(α＋β)＝cosα＋cosβ”B．由“若3a＜3b，则a＜b”类比推出“若ac＜bc，则a＜b”C．由“平面中垂直于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中垂直于同一平面的两平面平行”D．由“等差数列{an}中，若a10＝0，则a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N*)”类比推出“在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)”13.在△ABC中，若AC⊥BC，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径r＝，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S－ABC中，若SA，SB，SC两两互相垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，则四面体S－ABC的外接球半径R等于()A．B．C．D．14.①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理，作为大前提的是()A．①B．②C．③D．其他15.已知函数f(x)＝|sin x|的图象与直线y＝kx(k＞0)有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，令A＝，B＝.则()A．A＞BB．A＜BC．A＝BD．A与B的大小不确定二、填空题(共5小题,每小题5.0分,共25分)16.在平面几何中，若DE是△ABC中平行于BC的中位线，则有S△ADE∶S△ABC＝1∶4.把这个结论类比到空间：若三棱锥A－BCD有中截面EFG∥平面BCD，则VA－EFG∶VA－BCD＝________.17.用符号“⇒”或“⇏”填空．(1)a≠0或b≠0________ab≠0；(2)a≠0或b≠0________a2＋b2＞0；(3)a＞－b________(a＋b)(a2＋b2)＞0；(4)a＞|b|________a＋|b|＞0.18.在平面上有如下命题：“O为直线AB外的一点，则点P在直线AB上的充要条件是：存在实数x，y满足＝x＋y，且x＋y＝1”，我们把它称为平面中三点共线定理，请尝试类比此命题，给出空间中四点共面定理，应描述为：____________.19.将全体正整数排成如图的一个三角形数阵，按照此排列规律，第10行从左向右的第5个数为________.20.将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”．已知直角三角形具有性。
【高三数学试题精选】2018高考数学一轮复习不等式推理与证明训练(北师大带答案)
2018高考数学一轮复习不等式推理与证明训练（北师大带
答案）
5 第1讲不等关系与不等式
1．(2018 安徽省淮北一模)设a＝305，b＝lg32，c＝cs 2，则( ) A．c b a B．c a b
c．a b c D．b c＜a
解析选A由题意知a＝305 30＝1，b＝lg32，
因为1 2 3，所以0 b 1
又因为π2 2 π，所以c＝cs 2 0，所以c b a
2．(2018 石家庄质检)如果a b 0，那么下列不等式成立的是( ) A．－1a －1b B．ab b2
c．－ab －a2 D．|a| |b|
解析选A利用作差法逐一判断．因为1b－1a＝a－bab 0，所以－1a －1b，A正确；因为ab－b2＝b(a－b) 0，所以ab b2，B错误；因为ab－a2＝a(b－a) 0，所以－ab －a2，c错误；a b 0 |a| |b|，D错误，故选A
3．(2018 江西省重点中学盟校联考)已知a 0且a≠1，则“ab 1”是“(a－1)b 0”的( )
A．充分而不必要条
B．必要而不充分条
c．充要条
D．既不充分也不必要条
解析选c由ab 1 a 1，b 0或0 a 1，b 0；
由(a－1)b 0 a－1 0，b 0或a－1 0，b 0，又a 0且a≠1，所以“ab 1”是“(a－1)b 0”的充要条．
4．(2018 西安质检)设α∈0，π2，β∈0，π2，那么2α－β3的取值范围是( )。
四川省成都理工大学附中2018年高三数学一轮单元辅导与训练推理与证明Word版含答案
成都理工大学附中2018高三数学一轮高考单元辅导与训练单元检测：推理与证明 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．求形如()()g x y f x =的函数的导数，我们常采用以下做法：先两边同取自然对数得：ln ()ln ()y g x f x =,再两边同时求导得'''11()ln ()()()()y g x f x g x f x y f x =+，于是得到：'''1()[()ln ()()()]()y f x g x f x g x f x f x =+，运用此方法求得函数1x y x =的一个单调递增区间是( ) A ．(e,4)B ．(3,6)C ．(0,e)D ．(2,3)【答案】C2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 等于( )A ．2(n ＋1)2B ．2n(n ＋1) C ．22n －1 D ．22n －1 【答案】B3．下面叙述正确的是( )A ．综合法、分析法是直接证明的方法B ．综合法是直接证法、分析法是间接证法C ．综合法、分析法所用语气都是肯定的D ．综合法、分析法所用语气都是假定的 【答案】A4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是( ) A ．假设三内角都不大于60度B ．假设三内角都大于60度C ．假设三内角至多有一个大于60度D ．假设三内角至多有两个大于60度【答案】B5．现有两个推理：①在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”； ②由“若数列{}n a 为等差数列，则有15515211076a a a a a a +++=+++ 成立”类比“若数列{}n b 为等比数列，则有15152151076b b b b b b ⋅⋅=⋅⋅ 成立”，则得出的两个结论( ) A ． 只有①正确 B ． 只有②正确 C ． 都正确D ． 都不正确【答案】C6．我们常用以下方法求形如)()(x g x f y =的函数的导数：先两边同取自然对数得：)(ln )(ln x f x g y =，再两边同时求导得到：)(')(1)()(ln )('1'x f x f x g x f x g y y ⋅⋅+=⋅，于是得到：)](')(1)()(ln )('[)(')(x f x f x g x f x g x f y x g ⋅⋅+=，运用此方法求得函数xx y 1=的一个单调递增区间是( ) A ．（e ，4） B ．（3， 6） C.（0，e ）D ．（2，3）【答案】C7．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述性质，在等比数列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是( ) A ．4857b b b b +>+ B ．5748b b b b +>+ C ．4758b b b b +>+ D ．4578b b b b +>+【答案】Ｂ8．观察下列等式，332123+=，33321236++=，33332123410+++=根据上述规律，333333123456+++++=( )A ． 219 B ． 220C ． 221D ． 222【答案】C9．“金导电、银导电、铜导电、铁导电，所以一切金属都导电”，此推理方法是( )A ．类比推理B ．归纳推理C ．演绎推理D ．分析法【答案】B 10．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有7364a a a a >，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q >，则4b ，5b ，7b ，8b 的一个不等关系是( )A ．4857b b b b +>+B ．4857b b b b +<+C ．4758b b b b +>+D ．4758b b b b +<+【答案】A11．我们把1，4，9，16，25，…这些数称为正方形数，这是因为这些数目的点可以排成正方形，则第n 个正方形数是( )A ． n(n －1)B ．n(n+1)C ．n 2D ．(n+1)2【答案】C12．设n 为正整数,111()1...23f n n =++++,经计算得35(2),(4)2,(8),22f f f =>> 7(16)3,(32),2f f >>观察上述结果,可推测出一般结论 ( )A ． 21(2)2n f n +≥B ． 2(2)2nn f +≥C ． 22()2n f n +≥ D ．以上都不对【答案】B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．用半径相同的小球，堆在一起，成一个 “正三棱锥” 型，第一层 1 个 ，第二层 3 个，则第三层有____________个，第 n 层有____________个。
2018届高三数学一轮复习专项检测试题 推理与证明 Word版含答案
推理与证明一、选择题（每小题分，共分）、下列表述正确的是（）.①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.．①②③；．②③④；．②④⑤；．①③⑤.、下面使用类比推理正确的是（）. .“若,则”类推出“若,则”.“若”类推出“”.“若”类推出“（≠）”.“”类推出“”、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为（）.大前提错误 .小前提错误 .推理形式错误 .非以上错误、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于度”时，反设正确的是（）。
()假设三内角都不大于度； () 假设三内角都大于度；() 假设三内角至多有一个大于度； () 假设三内角至多有两个大于度。
、在十进制中，那么在进制中数码折合成十进制为（）. . .．设（）＝＋＋＋＋…＋，则（）．（）共有项，当＝时，（）＝＋．（）共有＋项，当＝时，（）＝＋＋．（）共有－项，当＝时，（）＝＋＋．（）共有－＋项，当＝时，（）＝＋＋．在上定义运算⊙：⊙＝，若关于的不等式（－）⊙（＋－）＞的解集是集合｛｜－≤≤，∈｝的子集，则实数的取值范围是（）．－≤≤．－≤≤．－≤≤．≤≤．已知（）为偶函数，且（＋）＝（－），当－≤≤时，（）＝，若∈*，＝（），则＝（）．．．．－．函数（）在［－，］上满足（－）＝－（）是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是（）．（α）＞（β）．（α）＞（β）．（α）＜（β）．（α）＜（β）．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖”。
四位歌手的话只有两名是对的，则奖的歌手是（）．甲．乙．丙．丁二、填空题（每小题分，共分.把答案填在题中的横线上）．“开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出一组数：,,,它的第个数可以是。
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推理与证明
一、选择题（每小题5分，共50分）
1、 下列表述正确的是（ ）.
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.
A ．①②③；
B ．②③④；
C ．②④⑤；
D ．①③⑤.
2、下面使用类比推理正确的是 （ ）.
A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”
B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”
C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“
a b a b c c c
+=+ （c ≠0）” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）” 3、 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 b ⊆/平面α，直线a ≠
⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误
4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。
(A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；
(C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。
5、在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004折合成
十进制为 （ ）
A.29
B. 254
C. 602
D. 2004
6．设S （n ）＝1n ＋1n ＋1 ＋1n ＋2 ＋1n ＋3 ＋…＋1n 2 ，则（ ） A ．S （n ）共有n 项，当n ＝2时，S （2）＝12 ＋13
B ．S （n ）共有n ＋1项，当n ＝2时，S （2）＝12 ＋13 ＋14
C ．S （n ）共有n 2－n 项，当n ＝2时，S （2）＝12 ＋13 ＋14
D ．S （n ）共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，S （2）＝12 ＋13 ＋14
7．在R 上定义运算⊙：x ⊙y ＝x 2－y
，若关于x 的不等式（x －a ）⊙（x ＋1－a ）＞0的解集是集合｛x ｜－2≤x ≤2，x ∈R ｝的子集，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．－2≤a ≤2
B ．－1≤a ≤1
C ．－2≤a ≤1
D ．1≤a ≤2
8．已知f （x ）为偶函数，且f （2＋x ）＝f （2－x ），当－2≤x ≤0时，f （x ）＝2x ，若n ∈N *，
a n ＝f （n ），则a 2006＝（ ）
A ．2006
B ．4
C ．14
D ．－4
9．函数f （x ）在［－1，1］上满足f （－x ）＝－f （x ）是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是（ ）
A ．f （sin α）＞f （sin β）
B ． f （cos α）＞f （sin β）
C ．f （cos α）＜f （cos β）
D ．f （sin α）＜f （sin β）
10．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖”。
四位歌手的话只有两名是对的，则奖的歌手是（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
二、填空题（每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）
11．“开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出
一组数：12 ,-12 ,38 ,-14 ,532
,它的第8个数可以是 。
12．在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 边上的射影，则AB 2=BD .
BC.拓展到空间,在四面体A —BCD 中，DA ⊥面ABC ，点O 是A 在面BCD 内的射影，且O 在面BCD 内，类比平面三角形射影定理，△ABC ，△BOC ，△BDC 三者面积之间关系为 。
13．在数列｛a n ｝中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋（－1）n ，n ∈N *，S 10＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
14．当a 0，a 1，a 2成等差数时，有a 0－2a 1＋a 2＝0，当a 0，a 1，a 2，a 3成等差数列时，有a 0－3a 1＋3a 2－a 3＝0，当a 0，a 1，a 2，a 3，a 4成等差数列时，有a 0－4a 1＋6a 2－4a 3＋a 4＝0，由此归纳：
当a 0，a 1，a 2，…，a n 成等差数列时有C 0n a 0－C 1n a 1＋C 2n a 2－…＋C n n a n ＝0. 如果a 0，a 1，a 2，…，
a n 成等差数列，类比上述方法归纳出的等式为＿＿＿。
三、解答题（本大题共四个小题，15题11分，16题11分，17题12分，共24分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）
15、设a ，b ，x ，y ∈R ，且（8分）
16、若a,b,c 均为实数，且,,, 求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0。
（8分）
17、用数学归纳法证明： （Ⅰ）)
12(2)1()12)(12(532311222++=+-++⋅+⋅n n n n n n ；（7分） （Ⅱ） n n ≤-+++++
1
214131211 ；（7分）
18、已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1, (1) 写出a 1, a 2, a 3,并推测a n 的表达式；
(2) 用数学归纳法证明所得的结论。
（12分）
参考答案
一、 DCABB D ＣＣＢC
二、 本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13 -132 14 （S △ABC ）2= S △BOC .
S △BDC 15. 35
16 a 0C 0n ·a 1－C 1
n ·a 2 C 2
n ·…·a n （－1）nC n
n ＝1.
三、解答题：
15、可以用综合法与分析法---略
16、可以用反证法---略
17、（1）可以用数学归纳法---略
（2）当1+=k n 时，左边+≤-+++-+++=+k k k k )121
21()12121
1(1 （k k k 212121+++ ）121
2+=⋅+=k k k k
=右边，命题正确
18、解：
(1) a 1＝23, a 2＝47, a 3＝815
,
猜测 a n ＝2－n 21
(2) ①由（1）已得当n ＝1时，命题成立；
②假设n ＝k 时,命题成立，即 a k ＝2－k 21
,
当n ＝k ＋1时, a 1＋a 2＋……＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1,
且a 1＋a 2＋……＋a k ＝2k ＋1－a k
∴2k ＋1－a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3,
∴2a k ＋1＝2＋2－k 21
, a k ＋1＝2－121
+k ,
即当n ＝k ＋1时,命题成立.
根据①②得n ∈N + , a n ＝2－n 21
都成立
2k 项。