高数下9(1)

2 0 2 0 2 0 2 0
E的边界：
{( x , y ) x y 1} {( x , y ) x y 2}.
2 2 2 2
6
开集 E的任意点都是内点。 2 2 例 E {( x , y ) 1 x y 4} 平面区域(重要) 设D是开集. D内任何两点, 都可用折线连接， 且折线上的点都属于D, 称开集D是 连通的.
xy kx 2 k lim 2 lim 2 2 2 2 2 x 0 x y x 0 x k x 1 k y0
y kx
其值随k的不同而变化. 极限不存在．
19
2 3 x y kx lim 4 解 取 y kx , lim 4 2 x0 x0 x k 2 x 2 x y y kx y kx
O
x
O
x
15
(2) 动点P(x,y)与定点P0(x0,y0)之间的距离
定义2 ( )
( x x0 ) ( y y0 ) PP0 P ( x , y ) P0 ( x0 , y0 ), 0
2 2
" 0, 0, 当0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 ,
怎样描述呢?
回忆: 一元函数的极限
注 (1) P(x, y)趋向于P0(x0, y0)的 方向有任意多个,
路径又是多种多样的. y
( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y)
( x0 , y0 )

y
( x, y)

( x, y)
( x, y)
( x0 , y0 )
( x, y) ( x, y)
16
1 例2 试证 lim f ( x , y ) lim( x y ) sin 2 2 0 x 0 x 0 x y y 0 y 0
2 2
( x 2 y 2 0)
1 1 2 2 x y sin 2 证 ( x y ) sin 2 2 2 0 x y x y
2 2 2 x2 y2 x k x 1 k2 lim 2 lim 2 2 2 极限不存在. 2 2 x 0 x y y kx 0 x k x 1 k y 0
25
1 1 x sin y sin f ( x, y) y x 0
求 lim f ( x , y )
连பைடு நூலகம்的开集称区域 或开区域.
例 {( x , y ) 1 x y 4},
2 2

y

{( x, y ) x y 0}
x y0

O
x y0

x
7
闭区域： 开区域连同其边界。有界区域和无界区域。 2 2 例 {( x , y ) 1 x y 4}, {( x , y ) x y 0} y y
y0
y0
sin( x 2 y ) u x 2 y sin u lim lim 1, 2 x0 u 0 x y u y0
2 x y | x | x 0 x y 0, 2 2 2 xy x y 2
2
sin( x 2 y ) lim 2 0. 2 x 0 x y y 0
证明:当 x 0, y 0时, 函数的极限不存在. x0 证 沿x轴方向 lim f ( x,0) lim 2 lim 0 0 2 x 0 x 0 x 0 x 0 0 y lim 0 0 沿y轴方向 lim f (0, y ) lim 2 2 y 0 y 0 y 0 0 y 沿直线 y = kx 的方向 无限接近点(0,0)时,
13
2. 二元函数的几何意义 ----曲面. z f ( x, y ) z
M
y
O
y
P D
x
x
z R2 x 2 y 2
z xy
14
三、多元函数的极限
讨论二元函数 z f ( x , y ), 当x x0 , y y0 ,
即P( x, y) P0 ( x0 , y0 )时的极限 .
2 2
y
有界半开半闭区域
O
1

x
12
用联立不等式表示下列平面闭区域 D .
y
1
O
D
1 1
x
圆弧
直线
解 三种表示法:
x2 y2 1 (1) y 0 x y 1
1 y 0 ( 2) 2 1 y x y1
0 x1 1 x 0 及 ( 3) 2 1 x y 0 x 1 y 0
23
xy . 例5 求极限 lim x 0 2 xy 4 y 0
解 将分母有理化,
xy xy( 2 xy 4 ) lim lim x 0 2 x 0 xy 4 xy y 0 y 0
lim( 2 xy 4 )
x 0 y 0
4
24
极限 lim f ( x , y ) 与二次极限？
数xk ---点的第k个坐标。
两点距离：
PQ ( x1 y1 ) ( x2 y2 ) ( xn yn )
2 2
2
n 维空间中点 P0 的邻域：
U ( P0 , δ ) { P PP0 δ , P R n }.
9
二、多元函数的概念
1. 二元函数的定义 (1) 定义 z f ( x , y ), ( x , y ) D 自变量, 因变量, 定义域, 值域. 多元函数. (2) 多元函数定义域
若极限值与 k 有关, 则极限不存在;
(2) 找两种不同趋近方式, 使 lim f ( x , y ) 存在, 但不相等, 则极限不存在.
x x0 y y0
18
xy 2 2 , x y 0 x2 y2 例3 设函数 f ( x , y ) 2 2 0, x y 0
O
有界开区域 y
x
O
有界闭区域 y
x
O
x 有界半开半闭区域
O
x
无界闭区域
8
(2) n 维空间 n 元有序数组 ( x1 , x2 ,, xn )
R n R R R {( x1 , x2 , xn ) xi R, i 1,2,}.
空间点： n 维空间中的元素 ( x1 , x2 ,, xn )
所以，极限不存在！
k 2 1 k
20
四、多元函数的连续性
定义3
( x , y ) ( x 0 , y 0 )
lim
f ( x , y ) f ( x0 , y0 ),
f ( x , y ) 是 D内的连续函数
f ( x , y )的间断点 P0?
xy 2 2 , x y 0 x2 y2 f ( x, y) (0,0) 间断点. 2 2 0, x y 0 1 2 2 f ( x , y ) sin x y 1 间断线. 2 2 1 x y
P3
P1
E
P2
5
聚点 " 0, U ( P , )内总有E中的点。 例如, 设 E {( x , y ) 1 x y 2},
2 2
点P ( x0 , y0 ) R , 若1 x y 2, 内点;
2 2 0 2 0
若 x y 1 或 x y 2, 边界点和聚点。
x2 y2 例： 研究 f ( x , y ) 2 x y2 解 (1) 对任意的 x 0,
x2 y2 x2 lim 2 2 1, 2 y 0 x y x
x x0 y y0
x2 y2 lim lim 2 1 2 x 0 y 0 x y (2) (x, y)沿 y kx 趋向于(0,0) 时,
21
有界闭区域上连续的多元函数的性质
(1) 最大值和最小值定理 (2) 介值定理
多元函数的极限的基本问题
(1) 研究二元函数极限的存在性. (2) 求极限值. (3) 研究二重极限与累次极限间的关系.
22
例4 求极限
2 2 sin( x 2 y ) sin( x y ) x y lim 2 lim , 2 2 2 2 x 0 x y x0 x y x y
x0 y0
xy 0 xy 0
| f ( x , y ) || x | | y |
答: 0 答:不存在. 答:不存在.
lim(lim f ( x , y ))
x 0 y 0
lim(lim f ( x , y ))
y 0 x 0
注
二次极限都不存在时,二重极限可能存在。 二次极限与二重极限有本质的区别.
2 2
x 2 y 2 ( x 0)2 ( y 0)2 2
" 0, 取
当


0 ( x 0) 2 ( y 0) 2
1 ( x y ) sin 2 0 2 x y
2 2
有
证毕.
17
确定极限 不存在 的方法 (1) 令P ( x, y ) 沿直线 y kx 趋向于P0 ( x0 , y0 ),
几何表示：
y
. P0
O x
注
① 去心邻域. U ( P0 , ) ② 矩形邻域.
4
点 P R 2 与点集 E R 2
(1) 内点 点P E , 若存在 0, 使U ( P ) E , (2) 外点 存在 U ( P ), 使U(P) ∩ E = , (3) 边界点与边界。
f ( P ) A f ( x, y) A