苏大信息选题

2-13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，tan B tan C ＝3
2， c ＝1，则△ABC 的面积
最大值为 ▲ ．
解法一：化角为边，得2
2
55b a =+，b
a
ab b a ab c b a C 53212cos 22222=-+=-+=，
8
52542521)2591(21cos 12
1
sin 214
22222≤-=-=
-==a a b a b a C
ab C ab S
解法二：由条件知，角B,C 为锐角，作AD 垂真于BC 于D, 设AD=h,x C x B 2tan ,3tan ==
8
5919125)23(2121,192222
≤+=+=⋅==+x x h
x h x h h BC S x h h
评析：关注解题策略，一般若一个定角+一个变角用两角和与差的正余弦公式较好，两角均不定化切较易。

训练：若一个钝角三角形三角成等差数列，最大边与最小边之比为m ，求m 的范围。

1-14．已知函数()()2,f x x ax b a b =++∈R ，若存在非零实数t ，使得()12f t f t ⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
，
则224a b +的最小值为 ▲ ． 16
5 解：由()12f t f t ⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
，得
(][)
*
,22,,02,1
.
02)1
()1(22+∞⋃-∞-∈=++=+=++++m b am m m t
t b t t a t t 则方程变为：令
法一：题意转化为方程*在(][)+∞⋃-∞-,22,上有解，可利用补集思想先研究方程*在
(][)+∞⋃-∞-,22,上无解的情况，分类讨论后转化为非线性规划的问题。

法二：
5
161)1(44)1(42)1()(4242642432222222≤
+=+-+≤+++=--+=+m m m m m m m a m a m am m a b a
法三：将方程*看成是关于a ，2b 的直线，则 224a b +的几何意义为直线上点（a,2b
）到原
点距离的平方的最小值。

建议：填空13、14题关注换元法、构造法、特殊化法、以形助数等法的应用。

2-18．（本小题满分16分）
如图，相距14km 的两个居民小区M 和N 位于河岸l （直线）的同侧，M 和N 距离河岸分别为10km 和8km ．现要在河的小区一侧选一地点P ，在P 处建一个生活污水处理站，从P 排直线水管PM ，PN 分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ 段长为t km （0 < t < 8）． （I ）求污水处理站P 到两小区的水管的总长最小值（用t 表示）； （II ）请确定污水处理站P 的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度．
18．解（I ）如图，以河岸l 所在直线为x 轴，以过M 垂直于l 的直线为y 轴建立直角坐标系，则可得点(0, 10)M ，点(83, 8)N ．
设点(,)P s t ，过P 作平行于x 轴的直线m ，作N 关于m 的对称点N '，则(83, 28)N t '-．
所以PM PN PM PN MN ''+=+≥22(830)(12810)t =-+--
2218129 (08)t t t =-+<<即为所求．
（II ）设三段水管总长为L ，则由（I ）知
L PM PN PQ MN PQ
'=+++≥2218129 (08)t t t t =+-+<<，
所以22()4(18129)L t t t -=-+，
即方程2
2
3(272)(516)0t L t L +-+-=在(0, 8)t ∈上有解．
故22(272)12(516)0L L ∆=---≥，即218630L L --≥，
解得21L ≥或3L -≤，所以L 的最小值为21，此时对应的5(0, 8)t =∈． 故(83, 2)N '，MN '方程为3
103
y x =-
，令5y =得53x =，即(53, 5)P ． 从而22(53)(510)10PM =+-=，22(5383)(58)6PN =-+-=．
答：满足题意的P 点距河岸5km ，距小区M 到河岸的垂线53km ，此时污水处理站到小区M 和N 的水管长度分别为10km 和6km ．
l
河
Q P N
M
（第18题图）
N '
m
y x
O
l 河
Q
P N
M
建议：适当关注方程不等式类方面的应用题，重视答题的一些细节，如变量的实际意义和范围，大数据的处理方法，单位是否统一等。

1-18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 分别是椭圆G :2
214
x y +=的左、右顶点，()()2,,0P t t t ∈≠R 且为直线2x =上的一个动点，
过点P 任意作一条直线l 与椭圆G 交于C ，D ，直线PO 分别与直线AC ，AD 交于E ，F .
（I ）当直线l 恰好经过椭圆G 的右焦点和上顶点时，求t 的值； （II ）记直线AC ，AD 的斜率分别为12,k k .
①若1t =-，求证：12
11
k k +为定值；
②求证：四边形AFBE 为平行四边形.
18．解（I ）由题意：上顶点()0, 1C ，右焦点()
3, 0E -，所以:31l y x =-+，
令2x =，得23
13
t =-
. （II ）直线()1:2AC y k x =+与22
14x y +=联立，得 2112211284, 1414k k C k k ⎫⎛-⎪ ++⎝⎭
， 同理得2
222222284, 1414k k D k k ⎫
⎛-⎪
++⎝⎭,由,,C D P 三点共线得CP DP k k =, 即12
22
1222
12
22
12
4414142828221414k k t t k k k k k k --++=----++，化简得 ()12124k k t k k =+， ①1t =-时，12
11
4k k +
=-（定值） ②要证四边形AFBE 为平行四边形，即只需证E ，F 的中点即点O ，
由()1,
2
2t y x y k x ⎧
=⎪⎨⎪=+⎩
得1142E k x t k =-，同理2242F k x t k =-， 将12124k k t k k =
+分别代入得()121121242E k k k x t k k k +==--，()122
212
242F k k k x t k k k +==--， 所以0E F x x +=,()02
E F E F t
y y x x +=
+=. 即四边形AFBE 为平行四边形.
（第18题图）
x
y
O
P
F
E
D
C
B
A
建议：关注解几中圆锥曲线定义的运用，范围、最值类的综合题，以及有关的定点、定值问题类的证明。

解决问题的方法与策略，运算既要重视常规方法，又要关注运算技巧。

如本题第2问中由
t
k k 4
1121=+，可设4,,21=+==n m n t k m t k ,这样可简化E 、F 横坐标的运算。