参考实验8(综合性设计性实验)

综合性设计性实验
实验8 平衡辐射场的内能密度随频率和波长的变化 实验目的：
1，弄清平衡辐射场内能密度随频率和波长变化规律
2，推导辐射场能量取极大时对应的波长、频率满足的方程
3，编程求解上述方程
4，编程画出平衡辐射场内能密度随频率和波长变化曲线，理解辐射场能量取极大时对应的波长和频率间的差异
实验背景：
黑体辐射是量子力学重要的实验基础之一，利用光子假说和玻色统计可以给出黑体辐射的内能密度与光子频率或波长之间的关系。

光子是玻色子，自旋为1；光子静止质量为0；光子的动量、能量、频率、波矢、速度之间的关系为
,2/p k k pc
πλ
εω
ε==== 光子数不守恒，0α=，化学势为0。

这样光子气体的统计分布为 /1l l
l kT a e εω=-
光子的自旋在传播方向的投影有± 两个值，对应于左右两个偏振光。

在体积V 内，动量为p p dp + 的量子态数为
223238V V p dp d h c
πωωπ= 在d ωωω+ 内的光子数为
223/11
kT V d c e ωωωπ- 乘以每一个光子的能量，则辐射场的内能为
3
23/(,)1
kT V U T d d c e ωωωωωπ=- (1) 若取V=1，则给出了辐射场的内能密度。

注意到光的频率与波长间的关系，容易给出内能密度与波长的关系
5/81
(,)1hc kT hc u T d d e λπλλλλ=- (2)
若令/x kT ω= ，则使(1)式有极大值的x 满足
33x e x --= (3) 若令hc x kT
λ=，则使(2)式有极大值的x 满足 55x e x -+= (4)
由(3)、(4)两式决定的波长和频率并未按
2c
πλω=
的关系对应。

可以用程序计算内能密度随波长、频率的变化关系，用作图软件（例如Origin ）严格画出这些关系，看两者是否对应并理解其原因。

实验内容：
1、
（1）、用牛顿法编写程序求解方程（3）；源程序如下： module NUMERICAL
implicit none
real, parameter :: zero=0.00001 ! 小于zero 的值会被当成0
contains
! 牛顿法的函数
real function newton(a,f,df)
implicit none
real :: a ! 起始的猜值
real, external :: f ! 传入的求值函数
real, external :: df ! f'(x)的函数
real :: b ! 逼近得到解
real :: fb ! 记录f(a),f(b),f(c)
b = a-f(a)/df(a)
fb= f(b)
! 在驱近于0 之前要一直做逼近的工作
do while( abs(fb) > zero )
a=b
b=a-f(a)/df(a)
fb=f(b)
end do
newton=b
return
end function newton
! 求值的函数
real function func(x)
implicit none
real :: x
func=x+3*exp(-x)-3
return
end function func
! func'(x)
real function dfunc(x)
implicit none
real :: x
dfunc=1-3*exp(-x)
return
end function dfunc
end module NUMERICAL
program main
use numerical
implicit none
real :: a ! 起始猜值
real :: ans ! 解
write(*,*) "输入起始猜值"
read (*,*) a
! 传入起始猜值及求值的函数
ans=newton(a,func,dfunc)
write(*,"('x=',F8.5)") ans
stop
end program
（2）、用弦截法编写程序求解方程（4）；源程序如下：module NUMERICAL
implicit none
real, parameter :: zero=0.0001 ! 小于zero的值会被当成0 contains
! 弦截法的函数
real function secant(a,b,f)
implicit none
real :: a,b ! 起始的两个猜值
real :: c ! 新的解
real, external :: f ! 传入的求解函数
real :: fa,fb,fc ! 记录f(a),f(b),f(c)
fa=f(a)
fb=f(b)
c=a-fa*(b-a)/(fb-fa)
fc=f(c)
! 在驱近于0 之前要一直做逼近的工作
do while( abs(fc) > zero )
a=b
b=c
fa=f(a)
fb=f(b)
c=a-fa*(b-a)/(fb-fa)
fc=f(c)
end do
secant=c
return
end function secant
real function func(x)
implicit none
real :: x
func=x+5*exp(-x)-5
return
end function func
end module numerical
program main
use NUMERICAL
implicit none
real :: a,b ! 起始猜值
real :: ans ! 算得的解
write(*,*) "输入两个猜值"
read (*,*) a,b
! 传入起始猜值及求值的函数
ans=secant(a,b,func)
write(*,"('x=',f8.5)") ans
stop
end program
2、两方程计算结果：
对方程3有：x=2.82144
对方程4有：x=4.96511
3、由(1)、(2)式得：
平衡辐射场的内能密度和波长、频率有如下关系：
4、编程计算内能密度随波长、频率的变化关系，并用作图软件严格画出这些关系。

源程序及图如下：
结论：。