第三章 随机过程
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第三章 随机过程
3-1、设X 是0, 1a σ==的高斯随机变量，试确定随机变量Y cX d =+的概率密度函数( f y ，其中, c d 均为常数。
解：由题得：2( 0, ( 1E x a D x σ====( ( ( E y E cx d cE x d c a d d=+=+=+=222( ( D y D cx d c c σ=+==22( ( ]2x d f y c -=-3-2、设随机过程( t ξ可表示成( 2cos(2 t t ξπθ=+，式中θ是一个离散随机变量，且11(0 , ( 222P P πθθ====, 试求(1E ε和(0,1R ε解：首先应理解(1E ε和(0,1R ε的含义，(1E ε是指当t=1时，所得随机变量的均值，(0,1R ε 是指当t=0和t=1时，所得的两个随机变量的自相关函数。
111[2cos(2][2cos(2]2(cos0cos 1222t E E E εππθπθ==+=+=+=22211(0,1[(0(1][2cos2cos(2]4[cos]4(cos 0cos 2222R E E E επξξθπθθ==⨯+==+=3-3、设1020( cos sin z t x t x t ωω=-是一随机过程，若1x 和2x 是彼此独立且具有均值为0，方差为2σ的正态随机变量，试求：（1）2[(],[(]E z t E z t（2）z(t的一维分布密度函数f(z；（3）12(, B t t 和12(, R t t解：（1）由已知条件12[][]0E X E X ==且1x 和2x 彼此相互独立。
所以1212[][][]0E X X E X E X == 212( ( D x D x σ==，而222[][]E x E x σ=- 所以222111[]( []E x D x E x σ=+=同理222[]E x σ=10200102[(][cos sin ]cos []sin []0E z t E x t x t tE x tE x ωωωω=-=-=22102022200[(][(cos sin ][cos sin 2cos sin ]cos 2[]sin []2cos sin [](cossin E z t E x t x t E x t x t x x t t tE x tE x t tE x x t t ωωωωωωωωωωωωσσ=-=+-=+-=+=（2）由于1x 和2x 是彼此独立的正态随机变量且( z t 是1x 和2x 的线性组合，所以z 也是均值为0，方差为2σ的正态随机变量，其一维概率密度为22( 2z f z σ=-（3）[coscos sin sin ][cos(]R t t E z t z t E x t x t x t x t t t t t t t ωωωωσωωωωσω==--=+=-令12t t γ-=，则21, 20( cos R t t σωγ==2121212120(, (, [(][(](, cos B t t R t t E z t E z t R t t σωγ=-==3-4、已知( x t 与( y t 是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为12(, a a τ，自相关函数分别为(, ( x y R R ττ。
第3章 随机过程
∂F1 ( xBiblioteka , t1 ) = f1 ( x1 , t1 ) ∂x1
则称f 的一维概率密度。 则称 1 (x1,t1)为ξ (t)的一维概率密度。 为 的一维概率密度
二维分布函数： 随机过程ξ (t) 的二维分布函数： F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 , ) = P{ ξ (t1 ) ≤ x1 ,ξ (t 2 ) ≤ x2 } 随机过程ξ (t)的二维概率密度函数： 的二维概率密度函数：
【例】n台示波器同时观测并记录这n台接收机 台示波器同时观测并记录这 的输出噪声波形
实现， 样本函数ξi (t)：随机过程的一次实现，是确定的 ) 随机过程的一次实现 时间函数。 时间函数。 随机过程： 随机过程：ξ (t) ={ξ1 (t), ξ2 (t), …, ξn (t)} ) ), ), )} 是全部样本函数的集合。 是全部样本函数的集合。
二、分布函数和概率密度
表示一个随机过程， 设ξ (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻 1的取ξ (t1) 表示一个随机过程 则它在任意时刻t 是一个随机变量， 是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率 密度函数来描述。 密度函数来描述。 随机变量ξ (t1)个于或等于某一数取 1的概率 ： 个于或等于某一数取x 个于或等于某一数取 F1 ( x1 , t1 ) = P[ξ (t1 ) ≤ x1 ] 的一维分布函数。 叫做随机过程ξ (t)的一维分布函数。 的一维分布函数 如果存在
= E[ξ (t1) ⋅ ξ (t 2) − ξ (t1) ⋅ a (t 2) − a (t1) ⋅ ξ (t 2) + a (t1) ⋅ a (t 2)]
= E[ξ (t1) ⋅ ξ (t 2)] − E[ξ (t1)] ⋅ a (t 2) − E[ξ (t 2)] ⋅ a (t1) + a (t1) ⋅ a (t 2)
随机过程
• 与随机变量的比较：
两者在定义方法上相似 样本空间不同：
①随机变量的样本空间是一个实数集合 ②随机过程的样本空间是一个时间函数的集合 • 结论：随机过程具有随机变量和时间函数的特点
第3章 随机过程
n部接收机噪声记录
第3章 随机过程
例 X(t)=asin(ωt+ θ),t∈(-∞, ∞)，式中a和ω是正常数， θ是在 （0,2π）上服从均匀分布的随机变量。
0
自相关函数为
R t1, t2 E[ (t1) (t2 )] E[sin0t1 sin0t2 ]
令t1＝t，t2＝t＋τ则
Rt,t E[sin0t sin0t 0 ]
2 0
sin0t
sin0t
第3章 随机过程
第3章 随机过程
随机过程 平稳随机过程 高斯随机过程 平稳随机过程通过线性系统 窄带随机过程 高斯白噪声和带限白噪声
第3章 随机过程
§3.1 随机过程的基本概念
• 随机信号
信号的某个或某几个参数不能预知或不能完全被预知， 这种具有随机性的信号称为随机信号。
• 随机噪声
第3章 随机过程
x1(t), θ i =0
x2(t), θ i =3π /2
第3章 随机过程
第3章 随机过程
一般描述
• 分布函数： F1(x1; t1) P{ (t1) x1} • 概率密度函数：分布函数对x的偏导数
部分描述——数字特征
数学期望
• 定义：
E[ (t)]
x
表示随机过程在时刻t对于均值的偏离程度
数学期望和方差描述了随机过程各个孤立时刻的特征，
两者在定义方法上相似 样本空间不同：
①随机变量的样本空间是一个实数集合 ②随机过程的样本空间是一个时间函数的集合 • 结论：随机过程具有随机变量和时间函数的特点
第3章 随机过程
n部接收机噪声记录
第3章 随机过程
例 X(t)=asin(ωt+ θ),t∈(-∞, ∞)，式中a和ω是正常数， θ是在 （0,2π）上服从均匀分布的随机变量。
0
自相关函数为
R t1, t2 E[ (t1) (t2 )] E[sin0t1 sin0t2 ]
令t1＝t，t2＝t＋τ则
Rt,t E[sin0t sin0t 0 ]
2 0
sin0t
sin0t
第3章 随机过程
第3章 随机过程
随机过程 平稳随机过程 高斯随机过程 平稳随机过程通过线性系统 窄带随机过程 高斯白噪声和带限白噪声
第3章 随机过程
§3.1 随机过程的基本概念
• 随机信号
信号的某个或某几个参数不能预知或不能完全被预知， 这种具有随机性的信号称为随机信号。
• 随机噪声
第3章 随机过程
x1(t), θ i =0
x2(t), θ i =3π /2
第3章 随机过程
第3章 随机过程
一般描述
• 分布函数： F1(x1; t1) P{ (t1) x1} • 概率密度函数：分布函数对x的偏导数
部分描述——数字特征
数学期望
• 定义：
E[ (t)]
x
表示随机过程在时刻t对于均值的偏离程度
数学期望和方差描述了随机过程各个孤立时刻的特征，
[理学]随机过程第三章_OK
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h1
(t2 t1 h1 )
1
(tn tn1 hn1 )
hn n
h h h e n 12
(tn hn ) n
18
fW
t1 , t2 ,, tn
nFW t1,,tn
t1 ,, tn
lim
hi 0
PWi
ti
,ti hi ,i
h1 hn
1,2,,
n
en tn
0 t1 t2 tn
19
20
w1 s
0
t
PW1
s
/
X
t
1
PW1 s, X t PX t 1
1
PX
s
1, X t X PX t 1
s
0
PX
s
1 PX t PX t 1
X
s
0
se e s ts tet
s t
即分布函数为：
0,
F (s) W1 / X (t )1
s
t
,
1,
s0 0st st
条件分布密度为：
即：FT1
t
PT1
t
1
PT1
t
1 0
et ,
，t t
0 0
11
所以T1是服从均值为
1
的指数分布。
利用泊松过程的平稳独立增量性质， 有
PT2 t /T1 s
P在s, s t内没事件发生/T1 s
P在s, s t内无事件发生
PX t s X s 0 et
FT2
t
PT2
t 1
fU1，,U n
(u1,u2 ,,un
)
1 t n
,
随机过程第三章
随机过程的概率密度函数
概率密度函数
对于连续随机过程，其概率密度函数描述了随机过程在各个时间点或位置上的取值的可能性密度。
联合概率密度函数
对于多个连续随机过程的组合，其联合概率密度函数描述了这些随机过程在各个时间点或位置上的取 值的联合可能性密度。
03
随机过程的数字特征
均值函数
总结词
描述随机过程中心趋势的数字特征
泊松过程
定义
泊松过程是一种随机过程，其中事件的 发生是相互独立的，且以恒定的平均速
率在时间上均匀地发生。
应用
在物理学、工程学、生物学等领域都 有应用，如放射性衰变、电话呼叫等。
性质
泊松过程具有无记忆性，即两次事件 发生的时间间隔与它们是否同时发生 无关。
扩展
泊松过程可以推广为更复杂的过程， 如非齐次泊松过程和条件泊松过程。
随机过程第三章
目录
• 随机过程的基本概念 • 随机过程的概率分布 • 随机过程的数字特征 • 随机过程的平稳性和遍历性 • 马尔科夫链和泊松过程 • 随机过程的应用
01
随机过程的基本概念
随机过程的定义
01
随机过程：一个随机过程是一个定义在概率空间上的
参数集的集合，这个集合的元素是随机变量。
02
马尔科夫链和泊松过程的比较
关联性
马尔科夫链和泊松过程都是随机过程，但它们的 性质和应用场景有所不同。
时间连续性
马尔科夫链可以适用于连续时间，而泊松过程通 常适用于离散时间。
ABCD
状态转移
马尔科夫链关注的是状态之间的转移，而泊松过 程关注的是事件的发生。
应用领域
马尔科夫链在社会科学和生物科学中应用广泛， 而泊松过程在物理学和工程学中更为常见。
第三章通信原理 随机过程
或随机过程的一次实现。 全部样本函数构成的总
体 x1t, x2 ，t,就,是xn 一t个
随机过程，记作 。
t
因此从这个角度得到随机过程的这种定义： 随机过程是所有样本函数的集合。
角度2：现在，我们在某一特定时刻如 时t1刻观察
各台接收机的噪声，可以发现在同一时刻，每个接 收机的输出噪声值是不同的，它在随机变化。
（1）随机过程的协方差函数:B(t1,t2) 描述了随机过程§(t)在任意两个时刻t1和t2，相对
均值的起伏量之间的相关程度。
B(t1, t2 ) E (t1) a(t1) (t2 ) a(t2 )
B(t1, t2 ) x1 a(t1 ) x2 a(t2 ) f2( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
f1x,t
F1x, t
x
F1x, t
x
f1 y, tdy
F1和x, t f即1x是, t 的函数，x 又是时间 的函数。t很显然，
一维分布函数及一维概率密度函数仅仅表示了随机过程 在任一瞬间的统计特性，它对随机过程的描述很不充分， 通常需要在足够多的时间上考察随机过程的多维分布。
测试结果表明，得到的 n张记录图形并不因为有 相同的条件而输出相同 的波形。恰恰相反，即 使n足够大，也找不到两 个完全相同的波形。这 就是说，通信机输出的 噪声电压随时间的变化 是不可预知的，因而它 是一个随机过程。
N部通信机的噪声输出记录
测试结果的每一个记录， 都是一个确定的时间函
数 ，xi 称t 之为样本函数
式中 是一个离散随机变量，且
P
、0
1 2
P 2， 试12求 和E 1。 R 0,1
体 x1t, x2 ，t,就,是xn 一t个
随机过程，记作 。
t
因此从这个角度得到随机过程的这种定义： 随机过程是所有样本函数的集合。
角度2：现在，我们在某一特定时刻如 时t1刻观察
各台接收机的噪声，可以发现在同一时刻，每个接 收机的输出噪声值是不同的，它在随机变化。
（1）随机过程的协方差函数:B(t1,t2) 描述了随机过程§(t)在任意两个时刻t1和t2，相对
均值的起伏量之间的相关程度。
B(t1, t2 ) E (t1) a(t1) (t2 ) a(t2 )
B(t1, t2 ) x1 a(t1 ) x2 a(t2 ) f2( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
f1x,t
F1x, t
x
F1x, t
x
f1 y, tdy
F1和x, t f即1x是, t 的函数，x 又是时间 的函数。t很显然，
一维分布函数及一维概率密度函数仅仅表示了随机过程 在任一瞬间的统计特性，它对随机过程的描述很不充分， 通常需要在足够多的时间上考察随机过程的多维分布。
测试结果表明，得到的 n张记录图形并不因为有 相同的条件而输出相同 的波形。恰恰相反，即 使n足够大，也找不到两 个完全相同的波形。这 就是说，通信机输出的 噪声电压随时间的变化 是不可预知的，因而它 是一个随机过程。
N部通信机的噪声输出记录
测试结果的每一个记录， 都是一个确定的时间函
数 ，xi 称t 之为样本函数
式中 是一个离散随机变量，且
P
、0
1 2
P 2， 试12求 和E 1。 R 0,1
通信原理课件第3章 随机过程
可见，（1）其均值与t无关，为常数a；
（2）自相关函数只与时间间隔有关。
14
第3章 随机过程
数字特征：
E (t) x1 f1 (x1 )dx1 a R(t1,t2 ) E[ (t1) (t1 )]
x1x2 f2 (x1, x2 ; )dx1dx2 R( )
可见，（1）其均值与t 无关，为常数a ；
随机过程 (t)的二维概率密度函数：
f2 (x1,
x2 ; t1, t2
)
2F2 (x1, x2;t1,t2 x1 x2
)
若上式中的偏导存在的话。
随机过程 (t) 的n维分布函数：
Fn (x1, x2 , , xn ;t1, t2 , tn )
P (t1 ) x1, (t2 ) x2 , , (tn ) xn
f1 (x1,t1 ) f1 (x1 )
而二维分布函数只与时间间隔 = t2 – t1有关：
f2 (x1, x2 ;t1,t2 ) f2 (x1, x2 ; )
数字特征：
E (t) x1 f1 (x1 )dx1 a R(t1,t2 ) E[ (t1) (t1 )]
x1x2 f2 (x1, x2 ; )dx1dx2 R( )
换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。 因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同
时刻的随机变量的集合。 这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。
5
第3章 随机过程
3.1.1随机过程的分布函数
设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)
是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密 度函数来描述。
【解】(1)先求(t)的统计平均值：
（2）自相关函数只与时间间隔有关。
14
第3章 随机过程
数字特征：
E (t) x1 f1 (x1 )dx1 a R(t1,t2 ) E[ (t1) (t1 )]
x1x2 f2 (x1, x2 ; )dx1dx2 R( )
可见，（1）其均值与t 无关，为常数a ；
随机过程 (t)的二维概率密度函数：
f2 (x1,
x2 ; t1, t2
)
2F2 (x1, x2;t1,t2 x1 x2
)
若上式中的偏导存在的话。
随机过程 (t) 的n维分布函数：
Fn (x1, x2 , , xn ;t1, t2 , tn )
P (t1 ) x1, (t2 ) x2 , , (tn ) xn
f1 (x1,t1 ) f1 (x1 )
而二维分布函数只与时间间隔 = t2 – t1有关：
f2 (x1, x2 ;t1,t2 ) f2 (x1, x2 ; )
数字特征：
E (t) x1 f1 (x1 )dx1 a R(t1,t2 ) E[ (t1) (t1 )]
x1x2 f2 (x1, x2 ; )dx1dx2 R( )
换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。 因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同
时刻的随机变量的集合。 这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。
5
第3章 随机过程
3.1.1随机过程的分布函数
设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)
是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密 度函数来描述。
【解】(1)先求(t)的统计平均值：
概率论第三章 平稳随机过程
则称X(t)为宽平稳过程(或称广义平稳过程)
严平稳过程只要均方值有界， 就是广义平稳的， 但反之则不一定。
当我们同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时，若它 们的互相关函数仅是单变量τ 的函数，即
RX Y (t1, t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )] RXY ( ), t2 t1,
则称X(t)和Y(t)宽平稳相依，或称这两个随机过程 是联合宽平稳的。
例3.1 设随机过程 X (t) a cos(0 t )
式中a，ω0为常数，Φ是在区间(0，2π)上均匀分 布的随机变量, 这种信号通常称为随相正弦波。求 证X(t)是宽平稳的。
二、各态历经（遍历）随机过程
在上面的讨论中，每当谈到随机过程时，就意味 着所涉及的是大量的样本函数的集合。要得到随机过 程的统计特性，就需要观察大量的样本函数。
ln
p( X
/
mX
)
K
N 1
exp
i0
(xi
mX
2
2 X
)2
均值估计
让对数似然函数取最大值
ln p( X / mX ) 0 m X
得到均值的最大似然估值
mˆ X
1 N
N 1
xi
i0
此式说明，可用N个观测值的算术平均作为均值mX的估值。
估计量的性质（工程）
1．有偏估计与无偏估计
由于估计量依赖于观测结果，因此估计量本身是 随机变量，于是它也存在其均值和方差。
定义1：取对应于ρX(τ)=0．05的那个时间为相关 时间τ
0
定义2：用图3.6中的矩形(高为ρX(0)=1，底为τ0的
矩形)面积等于阴影面(ρX(τ)积分的一半)来定义
τ0，即
严平稳过程只要均方值有界， 就是广义平稳的， 但反之则不一定。
当我们同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时，若它 们的互相关函数仅是单变量τ 的函数，即
RX Y (t1, t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )] RXY ( ), t2 t1,
则称X(t)和Y(t)宽平稳相依，或称这两个随机过程 是联合宽平稳的。
例3.1 设随机过程 X (t) a cos(0 t )
式中a，ω0为常数，Φ是在区间(0，2π)上均匀分 布的随机变量, 这种信号通常称为随相正弦波。求 证X(t)是宽平稳的。
二、各态历经（遍历）随机过程
在上面的讨论中，每当谈到随机过程时，就意味 着所涉及的是大量的样本函数的集合。要得到随机过 程的统计特性，就需要观察大量的样本函数。
ln
p( X
/
mX
)
K
N 1
exp
i0
(xi
mX
2
2 X
)2
均值估计
让对数似然函数取最大值
ln p( X / mX ) 0 m X
得到均值的最大似然估值
mˆ X
1 N
N 1
xi
i0
此式说明，可用N个观测值的算术平均作为均值mX的估值。
估计量的性质（工程）
1．有偏估计与无偏估计
由于估计量依赖于观测结果，因此估计量本身是 随机变量，于是它也存在其均值和方差。
定义1：取对应于ρX(τ)=0．05的那个时间为相关 时间τ
0
定义2：用图3.6中的矩形(高为ρX(0)=1，底为τ0的
矩形)面积等于阴影面(ρX(τ)积分的一半)来定义
τ0，即
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随机过程：所有样本函数的集合，t与s均可变； 样本函数：确定的时间函数，t是变量，s是固定的； 样本随机变量：t固定时，随机信号的状态; 样本值：确定的数值，t与s均固定
第三章 随机信号分析
Slide 3-4
2009
Principles of Modern Communications
x1(t) x2(t) X(si,t)= xi(t),样本 函数;
样 本 函 数
实 数 值
xi(t) xN(t) tk
X(s,tk)= (tk),随 机变量; X(si,tk)= 确定实 数
(Ai,tk)
t
第三章 随机信号分析 Slide 3-5
2009
Principles of Modern Communications
随机过程的两种基本表征
样本函数集合
随机过程 X(s,t)
fX x
x m 2 1 exp 2 2 2
则称X为服从正态分布的随机变量。m及2是 两个常量（均值及方差）
第三章 随机信号分析
Slide 3-14
2009
Principles of Modern Communications
概率密度函数图
Principles of Modern Communications
3.2 随机过程的统计（概率）特性
2. 随机过程的数字特征
(1)
数学期望(统计平均值)
E X (t ) xp( x, t )dx mX (t )
(2) 方差
D X (t ) E{X (t ) E X (t )}2
(3) 自相关函数(统计平均，或称集平均)
E[ X (t1 ) X (t2 )] RX (t1 , t2 )
(4) 自协方差函数
1 2
x x p( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
C X (t1 , t2 ) E [ X (t1 ) mX (t1 )][ X (t2 ) m X (t 2 )]
3.3 平稳随机过程
统计特性（概率密度函数，相关函数等）具有 平稳性的随机信号成为平稳随机过程 观测平稳随机过程的相应统计特性时，不受观 察时刻的影响 严格平稳：全部统计特性平稳 广义平稳：部分统计特性平稳
均值平稳 mX (t ) E[ (t )] E[ (t t )] m0 自相关平稳
随机变量集合
随机变量集合 X(s,ti) i=1,2…
随机过程 X(s,t)
确定样本函数集合 X(si,t) i=1,2…
第三章 随机信号分析
Slide 3-6
2009
Principles of Modern Communications
3.2 随机过程的统计（概率）特性
随机过程的统计性质可由其分布函数和概率密度描述。 1. 随机过程的分布函数和概率密度 F ( x1, t1 ) P[ X (t1 ) x1 ] 称作随机过程X(t)的一维分布函数。 F ( x1 , t1 ) 如果存在 p( x1 , t1 ) 则称其为X(t)的一维概率密度。 x1 X(t)的2维分布函数
| f | f m 其它
Slide 3-21
功率传递函数
输出功率谱
K 02 n0 2 PXO ( f ) | H ( f ) | PXi ( f ) 2 0
第三章 随机信号分析
2009
Principles of Modern Communications
Ro
2 K0 fmn0
时间均值：设x(t)为X(t)的一个样本函数
1 T /2 mX (t ) x(t ) lim x(t )dt T T T / 2
相关函数各态历经:统计相关函数等于样本的时间相关函 数
样本的时间相关函数
各态历经的随机过程是平稳的，但平稳的随机过程不一 定是各态历经的。
第三章 随机信号分析 Slide 3-12
传递函数
K 0 e j 2 ftd H( f ) 0 fl | f | f h 其它
RX (t1, t2 ) RX (t1 t, t2 t ) RX ( )， t2 t1
第三章 随机信号分析 Slide 3-11
2009
Principles of Modern Communications
各态历经性（遍历性）
统计平均等于样本函数的时间平均 均值各态历经性：统计均值等于时间均值
F ( x1, x2 ; t1, t2 ) P[ X (t1 ) x1; X (t2 ) x2 ]
X(t)的2维概率密度
2 f ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) f ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) x1x2
第三章 随机信号分析 Slide 3-7
2009
第三章 随机信号分析 Slide 3-2
2009
Principles of Modern Communications
3.1 引言
随机信号
如果信号的某个或某几个参数不能预知或不能完全 预知，这种信号就称为随机信号。
随机噪声
通信系统中存在各种干扰和噪声，这些干扰和噪声 的波形更是随机的、不可预测的。我们称其为随机 干扰和随机噪声。
2009
Principles of Modern Communications
现代通信原理
Principles of Modern Communications
郝莉 lhao@ 西南交通大学信息科学与技术学院 2009.9
第三章 随机信号分析
Slide 3-1
2009
[ x1 mX (t1 )][ x2 mX (t2 )]p ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
RX (t1 ,t2 ) mX (t1 )mX (t2 )
(5) 归一化协方差函数——相关系数
X (t1 , t2 )
C X (t1 ,t2 ) X (t1 ) X (t2 )
Po X
f
2 K 0 n0 2
-1/fm -1/2fm 0
1/fm
f
1/2fm
-fm
fm
输出功率
No PXO ( f )d f K n f
2 0 0 m
第三章 随机信号分析
Slide 3-22
2009
Principles of Modern Communications
白噪声通过理想带通滤波器
输出Xo(t)
RXi ( ) PXi ( f )
PX o f H f
PX o
RXo ( ) PXo ( f )
2
PX i
f
f
RX 0 e j 2 f d
第三章 随机信号分析 Slide 3-19
2009
Principles of Modern Communications
f (x)
1 2
f(x)关于x=m对称
f m x f m x
x 0
f(x)在（-,m）内单调上 升，在（m,）内单调下降， 且在m点最大
x 或x , f x 0
a
a
dx 1 f x dx f x dx f x
1 Q ( ) erfc / 2 2
erfc 2Q 2
第三章 随机信号分析
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2009
Principles of Modern Communications
3.5 平稳随机过程通过线性系统
Rh ( ) H( f )
输入Xi(t)
2
线性系统
误差函数
2 erf 补误差函数
0
e
y2
dy
2 erfc 1 erf
e
y2
dy
第三章 随机信号分析
Slide 3-17
2009
Principles of Modern Communications
误差函数和概率积分函数的关系
erf 1 2Q 2
随机信号和随机噪声是不可预测的、随机的， 但它们具有一定的统计规律性。随机噪声和随 机信号统称为随机过程
第三章 随机信号分析 Slide 3-3
2009
Principles of Modern Communications
随机过程
随机试验E的可能结果为X(s,t)，试验的样本空间S为 {x1(t)、 x2(t) … xi(t)…}, xi(t)为第i个样本函数。每次实验 之后， X(s,t)取空间S中的某一个样本函数，于是用 X(s,t)表示该随机过程，简记为X(t) 。 几个基本概念
概率积分函数
定义
Q
1 2
e
y2
2
dy
Q函数的主要性质
等于均值为0，方差为1的高斯变量落到[,+)区间内的概率 Q(0)=1/2; Q(-）=1-Q()，>0;
第三章 随机信号分析 Slide 3-16
2009
Principles of Modern Communications
a
பைடு நூலகம்
1 2
对不同的m，表现为f(x) 的左右平移，对不同的， f(x)图形随的减小而变高 变窄
Slide 3-15
第三章 随机信号分析
2009
第三章 随机信号分析
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2009
Principles of Modern Communications
x1(t) x2(t) X(si,t)= xi(t),样本 函数;
样 本 函 数
实 数 值
xi(t) xN(t) tk
X(s,tk)= (tk),随 机变量; X(si,tk)= 确定实 数
(Ai,tk)
t
第三章 随机信号分析 Slide 3-5
2009
Principles of Modern Communications
随机过程的两种基本表征
样本函数集合
随机过程 X(s,t)
fX x
x m 2 1 exp 2 2 2
则称X为服从正态分布的随机变量。m及2是 两个常量（均值及方差）
第三章 随机信号分析
Slide 3-14
2009
Principles of Modern Communications
概率密度函数图
Principles of Modern Communications
3.2 随机过程的统计（概率）特性
2. 随机过程的数字特征
(1)
数学期望(统计平均值)
E X (t ) xp( x, t )dx mX (t )
(2) 方差
D X (t ) E{X (t ) E X (t )}2
(3) 自相关函数(统计平均，或称集平均)
E[ X (t1 ) X (t2 )] RX (t1 , t2 )
(4) 自协方差函数
1 2
x x p( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
C X (t1 , t2 ) E [ X (t1 ) mX (t1 )][ X (t2 ) m X (t 2 )]
3.3 平稳随机过程
统计特性（概率密度函数，相关函数等）具有 平稳性的随机信号成为平稳随机过程 观测平稳随机过程的相应统计特性时，不受观 察时刻的影响 严格平稳：全部统计特性平稳 广义平稳：部分统计特性平稳
均值平稳 mX (t ) E[ (t )] E[ (t t )] m0 自相关平稳
随机变量集合
随机变量集合 X(s,ti) i=1,2…
随机过程 X(s,t)
确定样本函数集合 X(si,t) i=1,2…
第三章 随机信号分析
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2009
Principles of Modern Communications
3.2 随机过程的统计（概率）特性
随机过程的统计性质可由其分布函数和概率密度描述。 1. 随机过程的分布函数和概率密度 F ( x1, t1 ) P[ X (t1 ) x1 ] 称作随机过程X(t)的一维分布函数。 F ( x1 , t1 ) 如果存在 p( x1 , t1 ) 则称其为X(t)的一维概率密度。 x1 X(t)的2维分布函数
| f | f m 其它
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功率传递函数
输出功率谱
K 02 n0 2 PXO ( f ) | H ( f ) | PXi ( f ) 2 0
第三章 随机信号分析
2009
Principles of Modern Communications
Ro
2 K0 fmn0
时间均值：设x(t)为X(t)的一个样本函数
1 T /2 mX (t ) x(t ) lim x(t )dt T T T / 2
相关函数各态历经:统计相关函数等于样本的时间相关函 数
样本的时间相关函数
各态历经的随机过程是平稳的，但平稳的随机过程不一 定是各态历经的。
第三章 随机信号分析 Slide 3-12
传递函数
K 0 e j 2 ftd H( f ) 0 fl | f | f h 其它
RX (t1, t2 ) RX (t1 t, t2 t ) RX ( )， t2 t1
第三章 随机信号分析 Slide 3-11
2009
Principles of Modern Communications
各态历经性（遍历性）
统计平均等于样本函数的时间平均 均值各态历经性：统计均值等于时间均值
F ( x1, x2 ; t1, t2 ) P[ X (t1 ) x1; X (t2 ) x2 ]
X(t)的2维概率密度
2 f ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) f ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) x1x2
第三章 随机信号分析 Slide 3-7
2009
第三章 随机信号分析 Slide 3-2
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Principles of Modern Communications
3.1 引言
随机信号
如果信号的某个或某几个参数不能预知或不能完全 预知，这种信号就称为随机信号。
随机噪声
通信系统中存在各种干扰和噪声，这些干扰和噪声 的波形更是随机的、不可预测的。我们称其为随机 干扰和随机噪声。
2009
Principles of Modern Communications
现代通信原理
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[ x1 mX (t1 )][ x2 mX (t2 )]p ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
RX (t1 ,t2 ) mX (t1 )mX (t2 )
(5) 归一化协方差函数——相关系数
X (t1 , t2 )
C X (t1 ,t2 ) X (t1 ) X (t2 )
Po X
f
2 K 0 n0 2
-1/fm -1/2fm 0
1/fm
f
1/2fm
-fm
fm
输出功率
No PXO ( f )d f K n f
2 0 0 m
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白噪声通过理想带通滤波器
输出Xo(t)
RXi ( ) PXi ( f )
PX o f H f
PX o
RXo ( ) PXo ( f )
2
PX i
f
f
RX 0 e j 2 f d
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f (x)
1 2
f(x)关于x=m对称
f m x f m x
x 0
f(x)在（-,m）内单调上 升，在（m,）内单调下降， 且在m点最大
x 或x , f x 0
a
a
dx 1 f x dx f x dx f x
1 Q ( ) erfc / 2 2
erfc 2Q 2
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Principles of Modern Communications
3.5 平稳随机过程通过线性系统
Rh ( ) H( f )
输入Xi(t)
2
线性系统
误差函数
2 erf 补误差函数
0
e
y2
dy
2 erfc 1 erf
e
y2
dy
第三章 随机信号分析
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误差函数和概率积分函数的关系
erf 1 2Q 2
随机信号和随机噪声是不可预测的、随机的， 但它们具有一定的统计规律性。随机噪声和随 机信号统称为随机过程
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随机过程
随机试验E的可能结果为X(s,t)，试验的样本空间S为 {x1(t)、 x2(t) … xi(t)…}, xi(t)为第i个样本函数。每次实验 之后， X(s,t)取空间S中的某一个样本函数，于是用 X(s,t)表示该随机过程，简记为X(t) 。 几个基本概念
概率积分函数
定义
Q
1 2
e
y2
2
dy
Q函数的主要性质
等于均值为0，方差为1的高斯变量落到[,+)区间内的概率 Q(0)=1/2; Q(-）=1-Q()，>0;
第三章 随机信号分析 Slide 3-16
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Principles of Modern Communications
a
பைடு நூலகம்
1 2
对不同的m，表现为f(x) 的左右平移，对不同的， f(x)图形随的减小而变高 变窄
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