反比例函数面积问题(三)(1)
反比例函数三角形面积问题
反比例函数三角形面积问题1. 引言嘿，大家好！今天咱们要聊聊一个有趣的话题——反比例函数和三角形面积的结合。
乍一听，可能会觉得有点晦涩，但别担心，我们一步一步来，肯定能搞清楚！想象一下，三角形的面积和反比例函数就像是一对好朋友，他们相互影响，相互作用，带来不少趣味。
2. 反比例函数的基础知识2.1 什么是反比例函数？先从最基础的开始说起。
反比例函数其实很简单，它就是形如 (y = frac{k}{x}) 的函数，其中 (k) 是常数，(x) 和 (y) 是变量。
简而言之，当 (x) 增大时，(y) 会减小，反之亦然。
你可以把它想象成一个永远相反的游戏：一个上升，另一个就得下降。
2.2 反比例函数的图像说到图像，这个函数的图像是双曲线。
它的两个分支分别位于坐标轴的两侧，永远不会触碰坐标轴。
感觉像是两条永远不会交汇的路。
3. 三角形的面积3.1 基础公式提到三角形的面积，最简单的公式就是 (text{面积} = frac{1}{2} times text{底} times text{高})。
就这么简单，底和高就是构成三角形的两条直线，像是两个好朋友，缺一不可。
3.2 结合反比例函数现在，我们把反比例函数和三角形的面积结合起来。
假设有一个三角形，它的底边和高分别是 (x) 和 (y)，且这两者之间满足 (y = frac{k}{x})。
那三角形的面积就是(frac{1}{2} times x times y)。
代入反比例函数的关系，面积公式就变成了 (frac{1}{2} times x times frac{k}{x})，结果是 (frac{k}{2})，也就是说，三角形的面积只和常数 (k) 有关，而和底边 (x) 或高度 (y) 无关。
4. 例子解析4.1 具体例子举个例子来说明。
假设我们有一个三角形，底边 (x) 和高 (y) 满足 (y = frac{6}{x})。
我们把这些值带入面积公式中，计算过程如下：[。
2014年中考数学-反比例函数面积专题学习(3)
第三讲：反比例函数面积专题学习3 2014年中考数学专题复习一、常用结论：1、如图，点A 在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上，AM x ⊥轴于点M ，AMO △的面积为3，则k = ．2、如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于(21)(1)A B n -，，，两点． （1）求上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求AOB △的面积．3、如图，在直角坐标系中，一次函数b kx y +=的图像与反比例函数xmy =的图像交于A （1，4）、B （3，n ）两点. （1）求一次函数的解析式；（2）求△AOB 的面积4、如图，过原点的直线与反比例函数xy 7-=的图像交于A 、C ，自点A 和C 做x 轴的垂线，垂足分别为B 和D ，则四边形ABCD 的面积等于二、经典例题例1 3、如图,Rt △ABO 的顶点A 是双曲线y=k x 与直线y =-x -(k +1)在第二象限的交点.AB ⊥x 轴于B ,且S △ABO ＝3. (1)求这两个函数的解析式;(2)求直线与双曲线的两个交点A 、C 的坐标和△AOC 的面积.例2、如图，已知双曲线(0)ky x x=>经过矩形OABC 边AB 的中点F 且交BC 于点E ， 四边形OEBF 的面积为2，则k = ；相应练习一5..(2009年鄂州)如图，直线y =mx 与双曲线y =xk交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM ,若ABM S ∆=2，则k 的值是 A .2 B .m －2 C .m D .46 .(2009兰州) 如图，若正方形OABC 的顶点B 和正方形ADEF 的顶点E 都在函数 1y x=（0x >）的图象上，则点E 的坐标是（ ， ）.例3、(2010山东威海) 如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数xmy =的图象交于点A ﹙－2，－5﹚， C ﹙5，n ﹚，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ． (1) 求反比例函数xmy =和一次函数b kx y +=的表达式； (2) 连接OA ，OC ．求△AOC 的面积．例4. 例2、如图，已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在函数xky =（k ＞0，x ＞0）的图象上，点P （n m ,）是函数xky =（k ＞0，x ＞0）的图象上的任意一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S 。
反比例函数求三角形面积
反比例函数求三角形面积
三角形是一种最基本的多边形，也是最古老的几何图形，它的几何原理也是广泛应用于现代生活中的。
如果想要计算三角形的面积，我们可以利用反比例函数来解决。
反比例函数是一种特殊的函数，它表示的是“y随x的变化而变化，但其变化率随着x的增大而减小”的函数关系，它可以用来解决各种科学和数学问题。
在计算三角形面积时，我们可以利用反比例函数，根据所给的三角形的边长，经过变换以后，计算的三角形的面积就会更加准确。
假设现在有一个三角形，其三条边的长度分别是a、b、c，那么我们可以用反比例函数来解决计算面积的问题。
其具体求解步骤如下：（1）把三角形的边长a、b、c替换为反比例函数的变量x、y、z，即a=x,b=y,c=z；
（2）建立反比例函数的表达式，即f(x,y,z)=0；
（3）代入原来的变量a、b、c，求解得到反比例函数的解，即
f(a,b,c)=0；
（4）根据以上解析出的f(a,b,c)的函数式，利用三角形面积的公式S=1/2*a*b*sinC，求出三角形的面积。
在实际应用中，反比例函数在计算三角形面积时非常有效。
首先，反比例函数只要给定三角形的边长就可以求出准确的解，这能节省许多计算时间和运算量；其次，它可以有效地避免测量误差，从而计算出更准确的面积，让计算结果更加精确。
总之，反比例函数在求解三角形面积方面的应用非常广泛，它的计算结果更加准确，能够节省大量的时间和运算量。
希望通过本文的介绍，对大家计算三角形面积有所帮助。
反比例函数中的面积问题(共26张PPT)
课后精练
解：(1)如图，过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H， ∵直线 AB 的解析式为 y＝－2x＋4，∴B 点坐标为(0，4)， A 点坐标为(2，0)． ∵∠OAB＋∠DAH＝90°，∠ADH＋∠DAH＝90°， ∴∠BAO＝∠ADH. 又∵∠BOA＝∠AHD，∴△AOB∽△DHA. ∴ADOH＝ABOH＝AADB＝12.∴D2H＝A4H＝12，解得 DH＝4，AH＝8. ∴D(10，4)，则 k＝10×4＝40. 故答案为：40.
③若 M 点的横坐标为 1，△OAM 为等边三角形，则 k＝2＋ 3；
7.如图，函数 y＝kx(k 为常数，k＞0)的图象与过原点的 O 的直线 相交于 A，B 两点，点 M 是第一象限内双曲线上的动点(点 M 在点 A 的左侧)，直线 AM 分别交 x 轴，y 轴于 C，D 两点，连接 BM 分别 交 x 轴，y 轴于点 E，F.现有以下四个结论：
课后精练
∵D(10，4)，∴D′(10，－4)． 设直线 CD′的解析式为 y＝ax＋d， 则180a＋a＋dd＝＝8－ ，4，解得da＝＝－566. ， 故直线 CD′的解析式为 y＝－6x＋56. 当 y＝0 时，x＝238，故 P 点坐标为238，0. 延长 CD 交 x 轴于 Q，此时|QC－QD|的值最大， ∵CD∥AB，D(10，4)，∴直线 CD 的解析式为 y＝－2x＋24. ∴Q(12，0)．∴PQ＝12－238＝83. 故 P 点坐标为238，0，Q 点坐标为(12，0)，线段 PQ 的长为83.
专题2 反比例函数中的面积问题
考点解读
反比例函数中的面积类问题是最能体现数形结合思想 方法的一类问题，几何中的函数问题使图形性质代数 化，函数中的几何问题使代数知识图形化，利用“数”
反比例函数与坐标轴围成的面积
在物理问题中的应用
描述物体的运动规律
在物理学中，反比例函数可以用来描述一些 物体的运动规律，如简谐振动、匀速圆周运 动等。通过反比例函数与坐标轴围成的面积 ，可以计算物体在特定时间内的位移、速度 等物理量。
解决物理最值问题
在物理问题中，有时需要求某个物理量的最 值，如最大速度、最小加速度等。通过反比 例函数与坐标轴围成的面积，可以建立相应 的数学模型，进而求出最值。
已知反比例函数 $y = frac{8}{x}$，求其与坐标 轴在第二象限内围成的面 积。
• 同样根据公式，$S = \frac{1}{2} |k| = \frac{1}{2} \times 8 = 4$。注意在第二象限 内，$k$ 的值为负，但 计算面积时取绝对值。
05
反比例函数与坐标轴围成 的面积的性质
VS
面积的变化具有对称性。对于原点对 称的反比例函数，其在第一象限和第 三象限（或第二象限和第四象限）与 坐标轴围成的面积是相等的。
面积的性质总结
01
反比例函数与坐标轴围成的面积具有连续性和对称性
。
02
面积与反比例函数的参数具有反比关系和平方正比关
系。
03通过研究面积的性质，源自以进一步了解反比例函数的反比例函数与坐标轴围成的 面积
汇报人：XXX 2024-01-22
目 录
• 引言 • 反比例函数的基本性质 • 坐标轴与反比例函数的交点 • 反比例函数与坐标轴围成的面积的计算 • 反比例函数与坐标轴围成的面积的性质 • 反比例函数与坐标轴围成的面积的应用
01
引言
目的和背景
研究反比例函数与坐 标轴围成的面积在数 学和实际应用中的重 要性。
03
反比例函数与坐标轴围成的面积
反比例函数中的面积问题
解得 k=2 评注：第①小题中由图形所在象限可确定k>0，应用结论可直接求k值。 第②小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相 等，列出含k的方程求k值。
例2（2008贵州省黔南州）如图，矩形ABOD的顶点A是函数 与函数 在第二象限的交点， 轴于B， 轴于D，且矩形ABOD的பைடு நூலகம்积为3． （1）求两函数的解析式． （2）求两函数的交点A、C的坐标．
图象上，∴
解得x=1从而所求面积为π 评注：对于较复杂的图形面积计算问题，先应观察图形的特征，若具有 对称特征，则应用对称关系可以简化解题过程。
四、 讨论与面积有关的综合问题 例8．（2008山东省）（1）探究新知：
如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等， 试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． （2）结论应用：
与x轴交于点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4. （1）试确定反比例函数的关系式； （2）求△AOC的面积.
.解：（1）∵点A（-2，4）在反比例函数图象上 ∴k=-8 ∴反比例函数解析式为y=
（2）∵B点的横坐标为-4， ∴纵坐标为y=2 ∴B(-4，2) ∵点A（-2，4）、 点B（-4，2）在直线y=kx+b上 ∴ 4=-2k+b 且2=-4k+b 解得 k=1 b=6 ∴直线AB为y=x+6 与x轴的交点坐标C（-6，0）
（3）若点P是y轴上一动点，且 ， 求点P的坐标．
解：（1）由图象知k<0，由结论及已知条件得 -k=3 ∴
∴反比例函数的解析式为 ，一次函数的解析式为 （2）由 ，解得 ，
∴点A、C的坐标分别为（
，3），（3， ） （3）设点P的坐标为（0，m） 直线 与y轴的交点坐标为M（0，2） ∵
反比例函数背景下的应用题（面积问题）
反比例函数背景下的应用题（面积问题）
反比例函数背景下与面积相关的问题往往围绕着以下三个结论展开：①反比例函数上任意一点与坐标轴围成的矩形面积；②反比例函数上任意一点与坐标轴围成的三角形面积；③反比例函数上任意两点与原点围成的三角形面积.
解法分析：对于平面直角坐标系中三角形面积的求法问题有如下的解法策略：①当三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴上时，可以直接求三角形面积；②当三角形中的任意一边不在坐标轴或不平行于坐标轴时，利用割补法(补成/分割成规则图形)面积进行求解。
本题中的△ABC的一边AC//x轴，则可以直接求解，需要注意的是当用点表示线段长度时，要加上绝对值。
解法分析：本题可以直接求三角形的面积，△MPQ的底PQ是可求的定值，而高是点M和点P横坐标差的绝对值，要注意M点可能在第二象限，也可能在第四象限，加上绝对值后就可以避免漏解了。
解法分析：本题首先需要联立正比例函数和反比例函数的解析式求出A、B两点的坐标，然后过A、B两点作x轴垂线构造梯形，求梯形面积即可。
解法分析：本题可以用代数法或几何法解决。
综合利用直角三角形的性质，三角形的面积比解决。
同时还要能够利用点的坐标表示线段的长度，灵活运用。
解法分析：本题主要考察了反比例函数上的点与坐标轴围成的矩形面积。
对于第2、3问，需要分类讨论，即P在B左侧或P在B右侧，进行计算。
解法分析：本题是反比例函数和正方形背景下的问题。
△BCE的面积可以直接求解，主要表示出E的坐标，再求出B'E的长度，即可求出△BCE的面积。
反比例函数与面积法
反比例函数与面积法反比例函数是一种特殊的函数关系，其函数表达式为y=k/x，其中k 为比例常数。
在反比例函数中，x与y的值呈现一种相反的关系，即当x 增大时，y会减小；当x减小时，y会增大。
在数学中，反比例函数又被称为倒数函数或反函数。
反比例函数在物理学、经济学、工程学等领域中都有广泛的应用。
在物理学中，常见的反比例函数包括牛顿万有引力定律和欧姆定律等。
在经济学中，反比例函数可以用于描述一些经济现象，如供求关系中的价格与需求量、成本与产量等。
在工程学中，反比例函数可以用于描述一些工程问题，如水泵流量与水压、管道截面积与流体速度等。
反比例函数的图像呈现一种特殊的形状，即双曲线。
当k为正数时，双曲线的两个分支分布在第一象限和第三象限；当k为负数时，双曲线的两个分支分布在第二象限和第四象限。
双曲线的特点是无限趋近于两条渐近线，并且在y轴和x轴上都有一个特殊点，称为顶点或极限点。
在反比例函数中，极限点为(0,k)。
与反比例函数相关的重要概念是比例常数k，它决定了函数图像的形状和位置。
比例常数k的绝对值越大，函数图像的曲线就越陡峭；比例常数k的正负决定了函数图像的位置，正值使双曲线的两个分支分布在第一象限和第三象限，负值使双曲线的两个分支分布在第二象限和第四象限。
面积法是一种使用反比例函数求解面积的方法。
通过将要求解的面积拆分成若干个小矩形，然后使用反比例函数计算每个小矩形对应的y值，最后将所有小矩形的y值相加得到总面积。
面积法的基本思想是通过将复杂的图形分解成简单的图形，使用基本图形的面积公式计算每个小矩形的面积，再将所有小矩形的面积相加得到总面积。
面积法的具体步骤如下：1.将要求解的面积分解成若干个小矩形，矩形的宽度可以任意选择，但必须保证宽度足够小，以保证面积的计算准确。
2.计算每个小矩形的宽度，通常选择将整个区域分成n个宽度相等的小矩形，即宽度为Δx。
3.使用反比例函数计算每个小矩形的高度y，即将每个小矩形的宽度代入反比例函数的表达式y=k/x中，得到每个小矩形对应的y值。
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反比例函数面积问题（二）
一．选择题
1．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数的图象上．若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为（）
A．1 B．﹣3 C．4 D．1或﹣3
2.（2014•抚顺）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个
定点，点P是双曲线y=（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点
P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（）
A．逐渐增大B．不变
C．逐渐减小D．先增大后减小
3．（2013•江干区一模）如图，点P 是反比例函数的图象上的任意一点，
过点P分别作两坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形OAPB，点D是矩形OAPB
内任意一点，连接DA、DB、DP、DO，则图中阴影部分的面积是（）A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，A、B是反比例函数y=上两点，AC⊥y轴于C，BD⊥x轴于D，AC=BD=OC，S四边形ABDC=14，则k=_________．
5.如图，直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在直线AB上，且点C的纵坐标为﹣1，点D在反比例函数y=的图象上，CD平行于y轴，S△OCD=，则k的值为_________．
6.如图，点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），…，点P n（x n，y n）都在函数（x
＞0）的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△P n A n﹣1A n都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2，A2A3，…，A n﹣1A n都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），已知点A1的坐标为（2，0），则点P1的坐标为_________；点P2的坐标为_________；点P n的坐标为_________（用含n的式子表示）．
1题图2题图
3题图
7．（2014•营口）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边
AB∥x轴，点A在双曲线y=（x＜0）上，点B在双曲线
y=（x＞0）上，边AC中点D在x轴上，△ABC的面积为
8，则k=_________．
8．（2014•荆州）如图，已知点A是双曲线y=在第一象限的
分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以
AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，
点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=（k＞0）
上运动，则k的值是_________．
9如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，
过点A1、A2、A3、A4、A5分别作x轴的垂线与反比例函数y=（x≠0）
的图象相交于点P1、P2、P3、P4、P5，得直角三角形OP1A1、A1P2A2、
A2P3A3、A3P4A4、A4P5A5，并设其面积分别为S1、S2、S3、S4、S5，
则S5的值为_________．
10.如图，设点P是函数y=在第一象限图象上的任意一点，点P关于
原点O的对称点为P′，过点P作直线PA平行于y轴，过点P′作直线P′A 平行于x轴，PA与P′A相交于点A，则△PAP′的面积为_________．
11.如图，已知A，B两点是反比例函数y=（x＞0）的图象上任意两
点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，连接AB，AO，BO，梯形ABDC的面积为5，则△AOB的面积为_________．
12.如图，已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线
相交于点D，且OB：OD=5：3，则k=_________．
13.如图，点A为反比例函数y=的图象上一点，B点在x轴上且OA=BA，则△AOB的面积为_________．
14．如图，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）
两点．
（Ⅰ）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（Ⅱ）连OB，在x轴上取点C，使BC=BO，并求△OBC的面积；
（Ⅲ）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．
15．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC．
16．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的
图象相交于A，B两点，且与坐标轴的交点为（﹣6，0），（0，6），
点B的横坐标为﹣4，
（1）试确定反比例函数的解析式；
（2）求AOB的面积；
（3）直接写出不等式的解．
17．如图，反比例函数（x＞0）与一次函数y2=kx+m的图象相交于A、B两点．已
知A、B两点的横坐标分别为1和4．
（1）直接写出使y2＞y1的x的取值范围_________；
（2）求反比例函数与一次函数的关系式；
（3）求△AOB的面积．
18．已知双曲线y=和直线AB的图象交于点A（﹣3，4），AC⊥x轴于点C．
（1）求双曲线y=的解析式；
（2）当直线AB绕着点A转动时，与x轴的交点为B（a，0），并与双曲线y=另一支还有一个交点的情形下，求△ABC的面积S与a之间的函数关系式，并指出a的取值范围．。