微专题辅助圆在解题中的应用2020年安徽中考数学(沪科版)核心素养提升高分分项突破PPT课件
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2020年中考数学专题突破6 辅助圆在解题中的应用
(2)如图②，若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知C 点并不是唯一固定的点，至于点C是优弧还是劣弧取决于∠C的大小，小于90°，则 C在优弧上运动；等于90°，则C在半圆上运动；大于90°则C在劣弧上运动．
图②
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
针对训练 10. 如图，已知四边形ABCD. (1)如图①，在矩形ABCD中，请你在矩形ABCD的边上画出使∠APB＝30°的所 有点P；
针对训练 7. 如图，已知矩形ABCD，请你在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝90°的所有点P.
解：如解图，点P1、P2即为所求点．
第7题图
第7题解图
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
8. 如图，已知在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是边AB上的动
第3题图
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
4. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB上一 个动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长的最小值
为___7___1__．
第4题图
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
第12题图
专题六 辅助圆在解题中的应用
模型分析
模型六 四点共圆
(ⅰ) 如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边 中线等于斜边一半，可得：OC＝OD＝OA＝OB，∴A、B、C、D四点共圆，共斜边 的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；四点共圆后可以根据圆周角定 理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等重要的途径之一．
图②
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
针对训练 10. 如图，已知四边形ABCD. (1)如图①，在矩形ABCD中，请你在矩形ABCD的边上画出使∠APB＝30°的所 有点P；
针对训练 7. 如图，已知矩形ABCD，请你在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝90°的所有点P.
解：如解图，点P1、P2即为所求点．
第7题图
第7题解图
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
8. 如图，已知在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是边AB上的动
第3题图
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
4. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB上一 个动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长的最小值
为___7___1__．
第4题图
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
第12题图
专题六 辅助圆在解题中的应用
模型分析
模型六 四点共圆
(ⅰ) 如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边 中线等于斜边一半，可得：OC＝OD＝OA＝OB，∴A、B、C、D四点共圆，共斜边 的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；四点共圆后可以根据圆周角定 理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等重要的途径之一．
微专题五大常考全等模型(含半角模型)2020年安徽中考数学(沪科版)核心素养提升高分分项突破PPT课件
∴△ABD≌△ACD(SAS)
图 示
模 所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合
型 的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，
总 即公共边或公共角相等.
结
2. 如图，点E、F在BC上，AB＝DC，∠B＝∠C，请补充一个 条件：_B_E__＝__C_F_或__B__F_＝__C_E__或__∠__A_＝__∠__D__或__∠__A_F_B__＝__∠__D_E_C_____， 使△ABF≌△DCE.
EC OE
ED OE
,
∴Rt△COE≌Rt△DOE(HL)．
∴OC＝OD；
第3题图
(2)∵Rt△COE≌Rt△DOE， ∴∠CEF＝∠DEF. 在△ECF和△EDF中，
CE DE CEF DEF , EF EF ∴△ECF≌△EDF(SAS)．
模型三 三垂直型
例 3 如图，△ABC中，∠ABC＝∠BAC＝45°，点P在AB上，AD⊥CP交 CP于点D，BE⊥CE交CP的延长线于点E，垂足分别为D，E，已知DC＝2， 求BE的长． 【思维教练】已知DC的长，求BE的长，可通过证明 △CBE和△ACD全等，根据同角的余角相等可得 ∠DAC＝∠BCE，从而利用AAS可证△CBE和△ACD 全等．
(2)解：∵△AED≌△EBC， ∴AD＝EC. ∵AD∥EC， ∴四边形AECD是平行四边形． ∴CD＝AE. ∵AB＝6， ∴CD＝1 AB＝3.
2
模型二 对称模型
例 2 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是三角形内一点，连接DA，DB，DC， 若∠1＝∠2，则△ABD与△ACD全等吗？请说明理由． 【找一找】
例1题图
证明：∵BC∥EF， ∴∠F＝∠BCA，∠E＝∠DGC. ∵∠B＝∠DGC， ∴∠B＝∠E. 又∵AB＝DE， ∴△ABC≌△DEF(AAS)． ∴AC＝DF. ∵AD＋CD＝CD＋CF， ∴AD＝CF.
图 示
模 所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合
型 的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，
总 即公共边或公共角相等.
结
2. 如图，点E、F在BC上，AB＝DC，∠B＝∠C，请补充一个 条件：_B_E__＝__C_F_或__B__F_＝__C_E__或__∠__A_＝__∠__D__或__∠__A_F_B__＝__∠__D_E_C_____， 使△ABF≌△DCE.
EC OE
ED OE
,
∴Rt△COE≌Rt△DOE(HL)．
∴OC＝OD；
第3题图
(2)∵Rt△COE≌Rt△DOE， ∴∠CEF＝∠DEF. 在△ECF和△EDF中，
CE DE CEF DEF , EF EF ∴△ECF≌△EDF(SAS)．
模型三 三垂直型
例 3 如图，△ABC中，∠ABC＝∠BAC＝45°，点P在AB上，AD⊥CP交 CP于点D，BE⊥CE交CP的延长线于点E，垂足分别为D，E，已知DC＝2， 求BE的长． 【思维教练】已知DC的长，求BE的长，可通过证明 △CBE和△ACD全等，根据同角的余角相等可得 ∠DAC＝∠BCE，从而利用AAS可证△CBE和△ACD 全等．
(2)解：∵△AED≌△EBC， ∴AD＝EC. ∵AD∥EC， ∴四边形AECD是平行四边形． ∴CD＝AE. ∵AB＝6， ∴CD＝1 AB＝3.
2
模型二 对称模型
例 2 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是三角形内一点，连接DA，DB，DC， 若∠1＝∠2，则△ABD与△ACD全等吗？请说明理由． 【找一找】
例1题图
证明：∵BC∥EF， ∴∠F＝∠BCA，∠E＝∠DGC. ∵∠B＝∠DGC， ∴∠B＝∠E. 又∵AB＝DE， ∴△ABC≌△DEF(AAS)． ∴AC＝DF. ∵AD＋CD＝CD＋CF， ∴AD＝CF.
植根基本模型 凸显核心素养——2020年安徽中考压轴题赏析
• 2 •理科考试研究•数学版2021年5月10日*/<T T \数•變以 植根1本模型凸显秸心素养—2020年安徽中考压轴题赏析邹守文(南陵县城东实验学校安徽芜湖2424〇0)摘要：本文通过对安徽省2020年中考数学压轴题的分析，揭示了题目是基于三个基本几何模型的叠加，该题沟 通了与三角形的全等和相似、三角函数以及圆的关系.在分析了题目特点的前提下，给出了第（3)问的九种解法，能有 效地考查学生的逻辑推理的数学核心素养，也可以作为训练学生的逻辑推理能力的重要素材.关键词：中考压轴题；逻辑推理•，核心素养1试题呈现题目如图1,已知四边形是矩形，点£在似的延长线上，狀=/l 〇，£C 与仙相交于点C ，与仙 相交于点图1(1) 求证:丄 £C ;(2) 若仙=1，求狀的长;(3) 如图2,连接/1C ，求证:£C -DG =在4C .等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、 直角的定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次 方程等知识.涉及的知识面广，利用截长补短等方法 确定解题思路，进而推理和计算.2模型揭示本题的三问是三个基本几何模型的叠加，使问题 的呈现更加丰满，解题的方法更加灵活.模型一模型二图3图2逻辑推理能力是初中数学的重要素养，培养和发 展逻辑推理能力是初中数学的重要任务.而承载逻辑 推理能力的载体是几何，四边形和圆是初中数学的重 要内容，也是连接其他知识的纽带，故试题以此为切 人点，实施对相关核心知识的考查.作为全卷的压轴 题，将一些常见的几何模型叠加，考查矩形的性质、全第（1 )问是模型一,可以用旋转或全等三角形证 明A ，得到丄DF ;第（2)问是模型二，通过三角形相似，得到g ==第（3)问的本质是模型三，是人教版教材87页例4的引申与拓展，由 例题可以发现有C 4 +CB =WCZ ).本题的三个模型不是孤立存在的，而是相互联系，逐步递进，搅合在一起 的•第（1)问是第（3)问的铺垫，第（3)问是第（1)问的 升华，环环相扣，紧密联系.3解法探究作为压轴题，本题虽然立意高，但起点低，坡度 缓，可得分，但同时也承载了一定的选拔和区分的功 能，这主要表现在第（3)问的设计上.对于线段的和差 倍分关系的证明，学生比较熟悉，可以通过截长补短作者简介：邹守文（1971 -),男，安徽南陵人，本科，中学一级教师，研究方向：中考数学命题研究和初等数学.2021年5月10日理科考试研究•数学版• 3 •法，构建全等三角形予以解决•作为中考题，学生已经 具备了一定的圆和相似三角形的知识，可以通过圆的 性质发现乙/I狀=45。
微专题解直角三角形的实际应用三大模型2020年安徽中考数学(沪科版)高分分项突破PPT课件
第1题图
解：如解图，过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△BCD中，
∵BC＝80，∠B＝30°，
∴DC＝BC·sin30°＝40，BD＝BC·cos30°＝40 3，
在Rt△ACD中，
∵∠A＝45°，
∴AD＝CD＝40，AC＝40 2， ∴AC＋BC＝40 2＋80≈40×1.41＋80＝136.4，
第2题图
解：设AC＝x米，则BC＝(x－10)米，
在Rt△ACD中，∠CDA＝∠CAD＝45°，
∴CD＝AC＝x.
在Rt△ECB中，CE＝CD＋DE＝x＋8，
∴tan∠CEB＝BC，即 CE
xx－＋180＝t
an30°＝
33.
解得，x＝
8＋10 3 3－1
≈34.59.
答：楼高AC约为34.59米．
1. 为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A，B两地间的公路进行改建．如 图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现 开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80千米，∠A＝ 45°，∠B ＝30°. 开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？(结果精确到0.1千米，参考数 据： ≈1.421， ≈1.733)
【等量关系】如图⑧，BC＝FG，BF＝CG，AC＋BF＝AG，EF＋BC＝EG； 如图⑨，BC＝FG，BF＝CG，EF＋BC＝EG，BD＋DF＝BF， AC＋BD＋DF＝AG.
2. 一幢楼的楼顶端挂着一幅长10米的宣传条幅AB，某数学兴趣小组在一次活动中， 准备测量该楼的高度，但被建筑物FGHM挡住，不能直接到达楼的底部，他们在点D 处测得条幅顶端A的仰角∠CDA＝45°，向后退8米到E点，测得条幅底端B的仰角 ∠CEB＝30°(点C，D，E在同一直线上，EC⊥AC)．请你根据以上数据，帮助该兴趣 小组计算楼高AC.(结果精确到0.01米，参考数据： ≈31.732， ≈21.414)
解：如解图，过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△BCD中，
∵BC＝80，∠B＝30°，
∴DC＝BC·sin30°＝40，BD＝BC·cos30°＝40 3，
在Rt△ACD中，
∵∠A＝45°，
∴AD＝CD＝40，AC＝40 2， ∴AC＋BC＝40 2＋80≈40×1.41＋80＝136.4，
第2题图
解：设AC＝x米，则BC＝(x－10)米，
在Rt△ACD中，∠CDA＝∠CAD＝45°，
∴CD＝AC＝x.
在Rt△ECB中，CE＝CD＋DE＝x＋8，
∴tan∠CEB＝BC，即 CE
xx－＋180＝t
an30°＝
33.
解得，x＝
8＋10 3 3－1
≈34.59.
答：楼高AC约为34.59米．
1. 为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A，B两地间的公路进行改建．如 图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现 开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80千米，∠A＝ 45°，∠B ＝30°. 开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？(结果精确到0.1千米，参考数 据： ≈1.421， ≈1.733)
【等量关系】如图⑧，BC＝FG，BF＝CG，AC＋BF＝AG，EF＋BC＝EG； 如图⑨，BC＝FG，BF＝CG，EF＋BC＝EG，BD＋DF＝BF， AC＋BD＋DF＝AG.
2. 一幢楼的楼顶端挂着一幅长10米的宣传条幅AB，某数学兴趣小组在一次活动中， 准备测量该楼的高度，但被建筑物FGHM挡住，不能直接到达楼的底部，他们在点D 处测得条幅顶端A的仰角∠CDA＝45°，向后退8米到E点，测得条幅底端B的仰角 ∠CEB＝30°(点C，D，E在同一直线上，EC⊥AC)．请你根据以上数据，帮助该兴趣 小组计算楼高AC.(结果精确到0.01米，参考数据： ≈31.732， ≈21.414)
图形的对称、平移、旋转与位似2020年安徽中考数学(沪科版)思维导图核心素养提升高分分项突破PPT课件
(1)证明：∵AB∥CB′， ∴∠BCB′＝∠ABC＝30°. 由旋转的性质得∠ACA′＝∠BCB′＝30°， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠A′CD＝60°. 又∵∠CA′B′＝∠CAB＝90°－∠ABC＝60°， ∴△A′CD是等边三角形；
(2)如图②，连接A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′.求证： S△ACA′∶S△BCB′＝1∶3；
第9题图
解：(1)如解图所示，线玩段C转D即安为所徽求1；0年中考真题
(2)如解图所示，菱形CDEF即为所求(答案不唯一)．
第9题解图
10.（2018安徽17题8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10 网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点． (1)在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段 A1B1(点A，B的对应点分别为A1，B1)，画出线段A1B1； (2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1； (3)以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是________个平方单位．
第4题图
5.（2016安徽14题5分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10.点E在CD上， 将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG 折叠，点A恰好落在线段BF上的点H处．有下列结论：①∠EBG＝45°；②
△其D中E正F确∽的△是AB_G__；_①_③_③_S_④△_A_B_G_＝__．S32(把△F所GH有；正④确AG结＋论D的F＝序F号G都. 选上)
EP长度最大，最大值为____2____．
第8题图③
3 网格中图形的变换作图（必考）
9.（2019安徽16题8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格 中，给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段AB. (1)将线段AB向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD，请画出线段CD； (2)以线段CD为一边，作一个菱形CDEF，且点E，F也为格点．(作出一个菱形即可)
(2)如图②，连接A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′.求证： S△ACA′∶S△BCB′＝1∶3；
第9题图
解：(1)如解图所示，线玩段C转D即安为所徽求1；0年中考真题
(2)如解图所示，菱形CDEF即为所求(答案不唯一)．
第9题解图
10.（2018安徽17题8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10 网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点． (1)在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段 A1B1(点A，B的对应点分别为A1，B1)，画出线段A1B1； (2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1； (3)以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是________个平方单位．
第4题图
5.（2016安徽14题5分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10.点E在CD上， 将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG 折叠，点A恰好落在线段BF上的点H处．有下列结论：①∠EBG＝45°；②
△其D中E正F确∽的△是AB_G__；_①_③_③_S_④△_A_B_G_＝__．S32(把△F所GH有；正④确AG结＋论D的F＝序F号G都. 选上)
EP长度最大，最大值为____2____．
第8题图③
3 网格中图形的变换作图（必考）
9.（2019安徽16题8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格 中，给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段AB. (1)将线段AB向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD，请画出线段CD； (2)以线段CD为一边，作一个菱形CDEF，且点E，F也为格点．(作出一个菱形即可)
一次不等式(组)及一次不等式的应用2020年安徽中考数学(沪科版)高分分项突破及核心素养提升
解集在数轴 上的表示
___x_>_a____ ___x_≤_a____
___x_≥__a___ 【易错警示】在数轴上表示解集时，要注意“＜”和“＞”在数轴上表示为
空心圆圈，“≤”和“≥”在数轴上表示为实心圆点 返回思维导图
一般解答步骤：分别求出不等式组中各个不等式的解集，再在数轴上表示出各不
一
等式的解集，然后利用数轴或根据口诀确定不等式组的解集
即：如果
a＞b，c＞0，那么
a·c___>_
b·c，
a c
___ 3：_不__等__式__的__两__边__都__乘__(或__除__以__)_同__一__个__负__数__，__不__等__号__的__方__向__改__变__
即：如果a＞b，c＜0，那么 a·c___<__b·c， a __<__ b
3 ∵x是整数， ∴他至少要选对21道题． 答：他至少要选对21道题．
考点特训营
【对接教材】 沪科：七下第7章P24－P36； 人教：七下第九章P113－P133 ； 北师：八下第二章P37－P63
性质1：如果a>b,那么 ac bc
性质2:如果a>b，并且c>0，
那么 ac bc或 a b
返回思维导图
数的实际应用中考查，2012年在23题二次函数的实际应用中考查)
基础训练
8. 某次知识竞赛共有25道选择题，要求选出正确答案，竞赛规则为：选对一道 得10分，选错或不选扣5分，如果小明在本次竞赛中的得分不低于180分，那么 他至少要选对多少道题？ 解：设他要选对x道题，根据题意得：10x－5(25－x)≥180，得x≥20 1 ，
cc
不等 式的 性质
一次不等 式（组） 与一次 不等式 的应用
安徽省2020届中考数学(人教版)大一轮考点梳理课件6.3 与圆有关的计算
第六章
6.3 与圆有关的计算
中考真题再现
名师考点精讲
即时微专题
-12-
典例 2 如图,AB 与☉O 相切于点 B,OA=2,∠OAB=30°,弦 BC∥OA,则劣弧������������的长是 ()
AC..π4π2
BD..π3π6
【解析】连接OB,OC,∵AB为☉O的切线,∴∠ABO=90°.
在Rt△ABO中,OA=2,∠OAB=30°,∴OB=1,∠AOB=60°.
第六章
6.3 与圆有关的计算
中考真题再现
名师考点精讲
即时微专题
-8-
提分训练1.(2019·合肥庐江期末)如图,用八根长为4 cm的铁丝,首尾相接围成一个正八 边形(接点不固定),要将它的四边按图中的方式向内等距离移动a cm,同时去掉另外四 根长为4 cm的铁丝(虚线部分)得到一个正方形,则a的值为( C )
A.4 cm
B.2 cm
C.2 2 cm
D.
2 2
cm
【解析】如图,由题意可知△ABC是等腰直角三角形,AB=4,AC=BC=a,则有a2+a2=42,解
得 a=2 2 (负值舍去).
第六章
6.3 与圆有关的计算
中考真题再现
名师考点精讲
即时微专题
-9-
考点2与弧长、扇形面积有关的计算(8年4考)
1.圆的弧长计算及扇形面积
第六章
6.3 与圆有关的计算
中考真题再现
名师考点精讲
即时微专题
-11-
一些不规则图形的阴影面积求法 采用“割补法”“等积变形法”“拼凑法”“构建方程法”,将不规则图形的阴影面积转化为 规则图形的面积进行求解.将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知 的、熟悉的、简单的问题,这种思想就是转化思想.
安徽省2023中考数学第6章圆课件
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑪
.
常见 图形
结论
∠ACB=⑫
1.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角⑬
,相等的
圆
周角所对的弧也相等.
推论
2.半圆或直径所对的圆周角是⑭
;90°的圆周角所对的弦
考点4 圆周角定理及其推论
方法指导
根据圆周角定理的推论,涉及直径时,可构造直径所对的圆周角是直角来 进行证明或计算.
考点5 圆内接四边形的概念和定理
一个四边形的四个顶点都在同
一个圆上,这个四边形叫做圆 概念
的内接四边形,这个圆叫做这
个四边形的外接圆.
圆内接四边形的对角⑯
∠A+∠BCD=⑱
,
定理 ,且任何一个外角都等于它的 ∠B+∠D=⑲
,
⑰
.
∠DCE=⑳
方法帮
命题角度1 圆周角定理及其推论
例1 [2021 湖北宜昌]如图,C,D是☉O上直径AB两侧的两点.若∠ABC=25°,则
2.圆的有关概念
同心圆 圆心相同、半径不同的圆叫做同心圆.
等圆 能够重合的两个圆叫做等圆.
圆的任意一条① 半圆 圆.
的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号“⌒”表示.大于半圆
弧 的弧叫做②
,如 ;小于半圆的弧叫做③
,如 .
考点1 与圆有关的概念
等弧 在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.
例1 如图,在▱ABCD中,∠BCD=30°,BC=4,CD=3,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,
将△AMN沿MN所在直线翻折得到△PMN,连接PC,则PC长度的最小值是
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值，DE的最大值为___d_＋__r __，DE的最小值为__r_－__d___.
3. 如图，⊙O、⊙C，OC＝5，点A、B分别是平面内的动点，且OA＝4，BC＝3， 则OB长的最大值为___8___，OB长的最小值为____2____，AC长的最大值为___9___， AC长的最小值为___1___，AB长的最大值为____1_2___，AB长的最小值为____0____．
第2题图
第2题解图
模型二 点圆最值
平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和 最小值．具体分以下三种情况讨论(规定OD＝d，⊙O半径为r)： (ⅰ) 若D点在⊙O外时，d>r，如图①、②：当D、E、O三点共线时，线段DE出现 最值，DE的最大值为_d_+_r_____，DE的最小值为_d_-r______；
第8题图
第9题图
9. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，若AD＝2，BC＝4，则四边形 ABCD面积的最大值是___6_____．
模型五 定弦对定角(非90°) 固定的线段只要对应固定的角度(可以不是90度)也叫定弦定角，那么这个角的顶点轨 迹为圆(一部分)． (1)如图①，在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等(注意：弦AB 在劣弧AB上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)；
图①
图②
7. 如图，已知矩形ABCD，请你在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝90°的所有点P. 解：如解图，点P1、P2即为所求点．
第7题图
第7题解图
8. 如图，已知在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是边AB上的动
点，Q是边BC上的动点，且∠CPQ＝90°，求线段CQ的取值范围__23_0_≤__C__Q_≤__1_2．
第3题图
4. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB上一 个动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长的最小值
为___7___1__．
第4题图
模型三 线圆最值
(ⅰ) 如图，AB为⊙O的一条定弦，点C为圆上一动点． (1)如图①，若点C在优弧AB上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到弦 AB的最大距离，此时△ABC的面积最大； (2)如图②，若点C在劣弧AB上，当CH⊥AB且CH的延长线过圆心O时，线段CH即为 点C到弦AB的最大距离，此时△ABC的面积最大．
有点P；
解：(1)如解图①所示， P1、P2在以点O
为圆心，AB长为半径的圆上，点P1、P2
图①
即为所求；
解图①
(2)如图②，在矩形ABCD中，请你在矩形ABCD的边上画出使∠APB＝60° 的所有点P；
(2)如解图②所示，先画△BP2C为等边三角形，再画
△BP2C的外接圆，则P1，P3在△BP2C的外接圆上，点P1、
(2016年10题，2015年20题考查)
模型一 定点定长作圆型
平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹在以点A为圆心， AB长为半径的圆上(如图①)．
图①
图②
推广：如图②，点E为定点，点F为线段BD上的动点(不与点B重合)，将△BEF沿
EF折叠得到△B′EF，则点B′的运动轨迹为以E为圆心，线段BE为半径的半圆弧．
图①
图②
(ⅱ) 若D点在圆上时，d=r，如图③：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE
的最大值为__d_＋__r_＝__2_r(_即__为__⊙__O__的__直__径__) ，DE的最小值为__d_－__r＝__0_(_点__D__、__E_重__合__)_；
图③
图④
图⑤
(ⅲ) 若D点在⊙O内时，d<r，如图④、⑤：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最
1. 如图，已知点O，点C，且线段OC＝3，点A、B是平面内的动点，且OA＝2，BC＝4， 请在平面内画出点A、B的运动轨迹． 解：如解图，点A的运动轨迹为⊙O，点B的运动轨迹为⊙C.
第1题图
第1题解图
2. 如图，已知平行四边形ABCD，点E为AD边上一点，点F为边AB上的动点，将△AEF 沿EF折叠得到△A′EF，请在图中画出点A′在平行四边形ABCD内(含边上的点)的运动 轨迹． 解：如解图，点A′的运动轨迹为以点E为圆心，AE长 为半径的⊙E的劣弧MN上．
图②
P2、P3即为所求；
解图②
(3)如图③，在矩形ABCD中，请你在矩形ABCD的边上画出使∠APB＝45° 的所有点P； (3)如解图③所示，P1、P2、P3、P4即为所求， 其中∠AOB＝90°.
图①
(2)如图②，若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知C 点并不是唯一固定的点，至于点C是优弧还是劣弧取决于∠C的大小，小于90°，则 C在优弧上运动；等于90°，则C在半圆上运动；大于90°则C在劣弧上运动．
图②
10. 如图，已知四边形ABCD.
(1)如图①，在矩形ABCD中，请你在矩形ABCD的边上画出使l相离，点P是⊙O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d， ⊙O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是__d_-_r____(如图③)，点P到直线l的最大距 离是___d_+_r___(如图④)．
图③
图④
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝
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值为____4____．
第6题图
模型四 直径对直径
(ⅰ) 半圆(直径)所对的圆周角是90°. 如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AB为圆O 的直径． (ⅱ) 90°的圆周角所对的弦是直径(定弦对定角的特殊形式)．如图②，在△ABC中， ∠C＝90°，点C为动点，则点C的轨迹圆是_以__A__B_为__直__径__的__圆__O_(_不__包__含__A_、__B__两__点__)．_
2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB
距离的最小值是( B )
A. 1
B. 1.2
C. 2
D. 5
第5题图
6. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心， 1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP、AO，则△AOP面积的最大