大规模假设检验-贝叶斯之道
贝叶斯定律和大数定理
贝叶斯定律和大数定理
贝叶斯定理是关于随机事件A和B的条件概率或边缘概率的一则定理。
其基本思想是：后验概率 = 先验概率 * 调整因子。
其中，先验概率是在信息不完整情况下做出的主观概率预测；调整因子则是在信息收集不断完善的过程中对先验概率的调整；后验概率则是经过调整后最终作出的概率预测。
贝叶斯定理在生活中和机器学习中都有广泛的应用。
大数定律指的是某个随机事件在单次试验中可能发生也可能不发生，但在大量重复实验中往往呈现出明显的规律性，即该随机事件发生的频率会向某个常数值收敛，该常数值即为该事件发生的概率。
另一种表达方式为当样本数据无限大时，样本均值趋于总体均值。
大数定律的条件包括：1、独立重复事件；2、重复次数足够多。
贝叶斯统计的基本原理与方法
贝叶斯统计的基本原理与方法贝叶斯统计作为一种概率统计方法，具有广泛的应用领域和强大的实用性。
本文将介绍贝叶斯统计的基本原理与方法，并探讨其在实际问题中的应用。
一、贝叶斯定理贝叶斯定理是贝叶斯统计的基础，它建立了先验概率和后验概率之间的关系。
贝叶斯定理的数学表达为：P(A|B) = ( P(B|A) * P(A) ) / P(B)其中，P(A|B) 表示在给定B发生的条件下A发生的概率，P(B|A)表示在给定A发生的条件下B发生的概率，P(A) 表示A发生的先验概率，P(B) 表示B发生的先验概率。
二、贝叶斯统计方法贝叶斯统计方法基于贝叶斯定理，通过不断更新概率分布来推断模型参数或进行预测。
主要包括先验分布、似然函数和后验分布的计算。
1. 先验分布先验分布是对参数的先验信息的概率分布。
在没有实际观测数据前，我们通常根据经验或领域知识来选择合适的先验分布。
常见的先验分布有均匀分布、正态分布等。
2. 似然函数似然函数是在给定参数值的情况下，观测数据出现的可能性。
通过似然函数，我们可以评估参数值对观测数据的拟合程度。
似然函数越大，说明参数值越能解释观测数据。
3. 后验分布后验分布是在考虑观测数据后，对参数进行更新和修正得到的概率分布。
根据贝叶斯定理，后验分布与先验分布和似然函数的乘积成正比。
通过后验分布，我们可以得到参数的点估计或区间估计。
三、贝叶斯统计的应用贝叶斯统计具有广泛的应用领域，我们将以两个具体问题来说明其应用。
1. 医学诊断贝叶斯统计在医学诊断中有重要的应用。
在医学检测中，我们通常需要根据患者的检测结果判断其是否患有某种疾病。
贝叶斯统计可以帮助我们评估患病的概率，并根据患者的症状和其他相关因素进行精确的诊断。
2. 文本分类贝叶斯统计在文本分类中被广泛应用。
通过对已知类别的文本进行训练，我们可以得到每个单词在不同类别下的概率分布，即先验概率。
然后，根据贝叶斯定理，我们可以根据给定的文本内容来计算其在不同类别下的后验概率，从而实现文本的自动分类。
疾病检测与贝叶斯公式-贝叶斯之道
疾病检测与贝叶斯公式*在医院，如果医生怀疑你得了某种疾病，一般会让你做一些检查，而检查结果往往有阴性、阳性之分。
通常我们不希望是阳性，因为阳性可能意味着你体内存在某种病毒（菌）。
在一些重大疾病的检测中，如果我们看到结果是阳性，就感觉自己被判了死刑，十分恐慌。
假设有一种设备，可以通过对血液样本的检测（结果有阳性和阴性）来判断你是不是一位艾滋病患者。
1如果你是一名艾滋病患者，那么经过检测后，结果显示为阳性的概率为99%。
如果你并没有携带艾滋病毒，经过检测后，结果显示为阳性的概率仅为1%。
也就是说，这种设备较为可靠，不论你是否患有艾滋病，它基本能作出正确的判断。
假如现在，用艾滋病检测试纸对自己进行一次检测，检测结果显示是阳性，那请问你觉得自己得艾滋病的概率是多大？你会不会害怕？我曾经与同门讨论这个问题，大家都认为，既然这种设备这么准确，而且检测结果又是阳性，那么肯定是患有此病！果真如此吗？无论是否学过统计，对这个问题，许多人存在判断误区。
其实，即使检测结果是阳性，到底有没有患病还要看这个病本身在人群中是否罕见。
接下来我们通过一个简单的图示来解释这个问题。
图1即使为阳性，也不必过分恐慌2我们直接从总体出发，假设总人口是1000000,患艾滋病的概率是1/100003。
因此平均说来，在该人群中，只有100人患病（图1左侧右上方红色小人），而另外999900人不患病（图1左侧黑色小人）。
现在，人群中每个人用检测试纸检测自己的血液。
对100名患者而言，由于检测成功*本文作者高磊、宋培培。
1目前使用艾滋病检测试纸在家里自己检测，已经成为高危人群的首选方法。
艾滋病检测试纸的原理是：艾滋病检测试纸条是使用胶体金免疫层析科技研发的新一代检测试剂，可检测血清或血浆标本中的HIV-1/2特有性抗体。
2该图的绘制受TED演讲“How juries are fooled by statistics”启发。
3目前，中国感染艾滋病人数估计有85万，以总人口13亿计，感染率为6.5/10000，但是艾滋病患者主要集中在云南、新疆、广西、广东、四川、贵州、河南、安徽、湖北和山西，北京天津以及一些北方城市感染率更低一些，所以我们采用1/10000的患病率。
大规模假设检验-贝叶斯之道
F1 增长的比 F0 快，所以曲线斜率越来越小（？ ？ ？解释好像不对） 。
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大规模假设检验
2.3
经验贝叶斯估计
2.7 式中贝叶斯的两组模型涉及了 3 个变量，无效的先验概率为 π , 密度函数为 f0 (z )，有效密 度函数 f1 (z )。当然，f0 (z ) 是已知的，如果 2.1 式中原假设成立即 zi ∼N (0, 1), 那么 π0 就是已知 的。通常当 π0 对错误观察率影响较小时，π0 接近于 1。 （在应用中，把 π0 当做 1；第六章将讨论 原假设不成立情况下 π0 和 f0 (z ) 的估计值） 。现在只有 f1 (z ) 未知，对统计学家来说，不可能知道 f0 (z ) 的先验信息， 然而，可以使用经验贝叶斯方法对错误观察率进行估计，另 F (z ) 表示 N 个 z 值的经验分布， 即 F (z ) = ♯{zi ∈Z }/N 的一个较好的近似值。 F dr(z ) = ϕ(Z ) = π0 F0 (Z ) F (Z ) (2.21) (2.20) ¯ (z ) 接近 F (z )，F (z ) 是 F (z ) 用估计的错误观察率替换 2.13 式有：当 N 较大时，我们希望 F
f (z ) F(Z )
呢? 在应用中，z 通常是一个尾部区间，对于标准
的正太累积分布函数把 F (Z ) 写作 F ((−∞, z )) ϕ((−∞, z ))≡F dr(z ) = π0 F0 (z )/F (z ) 17 (2.16)
大规模假设检验
用分子 π0 F0 (z ) 和分母 F(z) 画图，表明 F dr(z ) 和 f dr(z ) 分别是正割值和正切值。正如图 2.2 所 示，当两者均较小时，通常表明：f dr(z ) > F dr(z )。 练习 2.3 假定 F1 (z ) = F0 (z ) (通常称为莱曼选择) 因此有： log{ 而且有： . f dr(z )=F dr(z ) 练习 2.3 解答: (2.19) f dr F dr 1 } = log{ } + log( ) 1 − f dr 1 − F dr γ (2.18)
(完整版)贝叶斯算法原理分析
贝叶斯算法原理分析Bayes法是一种在已知先验概率与条件概率的情况下的模式分类方法，待分样本的分类结果取决于各类域中样本的全体。
Bayes方法的薄弱环节在于实际情况下，类别总体的概率分布和各类样本的概率分布函数(或密度函数)常常是不知道的。
为了获得它们，就要求样本足够大。
另外，Bayes法要求表达文本的主题词相互独立，这样的条件在实际文本中一般很难满足，因此该方法往往在效果上难以达到理论上的最大值。
1.贝叶斯法则机器学习的任务：在给定训练数据D时，确定假设空间H中的最佳假设。
最佳假设：一种方法是把它定义为在给定数据D以及H中不同假设的先验概率的有关知识下的最可能假设。
贝叶斯理论提供了一种计算假设概率的方法，基于假设的先验概率、给定假设下观察到不同数据的概率以及观察到的数据本身。
2.先验概率和后验概率用P(h)表示在没有训练数据前假设h拥有的初始概率。
P(h)被称为h的先验概率。
先验概率反映了关于h是一正确假设的机会的背景知识，如果没有这一先验知识，可以简单地将每一候选假设赋予相同的先验概率。
类似地，P(D)表示训练数据D的先验概率，P(D|h)表示假设h成立时D的概率。
机器学习中，我们关心的是P(h|D)，即给定D时h的成立的概率，称为h的后验概率。
3.贝叶斯公式贝叶斯公式提供了从先验概率P(h)、P(D)和P(D|h)计算后验概率P(h|D)的方法：p(h|D)=P(D|H)*P(H)/P(D) ，P(h|D)随着P(h)和P(D|h)的增长而增长，随着P(D)的增长而减少，即如果D独立于h时被观察到的可能性越大，那么D对h的支持度越小。
4.极大后验假设学习器在候选假设集合H中寻找给定数据D时可能性最大的假设h，h被称为极大后验假设（MAP），确定MAP的方法是用贝叶斯公式计算每个候选假设的后验概率，计算式如下：h_map=argmax P(h|D)=argmax (P(D|h)*P(h))/P(D)=argmax P(D|h)*p(h) (h属于集合H)最后一步，去掉了P(D)，因为它是不依赖于h的常量。
贝叶斯法则先验概率后验概率最大后验概率
贝叶斯法则先验概率后验概率最大后验概率贝叶斯法则的核心思想是通过已知的先验概率和相关证据来计算事件的后验概率。
在统计学中，先验概率是指在获得新信息之前，对事件进行主观判断或实验观测得到的概率。
而后验概率则是在考虑已发生的相关证据之后，调整先验概率得到的新概率。
P(A，B)=(P(B，A)*P(A))/P(B)
其中，P(A，B)表示在已知B发生的条件下，A发生的概率。
P(B，A)表示在已知A发生的条件下，B发生的概率。
P(A)和P(B)分别表示A和B 发生的先验概率。
最大后验概率（Maximum a Posteriori Estimation，简称MAP）是贝叶斯法则的一种应用形式，用于在给定观测数据的情况下，选择最符合该数据的模型或参数。
MAP估计可以通过最大化后验概率来获得。
在机器学习中，贝叶斯法则可以用于分类问题。
假设有一组已知类别的训练数据，贝叶斯法则可以通过计算每个类别的先验概率以及每个特征在不同类别下的条件概率，来评估新样本属于每个类别的概率，并选择概率最大的类别作为最终分类结果。
总之，贝叶斯法则是一种基于概率论的数学工具，能够通过已知先验概率和相关证据来计算后验概率。
它的应用范围广泛，尤其在机器学习和数据分析领域涉及到分类、估计和预测等问题时具有重要的意义。
贝叶斯假设
贝叶斯假设贝叶斯假设是一种在统计学上常用的假设，它源于十九世纪的英国数学家Thomas Bayes的理论。
由于它涉及到了假设检验、统计推断、概率估计等领域，因此得到了广泛的应用。
本文将阐述贝叶斯假设的原理，以及它在统计学上的重要应用。
贝叶斯假设又称贝叶斯定理，它是以贝叶斯定理为基础，从统计学的角度来解释统计推断的一种基本假设。
贝叶斯定理是一种搜集和处理信息的理论，表明后验概率（指未发生事件之前的概率）可以用先验概率（指事件发生后的概率）和似然性（指事件发生的可能性）来估计。
从这个角度来看，贝叶斯假设可以用来描述一个实验事件发生后各种可能情况的概率，从而有助于人们更好地做出统计推断。
在统计学中，贝叶斯假设是假设检验的基础。
在进行假设检验时，它用来比较两个假设之间的差异，以及检验其中一个假设是否正确。
贝叶斯假设被用来确定假设的接受度，这就是所谓的“贝叶斯比值”。
在贝叶斯比值计算中，要综合考虑两个假设之间的概率，并参考以往的实验结果等信息。
最终能有效地选择正确的假设，并进行更好的推断。
此外，贝叶斯假设也是概率估计的基础。
一般来讲，概率估计就是根据给定的数据来评估未知参数的概率分布情况的一种统计学方法。
它利用贝叶斯公式和最大似然估计等方法，把已知的先验概率和似然性进行综合计算，这样就可以得到未知参数的后验概率，从而估计出未知参数的概率分布情况。
最后，贝叶斯假设也在机器学习领域被广泛应用，尤其是在文本处理、聚类、识别和检测等方面。
贝叶斯算法是机器学习领域的一种重要算法，它把先验知识和实验数据结合起来，通过贝叶斯模型对数据进行分析和处理。
它能够从大量不确定的信息中抽取训练数据，从而确定概率分布情况，从而更好地进行机器学习。
综上所述，贝叶斯假设是一种常用的统计学假设，它源于贝叶斯定理，通过利用先验概率和似然性来推断统计推断，是统计学的一个重要部分。
它既可以用于假设检验，也可以用于概率估计，还可以用于机器学习。
贝叶斯假设检验
贝叶斯假设检验
贝叶斯假设检验（Bayesian hypothesis testing）是一种基于概率论的检验方法，用于比较两个假设的可能性。
它使用概率论的力量来判断假设的支持。
此类检验方法在自然科学研究中最常用于模拟和回归分析，可以检验任何类型的假设，甚至是最抽象的“规则”。
它比传统的概率测试更具有弹性，还可以快速有效地应用于非常复杂的研究设计，因此被很多学者所采用。
贝叶斯假设检验以不同于传统的概率测试的方式评估假设的可信度。
它假设假设的结果属于一个确定的概率分布，然后通过计算概率值来评估假设的真实性和可信度。
一条假设被判定为成立时，概率值会大大超过设定的阈值；与此同时，如果假设被拒绝，概率值会低于阈值。
该方法的主要优势在于它需要的参数少，对假设的解释和理解也较容易。
随着计算机技术的发展，贝叶斯检验也十分流行，通过复杂的数值计算来确定假设的真实性，它也可以用于建模相关的研究，模拟预测结果和趋势，从而更好地实现研究目标。
由于本质上是概率分布，它不要求历史数据，对两个假设的见解比传统的概率测试更具体，所以可以得到更准确的结论。
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(随后的文章中称为 theoretical null). 对于 N (0.1) 分布，在显著性水平为 5% 的双侧检验下，如果 |zi | > 1.96 则拒绝原假设。 练习 2.1对于自由度 υ 等于 25 , 50 和 100 的 t 分布，在 −4 ≤ t ≤ 4 的条件下，分别画出 zi = Φ−1 (Fυ (t)) 练习 2.1 解答： t=seq(-4,4,len=100) f1=pt(t,25) f2=pt(t,50) f3=pt(t,100) exp=expression(qnorm(f1)) exp2=expression(qnorm(f2)) exp3=expression(qnorm(f3)) plot(t,eval(exp1),lty=1) plot(t,eval(exp2),lty=1) plot(t,eval(exp3),lty=1)
2.1
一个微阵列的例子
图 2.1 是一个前列腺数据的微阵列。这些数据是从 202 个测试者（其中 50 个健康正常人，52 个前列腺癌病患者）中各提取 6033 个基因的基因表达水平获得的。我们姑且不深究这些基因表达 的生物学细节，而是把发现少量的“令我们感兴趣”的基因作为我们研究的主要目标。这些我们要 寻找的基因的表达水平介于正常的和癌变的前列腺细胞基因表达水平之间。因而一旦确定识别了这 些基因，我们便会进行进一步的调查研究以确定这些基因是否和前列腺癌病的发展具有因果关系。 基于上面对前列腺数据的描述，我们可以了解到，前列腺数据是一个 6033 行 102 列的矩阵（记作 X）, 它的元素为 xij = j 病人第 i 个基因的基因表达， (2.1)
大规模假的科学同仁们，他们从我们的工作中获得的数据更加“原始” 。 二十世纪早期费舍尔对农业试验的研究推动了方差分析的发展。在 21 世纪伊始，类似的事情正在 上演。一类新的“高产量”的生物医学装置，典型例子是微阵列，这种装置可以例行般地马上产生 几千次实例的假设检验数据。这一点不是典型频率检验理论（以纽曼、皮尔森、费舍尔为代表）所 预想的情形。这一章开始讨论大规模联立假设理论，这一理论正在统计文献中不断发展。
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大规模假设检验
但是我们当然不是仅检验一个基因，我们有 6033 个基因. 图 2.1 给出了 zi 值的直方图，与标准 √ N (0.1) 密度曲线 c · exp{−z 2 /2}/ 2π 进行比较, 这条曲线的乘数 c 是为了使曲线拟合直方图的区 域. 如果每一个基因 i 都接受原假设，即所有的基因都是无效的，直方图会很好的拟合这条曲线. 对 研究员来说幸运的是，它并没有很好拟合，中心位置太低，两边太高. 表明有一些基因是有效的. 在 多重推理的影响没有误导我们的情况下，如何独立地识别这些有效的基因是目前主要的研究课题。 多重推理一个传统的解决办法是采用 Bonferroni 约束：每次检验的显著性水平由 0.05 缩小为 0.05/6033. 这就等价于当 |zi | > 4.31 时拒绝原假设，而不是大于 1.96. 现在 6033 个原假设，其中之 一被错误拒绝的总概率甚至都小于 5%. 但看图 2.1，4.31 有点过于谨慎。(只有 6 个基因是有效的） 经验贝叶斯会为多重检验提供一个不那么保守的方法。
(2.4)
i. e.. 对没患癌症的和患癌症的人来说，xij 有相同的分布. 如果 |ti | 比较大则拒绝 H0i . 基于标准的 理论假设下，拒绝的标准通常取 5%，如果 |ti | > 1.98 则拒绝原假设, 对于自由度为 100 的学生 t 分 布双侧拒绝标准为 5%. 这里我们用“z 值”代替“t 值” ，讨论会比较简便；就是说，把 ti 转化为如下形式： zi = Φ−1 (F100 (ti ))
其中 i=1,2,...,N;j=1,2,...,n。并且，j=1,2,...,50 表示健康人;j=51,52,...,102 表示癌症患者。令 xi (1) 和 xi (2) 分别表示健康人群和癌症患者人群中 xij 的平均值。那么两样本基因检测的 t 统计量为： ti = xi (2) − xi (1) Si (2.2)
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大规模假设检验
图 2.1: 前 列 腺 数 据： 对 可 能 与 前 列 腺 癌 有 关 的 6033 个 基 因 进 行 检 验 得 到 z 值： 曲 线 是 N (0.1)theoretical null。
2.2
贝叶斯方法
两分组模型提供了一个多元检验的贝叶斯框架。我们假定有 N 个记录 (前列腺基因研究)，每 一个是无效的或有效的，先验概率分别为 π0 和 π1 = 1 − π0 , 同时 z 值的密度分别为 f0 (z ),f1 (z )。 π0 = P r(无效) f0 (z )为无效时的密度 π1 = P r(有效) f1 (z )为有效时的密度 一般情况下，π0 会比 π1 大很多，假定 π0 ≥0.90 小集合。如果基于（2.6）的假定是合理的，那么 f0 (z ) 有标准正态密度， 1 2 √ f0 (z ) = φ(z ) = e− 2 z / 2π f1 (z ) 是未知的。F0 和 F1 分别表示 f0 和 f1 的概率分布， ∫ ∫ F0 (Z ) = f0 (z )dz 和 F1 (Z ) = f1 (z )dz
* 本文作者为大规模推断讨论班，成员：杨晓康、张洋、宋培培、张猛、刘博、朱祁恒和高磊.
(2.5)
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大规模假设检验 这里 Φ 和 F100 分别是标准正态分布和 t100 分布的累积分布函数（简写为 “cdf ”). 通常在正常抽样 的假设下，如果接受 H0i , 则 zi 服从标准正态分布， H0i : zi ∼ N (0.1) (2.6)
其中 si 是分子标准差的一个估计量 ∑50 ∑102 2 2 (xij − x(1)) + 51 (xij − x(2)) 1 1 si 2 = 1 ( + ) 100 50 52 如何只考虑基因 i 的数据，通常我们可以用 ti 来检验原假设 H0i : gene i is “null”,
(2.3)