线性代数 习题课3

显然，R( A) 2, R( B ) 3,
解
故方程组无解．
例３ 求解非齐次方程组的通解
x1 - x2 - x3 x4 0 . x1 - x2 x3 - 3 x4 1 x - x - 2x 3x -1 2 1 2 3 4
解
对增广矩阵B进行初等变换
0 0 1 -1 -1 1 1 - 1 - 1 1 1 B 1 - 1 1 - 3 1 ~ 0 0 2 - 4 1 - 1 - 2 3 - 1 2 0 0 - 1 2 - 1 2
1 - 1 0 - 1 1 2 ~ 0 0 1 - 2 1 2 . 0 0 0 0 0
由于R A R B 2, 故方程组有解，且有
x1 x2 x4 1 2 x x 0x x1 x2 x4 1 2 2 2 4 x 3 2 x4 1 2 x 3 0 x 2 2 x4 1 2 x4 0 x 2 x4
例２ 求解非齐次线性方程组 x1 - 2 x2 3 x3 - x4 1, 3 x1 - x2 5 x3 - 3 x4 2, 2 x x 2 x - 2 x 3. 1 2 3 4 对增广矩阵B进行初等变换， 1 - 2 3 - 1 1 r2 - 2r1 1 - 2 3 - 1 1 r -r B 3 - 1 5 - 3 2 3 1 0 5 - 4 0 - 1 2 1 2 - 2 3 r3 - r2 0 5 -04 0 1 0 2
R(A) = R(A , b) .
定理 6 矩阵方程 AX = B 有解的充要条件是
R(A) = R(A , B) .
定理 7 设 AB = C，则
R(C) ≤ min{ R(A) , R(B) } .
线性方程组的求解步骤
教材P71定理 3 的证明过程给出了求解线性方程组的
步骤，归纳如下：
步骤 1 对于非齐次线性方程组，把它的增广
定义：含有n-r个参数的方程组的任一解，称为该线性 方程组的通解．
齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便 可写出其通解；
非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵， 便可判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵， 便可写出其通解；
线性方程组的求解步骤
教材P71定理 3 的证明过程给出了求解线性方程组的
5 x1 - 2 x3 - 3 x4 0, 4 x 2 2 x 3 x 4 0, 3
5 x1 2 x3 3 x4 , 由此即得 4 x 2 - 2 x 3 - x4 , 3
( x3 , x4 可任意取值).
令 x3 c1 , x4 c2，把它写成通常的参数形式
矩阵 B 化成行阶梯形，从中可同时看出 R(A) 和
R(B) . 若 R(A) < R(B) ，则方程组无解.
步骤 2 若 R(A) = R(B) ，则进一步把 B 化成行
最简形. 而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵 A
化成行最简形.
步骤 3 设 R(A) = R(B) = r ，把行最简形中 r 个 非零行的非零首元所对应的未知量取作非自由未知 量，其余 n – r 个未知量取作自由未知量，并令自
第三节 线性方程组的解
一、线性方程组有解的判定条件
二、线性方程组的解法
三、小结
基本概念
设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm ,

1-
1 - 2
1 - 2 1 - 1
2
1 当 1时,
1 1 1 1 B ~ 0 0 0 0 0 0 0 0
R A R B 3, 方程组有无穷多解.
x1 1 - x2 - x3 其通解为 x2 x2 x x 3 3
由未知量分别等于 c1 , c2 , · , cn – r ，由 B ( 或 A ) · ·
的行最简形，即可写出含 n – r 个参数的通解.
二、线性方程组的解法
例1 求解齐次线性方程组 x1 2 x2 x3 x4 0 2 x1 x2 - 2 x3 - 2 x4 0 . x - x - 4x - 3x 0 1 2 3 4
步骤，归纳如下：
步骤 1 对于非齐次线性方程组，把它的增广
矩阵 B 化成行阶梯形，从中可同时看出 R(A) 和
R(B) . 若 R(A) < R(B) ，则方程组无解.
步骤 2 若 R(A) = R(B) ，则进一步把 B 化成行
最简形. 而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵 A
化成行最简形.
步骤 3 设 R(A) = R(B) = r ，把行最简形中 r 个 非零行的非零首元所对应的未知量取作非自由未知 量，其余 n – r 个未知量取作自由未知量，并令自

1

1 1 ~1 2
2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 ~ 0 -1 1- - 0 1 - 1 - 2 1 - 2 1 1 2 ~ 0 -1 1- - 2 0 0 2 - - 2 1 - 2 - 3 1 1 0 -1 0 0
(1) 式可以写成以向量 x 为未知元的向量方程 Ax = b ,
(1)
(2)
以后线性方程组 (1) 与向量方程 (2) 将混同使用而
不加区分，解与解向量的名称亦不加区别. 线性方程组 (1) 如果有解，就称它是相容的，
如果无解，就称它不相容. 利用系数矩阵 A 和增
广矩阵 B = (A , b) 的秩，可方便地讨论线性方程 是否有解 (即是否相容) 以及有解时解是否唯一等 问题.
x2 , x3为任意实数.
2 当 1时,
1 1 B ~ 0 1 -1 0 0 2
2 - 1 2
这时又分两种情形：
1) -2时, R A R B 3, 方程组有唯一解:
1 1 1 x1 , x2 , x3 . 2 2 2
一、线性方程组有解的判定条件
问题：如何利用系数矩阵 A 和增广矩阵 B 的秩，
讨论线性方程组 Ax b 的解．
的充分必要条件是系数矩阵的秩 R A n. 定理1 n 元齐次线性方程组 Amn x 0 有非零解
证
必要性. 设方程组 Ax 0 有非零解，
若RA n, 则在 A中应有一个 n阶非零子式 Dn ,从而 Dn所对应的 n 个方程只有零解 根据克拉默定理 ,
5 x1 2c1 3 c2 , x -2c - 4 c , 1 2 2 3 x3 c1 , x c , 4 2
5 x1 2 3 x2 - 2 - 4 . c1 c2 3 x3 1 0 0 x 4 1
(ii) 有唯一解的充要条件是
R(A) = R(A，b) = n ;
(iii) 有无穷多解的充要条件是
R(A) = R(A，b) < n .
定理 4 n 元齐次线性方程组 Ax = 0
R A n Ax 0有非零解. R A n Ax 0只有零解;
定理 5 线性方程组 Ax = b 有解的充要条件是
2
2) -2时,
1 1 - 2 4 B ~ 0 - 3 3 - 6 0 0 0 3
R A R B ,故方程组无解.
定理 5 线性方程组 Ax = b 有解的充要条件
是 R(A) = R(A , b) .
定理 6 矩阵方程 AX = B 有解的充要条件是
其中x2 , x4任意.
例５ 设有线性方程组
x1 x2 x3 1 x1 x2 x3 x x x 2 1 2 3
问取何值时, 有解? 有无穷多个解?
解 对增广矩阵 B ( A, b) 作初等行变换，
B 1 1 1 1 1
解
对系数矩阵 A 施行初等行变换： 1 2 2 1 1 2 2 1 r2 - 2r1 A 2 1 - 2 - 2 0 - 3 - 6 - 4 1 - 1 - 4 - 3 r3 - r1 0 - 3 - 6 - 4
5 1 0 - 2 - 1 2 2 1 3 r3 - r2 4 r1 - 2r2 4 0 1 2 0 1 2 3 r2 ( -3) 3 0 0 0 0 0 0 0 0 即得与原方程组同解的方程组
R(A) = R(A , B) .
定理 6 矩阵方程 AX = B 有解的充要条件是
R(A) = R(A , B) .
定理 7 设 AB = C，则
R(C) ≤ min{ R(A) , R(B) } .
三、小结
定理 3 n 元线性方程组 Ax = b
(i) 无解的充要条件是 R(A) < R(A，b) ;
则 B 的行阶梯形矩阵中含 r 个非零行， 把这 r 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量,
其余 n - r个作为自由未知量, 并令 n - r个自由未知量全取0， 即可得方程组的一个解． 证毕
注
RA RB n Ax b有唯一解
r = RA RB n Ax b有无穷多解.
这与原方程组有非零解相矛盾，
R( A) n 不能成立． 即 RA n.
充分性. 设 RA r n,
则 A 的行阶梯形矩阵只含 r 个非零行，
从而知其有 n - r 个自由未知量 .
任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０， 即可得方程组的一个非零解 .
定理2 n 元非齐次线性方程组 Amn x b 有解 的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩等于增广矩 阵 B A, b 的秩.
证
必要性．设方程组 Ax b 有解,
设RA RB ,
则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾 方程０＝１,（例如教材P74例11） 这与方程组有解相矛盾. 因此 RA RB .
充分性. 设 RA RB , 设 RA RB r r n ,
由未知量分别等于 c1 , c2 , · , cn – r ，由 B ( 或 A ) · ·
的行最简形，即可方程组的通解为
x1 1 1 1 2 x2 x 1 x 0 0 . x3 2 0 4 2 1 2 0 1 0 x4