船能过拱桥吗
中考数学总复习《拱桥问题(实际问题与二次函数)》专项提升训练题-附答案
中考数学总复习《拱桥问题（实际问题与二次函数）》专项提升训练题-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的AA的距离为8m.最高点C离地面1(1)按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式.(2)一大型汽车装载某大型设备后，高为7m，宽为4m，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？2．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水PO=），小孔水面宽位时，大孔水面宽度AB为30m，大孔顶点P距水面10m（即10mQD=），建立如图所示的平面直角坐标系．度BC为12m，小孔顶点Q距水面6m（即6m(1)求大孔抛物线的解析式；(2)现有一艘船高度是6m，宽度是18m，这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？并说明理由．(3)当水位上涨4m时，求小孔的水面宽度EF．3．如图是一座拱桥，图2是以左侧桥墩与水面接触点为原点建立的平面直角坐标系，OB=，拱顶A到水面的距离为5m．其抛物线形桥拱的示意图，经测量得水面宽度20m(1)求这条抛物线的表达式；(2)为迎接新年，管理部门在桥下悬挂了3个长为0.4m的灯笼，中间的灯笼正好悬挂在A 处，两边灯笼与最中间灯笼的水平距离为8m，为了安全，要求灯笼的最低处到水面的距离不得小于1m．根据气象局预报，过年期间将会有一定量的降雨，桥下水面会上升0.3m，请通过计算说明，现在的悬挂方式是否安全．4．上杭县紫金中学校园内未名湖中央有一座石拱桥，桥体呈抛物线形状，桥孔呈圆弧型，共同组成一个漂亮的轴对称图形．为进一步了解桥体，小明和小张同学带着一把皮尺和一根一端系着铅块的绳子（铅锤绳）来到石拱桥．首先他们利用皮尺测量了石拱桥点水平宽度（12AB=米），然后来到石拱桥最顶端O处，把铅锤绳的一端放在O处，含铅的一端自然下垂，经过调整让铅块落在直线AB 上的C 点处（此时OC AB ⊥），做好标记测量得到 3.6OC =米，用同样的方法测得0.6OD =米．圆弧与AB 交于M 、N 两点，在N 点处测得2PN =米（此时PN 垂直AB ）．根据以上数据，请你帮助他们处理下列问题：(1)根据图形，建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线解析式； (2)根据数据，请判断圆弧MDN 是否为半圆？说明理由； (3)请求出圆弧MDN 所在圆的半径．5．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为248m ，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了设计方案，现把这个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：抛物线型拱门的跨度12m ON =，拱高4m PE =，其中，点N 在x 轴上PE ON ⊥，OE EN =要在拱门中设置高为3m 的矩形框架，（框架的粗细忽略不计）．矩形框架ABCD 的面积记为S ，点A 、D 在抛物线上，边BC 在ON 上，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：(1)求抛物线的函数表达式；(2)当3mAB=时，求矩形框架ABCD的面积S．6．如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直坐标系，y 轴也是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．(1)求抛物线的解析式．.，宽为2.8m，它能从正中间通过该隧道吗？(2)现有一辆货运卡车，高为56mOA=米时，7．图1是一座拱桥，拱桥的拱形呈抛物线形状，在拱桥中，当水面宽度为12水面离桥洞最大距离为4米，如图2，以水平面为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系．(1)求该拱桥抛物线的解析式；(2)当河水上涨，水面离桥洞的最大距离为2米时，求拱桥内水面的宽度．AB=，当水位上升8．如图，某市新建的一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽20m3m时，水面宽10mCD=．(1)按如图所示的直角坐标系，此抛物线的函数表达式为．(2)有一条船以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m，当水位达到CD处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变继续向此桥行驶35km时，它能否安全通过此桥？9．有一座抛物线型拱桥，在正常水位时（AB所示），桥下水面宽度为20m，拱顶距水面4m．(1)在如图所示的直角坐标系中，求该抛物线的解析式；(2)突遇暴雨，当水面上涨1m时（CD所示），水面宽度减少了多少？(3)雨势还在继续，一满载防汛物资的货船欲通过此桥，已知该船满载货物时浮在水面部分的横截面可近似看成是宽6m，高2m的矩形．那么当水位又上涨了0.5m时，此船是否可以通过，说明理由．10．河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为6米时，水面离桥孔顶部4米．如图1，桥孔与水面交于A、B两点，以点A为坐标原点，AB所在水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)请求出此抛物线对应的二次函数表达式；(2)因降暴雨水位上升1.5米，一艘装满货物的小船，露出水面部分的高为0.5m，宽为4.5m（横截面如图2），暴雨后，这艘小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由．11．某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度12OM =米，顶点P 到底部OM 的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点M 在x 轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一：“川”字形内部支架（由线段AB PN DC ，，构成），点B N C ，，在OM 上，且OB BN NC CM ===，点A D ，在抛物线上，AB PN DC ，，均垂直于OM ；方案二：“H ”形内部支架（由线段A B ''，D C ''和EF 构成），点B '，C '在OM 上，且OB B C C M ''''==，点A '，D 在抛物线上，A B ''，D C ''均垂直于OM E F ，，分别是A B ''，D C ''的中点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由．12．如图，一座拱桥的轮廓呈抛物线型，拱高6m ，在高度为10m 的两支柱AC 和BD 之间，还安装了三根立柱，相邻两立柱间的距离均为5m ；(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥抛物线的表达式； (2)求立柱EF 的长；(3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3.2m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由.13．如图，有一条双向隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO 的三边组成，隧道的最大高度为4.9米；10AB =米， 2.4BC =米(1)在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式．(2)若有一辆高为4米，宽为2米装有集装箱的汽车要通过隧道，则汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m 米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则，问m 的取值范围是多少？14．有一个抛物线形的拱形桥洞，当桥洞的拱顶(P 抛物线最高点)离水面的距离为4米时，水面的宽度OA 为12米．现将它的截面图形放在如图所示的直角坐标系中．(1)求这条抛物线的解析式．(2)当洪水泛滥，水面上升，水面的宽度小于5米时，则必须马上采取紧急措施．某日涨水后，观察员测得桥洞的拱顶P 到水面CD 的距离只有1.5米，问：是否要采取紧急措施？并说明理由．15．“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，每当黎明斜月西沉，月色倒影水中，更显明媚饺洁．古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度OB 约为20米，若按如图所示的方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为()211016y x k =-++，求主桥拱最高点A 与其在水中倒影A '之间的距离．参考答案： 1．(1)21832y x =-+ (2)这辆货车能安全通过2．(1)221045y x =-+ (2)这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔，(3)43m3．(1)2120y x x =-+ (2)安全4．(1)21 3.610y x =-+ (2)圆弧MDN 不是半圆(3)2565．(1)21493y x x =-+； (2)218m ．6．(1)2164y x =-+ (2)这辆货运卡车不能从正中间通过该隧道．7．(1)该拱桥抛物线的解析式为()21y x 649=--+； (2)拱桥内水面的宽度62米．8．(1)2125y x =- (2)该船的速度不变继续向此桥行驶35km 时，它能安全通过此桥。
驳船怎样通过拱桥
驳船怎样通过拱桥
月湖桥的桥拱呈抛物线形，水面上可测得它的跨度（桥墩两端点间的距离）
为30
米，拱高（抛物线的顶点到水面的距离）为4
9米，现以水平线为x 轴，以水面上桥墩的一端为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系。
（1）求出拱桥所在抛物线的函数解析式。
（2）现有一只驳船水平载着一只长方形的箱子，船的甲板离水面高20厘米，箱子高2米，宽45米，问这只驳船及货物船能顺利通过这座拱桥吗？
解：（1）设抛物线的函数解析式为：c bx ax y ++=2依题意，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=++=494403090002a b ac c b a c
解得：0,103,1001==-
=c b a ∴所求抛物线的解析式为：x x y 10
310012+-= （2）∵船的甲板离水面有20cm ，合0.2米，箱子高2米。
令y ＝0.2米，则2.210310012=+-=x x y 整理得：0200302=+=x x ，则设1x 、2x 是这个方程的两个根，220,302121==+x x x x
则由坐标轴上两点之间的距离公式得：
52202204304)()(22122122121==⨯==--=-=-=x x x x x x x x MN 但箱子的宽为4.5米＞52米，故这驳船不能倾利地通过这座拱桥。
思考题：
聪明的读者请您想一想，你有什么办法在不卸货物的前提下，让驳船顺利地通过拱桥？。
二次函数的应用(拱桥问题)教学设计 2
二次函数的应用(拱桥问题)教学设计 2本节内容是关于二次函数应用问题之拱桥问题。
在此之前，学生已经研究了二次函数的概念、性质和图像，并已经掌握了二次函数的一般知识，具备实际运用的能力。
本节内容建立在身边熟悉的生活经验的基础上，研究课本中关于拱桥问题，进而巩固二次函数相关知识。
本作品借助于视频、几何画板、ppt等数学教学多媒体手段，讲授了二次函数应用问题之拱桥问题，视频长约8分钟。
本节内容适合刚学完二次函数性质与图像的同学，用于预新知；也可以作为中考复同学，巩固二次函数相关知识，巩固数学方法解决实际问题的一般步骤。
拱桥问题是二次函数章节的结束内容，是对前面二次函数实际问题的深入。
解决此类问题的方法具备代表性，它是用函数解决实际问题的典型例子，也和学生实际生活紧密相连。
研究本节内容对于巩固旧知和激发学生研究实际问题的乐趣具有十分重要的作用。
本节内容的目标是：1.体会二次函数拱桥问题模型，了解数学的实际应用价值，掌握用数学解决实际问题的一般方法及步骤；2.通过引导学生对实际问题的思考，培养学生善于发现实际问题，提高学生利用数学解决实际问题的兴趣；3.建立在学生家乡桥的基础上，培养学生热爱家乡的情感，同时激发学生勇于思考，善于创新，培养积极主动利用数学解决实际问题的态度。
本节内容的重点是理解二次函数解决实际问题的一般方法并能灵活运用，难点是灵活运用二次函数解决实际问题。
在讲课之前，可以通过欣赏苏州的拱桥风景，告知学生苏州桥历史，以及桥是苏州风景的重要组成部分，引导学生对本节内容产生兴趣。
然后提出问题：观看船过桥视频，如何确定船是否可以通过桥？通过创设模型，引导学生思考抛物线型拱桥的研究方法。
本文介绍了利用觅度桥照片创设模型，通过建立直角坐标系和二次函数关系式，解决实际问题的方法。
例1以苏州觅度桥为例，假设为抛物线形拱桥，分析当水位上升0.5m时桥下水面宽度的变化，得出答案为约8.9m。
例2在此基础上，考虑一艘观光船通过桥的问题，通过计算得出当水位上升0.5m 时，船可以安全通过，但当上升1.6m时，船已经不能安全通过。
河南初三初中数学同步测试带答案解析
河南初三初中数学同步测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝()A．5B．7C．9D．112.如图，已知⊙O的半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=16cm，CD=6cm，则⊙O的半径为（）A．cm B．10cm C．8cm D．cm3.如图，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为P，AB＝8 cm，则sin∠OAP的值是() A．B．C．D．4.如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E．则下列结论一定错误的是（）A．CE=DE B．AE=OEC．D．△OCE≌△ODE5.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（）A．26πB．13πC．D．6.下列说法错误的是()A．垂直于弦的直径平分弦B．垂直于弦的直径平分弦所对的弧C．平分弦的直径平分弦所对的弧D．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦7.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=6cm，OD=4cm则DC的长为（）.A．5cm B．2.5cm C．2cm D．1cm8.如图，半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为()A．10 cm B．16 cmC．24 cm D．26 cm9.如图，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，M、N分别为和的中点，OM、ON分别交AB、AC于E、F，则∠MON的度数为( )A. 110°B. 120°C. 130°D. 100°10.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为()A．B．2C．2D．811.CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB=10，CD=8，则BE的长是（）A．8B．2C．2或8D．3或7二、填空题1.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0．8m，则排水管内水的深度为 m．2.如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB=40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为 cm．三、解答题1.如图所示，某窗户有矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=3cm，弓形的高EF=1cm，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆O的半径r．2.已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D(如图)．(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．3.如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2 m，拱高CD为2.4 m.(1)求拱桥的半径；(2)现有一艘宽3 m，船舱顶部为长方形并高出水面2 m的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？四、单选题如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．2cm B．cm C．D．河南初三初中数学同步测试答案及解析1.如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝()A．5B．7C．9D．11【答案】A【解析】∵ON⊥AB，∴AN=AB=12，∴在Rt△AON中，ON===5.故选A.点睛：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.2.如图，已知⊙O的半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=16cm，CD=6cm，则⊙O的半径为（）A．cm B．10cm C．8cm D．cm【答案】A.【解析】连结OA，如图，设⊙O的半径为r，∵OD⊥AB，∴AC=BC=AB=8，在Rt△OAC中，∵OA=r，OC=OD﹣CD=r﹣6，AC=8，∴（r﹣6）2+82=r2，解得r=，即⊙O的半径为cm．故选A．【考点】1.垂径定理；2.勾股定理．3.如图，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为P，AB＝8 cm，则sin∠OAP的值是() A．B．C．D．【解析】要求sin∠OAP，根据sin∠OAP=，则需分别求出OP和OA，先由垂径定理求出AP，又OA=CD=5，可求出OP，则sin∠OAP可求.解：∵AB⊥CD，CD为直径，∴AP=PB=AB=4，∵CD=10，∴OA=CD=5，∴在Rt△AOP中，OP==3，∴sin∠OAP==.故选C.4.如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E．则下列结论一定错误的是（）A．CE=DE B．AE=OEC．D．△OCE≌△ODE【答案】B．【解析】∵⊙O的直径AB⊥弦CD，∴CE=DE，，在Rt△CEO和Rt△DEO中，∵CO=DO，OE=OE，∴△OCE≌△ODE，只有AE=OE不能判定，故选B．【考点】垂径定理．5.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（）A．26πB．13πC．D．【答案】B【解析】连接OA，根据垂径定理得到AM=AB=6，设OM=5x，DM=8x，得到OA=OD=13x，根据勾股定理得到OA=，则可求周长．解：连接OA，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，∴AM=AB=6，∵OM：MD=5：8，∴设OM=5x，DM=8x，∴OA=OD=13x，∴AM==12x=6，∴x=，∴OA=，∴⊙O的周长=2π•OA=13π.故选B．6.下列说法错误的是()A．垂直于弦的直径平分弦B．垂直于弦的直径平分弦所对的弧C．平分弦的直径平分弦所对的弧D．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦【答案】C【解析】根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，故选项A、B正确；C中，当被平分的弦是直径时，平分弦的直径不一定平分弦所对的弧；D中，平分弧的直径垂直平分弧所对的弦正确.故选C.7.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=6cm，OD=4cm则DC的长为（）.A．5cm B．2.5cm C．2cm D．1cm【答案】D.【解析】连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AD=BD=AB=×6=3（cm），∵OD=4cm，∴OA=（cm），∴OC=OA=5cm，∴DC=OC-OD=5-4=1（cm）．故选D．【考点】1.垂径定理；2.勾股定理．8.如图，半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为()A．10 cm B．16 cmC．24 cm D．26 cm【答案】C【解析】过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，先利用勾股定理求出BC的长，进而根据垂径定理得出AB.解：过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，∴CD=8，OD=13，∴OC=OD-CD=5，又∵OB=13，∴Rt△BCO中，BC==12，∴AB=2BC=24．故选C.9.如图，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，M、N分别为和的中点，OM、ON分别交AB、AC于E、F，则∠MON的度数为( )A. 110°B. 120°C. 130°D. 100°【答案】C【解析】根据垂径定理的推论，得出OM⊥AB，ON⊥AC，在四边形OEAF中利用四边形的内角和定理即可求解．解：∵M、N分别为和的中点，∴OF⊥AC，OE⊥AB，∴∠OFA=∠OEA=90°，∴在四边形OEAF中，∠MON=360°-∠OFA-∠OEA-∠A=360°-90°-90°-50°=130°．故选C．10.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为()A．B．2C．2D．8【答案】C【解析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，先在Rt△POH中利用直角三角形30°角求出OH的值，再在Rt△OHC中，利用勾股定理求出CH，最后利用垂径定理求出CD=2CH.解：过点O作OH⊥CD于H，连接OC，∴HC=HD，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA-AP=2，在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，∴OH=OP=1，在Rt△OHC中，∵OC=OA=4，OH=1，∴CH==，∴CD=2CH=2．故选C．11.CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB=10，CD=8，则BE的长是（）A．8B．2C．2或8D．3或7【答案】C【解析】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．连结OC，根据垂径定理得到CE=4，再根据勾股定理计算出OE=3，分类讨论：当点E在半径OB上时，BE=OB﹣OE；当点E在半径OA上时，BE=OB+OE，然后把CE、OE的值代入计算即可．解：如图，连结OC，∵直径AB⊥CD，∴CE=DE=CD=×8=4，在Rt△OCE中，OC=AB=5，∴OE==3，当点E在半径OB上时，BE=OB﹣OE=5﹣3=2，当点E在半径OA上时，BE=OB+OE=5+3=8，∴BE的长为2或8．故选C．二、填空题1.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0．8m，则排水管内水的深度为 m．【答案】0．8m．【解析】过O点作OC⊥AB，C为垂足，交⊙O于D，连OA，根据垂径定理得到AC=BC=0.5m，再在Rt△AOC 中，利用勾股定理可求出OC，即可得到CD的值，即水的深度．解：如图，过O点作OC⊥AB，C为垂足，交⊙O于D、E，连OA，OA=0.5m，AB=0.8m，∵OC⊥AB，∴AC=BC=0.4m，在Rt△AOC中，OA2=AC2+OC2，∴OC=0.3m，则CE=0.3+0.5=0.8m，故答案为：0.8．【考点】垂径定理的应用；勾股定理．2.如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB=40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为 cm．【答案】25【解析】设圆的圆心为O，连接OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O半径为R，在RT△AOD中利用勾股定理即可解决问题．如图，设圆的圆心为O，连接OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O半径为R，∵OC⊥AB，∵AD=DB=AB=20，在RT△AOD中，∵∠ADO=90°，∴OA2=OD2+AD2，∴R2=202+（R﹣10）2，∴R=25．【考点】垂径定理的应用三、解答题1.如图所示，某窗户有矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=3cm，弓形的高EF=1cm，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆O的半径r．【答案】cm【解析】根据垂径定理得出AF的长度，然后设OA=r，则OF=r-1，然后根据Rt△AOF的勾股定理求出x的值，从而得出答案.试题解析：∵弓形的跨度AB=3cm，EF为弓形的高，∴OE⊥AB，∴AF=AB=cm，∵所在圆O的半径为r，弓形的高EF=1cm，∴AO=r，OF=r﹣1，在Rt△AOF中，AO2=AF2+OF2，即r2=（）2+（r﹣1）2，解得r=cm．答：所在圆O的半径为cm．【考点】垂径定理的应用2.已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D(如图)．(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）8－2.【解析】（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论．试题解析：（1）作OE⊥AB，∵AE=BE，CE=DE，∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD；（2）∵由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE=6，∴CE=，AE=，∴AC=AE﹣CE=8﹣2．【考点】1、垂径定理，2、勾股定理3.如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2 m，拱高CD为2.4 m.(1)求拱桥的半径；(2)现有一艘宽3 m，船舱顶部为长方形并高出水面2 m的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？【答案】（1）拱桥的半径为3.9 m；（2）此货船能顺利通过拱桥．【解析】（1）连接OB，根据垂径定理求出BD，设OB＝OC＝r，再在Rt△BOD中利用勾股定理求出r；（2）作出拱桥下的矩形，交拱桥于M，N，交CD于E，连接ON，通过求距离水面2米高处即ED长为2时，桥有多宽，即MN的长，当货船顶部宽度大于MN则货船不能通过，当货船顶部宽度小于等于MN则货船能通过．解：(1)连接OB.∵OC⊥AB，∴D为AB的中点．∴BD＝AB＝3.6(m).设OB＝OC＝r，则OD＝(r－2.4)m.在Rt△BOD中，OB2=OD2+BD2，即r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9.∴拱桥的半径为3.9 m.(2)作出拱桥下的矩形，交拱桥于M，N，交CD于E，连接ON.∵CD＝2.4 m，DE="2" m，∴CE＝CD－DE＝0.4(m)．∴OE＝OC－CE＝3.9－0.4＝3.5(m)．在Rt△OEN中，EN＝＝＝ (m2)，∵OD⊥MN，∴MN＝2EN＝2×≈3.44 m＞3 m.∴此货船能顺利通过拱桥．四、单选题如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．2cm B．cm C．D．【答案】C【解析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．解：作OD⊥AB于D，连接OA．根据题意得OD=OA=1cm，再根据勾股定理得：AD=cm，根据垂径定理得AB="2" cm．故选C．。
拱桥通船问题解决方案
拱桥通船问题解决方案
拱桥通船问题是指在水下通船时，拱桥的形状会限制船只的通行。
这个问题可以通过一些方案来解决，以下是我提出的一种解决方案：
一、拓宽拱桥的桥洞
拱桥通船问题的根源在于桥洞的高度和宽度无法容纳大型船只的通行。
因此，解决问题的一个方案是拓宽拱桥的桥洞，使其能够容纳更大尺寸的船只。
这可以通过加固桥梁结构，增加桥洞的高度和宽度来实现。
二、改变拱桥的造型
另一种解决方案是改变拱桥的造型。
传统的拱桥通常具有一个高度逐渐增加的拱形，这种形状在一定程度上限制了船只的通行。
因此，可以考虑改变桥的造型，采用更平直的桥面设计，这样就能够减小桥洞的高度限制，方便船只的通行。
三、增加航道标志
船只通航过拱桥时，需要精确掌握桥洞的高度和宽度，以避免船舶与桥梁的碰撞。
因此，在桥洞的上方可以设置航道标志，标注桥洞的高度和宽度信息，以便船舶准确判断通行的可行性。
此外，可以增加航道导航系统，为船只提供实时的导航信息，确保船只安全通行。
四、加强船舶通航规范的宣传和监管
为了避免不必要的事故发生，还可以加强对船舶通航规范的宣传和监管。
通过加强船舶通航规范的宣传，使船舶经营者充分
了解拱桥通船问题，并严格按照规定的通航路径和时间通行。
同时，加强对船舶通航的监管，对违规船只进行处罚，以确保船舶通航安全，减少与拱桥的碰撞风险。
综上所述，拱桥通船问题可以通过拓宽桥洞、改变桥的造型、增加航道标志和加强船舶通航规范的宣传和监管等方案来解决。
这些解决方案既可以解决拱桥通船的实际问题，又可以提升船舶通行的安全性和效率，确保拱桥的功能得到充分发挥。
二次函数的应用-----拱桥问题
作业：配套52页1、2、5
1、如图所示是抛物线形拱桥的截面图， 当水面在AB时，宽为4 6 m，当水面上 升3 m到达CD时，水面的宽为4 3 m， 若水面以0.25 m/h的速度匀速上升，再 过多长时间，水面可达到桥顶？
2、如图所示，有一座抛物线型拱桥，在正常水 位AB时，水面宽20米，水位上升3米，就达到警 戒线CD,这时水面宽为10米。 1）求抛物线型拱桥的解析式。 2）若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度 上升，从警戒线开始，在持续多少小时才能达 到拱桥顶？ 3）若正常水位时， 有一艘宽8米，高2.5米 的小船能否安全通过 这座桥？
A
C D
Байду номын сангаас
20m
B
3、如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD 构成，BC为8m，AB为2m，以BC所在的直线为x 轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标 系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O 的距离为6m．1)求抛物线的解析式； 2)一辆货车高4.5m,宽2.4m,它能通过该隧道吗？ 3)若该隧道内设双行道，现有一辆高4.2米宽2.4米 的货车还能通过隧道吗？ 4)若该隧道内设双行道，且在隧 道正中间设有0.4m的隔离带， 则该货车还能通过隧道吗？
中国石拱桥每一段的说明方法
中国石拱桥每一段的说明方法首先，对于桥面的说明，我们可以从以下几个方面进行描述。
首先是桥面的宽度和道路铺设方式。
中国石拱桥一般宽度较窄，只能容纳一两辆车辆通过，道路铺设方式一般为石板或者石块。
其次是桥面的凹凸情况。
由于历史原因或者长期使用，桥面可能存在凹凸不平、齿状破损等情况。
最后是桥面的装饰和雕刻。
中国石拱桥一般会在桥面上进行装饰和雕刻，通常是神兽、花卉、人物等图案，给桥面增添了艺术氛围。
其次是桥墩的说明。
桥墩是石拱桥的支撑结构，主要承受桥面和车辆或行人的重量。
桥墩通常为方形或圆柱形，高度和直径根据桥的设计和需要而定。
桥墩的底部通常采用凹槽设计，以方便水流通过，减少对桥梁的冲击力。
此外，桥墩上可能会有雕刻、题字等装饰，以增加美观性。
再次是桥孔的说明。
桥孔是桥下的通水或通船孔洞，主要用于水流通过或者船只通行。
桥孔的大小和数量会根据桥的需要而有所不同。
大多数中国石拱桥的桥孔采用半圆形设计，以便于水流的畅通。
在桥孔的四个角部分通常有龙头或者石塑物等装饰，以增加桥的美观性。
最后是桥头的说明。
桥头是桥与陆地相接的部分，也是通行车辆或行人从陆地上进入桥面的地方。
桥头通常较宽，以容纳车辆或行人通行。
桥头和桥面之间通常会有一个小坎，用于方便车辆或行人上升和下降。
桥头的两侧通常会有警示标识或者雕刻，以提醒过往行人注意安全，同时也起到装饰作用。
综上所述，中国石拱桥每一段都有其独特的设计和功能。
通过对桥面、桥墩、桥孔和桥头的说明，可以更好地理解中国石拱桥的构造和特点。
这种说明方法可以从不同的方面揭示石拱桥的历史文化价值和建筑艺术特点，丰富人们的知识和审美体验。
垂径定理3
1、如图，⊙O的半径OA=5cm，弦AB=8cm， 如图， 的半径OA=5cm， AB=8cm， OA=5cm 点C是AB的中点，则OC的长为 AB的中点， OC的长为 的中点 。
A
C · O
B
随堂练习P 随堂练习 92 4
赵州石拱桥
表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm， 解：如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为 ，半径为 如图， ， 经过圆心O作弦 的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点 根 作弦AB的垂线 ， 为垂足 为垂足， 相交于点C.根 经过圆心 作弦 的垂线 据垂径定理， 是 的中点 的中点， 是 的中点， 就是拱高 就是拱高. 据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高 37.4 由题设 AB = 37.4, CD = 7.2, C
A D E O
N B F C
随Hale Waihona Puke 练习P 随堂练习 9210挑战自我垂径定理 挑战自我垂径定理
驶向胜利 的彼岸
• 如果圆的两条弦互相平行 那么这两条弦所平的弧相 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所平的弧相 等吗? 等吗 • 老师提示 老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况 这两条弦在圆中位置有两种情况: 1.两条弦在圆心的同侧 两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧 两条弦在圆心的两侧
② MN⊥AB MN⊥ 推论1: 推论1: MN过圆心O ①直线 直线MN过圆心 过圆心O ③ AC=BC (3)平分弦所对的一条弧的直径 平分弦所对的一条弧的直径, (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂 ⌒ ⌒ ⑤ AN= NB ⌒ ⌒ ④ AM= MB 直平分弦, 直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
垂径定理三角形 垂径定理三角形
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练习: 某机械加工厂要把一个如图所示的破轮子 重新加式成新的一个轮子,加工前先要在图 纸上计算出这个破轮子所在圆的直径. 已知图中弦AB=40cm,高CD=10cm,请你 帮助工人师傅求出该破轮的直径.
C A D
B
A
耐心填一填:
1. 如图1,在圆O中,若MN⊥AB,MN为直径, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC=BC ____________, 则_________, ___________. AN=BN AM=BM 2. 如图2,已知圆O的半径OA长为5,直径MN垂直 于AB,AB长为8, 则OC的长为( A ) A. 3 B. 6 C. 9 ·
M
N
图1
3. 如图2:MN为圆O的直径,AB为弦,MN垂直于AB于 A 点C,则下列结论错误的是( C ) ⌒ ⌒ A. ∠AOC=∠ BOC B.AC=BC C.MC=NC D.AN=BN
4、圆的半径为3,则弦长x的取值范围是__________. 0＜x≤6
O · C
B
图2
N
5、若圆心到该圆的两条平行弦的距离分别是3和5,则此二条平行弦 之间的距离是______________. 2或 8
做一做P补 5
船能过拱桥吗
• 2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶 高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并 高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这 座拱桥吗？
做一做P补 6
船能过拱桥吗
1 1 AD AB 7.2 3.6, 2 2 OD OC DC R 2.4.
• 解:如图,用 AB 表示桥拱, AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB的中点,CD就是拱高. 1 由题设得 AB 7.2, CD 2.4, HN MN 1.5.
2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD2 , 即R2 3.62 ( R 2.4)2 .
解得 R=3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON 2 HN 2 , 即OH 3.92 1.52 3.6. DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.