2020最新高中数学 课时分层作业3 排列与排列数公式 新人教A版选修2-3

课时分层作业(三) 排列与排列数公式
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列问题属于排列问题的是( )
①从10个人中选2人分别去种树和扫地；
②从10个人中选2人去扫地；
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；
④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作log a b 中的底数与真数．
A ．①④
B ．①②
C ．④
D ．①③④
A [根据排列的概念知①④是排列问题．]
2．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有( )
【导学号：95032030】
A ．6个
B ．10个
C ．12个
D ．16个 C [符合题意的商有A 24＝4×3＝12.]
3．计算A 67－A 56A 45
＝( ) A ．12
B ．24
C ．30
D ．36 D [A 6
7＝7×6A 45，A 56＝6A 45，所以A 67－A 5
6A 45＝36A 45A 45
＝36.] 4．给出下列4个等式：
①n ！＝n ＋1！n ＋1；②A m n ＝n A m －1n －1；③A m n ＝n ！n －m ！；④A m －1n －1＝n －1！m －n ！
， 其中正确的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
C [由排列数公式逐一验证，①②③成立，④不成立．故选C.]
5．若S ＝A 11＋A 22＋A 33＋…＋A 20182018，则S 的个位数字是( )
【导学号：95032031】
A ．0
B ．3
C ．5
D ．8 B [∵A 55＝120，∴n ≥5时A n n 的个位数都为零，∴1！＋2！＋3！＋4！＝1＋2＋6＋24
＝33.
故S个位数字为3.]
二、填空题
6．集合P＝{x|x＝A m4，m∈N*}，则集合P中共有______个元素．
3[因为m∈N*，且m≤4，所以P中的元素为A14＝4，A24＝12，A34＝A44＝24，即集合P中有3个元素．]
7．如果A m n＝15×14×13×12×11×10，那么n＝________，m＝________.
【导学号：95032032】
15 6 [15×14×13×12×11×10＝A615，故n＝15，m＝6.]
8．现有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法．(用数字作答)
1 680[将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中
任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A48＝8×7×6×5＝1 680(种)．]
三、解答题
9．判断下列问题是否是排列问题．
(1)从2,3,5,7,9中任取两数作为对数的底数与真数，可得多少个不同的对数值？
(2)空间有10个点，任何三点不共线，任何四点不共面，则这10个点共可组成多少个不同的四面体？
(3)某班有10名三好学生，5名学困生，班委会决定选5名三好学生对5名学困生实行一帮一活动，共有多少种安排方式？
(4)若从10名三好学生中选出5名和5名学困生组成一个学习小组，共有多少种安排方式？
[解](1)对数的底数与真数不同，所得的结果不同，是排列问题．
(2)四面体与四个顶点的顺序无关，不是排列问题．
(3)选出的5名三好学生与5名学困生进行一帮一活动与顺序有关，是排列问题．
(4)选出的5名三好学生与5名学困生组成一个学习小组与顺序无关，不是排列问题．
10．解方程：A42x＋1＝140A3x.
【导学号：95032033】[解]根据排列数的定义，x应满足，
解得x≥3，x∈N*.
根据排列数公式，原方程化为(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x－2)＝140x·(x－1)·(x－2)．
因为x ≥3，于是得(2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)，
即4x 2－35x ＋69＝0，
解得x ＝3或x ＝234
(舍去)． 所以原方程的解为x ＝3.
[能力提升练] 一、选择题
1．满足不等式A 7n A 5n
>12的n 的最小值为( ) A ．12 B ．10 C ．9 D ．8
B [由排列数公式得n ！n －5！n －7！n ！
>12，则(n －5)(n －6)>12，解得n >9或n <2(舍去)．又n ∈N *，所以n 的最小值为10.]
2．若n ∈N *且n ＜20，则(27－n )(28－n )…(34－n )＝( )
A ．A 827－n
B ．A 27－n 34－n
C ．A 734－n
D ．A 834－n D [由排列数公式定义知，上式＝A 834－n ，故选D.]
二、填空题
3．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)
1 560 [A 240＝40×39＝1 560.]
4．从集合{0,1,2,5,7,9,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中的系数A ，B ，C ，所得直线经过坐标原点的有________条.
【导学号：95032034】
30 [易知过原点的直线方程的常数项为0，则C ＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A ，B ，有A 26种，而且其中没有相同的直线，所以符合条件的直线条数为A 26＝30.]
三、解答题
5．规定A m x ＝x (x －1)…(x －m ＋1)，其中x ∈R ，m 为正整数，且A 0x ＝1，这是排列数A m n (n ，m 是正整数，且m ≤n )的一种推广．
(1)求A 3
－15的值；
(2)确定函数f (x )＝A 3x 的单调区间．
[解] (1)由已知得A 3－15＝(－15)×(－16)×(－17)＝－4 080. (2)函数f (x )＝A 3x ＝x (x －1)(x －2)＝x 3－3x 2＋2x ，则f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.
令f ′(x )＞0，得x ＞3＋33或x ＜3－33
，
所以函数f (x )的单调增区间为
⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，3－33，⎝ ⎛⎭
⎪⎫3＋33，＋∞； 令f ′(x )＜0，得3－33＜x ＜3＋33
， 所以函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－33，3＋33.。