第四讲 刚体平面运动

推论 刚体上不共线的三点的速度完全确定
刚体上任意点的速度。
v2 P2
P1
P
v1
vp
思考题：
P3
v3
1）刚体上两个点的速度可否确定刚体
上任意一点的速度？为什么？
2）刚体上两个点的速度可以确定刚体 上哪些点的速度？
2刚Biblioteka 平面运动的速度瞬心瞬时速度中心：平面运动刚体上瞬时速度为零的点
(1) 已知两点的速度方 向，且互不平行
平面运动刚体的角速度、角加速度
基点法:借助刚体上任意一点的运动和随该点运动的平动坐 标系研究刚体运动的方法。
基点是任意选定的刚体上的一个点, 一般选运动情况已知 或部分已知的点。
刚体相对基点平动系作定轴转 动，角速度、角加速度分别为：
ω = ϕ&k ε = ϕ&&k
y
yp
ω
B
rAB ϕ
xp
A
命题：刚体相对两个相互平动的 参考系的角速度相同。
4、应用速度合成定理
A x'
O ω0
ϕ0
vB= vA+ vr vB = vA/cosϕ0 = rω0/cosϕ0
vr = ωAB × rAB vr = ω ABl
连杆的瞬时角速度 ωAB = vr / l = vAtanϕ0 / l = rω0tanϕ0 / l
ωAB 顺时针方向！
1
例2: 曲柄－滑块机构，OA＝r，AB＝l，曲柄以等角速度ω0绕
速度合成定理：平面图形上任意
点的速度，等于基点的速度及该点相 对基点平动系的速度之矢量和。
B点的速度
vB
vr
ω
B
vA
y
yp v rAB A
A xp
vB = vA + vr = vA + ω × rAB
rOA
O
x
基点速度 vA
相对速度 vr = ω × rAB
有时记作 vBA
4
平面运动刚体的加速度合成定理
ω AB
vr = ωABlAB
O 60o
ωAB = vr / lAB = ω0 / 3
vA
vB
B
vr
解： 2、加速度分析：
y'
ωAB = ω0 / 3
B点的加速度aB 和 AB杆的角
A x'
加速度 ε AB。
90o
aB 沿着水平方向
ω0
aA
A点的加速度 aA ，方向指 O 60o 向O，大小
ω AB
ωA
=
vA r
=
R+r r
ω
vM =CMωA = 2(R+r)ω
vM ⊥CM
解法二：基点法 取A为基点 vC =vA +vr
vA =(R+r)ω vr =rω' vC =0
rω'=(R+r)ω ω'=(R+r)ω /r
对M点： vM = vA + vr vr = rω ' = (R + r)ω
vM = 2(R + r)ω ω ' =ωA
= vO R
εO
=
aO R
A点加速度分析：
aA = aO + art + arn
art = RεO = aO
arn
=
−aBsin30o＝− aA + art
投影法!
art = aA − aBsin30o＝εABl
ε AB = 8 3ω02 / 27（逆时针） 解毕！
刚体的运动性质：速度投影定理 定义1：运动中始终不变形的物体称为刚体。 定义2：其上任意两点间的距离始终不变的物体称为刚体。
rAB • rAB = C(常数)
§2-4 定点运动刚体的角加速度与加速度分析
§2-5 刚体一般运动及基点法 描述刚体运动使用的坐标系、 基点法及其运动合成定理
§2-6 刚体的平面运动：
基点法运动合成定理、投影法 速度投影定理(适用于刚体的一般运动)、速度瞬心法
2-6 刚体的平面运动
刚体的平面运动: 刚体上任意点的运动轨迹都在一固定平面之 内，且这些固定平面相互平行。
二点的速度vA和vB的方向都
可以确定。作二者的垂直线，
vD D
相交于C∗，此即速度瞬心。
vB B
90o
图中的几何关系：
90o O1
OA＝ 2l, AB = BC∗ = 3l 2 AC∗ = 3 2l 2, DC∗ = 3 5l 4
vA = OAω 0 = 2lω 0 vB = BC∗ωAB = lω0
运动；相对于平动系O x´y´、 绕O点的转动－相对运动。
确定圆轮的转动角速度
s = Rϕ , s& = Rϕ& = RωO ,
进而求得圆轮滚动时的角加速度
vO = RωO ,
ωO
=
vO R
εO
= ω&O
=
v&O R
=
aO R
5
例题1
yε´
ω
OO
O
x´
O vO aO
arn aA
art
A
aO
解：
ωO
C
求：轮缘上A、B、C、D四 点的速度。
B
O
D
vO
A
例题4
C
B
O
D
vO
A
ω
C∗
解：圆轮与地面接触点A，由于 没有相对滑动，因而在这一瞬时， A点的速度vA＝0。A点即为速度瞬
心C∗。假设这一瞬时的角速度为 ζ。
由vO ＝R ω得到 ω = vO R
vB = ω × rC*B
vA = 0 , vB = 2v0 vC = 2v0 , vD = 2v0
刚体平面运动模型与运动方程 基点法：速度、加速度分析、瞬心法
矢量计算的投影法、
速度投影定理（适用于刚体一般运动）
本周作业
习题 2-1、2-3、2-12、 2-13、 2-16
引理：动点绝对(加)速度等于其相对平动系（加）速度与平动系
的（加）速度之和: vB = vA + vr , aB = aA + ar 。
U 瞬时速度中心及其应用 例题5
A
ω0 45o
O
B D 90o
90o O1
已知：四连杆机构中
O1B = l, AB = 3l 2, AD = DB
OA以ω 0绕O轴转动。
求：1、B和D点的速度； 2、AB杆的角速度。
例题5
vA A
ω0 45o
O
ω AB
解：机构作平面运动，OA C∗ 和O1B都作定轴转动，A、B
定瞬心轨迹为以 O 为圆心的 1/4圆周: xC2 + yC2 = l 2
y
B C
l
ϕ
η
ξ
u
O
Ax
建立固联坐标系 Aξη，瞬心 C 的坐标为：
ξC = l cosϕ sinϕ ηC = l cos2 ϕ
ξC2 + (ηC − l / 2)2 = l2 / 4
动瞬心轨迹为以杆中点为圆心的1/2圆周。
刚体的平面运动要点
刚体运动的性质1
A α
rAB
vB
β
vA
B
速度投影定理 刚体上任意两点的 速度在其连线上的投影相等。
vA cosα = vB cos β vA • rAB = vB • rAB
速度投影定理证明
rAB • rAB = C(常数)
d dt
(rAB
•
rAB
)
=
0
= 2rAB • r&AB
= 2rAB • (r&B − r&A )
平面图形－在刚体上作平行于 固定平面的平面，这样的平面 与刚体轮廓的交线所构成的图 形。
平面图形上的任意直线－这一 直线的运动可以代表平面图形 的运动，也就是刚体的平面运 动。
A: 称为 基点
自由度 N＝3
刚体平面运动的方程 （基点法）
⎧ ⎪ ⎨
xA yA
= =
f1(t) f2 (t )
⎪⎩ϕ = f3(t)
第 2 章 刚体运动及复合运动
"Plato is my friend, Aristotle is my friend, but my best friend is truth" ——Isaac Newton
§2-1 刚体的平动和定点转动 §2-2 动系单位基矢量的时间导数定理 §2-3 定点运动刚体的角速度与速度分析
k
rOA x
O
B点相对 轨迹：圆
基点法运动合成定理：刚体上一点的运动速度/加速度等于基点的速
度/加速度再加上该点相对基点平动坐标系的速度/加速度。
vB
= =
vA vA
+ +
ωvr
×
rAB
aB
= =
aA aA
+ +
ωar×
(ω
×
rAB )
+ε
×
rAB
平面运动 ω = ϕ&k ε = ϕ&&k 平面运动 = aA − ω2 rAB +ε ×rAB
A
rAB
vB
rA vA
B
Z
rB
Y
O
X
rAB = rB − rA
vA • rAB = vB • rAB
证毕
例题 曲柄-连杆-滑块机构
已知 曲柄滑块机构中OA的半
径R、角速率ω 。 求 图示瞬时(位置)的