18 刚体的平面运动

2 、速度投影法 由于平面图形上任意两点A 和B的距离是不变的，因此点A 和B的速度 v A 和 v B 之间必存在 某种关系。如取点A为基点，B 为动点，则由基点法 v B v A v BA 由于 v BA AB 故 (v B ) AB (v A ) AB
三、平面图形上各点的速度分析
1、速度合成法（基点法） 根据速度合成定理 va ve vr 又由下面对应关系 va v M , ve vO , v r v MO ; vMO OM , 方向 OM 则M点速度为： v M vO v MO 即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与 该点随图形绕基点转动的速度的矢量和。用上式求 解，就称为速度合成法或基点法。
解： 基点法 (1)
解法一、选 A 点为基点，A 点的 速度 v A v ，则B点的速度可表 示为 v B v A v BA 式中 v B 方向沿OB向下， BA方向垂直于杆AB，由 v 速度合成矢量图可得 v v v BA , vB , sin tan v BA v 1 AB ( 逆时针 ) l l sin
C B CB
注：亦可由速度瞬心法求解；
例３ 曲柄滑块机构如图所示，曲柄OA以匀角速 度 转动。已知曲柄OA长为R，连杆AB长为l。 当曲柄在任意位置 = t 时，求滑块B的速度。
例４ 如图所示，半径为R的车轮，沿直线轨道作无 滑动的滚动，已知轮心O以匀速vO 前进。求轮缘上 A，B，C和D各点的速度。
刚体的平面运动
一、平面运动的概念 1、特征
O
vO
O

A B
O
O1
观察上述刚体的运动发现，它们在运动的过 程中有一个共同的特征，即：当刚体运动时，刚 体内任一点至某一固定平面的距离始终保持不变。 具备这样一个特征的刚体的运动称为刚体的平面 运动，简称平面运动。
2、平面运动的简化 刚体的平面运动可简化为平面 图形在其自身平面内的运动。
2. 求杆BD中点C的速度 仍以B点为基点，应用速度合 成定理，C点的速度可表示为 vC v B vCB l vCB BD 0.75 m / s 且 vB 1.5 m / s 2
由此瞬时速度矢的几何关系，得出此时vC的方向恰 好沿杆BD，大小为 v v 2 v 2 1.3 m / s
vM MC 10 cm s
方向如图。
vA
A
例２如图所示平面机构中，AB = BD = DE = l= 300 mm。在图示位置时，BD∥AE,杆AB的角速度为 =5 rad/s。试求此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点 C 的速度。
解： 求杆DE的角速度 1. 杆BD作平面运动， vB大小 为 v B l 1.5 m / s
vA 20 cm s 于是 vB v Actg30 10 3 cm s vBA sin 30 vBA 1 rad s 方向如图所示。 l

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0 v A vBA sin 30

vB vBA cos 30

以A为基点，则M点的速度为
M点的速度合成矢量图如图所示。 vA a M 建立如图的投影坐标，由速度合成 30 vA A 矢量式，将各矢量投影到轴上得
Δ1 Δ 2 于是有 lim lim , 1 2 ; Δt 0 Δt Δt 0 Δt d 1 d 2 , a1 a 2 dt dt
由上可得： 平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择 有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关。 即 、a 可称为是平面图形的角速度和角加速度。
2、基点对两种运动的影响 由于基点是任取的，所以：如果基点的选择不同， 随基点的移动和绕基点的转动会有什么异同呢？ 1) 对平动的影响 显然,选择不同的基点,其 平面图形随同基点的平动的速 度和加速度均不相同; 2) 对转动的影响 由图可知： A1B1 A2 B2' A2' B2 ， D1= D2
方向与AB垂直。
以B点为基点，则 其中，vDB 与BD垂直，vD与DE 垂直。 由速度合成矢量图可得 v D v DB v B 1.5 m / s
v D v B v DB
BD v DB l 5 rad / s ， 转向为逆时针 D E v D l 5 rad / s ， 转向为顺时针
所以轮 II 上 M1，M2 ，M3 和 M4 点的速度分别为：
v1 vC 0
v2 CM 2 2( R r )O
v3 v4 CM 3 2( R r )O
各点的速度方向如图所示。
作
业
P165：1、4、6、8
谢
谢！
四、平面图形上各点的加速度
图示平面图形在自身平面内 的运动都可以分解为随基点A的 平动（牵连运动）和绕基点 A的 转动（相对运动）。 aa ae ar 因牵连运动为平动： 以及对应关系 a A ae aB aa aBA ar
3、速度瞬心法
1) 速度瞬心的概念
显然，只要令
则 v p v D pD 0
pD
vD
点p 称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。
一般情况下，在每一瞬时，平面图形S 或及其 延伸扩展部分上都有且只有一个速度为零的点，该 点称为速度瞬心。
2) 平面图形内各点的速度及其分布
v A v pA pA v B v pB pB v D v pD pD
且p在vA 绕A点顺 转向转90º 的方向一侧。 (2) 已知某瞬时平面图形上A、B两点 速度 v A ，v B 的方向，且 v A 不平行 v B ， 过A 、B两点分别作速度 v A ，B 的垂线， v 交点p即为该瞬间的速度瞬心。

(3) 已知某瞬时图形上A 、B两点 v A，v B速度的大 小和方向，且有 v A AB, v B AB 。
解法二、选B点为基点，则A点的 速度可表示为 v A v B v AB 且vBA=AB· AB， v A v
v v , vB , v BA sin tan v BA v 1 AB ( 逆时针 ) l l sin
(2) 速度瞬心法 AB杆的速度瞬心在p 点。 注意到 v A v ，所以可以求得
这样，平面图形上各点的速度在某瞬时的分布 情况，与图形绕定轴转动时各点的速度分布情况类 似。因此，平面图形的运动可看成为绕速度瞬心的 瞬时转动。
注：（1）不同瞬时，瞬心不同； （2）瞬心可在图形之内，也可在图形这外；
3) 确定速度瞬心位置的方法
(1) 已知图形上一点的速度 v A和图形角速度 可 以确定速度瞬心的位置（p点）。 vA pA , pA v A ,
AB
v v pA l sin
( 逆时针 )
v v B AB pB l cos v cot l sin
所得结果与前相同，但求解步骤却简单得多。
例６ 如图所示，节圆半径为r的行星齿轮II由曲 柄OA带动在节圆半径为R 的固定齿轮 I 上作无滑 动的滚动。已知曲柄OA以匀角速度 O 转动，求 在图示位置时，齿轮II节圆上M1 ，M2 ，M3 和M4 各点的速度。图中线段M3 M4垂直于线段M1M2。
解:
行星齿轮 II 上与固定齿轮 I 的 节圆相接触的C点是齿轮II的速度 瞬心，所以可利用瞬心法求齿轮 II 上各点的速度。为此先求轮 II 的角速度。 因为A点的速度 vA AC r OA O ( R r ) O Rr O （逆时针） 因此轮 II 的角速度 r
v vB (a) v A 与v B 同向, A AB
v v (b) v A 与v B 反向, A B AB
(4) 已知一平面图形在固定面上 作无滑动的滚动, 则图形与固定 面的接触点p为速度瞬心。 (5) 已知某瞬时图形上A、B 两点的速度方向相同，且不 与AB连线垂直。此时, 图形 的瞬心在无穷远处,图形的角 速度 = 0，图形上各点速度 相等， 这种情况称为瞬时平 动。但此时各点的加速度不 相等。
可得 a B a A a BA t n a A a BA a BA
其中
t n aBA AB a , aBA AB 2
a AO
a a
2 AO
AO n AO
n 2 AO
AO a 2 4
速度瞬心法求解 解： 速度瞬心为C点，车轮的角速度为 vO vO （顺时针） OC R
车轮上点B的速度方向垂直 于连线CB，大小为
v B BC 2R 2vO
同理，可求得轮缘上其它各点的速度。
例５ 在图中，杆AB长l，滑倒时B 端靠着铅垂墙壁。 已知A点以速度v沿水平轴线运动，试求图示位置 杆端B点的速度及杆的角速度。
即：平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的 投影相等， 这就是速度投影定理。
(v B ) AB (v A ) AB v B cos v A cos a
速度投影法在已知其中一点速度的大小和方向， 同时又已知另一点速度的方向，仅求其大小的情况 下使用较方便。但该方法不能计算平面图形的角速 度。
vM vA vMA
vB
B vM

vMA
vM cosa v A vMA sin 30 vM sin a vMA cos 30 解之得 vM 10 cm s tga 3 a 60
（2）速度投影法 由速度投影定理财 v A AB vB AB 得
3、平面运动方程