理论力学刚体的平面运动
合集下载
理论力学-刚体的平面运动
表示为
ω
O
vB
ψ
B
x
vB = vA+ vBA
其中vA的大小 vA=R ω 。
vBA
例题
刚体的平面运动
由速度合成矢量图可得
例 题 3
vA
y
A
vA
vA vBA vB π π sin( ) sin( ) sin( ) 2 2
ω
O
所以
vB vA
y
π 2 π 2
ω
O φ
A B
刚体的平面运动
作业 9-1
曲柄连杆机构如图所 示，OA= r ， AB 3r 。如 曲柄 OA 以匀角速度 ω 转动， A ω
求当 60，0 和 90 时点 B的速度。 B
刚体的平面运动
vA
ω
作业 9-1
解：
A vA vB
基点法
连杆AB作平面运动，以A为基点，B点
sin( ) sin( ) R cos cos
例题
刚体的平面运动
例 题 4
在图中，杆 AB 长 l ，
B
滑倒时 B 端靠着铅垂墙
壁。已知 A点以速度u沿 水平轴线运动，试求图
ψ u
A
示位置杆端 B 点的速度 及杆的角速度。
O
例题
刚体的平面运动
解： 基点法
B ω A
60
C D
60
E
例题
刚体的平面运动
解 ： 基点法
例 题 2
vDB
B ω A
60
C
vB
60
vD
60
ω
O
vB
ψ
B
x
vB = vA+ vBA
其中vA的大小 vA=R ω 。
vBA
例题
刚体的平面运动
由速度合成矢量图可得
例 题 3
vA
y
A
vA
vA vBA vB π π sin( ) sin( ) sin( ) 2 2
ω
O
所以
vB vA
y
π 2 π 2
ω
O φ
A B
刚体的平面运动
作业 9-1
曲柄连杆机构如图所 示，OA= r ， AB 3r 。如 曲柄 OA 以匀角速度 ω 转动， A ω
求当 60，0 和 90 时点 B的速度。 B
刚体的平面运动
vA
ω
作业 9-1
解：
A vA vB
基点法
连杆AB作平面运动，以A为基点，B点
sin( ) sin( ) R cos cos
例题
刚体的平面运动
例 题 4
在图中，杆 AB 长 l ，
B
滑倒时 B 端靠着铅垂墙
壁。已知 A点以速度u沿 水平轴线运动，试求图
ψ u
A
示位置杆端 B 点的速度 及杆的角速度。
O
例题
刚体的平面运动
解： 基点法
B ω A
60
C D
60
E
例题
刚体的平面运动
解 ： 基点法
例 题 2
vDB
B ω A
60
C
vB
60
vD
60
理论力学7—刚体的平面运动
A
[vB ]AB [v A ]AB
平面图形上任意两点的速度在其连线上的投影( 大小和方向)相等。这就是速度投影定理。
例7-3 用速度投影定理解例1。 解：由速度投影定理得 vB
[vB ]AB [v A ]AB
B
vA cos30 vB cos60
解得
30°
vA
A
vB 10 3 cm s
0
O
I
vCA与vA方向一致且相等， 点C的速度
vC vA vCA 2vA
7.2 平面图形上各点的速度
7.2.2 投影法
vB v A vBA
vBA
vB vA
B
将两边同时向AB方向投影:
[vB ]AAB，因 此[vBA]AB=0。于是
M
x
xO f1 (t ), yO f2 (t ), f3 (t )
这就是刚体的平面运动方程。
运动分解
y S O' O M
x
如果O'位置不动，则平面图形此时绕轴O'做定 轴转动； 如果O'M方位不变，则平面图形做平移。因此刚 体的平面运动包含了平移和定轴转动两种情况。 但能不能说平移和定轴转动是刚体平面运动的特 殊情况呢? 不能！
M
7.1 刚体平面运动的描述 而垂直于图形S的任 一 条 直 线 A1A2 必 然 作平移。 A1A2 的 运 动 可 用 其与图形S的交 点A的运动来代 替。无数的点A 构成了平面S。
A1 N A S
A2
M
因此，刚体的平面运动可以简化为平面图 形S在其自身平面内的运动。
刚体的平面运动方程 平面图形S在其平面上的位 y 置完全可由图形内任意线段 S O'M的位置来确定，而要确 定此线段的位置，只需确定 O' 线段上任一点O'的位置和线 段O'M与固定坐标轴Ox间的 O 夹角 即可。点O'的坐标和 角 都是时间t的函数，即
理论力学课件-刚体平面运动
作速度 vA、vB的垂线，交点P即为该瞬时的
速度瞬心。
③ 已知某瞬时图形上两点A 、B 的速度 vA vB且 ⊥连线 AB， 则连线 AB与速度矢 vA、vB 端点连线的交点P即速度瞬心。 (a)
vA vB (a) 若vA 与vB 同向，则 AB
v A vB (b) 若v A 与vB 反向, 则 AB
但各点的加速度并不相等。 设匀角速度为，则 aB aB n AB 2 () 而 ac 的方向沿AC，故
aB ac ，瞬时平动与平动不同。
４. 速度瞬心法 利用速度瞬心求平面图形上点的速度的方法，称速度瞬心法。 平面图形任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动， 故速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度大小为 vA AP ， 方向 AP，指向与 一致。 5. 注意的问题 ① 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间 不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。 ② 速度瞬心处速度为零,但加速度不一定为零，不同于定轴 转动。 ③ 刚体作瞬时平动时，虽然各点速度相同，但各点加速度 不一定相同，不同于刚体作平动。
vB v A / sin
在Ｂ点做 速度平行四边形，如图示。
l / sin 45 2l ()
vBA vActg l ctg45 l
AB vBA / AB l / l （
）
根据速度投影定理 vB AB vA AB vB sin vA vB vA / sin
n 其中 aa aB , ae aA , ar aBA aBA aBA
于是
aB a A aBA aBA
n
aB a A aBA aBA n 其中：aBA AB ，方向 AB，指向与 一致； aBA n AB 2，方向沿AB，指向A点。
理论力学第7章 刚体平面运动
基础部分——运动学第7 章刚体平面运动连杆作什么运动呢？行星齿轮机构行星轮作什么运动？第7章刚体平面运动运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离保持不变刚体上任一点都在与某一固定平面平行的平面内运动沿直线轨道滚动的车轮机械臂小臂的运动平面运动的刚体在自身平面内运动的平面图形SxyOxyOASIIxyOA SII平面图形上任一线段的位置位置x Ay AϕB )(1t f x A =)(2t f y A =)(3t f =ϕ平面运动平移+ 转动xyOASIIxAyAϕB基点⇒O ′O O ′O O ′O′三种运动?平面运动基点平移基点转动注意：平移动系不一定固结与某一实际刚不一定固结与某一实际刚体。
O ′xyO平移动系O'x'y'x ′y ′O ′基点推广结论：刚体的平面运动可以分解为随基点的平移和绕基点的转动问题一：x yOA SIIx Ay AϕB问题二：随基点的平移与基点的选择有无关系绕基点的转动与基点的选择有无关系结论：同一瞬时平面图形绕任一基点转动的ω、α都相同。
动点re a 点的速度合成定理SAv ωABB v A v ?=B v x ′y ′基点BA v 三种运动？大小? 方向?BAA B v v v +=AωA Av BAv Bv平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。
SAv ωABAv BAv Bv BAA B v v v +=试一试：基点法作平面运动。
[例7-1] 曲柄—滑块机构解：转动。
r 3ABOωϕAv Bv BAv 基点大小方向?AvBA3ABOωϕAv B v BAv Av ABω转向？= v 滑块Bϕ大小方向A 32SAv ωAB Av BAv Bv 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影（大小和正负号）相等。
速度投影定理[][]ABA AB B v v =[]ABBA vr 3再分析例7-1ABOωϕAv Bv Bv解：请比较两种方法A 32如何解释这种现象？观察到了什么现象？[先看一照片]若选取速度为零的点作为基点，则求解速度问题•基点法•速度投影法优点：缺点:优点：缺点:SAv ωAv BAv Bv AA 为基点B有没有更好的方法呢？Aω0≠ω唯一存在AL ′证明:MAA M v v v +=SA v v MAv LMPωAv PA =∴0=⋅−=ωPA v v A P ∵该瞬时瞬时速度中心速度瞬心唯一性：瞬时性：不共线，故速度均不为零。
理论力学刚体的平面运动
车轮的平面运动
刚体的平面运动可以 分解为随基点的平动 和绕基点的转动．
随基点A的平动
绕基点A'的转动
平面图形Ｓ在ｔ时间内从位置I运动到位置II
以A为基点: 随基点A平动到A'B''后, 绕基点A'转 1角到A'B' 以B为基点: 随基点B平动到A''B'后, 绕基点B'转 2 角到A'B' 图中看出：AB A'B'' A''B' ，1 2 于是有
3
vC vB vCB
大小 ？ l l 2
方向 ?
vC vB2 vC2B 1.299 m s 方向沿BD杆向右
例3 曲柄连杆机构如图所示，OA =r, AB= 3。r 如曲柄OA以匀角速度ω转动。
求：当 60，0，90时点B的速度。
已知：OA r, AB
求：当机构在图示位置时，夹板AB的角速度。
已知：AB 600mm, OE 100mm, 10 rad s , BC GD 500mm, 求:
AB
解: 1 杆GE作平面运动,瞬心为 C1
OG 800mm 500mm sin 15 929.4mm
EC1 OC1 OE 3369mm
解： 1 AB作平面运动。
vB AB vA
vB cos 30 OA
OA
vB cos 30 0.2309 m s
已知
求
OA
vE
100mm,OA
2
rad
s
, CD
3CB, CD
理论力学 第7章 刚体的平面运动
M4 ω
M2
C ωO
A
r
M1
M3
O R
解: OA绕O转动
v2
v4
M4
vA
ω A
r
M2 v3
C ωO
M1 Ⅱ M3
RO
Ⅰ
vA AC r OAO (R r) O
C点是齿轮II的速度瞬心
因此轮
II
的角速度
R r
r
O（逆时针）
所以轮 II 上 M1，M2 ，M3 和 M4 各点的速度分别为：
8
7.2 平面图形内各点速度的求法 1、基点法 通常把平面图形中速度为已知的点选为基点
平面图形内任一点的速度 =基点的速度与绕基点转动
速度的矢量和
9
y
例7.1 椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动，
AB=l。
B
解：一、基点法
1、 AB 作平面运动
O
基点：A
2、 vB vA vBA
大小 ？ vA ?
vA AB ACv , vB AB BCv
得
vB
BCv ACv
vA
对三角形ABC应用正弦定理，可得
ACv
BCv
sin ( π ) sin ( )
2
注意到
，代入上式后得
B
x
vB
R0
sin ( ) cos
速度投影法
应用速度投影定理，有
vAcos vBcos
将v A = R ω ， α ＝90o -ψ - β ＝ψ
速度瞬心C必定在速度垂线上
速度垂线A N
速度瞬心C
vM vA vMA vM vA AM
v
v 0 AC A
08-理论力学-第二部分运动学第八章刚体的平面运动
形S在该瞬时的位置也就确定了。
88
运动学/刚体的平面运动
四、平面运动的分解 ——平移和转动
当图形Ｓ上Ａ点不动时，则
刚体作定轴转动 。
当图形Ｓ上 角不变时，
则刚体作平移。
故刚体平面运动可以看成是 平移和转动的合成运动。
例如：车轮的平面运动可以看成: 车轮随同车厢的平移 和相对车厢的转动的合成。
99
2121
如图示平面图形，某瞬时速度瞬心为P点， 该瞬时平面图形内任一点B速度大小
vB vP vBP vBP
B
大小：vB BP
方向：BP，指向与 转向相一致。
vB
S
vA
C
vC
同理:vA=ω·AP, vC=ω·CP
由此可见，只要已知图形在某一瞬时的速度瞬心 位置和角速度 ，就可求出该瞬时图形上各点的速度。
的平面Ⅱ内的运动。
66
运动学/刚体的平面运动
二、平面运动的简化 刚体的平面运动可以简化为
平面图形S在其自身平面内的运动。 即在研究平面运动时，不需考虑 刚体的形状和尺寸，只需研究平 面图形的运动，确定平面图形上 各点的速度和加速度。
三、平面运动方程 为了确定代表平面运动刚体的
平面图形的位置，我们只需确定平 面图形内任意一条线段的位置。
vBA
s
B
vB vA
A
vA
方向： AB, 指向与 转向一致。
即：平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随
平面图形绕基点转动的速度的矢量和。 ——基点法
基点法是求解平面图形内一点速度的基本方法。 1414
运动学/刚体的平面运动
二、速度投影法
由于A, B点是任意的，因此
《理论力学》第八章 刚体平面运动
平面运动刚体绕基点转动的角速 度和角加速度与基点的选择无关！
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
以蓝点为基点
以红点为基点
平移的速度与加速度与基点选择有关不同，而绕 基点转动的角速度与角加速度与基点的选择无关
例1: 已知曲柄－滑块机构中OA=r , AB=l;曲柄OA 以匀角速度绕O轴转动。求连杆AB的运动方程。 解： 建立图示参考坐标系，
已知图形上两点的速度平行，但两点 连线与速度方位不垂直 可以认为速度
0
瞬心在无穷远
平面 运动
平动图形上各点 的速度和加速度 是相同的，但瞬 时平动其上各点 的速度相同而各 点的加速度一般 不同
作平面运动的刚体上求各点速度的方法的适 用范围 1、基点法：已知基点速度和作平面运动刚体
的角速度。是基本方法，可求平面图形的速度 和角加速度，图形上一点的速度。
例2：曲柄滑块机构如图所示，曲柄OA以匀角速度 ω转动。已知曲柄OA长为R，连杆AB长为l。当曲柄 在任意位置 = ωt时，求滑块B的速度。
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
解： 一、基点法
因为A点速度 vA已知，故选A为基点
vA
AB
v B v A v BA
平动方程 y
称O为基点
y
P
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
f3 ( t )
讨论：
1. 为常数
刚体平 面运动 方程
y0 转动方程 O1 x 0
O
S x
x 刚体随基点平移 (随同动系平移)
2. (xO,yO)为常数
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§4–1 刚体平面运动简化与分解
3 .刚体平面运动的分解
在左面的图中，如果平面图形 S 上的A 点固定不动，则刚体将作 定轴转动。
又若在左面的图中，如果平面图 形 S 上的φ 角保持不变，则刚体作平 移。
故由此可知 刚体的平面运动可以看成是平移和转动的合成运 动。
§4–1 刚体平面运动简化与分解 平面运动分解
平移 (牵连运动)
平面运动
转动 (相对运动)
刚体的平 面运动可分解为 随同基点的平移 和相对基点的转 动。
§4–1 刚体平面运动简化与分解 平面运动分解
刚体的平面运动可分解为随同基点的平移和相 对基点的转动。
§4–1 刚体平面运动简化与分解 3.平面运动分解
刚体平面运动的分解演示
§4–1 刚体平面运动简化与分解 平面运动分解
刚体平面运动的分解演示
§4–1 刚体平面运动简化与分解 平面运动分解
刚体平面运动的分解演示
§4–1 刚体平面运动简化与分解 平面运动分解
刚体平面运动的分解演示
§4–1 刚体平面运动简化与分解 平面运动分解
特别强调 1. 刚体的平面运动分解成随基点的平移和相对于基点的转 动时，基点的选择是任意的。 2. 刚体的平面运动分解成平动和转动时，其平动部分与基点的 选择有关；而转动部分与基点的选择无关。
xP
l1 1
1 (r)2 4l
r l1
cosω
t
1 ( r )2 cos2ω
4l
t
yP
r(l - l1) sinω
l
t,
§4–1 刚体平面运动简化与分解
例题 4-1
§4–1 刚体平面运动简化与分解
例题 4-1
连杆的平面运动方程为
xP
l1 1
1 (r)2 4l
r l1
cosω
t
1 ( r )2 cos2ω
刚体的平面运 动— 刚体上处于同 一平面内各点到某 一固定平面的距离 保持不变。
§4–1 刚体平面运动简化与分解
刚体平面运动实例
平面运动实例
刚体的平面运 动— 刚体上处于同 一平面内各点到某 一固定平面的距离 保持不变。
§4–1 刚体平面运动简化与分解 平面运动简化
(1) 刚体平面运动特点
而线段AB的位置又可用A 点的坐标 xA 、yA 和线段AB与 x 轴的夹角 φ 来确定。
点 A 称为基点。
§4–1 刚体平面运动简化与分解 平面运动方程
刚体平面运动方程
当平面图形 S 运动时，坐标 xA 、
yA 和夹角 φ 一般都是随时间 t 而 变化的，分别为时间 t 的单值连
续函数，即
xA f1 (t)
刚体上所有各点均在平行于某 固定平面的平面内运动。
§4–1 刚体平面运动简化与分解
(2) 刚体平面运动简化
平面图形 平面图形——刚体平行
于某固定平面作平面运动， 以平行于该固定平面的另一 平面截割这刚体，得一截面 S，称为平面图形。
平面运动简化
§4–1 刚体平面运动简化与分解 平面运动简化
平面运动简化 刚体的平面运动，可以简化为平面图形在其自身平面
内的运动来研究。
§4–1 刚体平面运动简化与分解
刚体平面运动简化实例
平面运动简化
刚体的平面运动， 可以简化为平面图形 在其自身平面内的运 动来研究。
§4–1 刚体平面运动简化与分解 2. 刚体平面运动方程
平面图形位置的确定
平面图形 S 的位置可用 其上任一线段如AB 来确定，
刚体的平面运动— 刚体上处于同一平面内各点到某一固定 平面的距离保持不变。
刚体平面运动实例
§4–1 刚体平面运动简化与分解
刚体平面运动实例
平面运动实例
刚体的平面运 动— 刚体上处于同 一平面内各点到某 一固定平面的距离 保持不变。
§4–1 刚体平面运动简化与分解
刚体平面运动实例
平面运动实例
y A
O
l
P (xP ,yP)
B
x
例题 4-1
§4–1 刚体平面运动简化与分解
y A
O
l
P (xP ,yP)
B
例题 4-1
x
解： (1) 连杆的平面运动方程
由图中的几何关系，有
l r , sin r sin ω t, ω t
sin sin
l
§4–1 刚体平面运动简化与分解
y A
O
4l
t
(3) 连杆上P点的速度与加速度yPຫໍສະໝຸດ r(l - l1) sinω
l
t,
速度 加速度
vPx
xP
r(sin ω
t
1 2
rl1 l2
sin2ω
t)
vPy
yP
r (l
l
- l1)
cost
,
aPx
xP
r 2 (cosω
t
rl1 l2
cos2ω
t)
aPy
yP
r 2 (l - l1 ) sinω
l
t,
l
P (xP ,yP)
B
例题 4-1
x
连杆的平面运动方程为
xA rcosω t,
yA rsinω t ,
arcsin ( r sin ω t)
l
(2) 连杆上P点的运动方程
xP rcosω t l1
1 ( r sin ω t)2 ,
l
yP
r(l - l1) sinω
l
t,
§4–1 刚体平面运动简化与分解
y A f 2 (t)
f3 (t)
这就是平面图形S 的运动方程，也就是刚体平面运动的运动方程。
§4–1 刚体平面运动简化与分解
例题 4-1
例4-1 已知曲柄－滑块机构中OA=r , AB=l，曲柄OA以等角 速度ω绕O轴转动。求（1）连杆的平面运动方程；（2）连杆上 P点(AP=l1)的运动轨迹、速度与加速度。
例题 4-1
xP rcosω t l1
1 ( r sin ω t)2 ,
l
yP
r(l - l1) sinω
l
t,
应用泰勒公式，忽略4次方以上的项，有
1 ( r sin ω t)2 1 1 ( r )2 sin 2ω t
l
2l
sin 2ωt 1 cos2ωt 2
所以得连杆的平面运动方程为
运动学
第
§4–1 刚体平面运动的简化与分解
四
章
§4–2 平面运动的速度分析
刚
体
的
平
§4–3 平面运动的加速度分析
面
运
动
§4–4 刚体转动的合成
第四章 刚体的平面运动
目录
§4–1 刚体平面运动 简化与分解
刚体平面运动简化 刚体平面运动方程 刚体平面运动的分解
§4–1 刚体平面运动简化与分解 1. 刚体平面运动简化
注意上面二条的含义是指
平移的轨迹、各点的速度和 加速度都与基点的位置有关。
转动的角速度和角加速度都与 基点的位置无关。
§4–1 刚体平面运动简化与分解 平面运动分解
刚体的平面运动分解成平移和转动时，其平移部分与基点 的选择有关；而转动部分与基点的选择无关。即平移的轨迹、 各点的速度和加速度都与基点的位置有关。而转动的角速度和 角加速度都与基点的位置无关。