刚体平面运动的动力学方程
第7.5节刚体平面运动的动力学
第7.5节 刚体平面运动的动力学7.5.1 10m 搞得烟筒因底部损坏而倒下来，求其上端到达地面时的线速度。
设倾倒时底部未移动。
可近似认为烟筒为均质杆。
解：烟筒的长度l =10m 。
设烟筒上端到达地面的瞬间，烟筒绕其底部的转动角速度为ω。
在倾倒过程中，只受重力作用，做的功为：mg ⋅½l 。
由刚体定轴转动的动能定理：lgmlI I l mg 323122121=∴==⋅ωω烟筒上端到达地面时的线速度为：s m gl l v /2.17108.933≈⨯⨯===ω7.5.2 用四根质量各为m 长度各为l 的均质细杆制成正方形框架，可围绕其中一边的中点在竖直平面内转动，支点O 是光滑的．最初，框架处于静止且AB 边沿竖直方向，释放后向下摆动，求当AB 边达到水平时，框架质心的线速度C v。
以及框架作用于支点的压力N ．解：先求正方形框架对通过其质心且与其垂直的转轴（质心轴）的转动惯量：框架的质心位于框架的中心，即两条对角线的交点上。
每根细杆对其本身的质心轴的转动惯量：21210ml I =，细杆的质心与框架的质心的距离为l 21，由平行轴定理：2342210])([4ml l m I I c =⋅+⋅=再由平行轴定理，得框架对通过0点的转轴的转动惯量：237221)(4ml l m I I c =⋅+=(1)求框架质心的线速度v c框架在下摆过程中，只有重力做功，机械能守恒。
选取杆AB 达到水平时框架质心位置位势能零点，得：gll v l h m M I Mgh c lgc c 7321712212214===∴===ωωω（2）求框架对支点的压力N以框架为研究对象，它受到重力M g 和支点的支撑力N 的作用，由质心运动定理：c a M g M N =+取自然坐标系，τ沿水平方向，n 铅直向上，得投影方程：βτττc n c c n n Mh Ma N mgmg mg N mg l gl m h v M Ma Mg N n===+=⇒=⋅===-7372472421732744:ˆ:ˆ在铅直位置时，外力矩为0，故角加速度β=0，==〉N τ = 07.5.3 由长为l ，质量各为m 的均质细杆组成正方形框架，其中一角连于光滑水平转轴O ，转轴与框架所在平面垂直．最初，对角线OP 处于水平，然后从静止开始向下自由摆动．求OP 对角线与水平成450时P 点的速度，并求此时框架对支点的作用力．解：先求正方形框架对通过其质心且与其垂直的转轴（质心轴）的转动惯量：框架的质心位于框架的中心，即两条对角线的交点上。
物理竞赛-刚体
t
0
fR2dt
1 2
m2 R22 (2
20
)
—
—（2）
稳定后两轮边缘线速度大小相等：1R1 2R2 — —（3）
1
m1R110 m2 R220
(m1 m2 )R1
,2
m2 R220 m1R110
(m1 m2 )R2
例、有一长为l、质量为m的匀质细杆，置于光滑 水平面上，可绕过中点O的光滑固定竖直轴转动，
5、车轮（圆柱体）的无滑滚动
若滚动车轮边缘上各点与支 撑面接触的瞬时，与支撑面 无相对滑动，则称车轮作无 滑滚动（纯滚动）。
车轮（中心）前进的距离与
转过的角度的关系：
x r dx r d
dt dt
则
vC
r
dvC dt
r d
dt
或 aC r
——无滑滚动的条件
C vC
r
x
车轮上任一点的速度： v vC r
vC
v 2
同时，对C轴合外力矩为0，故角动量守恒：
mv
l 4
( J C杆
J C球
)
y
J C杆
1 12
ml2
m( l )2 4
7 48
m l（2 平行轴定理）
ml
J C球
m( l )2 4
6v
5l
碰且后 系系 统统 以质心 将6v以绕v质C 心v2轴向转右动运。动，
5l
C vC
m O
例12、光滑水平桌面上有一半径为R、质量为M的
（r— —该点相对质心C的位矢）
例1、求图示纯滚动中G、B、A相对支撑面的速度。
G点：vG vC rGC 0
▲对无滑滚动，车轮边缘在与支撑面接触
刚体平面运动微分方程
刚体平面运动微分方程
一般来说，物体运动过程中都受到各种力的作用，此外，如果是连续体，由于运动而产生的声学变化也都会影响运动状态，因此就需要研究物体运动中力和声学变化之间的关系。
在力学分析中，相对论块集体动力学（Classical Dynamics）是最基本的物理系统，它描述了物体运动的微分方程，从而可以求出物体的运动状态。
平面运动动力学是指物体运动过程中的动力学分析，可以用来描述物体在平面上的运动状态，包括具体的位置、速度、加速度等。
可以使用牛顿第二定律将机械力和物体加速度联系起来，写成机械力和物体加速度的微分方程，它的形式为：
F=m·a，
其中F表示机械力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
物体在平面上的运动还会受到一些拖拽力的影响，比如阻力和空气阻力等，如果将拖拽力也考虑在内，则可以将上述方程修正为：
其中b表示拖拽力，v表示物体运动状态时的速度。
此外，如果物体处于受到旋转力作用的情况下，则可以将其表述为：
F=m·a+b·v+c·(ω×r)，
其中c表示旋转抗力，ω表示旋转角速度，r表示物体圆心到物体某一点的距离。
由此可以得到物体平面运动的微分方程：
其中Δp表示物体加速度变化，F表示物体受到机械及其拖拽力和旋转抗力的作用。
从而可以根据上述微分方程，求出物体在平面上运动过程中的状态和性质，从而又可以了解物体在机械及其拖拽力和旋转抗力作用下，在平面上的运行状态。
刚体的平面运动
• 当f=0°时,vA与vBA 均垂直于OB连 • 线，vA与vBA也垂直于vB，按速度平行四 • 边形合成法则，应有 • vB＝0。
•当f=90°时，vA与vB方向一致， •vBA垂直于AB，其速度平行四边形应为一直线， •显然有 vB＝vA＝rw •而 vBA＝0。 •则此时杆AB的角速度wAB为零，
•
例1 曲柄连杆机构如图所示，OA=r，AB=1.73r。 如曲柄OA以匀角速度w转动，求当f=60°、0°和 90°时点B的速度。 • 解：连杆AB作平面运动，以点A为基点，点B的 速度为 • vB＝vA＋vBA
• 点B的速度为 vB＝vA＋vBA • 其中 vA＝rw， 方向与OA垂直， • vB 沿OB方向， vBA与AB垂直。 • 可以作出其速度平行四边形。 当f=60°时，由于AB=1.73OA，OA恰好与AB垂 直，其速度平行四边形如图所示， 解出 : vB＝vA/cos30°＝1.15rw
• • • •
单独轮子作平面运动时，可在轮心O′处固 连一个平动坐标系x′o′y′，同样可把轮 子这种较为复杂的平面运动分解为平动和 转动两种简单运动。
一、研究平面运动的方法
• 1、动坐标系 • 对于任意的平面图形，可在图形上任取一点 O′为基点作为动系原点，建立跟随基点平动的坐 标系x′o′y′。 • 于是平面图形S的绝对运动可看成是： • 跟随基点的平动和绕基点的转动的合成。
若图形上某点I vI＝0 ，选此点
为基点，则其它各点的速度
vB＝vI＋vBI＝vBI
• 2、瞬时速度中心 • ①定义：一般情况下，在每一瞬时，平面图形上 • 都唯一地 存在一个速度为零的点。此点称为瞬 时速度中心。
②证明：如果点M在vA的垂线AN上 （由vA到AN的转向与图形的转向 一致），由图中看出，vA和vMA 在同一直线，而方向相反，故vM 的大小为 vM=vA－w·AM
动力学3-刚体平面运动微分方程_2019
第7章 取x为广义坐标
mx mg sin F
0 N mg cos
x R
质
1 mR2 FR
y
点
2
系
x
动 力
x 2 g sin
3
O
学
F 1 mg sin
3
C A mg
N mg cos
N
F
x
第7章
质 点 系 动 力 学
讨论:
0 F 1 mg sin 0
ml
2
YB
l 2
sin
XA
l 2
cos
(c)
第7章
质 点 系 动 力 学
例1
解
m
l 2
(
cos
2
sin )
XA
(a)
m
l 2
(
sin
2
cos
)
YB
mg
(b)
1 ml2
12
YB
l 2
sin
XA
l 2
cos
(c)
将式(a)和(b)代入(c)：
3g 2l
C
yC B
x P xC
第7章
质 点 系 动 力 学
解法三：动量矩定理
以A为矩心，动量矩定理：
J A
1 ml2
3
mg
1 2
l
以B为矩心，动量矩定理：
JB
1 ml2
3
mg
1l 2
TAl
求解
3g 2l
4.1 刚体平面运动-运动分解
刚体的平面运动-运动分解刚体的平面运动刚体在运动过程中，其上任意一点到某一固定平面的距离保持不变。
M NS A 1A 2 A若用一与固定平面M 平行的平面N 去截割刚体得平面图形S ， 该平面图形S 始终在平面N 内运动。
垂直于图形S 的任一条直线A 1A 2作平动。
刚体的平面运动可以简化为平面图形S 在其自身平面内的运动。
研究刚体的平面运动 研究平面图形的运动12()()A A x f t y f t ==刚体平面运动方程点A 、B 是平面图形上的任意两点，AB 位置确定，平面图形的位置也唯一确定。
3()f t φ= 由刚体的平面运动方程可以看到，如果图形中的A 点固定不动，则刚体将作定轴转动；如果线段AB 的方位不变（即ϕ =常数），则刚体将作平动。
用什么方法研究刚体的平面运动？如果汽车沿直线行驶，车轮作平面运动。
建立动参考系x’o’y’,随车身一起平动。
轮相对轮心做转动刚体的平面运动分解为随平动参考系的平动（牵连运动）与绕基点的“定轴”转动（相对运动）。
SA ϕ x ' y ' O ' ϕ' 刚体的平面运动(绝对运动)随同基点的平动(牵连运动) 绕着基点的转动(相对运动) 刚体的平面运动分解与合成xy o S Aϕx ' y 'O ' 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）∆r A ≠ ∆r B ， v A ≠ v B ， a A ≠ a B—随基点的平动部分与基点的选择有关△ϕ1=△ϕ2=△ϕωA = ω B = ωαA = α B = α—绕基点的转动部分与基点的选择无关基点选择对运动分析有何影响？凡涉及到平面运动图形转动的角速度和角加速度时，不必强调基点，就是平面图形的绝对角速度和角加速度。
O ABθ ϕSA ϕ x ' y ' O ' ϕ' 刚体的平面运动(绝对运动)随同基点的平动(牵连运动) 绕着基点的转动(相对运动) 刚体的平面运动分解与合成xy o S Aϕx ' y 'O '思考题刚体的平动和定轴转动均是刚体平面运动的特例，对吗？有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）。
最新《力学》漆安慎(第二版)答案07章
力学（第二版）漆安慎习题解答第七章刚体力学第七章 刚体力学 一、基本知识小结⒈刚体的质心定义：∑⎰⎰==dm dm r r mr m r c i i c //求质心方法：对称分析法，分割法，积分法。
⒉刚体对轴的转动惯量定义：∑⎰==dm r I r m I ii 22平行轴定理 I o = I c +md 2 正交轴定理 I z = I x +I y.常见刚体的转动惯量：（略） ⒊刚体的动量和质心运动定理∑==c c a m F v m p⒋刚体对轴的角动量和转动定理∑==βτωI I L⒌刚体的转动动能和重力势能c p k mgy E I E ==221ω⒍刚体的平面运动=随质心坐标系的平动+绕质心坐标系的转动动力学方程：∑∑==c c c c I a m F βτ（不必考虑惯性力矩）动能：221221cc c k I mv E ω+= ⒎刚体的平衡方程∑=0F， 对任意轴∑=0τ二、思考题解答7.1 火车在拐弯时所作的运动是不是平动？答：刚体作平动时固联其上的任一一条直线，在各时刻的位置（方位）始终彼此平行。
若将火车的车厢看作一个刚体，当火车作直线运行时，车厢上各部分具有平行运动的轨迹、相同的运动速度和加速度，选取车厢上的任一点都可代替车厢整体的运动，这就是火车的平动。
但当火车拐弯时，车厢上各部分的速度和加速度都不相同，即固联在刚体上任一条直线，在各时刻的位置不能保持彼此平行，所以火车拐弯时的运动不是平动。
7.2 对静止的刚体施以外力作用，如果合外力为零，刚体会不会运动？答：对静止的刚体施以外力作用，当合外力为了零，即0i c F ma ==∑时，刚体的质心将保持静止，但合外力为零并不表明所有的外力都作用于刚体的同一点。
所以，对某一确定点刚体所受合外力的力矩i i iM M r F ==⨯∑∑不一定为零。
由刚体的转动定律M J α=可知，刚体将发生转动。
比如，置于光滑水平面上的匀质杆，对其两端施以大小相同、方向相反，沿水平面且垂直于杆的两个作用力时，杆所受的外力的合力为零，其质心虽然保持静止，但由于所受合外力矩不为零，将作绕质心轴的转动。
《理论力学》第八章刚体的平面运动
刚体的平面运动特点
刚体的平面运动具有 连续性，即刚体上任 意一点的运动轨迹都 是连续的。
刚体的平面运动具有 周期性，即刚体的运 动轨迹可以是周期性 的。
刚体的平面运动具有 对称性，即刚体的运 动轨迹可以是对称的。
02
刚体的平面运动分析
刚体的平动分析
平动定义
刚体在平面内沿着某一确定方向作等速直线运动。
详细描述
通过综合分析动能和势能的变化，可以深入理解刚体在平面运动中的能量转换过程。例 如，当刚体克服重力做功时，重力势能转化为动能；当刚体克服摩擦力做功时，机械能 转化为内能。这种能量转换过程遵循能量守恒定律，即系统总能量的变化等于外界对系
统所做的功与系统内能变化之和。
06
刚体的平面运动的实例分析
刚体的平面运动通常可以分为两种类型：纯滚动和滑动。在 纯滚动中，刚体只滚不滑，刚体上任意一点在任意时刻都位 于一个固定的圆周上。在滑动中，刚体既滚又滑，刚体上任 意一点在任意时刻都位于一个变化的圆周上。
刚体的平面运动分类
纯滚动
刚体只滚不滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个固定的圆 周上。
滑动
刚体既滚又滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个变化的圆 周上。
势能定理
总结词
势能定理描述了势能与其他形式的能量转换的关系。
详细描述
势能定理指出，在刚体的平面运动过程中，非保守力（如摩擦力、空气阻力等）对刚体所做的功等于系统势能的 减少量。非保守力做正功时，系统势能减少；非保守力做负功时，系统势能增加。
动能和势能的综合分析
总结词
在刚体的平面运动中，动能和势能的综合分析有助于理解运动过程中能量的转换和守恒。
做平动，这种运动也是复合运动。
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第七章 刚体力学 [解] 汽车受力如图. 根据质心运动定理 y
FN1
y´
C
FN2
x´
F2
O
F1
x
W FN1 FN2 F F mac
y 轴投影
FN1 FN2 W 0
F1 FN1
F2 FN2
对质心轴的转动定理
( F1 F2 )h FN2 ( L l ) FN1l 0
即刚体相对于质心的轴的转动同样服从定轴转
动定律. 式(7.5.1)和(7.5.2)称刚体平面运动的基本动
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第七章 刚体力学
§7.5.2 作用于刚体上的力
1.作用于刚体上力的两种效果 · 滑移矢量 (1) 施于刚体的力的特点 施于刚体的某个点的力,决不可以随便移到另一点去. A
F F
心下落高度 h 时，圆柱体质心的速率. [解] 因为是无滑滚动，静摩 擦力F 不做功，只有重力W 做功，机械能守恒.
1 1 1 2 mgh mv c ( mR 2 ) 2 2 2 2
x´ FN
W
x
y´
C
O
y
F
1 1 2 mv c mR 2 2 2 4
无滑滚动条件
vc R
与参考点的选择无关. 一般作用于刚体的力等效 于一作用线通过质心的力和一 力偶，这力的方向和大小与原 力相同，而力偶矩等于原力对 质心轴的力矩.
F1
m1
O
d r1 m2 F2 r2
r12
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第七章 刚体力学
§7.5.3 刚体平面运动的动能
动能
动能定理
1 1 2 Ek mv c I c 2 2 2
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第七章 刚体力学
由上面方程可解出
FN1 mg( L l h) / L FN 2 mg( l h) / L
根据牛顿第三定律，前后轮对地面的压力大小分别为
FN1、FN2 ，但方向向下.
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第七章 刚体力学
[例题3] 在例题1中，设圆柱体自静止开始滚下，求质
2
[解] 取发动机燃烧物以外的整个汽车为质点系 功 功率
A外 A内 0 P外 P内 0
P外= P发+滚动摩擦力偶矩功率+空气阻力功率P阻
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第七章 刚体力学 不计滚动摩擦力偶矩功率
1 3 P发 C v Svmax 0 2
vmax (2P发 / Cv S )1 / 3 1.7 102 km/h
M 外i ' M 惯
dLz ' dt
M外i’ — 外力对质心的力矩, M惯 — 惯性力对质心力矩. 又 M惯= 0
dL'z d( I zc z ) I zc z dt dt
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M外i'
第七章 刚体力学
M外i' I zc z'
力学方程.
(7.5.2)
第七章 刚体力学
§7.5 刚体平面运动的动力学
§7.5.1 刚体平面运动的基本动力学方程 §7.5.2 作用于刚体上的力 §7.5.3 刚体平面运动的动能 §7.5.4 滚动摩擦力偶矩 §7.5.5 汽车轮的受力汽车的极限速度
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第七章 刚体力学
§7.5 刚体平面运动的动力学
§7.5.1 刚体平面运动的基本动力学方程
的均质圆柱体顺斜面向下作无滑滚动，求圆柱体质心的 加速度ac 及斜面作用于柱体的摩擦力F . [解] 根据质心运动定理
FN W F mac
y
FR I
x´ FN C
x
y 轴上投影
y´
W sin F mac
对质心轴的转动定理 无滑滚动 ac R 2 ac g sin 3
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第七章 刚体力学
力偶:大小相等方向相反彼此平行的一对力. F1 F2 M力偶 r1 F1 r2 F2 (r1 r2 ) F1 r12 F1
大小
2.力偶和力偶矩
M力偶 r12 sin F Fd
1 mR 2 2
W
O F
1 F mg sin 3
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第七章 刚体力学 [例题2]质量为m的汽车在水平路面上急刹车，前后轮均 停止转动. 前后轮相距L，与地面的摩擦因数为 .汽车质 心离地面高度为h，与前轮轴水平距离为l .求前后车轮对 地面的压力.
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1 1 2 2 A Δ ( mv I 外 2 c 2 c )
如果刚体不太大，若刚体在运动中只有保守力
作功，则系统的机械能也守恒.
1 1 2 E机 械 mghc mv c I c 2 2 2
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第七章 刚体力学
[例题1]如图，固定斜面倾角为 ，质量为 m 半径为 R
估算滚动摩擦力偶矩的功率 滚动摩擦力偶矩的功率 vW ,W为总车重 取 ' 0.01
vmax 1.7 102 km/h
得滚动摩擦力偶矩的功率 7.0 kW
影响最高速度的主要因素是空气阻力.
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平面运动 = 平动+定轴转动
1.求质心的运动 刚体作平面运动，受力必是平面力 F m a 根据质心运动定律 i c 直角坐标系中的分量式
பைடு நூலகம்
(7.5.1)
F
ix
macx
F
iy
macy
Fi — 所有外力的矢量和,
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m — 刚体的质量.
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第七章 刚体力学 2. 刚体绕质心的转动 在质心系中刚体作定轴转动. 选质心坐标系 Cx’y’z’ ,设z’为过质心而垂直于固 定平面的轴. 在质心系中
作用力通过质心，对质心轴上的 力矩为零，使刚体产生平动.
B
力作质心轴的力矩使刚体产
生角加速度.
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第七章 刚体力学 (2) 施于刚体的力是滑移矢量 右图中,施于A点的力
F
C B
F ''
F´ 可用施于B点的力F´´
代替,即力可沿作用线滑移.
A
F'
作用于刚体的力的三要素：大小、方向和作用线.
2 vc 3 gh 3
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第七章 刚体力学
§7.5.4 滚动摩擦力偶矩
滚动摩擦发生的原因：是物体与接触面处的非弹 性形变引起. 设滚轮在接触区无形变，地面有非弹性形变.
FN O
W
FN O FN W
FP
M滚 F
W FP
O
N
如图 FN 对质心产生反向力矩 ——滚动摩擦力矩M滚
FN C
W
Ff
驱动轮
Ff
被动轮
M驱 Ffr M滚 0
r
FN
Ff ( M驱 M滚 ) / r M驱 / r
汽车牵引力
M驱 / r
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第七章 刚体力学
[例题4]桑塔纳汽车匀速行驶,汽车横截面积为 S=1.89m2,
空气阻力因数Cv=0.425. 发动机功率为P发=60kW,设经内 部传动机构能量损失10%,空气密度 =1.2258 N· s2/m4. 汽车行驶所受空气阻力 Ff 1 C v Sv 2 求汽车沿水平路 面行驶的最高速率vmax
´
0.010~0.018 0.018~0.020 0.035~0.050 0.100~0.250
结冰路面
上页
0.010~0.030
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第七章 刚体力学 滚动摩擦 << 滑动摩擦
M滚 FN F C
W
F' A
Ff
C
设滚子匀速滚动，则阻力和阻力矩分别为 Ff r M滚 0 M滚 FN Ff F 联立得
M滚 FN
——摩擦因数，由实验测.
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第七章 刚体力学
M滚 使物体角速度减小，则接触面各点有向前滑动趋势，
从而产生反向摩擦力（滚动摩擦）使物体减速. 滚动阻力因数´
/ r,
r是轮半径.
表7.2常见汽车轮在几种典型路面上的´ 值 路面类型 良好的沥青或混凝土路面 一般的沥青或混凝土路面 坑洼的卵石路面 泥泞土路（雨季或解冻）
F Ff
r
FN
r
W W
若滚子匀速平动
F FN W
表7.2与表3.2相比，有
F F
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第七章 刚体力学
§7.5.5 汽车轮的受力汽车的极限速度
M滚驱 M滚
FN
Ff M驱 W
FN
C
F
F
M滚