第七章 质点与刚体的运动微分方程
相对于质心平移系的质点系动量矩定理刚体平面运
0
0
J O d fFN Rdt
0
t
F fFN
J O 0 t f FN R
四、刚体转动惯量的计算
J z mi ri
2
——刚体对转轴的转动惯量
转动惯量——是刚体转动时惯性的度量。
转动惯量的大小不仅与质量的大小有关，
而且与质量的分布情况有关。 在国际单位制中为：kg · m2 对于质量为连续分布的刚体，则上式成为定积分
d (e) (i ) M ( m v ) M ( F ) M ( F 质点1： O 1 1 O 1 O 1 ) dt d M O (mi vi ) M O ( Fi ( e ) ) M O ( Fi (i ) ) 质点i ： dt
d M O (mn v n ) M O ( Fn( e ) ) M O ( Fn(i ) ) 质点n ： dt
一、质点和质点系的动量矩 二、动量矩定理 三、刚体绕定轴转动的微分方程 四、刚体转动惯量的计算 五、相对于质心(平移系)的质点系动量矩定理
六、刚体平面运动微分方程
一、 质点和质点系的动量矩
质点的动量矩——质点的动量对点之矩 z [1、力对点之矩] 空间的力对O 点之矩：
M O (F ) r F
d M x ( mv ) M x ( F ) dt d M y ( mv ) M y ( F ) dt d M z ( mv ) M z ( F ) dt
2、质点系的动量矩定理
设质点系有n个质点
每个质点的质量分别为： m1、m2、 mi mn
对轴的动量矩
z
Lz M z (mi vi )
LO Lxi Ly j Lz k
动力学基本公式
质点系的质盘1 中心位■匚2 动jftp3 力的冲量/动力学基本公式摘要：3动力学基本公式（见茨1.4-9-农1.414）茨1.49帘用动力学物理放的计班公式均质物体的转动惯狱常用旋转体的转 动惯的近似计算式3动力学基本公式（见表1.4-9-表1.4-14）表1.4-9常用动力学物理量的讣算公式» 1.4-9娥用动力学犒理金的计算公式矢径r^~坐标公乂（又奇质心运动方程）工叫y ；M质点动#p M m» m (f,i + v^/4-v,*} 质点茶勒：#P •工=Mt c>« “J"』*"几,暫，暫分别为臬质点的矢径和坐标 人•升•人，无分别为质心的矢径和坐标 叭•M 分别为幕质点质■和质点系总倉量 兔、专、％为质点速度”沿■、* Z 袖的分■■八为质心連度沿黑、八的分人、，八人分S1为力F 在三貰角堂标小 Y 、，轴上的投形（续〉序号物理量名称 计算公式图示与说明•质点动摄对B1定点0的动ft 矩 7心矢Eg b N M O (mr ) «r xmp铁形式〈即为慶点动虽对坐标轴的矩）、济7【■ 5・〉«y （叫）-x （叫）『严叫(FH • ) ■ Z 〈皿 J P ( JTW J/l g = Af ( m > )» x () - y ( nw.)心垂良于卩和mo 所在平面.指向按右手I#羡规则确定4动量矩”和炭点系对慕83定点0的动it 矩矢:ft 式厶)n £<o; ® X r. x Z投形式点系对忑点为0的三坐标抽的动录矩）^a £<» = X (人".-5炸)(1 1S =三J ・工3严叫-“凡）5皿2人■工m]转钢：用体绕定轴z 的动;t 矩\ JL.式中3 -------角逢度；WJ.—刚休对z 紬转动ffla.人・工叫£序号物理量名称什算公戏 图示与说明dtk（续）序号名称什算公式图示写说期弹性力的功—尹（入;T）<\式中4—弹黄劲度«»;)入八嘉——弹賛在始末位■的变形量6功V[z作用于烫定轴转功就体上力的功J EIP » | r( F r co3cc)d^(^\广=[见（町如s F M. （F）——力F对轴的力矩〈或力儁矩八F—力F沿轴垂直平而上的分力f页眉内容7动能丁质点的动能E. ~r^z质点系的动K £b = S-ym^平动期体的动能比二*血：烧定輸7转动的刚体的动佩斗72 平35运动刚体的动館％二*♦+人/式中m,叫-------- 质点的叭叫一质点的：M—附体总戍量；v.—质心C的逋度；J.—IW体録：轴和虎心轴的转动为訓3—阳体的转动角連度8势能E,盘力弊能％二％弾性力隽駅心牛18引力势能-/邑严式中1—鹼心甥选定#势面的离度；A——弹寶变形■ （AJMIJK长为# 势冏）$u—抵物质录丨M lt M2—l x 2 ««J体贞/一引力#»；----- K 2阳物体质心距応9功率P 通述力计算P=F・ u = Fvcg通过力矩或力假矩计算P^W CJ式中a—力F与速度•的央角；M——力对转釉的矩或力«!£;3——角迪度均质物体的转动惯量« 1.4 10均质恂体的转动惯■序号图形fl fi4 =p>-12=^72 j -D d /航％北"12 J 12, i3 sin2 aA =P| —5— = M —-—L v2arA ■/>i (2a - oixi2a)T-韵Jy B Pi (2a4sio2a[) 询诗)丿0 =P|P2a 二Mr1「bb. 加M A2人菁*乔. W3M b2丿厂几乔*应:bh(4"+36[)144人“，=P A于]=M£J Q=P A于严=M牛A ■ -nabA f于ab' = M £-J严P A于2"才A>・P A于桃(«2★沪〉转动iRJR矩形3・・P A瞥唸"边正多边形正圆柱WAJ,=p~5 = *4J严寺（3八沪〉如J r "〔3，（1 ♦cos:^）+八血、）•M吉3 （»丹〉■♦> /i2«iii2^）正!K柱偲面4 ■ 2-nrhJ, =p A2wr l A = Wr?J宀冲（6八巧皿為（6/+X）（续）序号11V^abc正六面体rabc f 2[2、>r * t3X * 厉（J+卩）正立方体（a = 6 = c）人*卷U） =M 丿吊（g） *徽正■链图形转动惯量V弓（卅♦血“）_卅（疋・/）7 10 （R-r）13词）截正圆锥侧面・人（尺仃）空心正因柱c-2~V=ir -『）h~ </r -r4） =M x正柄阀柱_訂（卅-F）h—4=3fV =打砂人16（宀'）空心球球面A皿斗（a2冷）*警（36"} 17= ~-*n （M ・Q）酱理“）请（拜）K-0.4 K“・7 D ：K = 0・6 D} »D :zziaEmq, ^gK-0.45 D ："♦ V/S Q |K=0.5 D\=0；+D ； K“・33 D ："注：人一面fb y —体积8人，J 八J"儿厶，匚几一对気y 9 1. 2» .卩轴的转功MJh Jo. Jc-对6 G 点的 转劝惯Pu / •®«*.体««； M —总炭AL常用旋转体的转动惯的近似计算式衰1.4J1常用叙转体的转动惯■的近似计算式式中 M ——旋转体质量（kg ）；K —系数，见本衷；D.——就转体的飞轮计算直径（《□）正四梭锥半3E 截商环形体人¥常（4心山）V 普 丿宀瞅八牛）正BttM 面fA »ir« trr V r ： *正圓懐r （宀 P ）（4C ）・K = 4 Di -?^=0.3 D>D 2转动價最及式〈1)中〈C")——飞轮矩(N . m a ). (】)8—逐力加速度(2)式(2)中(G02)—飞轮矩(kg ・n?)转功惯・的 換算移劝物体转 动惯■的换算—般務动物倍八：亍，％ 逢杆传动丿二拐 齿轮齿条传初M —移涕物体的质■.(灯)& %——检体的穆动邃度(皿/・){ %——电动机角速皮(mdAA % 电动机转I ---- 丝杆■笙(m)id —与齿条帽唱合的齿轮UQE 1［轻 («)i i —电动机与後杆戒骨条间的传总比；人——韌体楼篥給转动角速度労®时的转动 1R 量(kg • m X ); A .—检体統钩体财茱一 轴践AA (¥ 行00〉WH 动憤*机械传动中转动惯量的换算衷L 412机械俊动中转动惯■的换算转动惯处/七飞轮矩3)的关系J= (CD 2) /4f /■ (CD 2) Z4式中；—转动惯量(红・才)$ m —魅体的质1t (立卄 •—惯性半径(xn)换算到地衲机愉上的转动惯*"晋"皓)仏僚)3佶) 換算剁移幼物体上的当盘质量w = ~ = J, «汕)2/丿♦扇/八人"J —換算到电功机釉上的总转功 «*(k«-m a )；人、人、A ——箱】、皱2、軸3上回转体 的转动tR*(b ・m 巧；m ——用在钢縄上移动俞弹的质豎(kg>;—•卷败的半念(»)|约、“、®—轴I 、納2、轴3的A MX(nd/9)>J i 2—轴1与轴2、轴2与转3间 的传动比1<—移动物体速st («/•>J —换算S)电动机轴上的转动愤■(輛J —制体对M 轴的橫动惯盘(kg ・《?)j J.― 体时通£1 •心00额线的转动慣量 (kg • m a );a ——"轴与AX*间的审・(«)动力学普遍定理:(彻\、■叫％V —r4*j系統总功能♦厶砧々♦為屍/2+m 2叭)，/2*14-13功力単普51定理序号定豪名称* 丈更示与说明H角坐掠投形式(0H-)1恒度■段点矢■式m -7- 三尸肩a迄1dlA的动童定理 d v p 口HI■ zy ■乙「开a)m -j^ =mi =工F.«x八f—质成•时坐标九、p八Ar 的投够——第/个力在三圭标轴上(续｝”定理名琢关及戎09示与说明自的授峑式(瓯b〉m寻=总辽几，1■m” 牛=讥的动量定理0 =T.■、D分別尢沿紈逛切向.主法Ml方茨点就dt守恒情况* 向#DJhtt«*向的策位矢■若=0. )1! m* s倉矢fit心、尸枉分助为KJ仇nKb方向的exr M=o t W«v. =««flii个力旺的三个分・玄角曼悸投形式矢只式变质最质点«<bn"・2F-* IT"2的场■足理dv . - dmF・工心♦乎r,・•为it岀戒进人的*1对速atm-=IF<4-d75•• ■ . dmV R应用坐标投形式矢量式传=鲁.比32竹为作用黄点蘇各外力的矢ft%.定JS w 3工F*、工几分别为各外力庄三生dp d£ni,"【盂二r-注心标轴上的授形代敗和匿点系说it守個悄况】若£刀=0・BJp =£叫•• ■常矢*若》人・0・9.P.3 Zm；r.;质点及刚体的运动微分方程表1.4-14«L 444质点及剧体的运动微分方程。
刚体绕定轴转动微分方程
mg N cos F sin
J C Fr
求解
ae ar
m sin 2 3 M m 2 m sin
2
圆柱的牵连运动为平动 a r r 整体动量水平方向守恒
m ( a r cos a e ) M a e 0
g
2 ( M m ) sin 3 M m 2 m sin
J O ( OA ) 1 3
2
O
A
ml
2
C
J O (C ) J C (C ) m (l R )
JO 4 3
1 2
ml
mR
2
2
m (l R )
mR
2
2
3 2
2 mlR
§6-3 刚体平面运动微分方程
一、运动微分方程
由质心运动定理得
D
m C r
F
i
C
rC
(e) m z ( F iz )
i ri ri
m
i
r
2 i
令Jz
m
i
r
2 i
——刚体对z轴的转动惯量,它是转动刚体惯性的度量 即
J z
(e) m z (F i )
——刚体定轴转动微分方程 定轴转动刚体转动惯量与转动角加速度的乘积等于 作用于刚体上的所有外力对转轴之矩的代数和。
2 C 2 C i i 2 i 2 i
m i x i 故 m i y i
m m
i
x C 0 y C 0
i
y'
m d 2 m i r i2 即 Jz md2 JC 显然 J z min J C
第七章不可压缩流体动力学基础
在个方向上都是 相同的可得
yz
zy
vz y
v y z
2
•
x
zx
xz
vx
z
vz x
•
2 y
流体力学
二、法应力和线变形速度的关系
在粘性流体中，由于粘性的影响，流体微团除发生角变形以外，同时也 发生线变形（对不可压缩流体推导的结果如下）。
pxx
p
2
vx x
p yy
p 2
v y y状态
流体力学
二、以应力表示的运动微分方程
第一个下标表示 应力所在平面的 法线方向。
第二个下标 表示应力本 身的方向。
pxx
dy
dz
xz xy
fz
zx
yx
yx
y
fy fx
zx dz
z
dy xz
xypxxxzdxxxypdxxxx
x
dx
yx
dx
流体力学
流体力学
第七节 理想流体的运动微分方程及其积分
一、运动微分方程 当流体为理想流体时，运动黏度
，N-S方程简化为：
fx
1
p x
dvx dt
fy
1
p y
dv y dt
fz
1
p z
dvz dt
流体力学
将加速度的表达式代入
fx
1
p x
v x t
vx
vx x
vy
v x y
vz
vx z
fy
vds
v d s (vxdx vydy vzdz)
速度环量是一代数量，它的正负与速度的方向和线积分 的绕行方向有关。对非定常流动，速度环量是一个瞬时的概 念，应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算.
刚体定轴转动微分方程
miri2 = Fiτi ri Fiτeri
对刚体内每一个质点都可列出这样的式子，将它们相加，得
miri2 = Fiτi ri Fiτeri
由于刚体内各质点间的相互作用力即内力都是成对出现的，且 它们大小相等，方向相反，作用于同一直线上，所以这些内力对z轴 之矩的代数和恒为零，即
理论力学
质点与刚体的运动微分方程\刚体定轴转动微分方程
刚体定轴转动微分方程
设刚体在外力作用下以角速度、角加速度
绕固定轴z转动，如图所示。考虑刚体内任意一
点M i，由运动学知其绕z轴作圆周运动。若该质
点的质量为mi ,它到转动轴z的距离为ri ，则它的
切向加速度为
ai=ri·
根据弧左边形式的运动微分方程，列出质点
于是上式变为
Fiτi ri = 0
miri2 = M z
目录
质点与刚体的运动微分方程\刚体定轴转动微分方程
式中：Mz——作用于刚体上所有外力对z轴之矩的代数和； miri2 ——刚体内各质点的质量与该点到转轴的距离平方的 乘积之和，对某一刚体来说，转轴一经确定，刚
体内各点到转轴的距离为一定量，因而 miri2 为一 常量，它称为刚体对转轴z的转动惯量，用Jz表 示，即
J z = miri2
将上式以及
=
d
dt
=
d 2
dt 2
代入式
miri2 = M z
，得
J z
=
Jz
d
dt
=
Jz
d 2
dt 2
=
理论力学10质点运动微分方程
= mgR 2，于是火箭在任意位置 x 处所受地球引力 F 的大
小为
m g R2 F = x2
(b)
（3）列运动方程求解，由于火箭作直线运动，
火箭的直线运动微分方程式为：m
分离变量积分式(c)
d2 dt
x
2
mg R2 x2
(c)
因 为
d d2 tx 2d dv td dv xd dx tvd dv x
其次，定律还指出，若质点的运动状态发生改 变，必定是受到其他物体的作用，这种机械作用就 是力。
第二定律（力与加速度关系定律）
质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的 力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
设质点M的质量为m，所受的力为F，由于力F的
作用所产生的加速度为a，如图10-1所示。则此定律
以上两例都是动力学的第一类基本问题，由此可
归纳出求解第一类问题的步骤如下：
（1） 取研究对象并视为质点； （2）分析质点在任一瞬时的受力，并画出受力图； （3） 分析质点的运动，求质点的加速度； （4） 列质点的运动微分方程并求解。
例10-3 以初速v0自地球表面竖直向上发射一质量 为 m 的火箭，如图10-6所示。若不计空气阻力，火箭所
解：取质量块为研究对象，并视其为质点。质
量块沿x方向作直线运动，弹性杆对质量块的作用相 当于一弹簧，图10-8（b）是该系统的计算模型。
设弹簧刚度系数
为 k ，任意位置时弹
a
在静力学中，我们研究了力系的简化和平衡问题， 但没有研究物体在不平衡力系作用下将如何运动。在 运动学中，我们仅从几何学的角度描述了物体的运动 规律及其特征，并未涉及物体的质量(Mass)及其所受 的力。因此，静力学和运动学都是从不同的侧面研究 了物体的机械运动。
第7章 质点运动定律
7.1.3 牛顿第三运动定律
• 力的本质是什么? • 牛顿在《自然哲学的数学原理》中又提出了牛顿第三定律 ： • “每个作用总有一个大小相等而方向相反的反作用，或者 说，两个物体的相互作用总是大小相等而方向相反。” • 这里的“作用”和“反作用”指的是两个物体间相互作用 的力，即一个物体对另一个物体施加作用力，受力物体也 必然对施力物体施加反作用力。 • 因此第三定律又称为作用力和反作用力定律。
7.2 质点和质点系的动量定理
• 7-2-1 质点的动量和动量定理 • 1 动量 • 2 动量定理 • 7-2-2 质点系的动量定理 • 1 质点系 • 2 内力和外力 • 3 质点系的动量定理
7.2.1
•
• •
质点的动量和动量定理
1、动量
定义：质点的质量和它的速度的乘积称为该质点的动量。 动量是矢量，它的方向与质点速度的方向相同。
• • • • • • 牛顿运动定律；质点和质点系的动量定理； 动量守恒定律；功、动能定理； 保守力与非保守力、势能； 功能原理、机械能守恒定律； 弹性碰撞与非弹性碰撞； 相对论动量和能量。
教学基本要求
• • • • • 教学重点：牛顿运动定律；动量守恒定律； 机械能守恒定律 教学难点：相对论动量和能量 教学目的： 1. 重点掌握牛顿运动定律、动量守恒定律和 机械能守恒定律； • 2. 掌握质点和质点系的动量定理、动能定理 、功能原理、势能和功的计算； • 3. 理解相对论动量和能量。
d (mv ) F k dt
国际单位制下，k=1 mv——动量
m——质量；单位：千克，符号：kg v——速度；单位：米/秒，符号：m/s
7.1.2 牛顿第二运动定律
• 如果物体的质量 m 不随时间改变，牛顿第二运动定律可 写作 a为物体的加速度， F ma • 单位：米/秒2 • 即物体的加速度与作用于该物体上的力成正比，与物体的 质量成反比，力与加速度的方向相同。 • 加速度概念是伽利略提出的。 • 伽利略把它同作用力联系起来，但是未能进一步弄清楚力 和加速度的关系。 • 牛顿继承和发展了伽利略的工作，定量地揭示了力是如何 克服物体的惯性的，如何改变物体的运动状态的，也揭示 了力的独立性和力的迭加原理。
理论力学08_4刚体平面运动微分方程
6 刚体平面运动微分方程刚体的平面运动可简化成刚体的平面图形S 在某一固定平面内的运动，用3个独立坐标描述。
作用在刚体上的外力可简化为S 平面内的一平面力系F i (=1, 2,…,n )。
设坐标系Oxy 为固定的惯性参考系，Cx ′ y ′为质心平移坐标系，如图8-6所示。
平面图形的运动可用质心坐标x C , y C 和绕质心的转动角ϕ描述。
刚体的绝对运动可分解成跟随质心的平移和相对质心平移坐标系的转动。
由动量定理所述，刚体跟随质心的平移仅与外力系的主矢有关，由质点系相对质心的动量矩定理可知，刚体相对质心平移坐标系的运动仅与外力系对质心的主矩有关。
于是，由式(8.1.11)可写出y C x C F ym F x m R R ,==&&&& (8.1.55) 式中m 为刚体的质量，F R x , F R y 分别是外力系的主矢在y x ,方向上的分量。
由式(8.1.54)在垂直于平面图形S 方向上的投影，可得Cz CzM tL =d d (8.1.56) 其中M Cz 是外力系对通过质心且垂直于平面图形S 的轴之矩的代数和。
而ϕ&C Cz J L =，J C 是刚体对于通过质心且垂直于平面图形S 的轴的转动惯量。
应用质心运动定理和相对质心的动量矩定理，得到了三个动力学方程，给出了三个广义坐标x C , y C 和ϕ的封闭方程组，用以解决刚体的平面运动问题。
动力学方程组m (8.1.57)Cz C ni iy C n i ix C M J F ym F x ===∑∑==ϕ&&&&&&,,11称为刚体平面运动微分方程组。
给出相应的初始条件，例如，t ＝0时，刚体质心的位置分别为x C 0和y C 0，质心在初始时的速度分别为和，平面图形S 在初始时的角位移和角速度分别为ϕ0C x &0C y&0和0ϕ&。
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第七章 质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 （1） 直角坐标形式的质点运动微分方程 dv d 2r 将公式 ma m m 2 F 向直角坐标轴上投影，得 dt dt dvx d2 x m ax m m 2 X dt dt dv y d2 x m ay m m 2 Y dt dt dvz d2 z m az m m 2 Z dt dt 式中：x、y、z——质点M的坐标； X、Y、Z——各力在x、y、z轴上投影的代数和。
显然，当 =0时绳的拉力最大，最大拉力为
目录
第七章 质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
7.1.3 刚体平移的微分方程
刚体作平移时，刚体内各点的轨迹形状相同，且同一瞬时各点 的速度v 相同，加速度a也相同。因此，可以取刚体内一个点的运动 来代替整个刚体的运动。 刚体的质心C 是一个特殊点，现用它的运动来代替刚体的平移。 设质心C的速度和加速分别为vC 、aC ，矢径为rC，根据质点运动微 分方程和质心的定义，可以证明： dvC d 2 rC maC m 2 Fe dt dt 式中：m——刚体的质量； ∑F e ——作用于刚体的所有外力的合力。 该式称为矢量形式的刚体平动的微分方程，通常称为质心运动 定理。 目录
第七章 质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 根据动力学基本方程，当质点不受力的作用(合力为零)时，其 加速度必为零，此时质点将保持静止或匀速直线运动状态不变。 物体的这种保持运动状态不变的属性称为惯性。两个质点受力相 同时，质量大的加速度小，说明其运动状态不容易改变，即它的 惯性大；质量小的加速度大，说明其运动状态容易改变，即它的 惯性小。因此，质量是质点惯性的度量。
m r M
2 i i
z
目录
第七章 质点与刚体的运动微分方程\刚体定轴转动微分方程 式中：Mz——作用于刚体上所有外力对z轴之矩的代数和； mi ri 2 ——刚体内各质点的质量与该点到转轴的距离平方的 乘积之和，对某一刚体来说，转轴一经确定，刚 2 体内各点到转轴的距离为一定量，因而 mi ri 为一 常量，它称为刚体对转轴z的转动惯量，用Jz表 示，即 J z mi ri2
mi ri2 Fiτ ri
目录
第七章 质点与刚体的运动微分方程\刚体定轴转动微分方程
式中： Firi——作用于该质点所有力的合力Fi对z轴之矩。
将作用于任一质点上的力Fi分成两部分：一部分是刚体内其他 质点对该质点的作用力，称为内力，用 Fi i 表示；另一部分是刚体以 外的物体对该质点的作用力，称为外力，用 Fi e 表示。于是上式可改 写为 i mi ri2 Fiτ ri Fiτe ri 对刚体内每一个质点都可列出这样的式子，将它们相加，得 i mi ri2 Fiτ ri Fiτe ri 由于刚体内各质点间的相互作用力即内力都是成对出现的，且 它们大小相等，方向相反，作用于同一直线上，所以这些内力对z轴 之矩的代数和恒为零，即 i Fiτ ri 0 于是上式变为
式中：s——质点的弧坐标； v——质点的速度； ρ——曲率半径； F、Fn ——各力在轨迹的切 向、法向上投影的代数和。 目录
第七章 质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 【7.1】 质量为m的质点M在坐标平面oxy内运动（如图），其 运动方程为x=acos t，y=bsin t，其中：a、b、都是常量。 求作 用于质点上的力F。
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第七章 质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 （2）弧坐标形式的质点运动微分方程
dv d 2r 当质点M作平面曲线运动时，将公式 ma m m 2 F dt dt 向质点运动轨迹的切向和法向投影 ，得
d2s m aτ m 2 Fτ dt v2 m an m Fn
2
d2 y Y m 2 mb 2 sint m 2 y dt
因此力F为 或
F =Xi+Yj =－m2 (xi+yj)
F =－m2r
式中：r——质点M的矢径。 可见力F的大小与矢径r的大小成正比，其方向则与之相反，即 力F的方向恒指向椭圆中心，这种力称为有心力。
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第七章 质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 例7.2 液压减振器 （如图）的活塞在获得初速度v0后，在液压 缸内作直线运动。若液体对活塞的阻力F正比于活塞的速度v，即F =μv，其中μ为比例系数。求活塞相对于液压缸的运动规律，并确定 液压缸的长度值。
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第七章 质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
7.1.2 质点运动微分方程
设质量为m的质点M，在合力F的作用下沿某一曲线运动，质点 M的位置用对于坐标原点O的矢径r表示（如图），由运动学知该质 z 点的加速度a与矢径r的关系为 a dv d 2 r a dt dt 2 v 式中：v——质点的速度。 M r 将上式代入牛顿第二定律公式得 O y 2 dv dr ma m m 2 F x dt dt 这就是矢量形式的质点运动微分方程。 在具体计算中，都采用上式的投影形式，根据坐标系的不同有 以下两种： 目录
第七章 质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 将上式写为 再次积分
dx v0 e kt dt
kt d x v e 0 dt 0 0 x t
v0 kt x ( 1 e ) 解得 k 即为活塞的运动规律。 当t→∞时，e-kt→0，由v=v0e-kt 可知，活塞的速度趋于零；由上 式可知，此时x趋于最大值。由此确定液压缸的长度为 v0 m v0 xmax k
第三篇 动力学
第三篇 动力学
在静力学中，我们研究了物体在力系作用下的平衡问题。在运 动学中，我们仅从几何的角度研究物体的运动规律，而未涉及物体 运动变化的原因。在动力学中，我们将研究物体运动的变化与其质 量、作用于其上的力之间的关系。可见动力学是理论力学的主体,静 力学只是动力学的特殊情况,运动学是为动力学作必要的准备。 动力学是在生产实践过程中形成和发展的，随着现代工业和科 学技术的发展，在机械、水利、建筑、采矿、化工、航空航天等工 程实际中，都需要应用动力学的基本理论。在土木工程中要解决动 力基础的隔振与减振，桥梁和水坝在动荷载作用下的振动及抗震， 高层建筑中出现的新问题等更离不开动力学的理论。我们在动力学 部分着重介绍质点及刚体的运动微分方程、动能定理、达朗贝尔原 理等三部分内容，为专业课的学习和今后的工作打好必要的理论基 础。
第七章 质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 将刚体平动微分方程投影到固定的直角坐标轴上，得质心运动 定理的投影形式。
dvCx d 2 xC m aCx m m 2 X dt dt dvCy d 2 yC m aCy m m 2 Y dt dt dvCz d 2 zC m aCz m m 2 Z dt dt 式中：xC、 yC、 zC ——质心的直角坐标； vCx、 vCy、 vCz ， aCx、aCy、aCz ——质心的速度和加速度在直 角坐标轴上的投影； ΣX、ΣY、ΣZ ——作用于刚体上的外力在直角坐标轴上投影的 代数和。
第七章 质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 FA = FB
FA FB sin W W a
g
故
a W (1 ) g FA FB 2 sin
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第七章 质点与刚体的运动微分方程\刚体定轴转动微分方程
7.2 刚体定轴转动微分方程
设刚体在外力作用下以角速度、角加速度 绕固定轴z转动，如图所示。考虑刚体内任意一 点M i，由运动学知其绕z轴作圆周运动。若该质 点的质量为mi ,它到转动轴z的距离为ri ，则它的 切向加速度为 airi· 根据弧左边形式的运动微分方程，列出质点 Mi在运动轨迹切向的微分方程 mi aiτ mi ri Fiτ 式中：—— Fi作用于该质点所有力的合力Fi在轨迹切向上的投影。 将上式两边同乘以ri，得
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第七章 质点与刚体的运动微分方程
第七章 质点与刚体的运动微分方程
本章在介绍动力学基本方程的基础上，给出质点及刚体平动、 定轴转动、平面运动的运动微分方程，并应用它们求解质点和刚体 动力学的两类基本问题。
7.1 质点运动微分方程
7.2 刚体定轴转动微分方程
7.3 转动惯量及其计算
7.4 刚体平面运动微分方程
两边积分 得
vdv
0
v
0
gl sin d
v2=2gl(cos -cos 0) 目录
第七章 质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 代入式（b）得 故 2mg(cos －cos 0)=F－mgcos F =3mgcos －2mgcos 0 Fmax=mg(3－2cos 0)
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第七章 质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
【例7.3】如图所示，单摆由长l的细绳和质量为m的小球悬挂于 O点构成。当细绳与铅垂线之间的夹角为θ0时，单摆由静止释放， 若不计空气阻力，求绳所受的最大拉力。
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第七章 质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
【解】 取小球为研究对象。小球受重力W 和绳的拉力F的作用。沿小球的轨迹（以O为 圆心、l为半径的圆弧）建立弧坐标，原点在铅 垂位置，正方向为由左向右。列出小球的运动 微分方程 dv ma τ m mg sin (a) dt v2 m an m F m g cos (b) l dv ds m mg sin 由式(a)得 ds dt vdv=－gsin ds=－glsin d 或
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第七章 质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
【例7.4】 如图所示，将重为W 的构件沿铅垂方向吊起，在开 始阶段的加速度为a，绳索与水平方向的夹角为，求绳索的张力。
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第七章 质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 【解】 构件可看作刚体，起吊 时沿铅垂方向向上作直线平移，可应 用质心运动定理求解。 取构件为研究对象，作用于构件 上的力有重力W，绳索在A，B 处的 拉力FA、FB，受力如图所示。 建立相对于地面静止的直角坐标系 Oxy,由质心运动定理可得 W aCx FA cos FB cos g W aCy FA sin FB sin W g 构件以加速度a沿y 轴正向作平移，可知aCx=0、aCy=a ，代入上 两式，得 目录