图(第七章)

？借助邻接矩阵是否可以判断： 1）任意两个顶点之间是否相连？ 2）各个顶点的度是多少？
对于无向图而言：顶点Vi的度是邻接矩阵中第i行 （或列）的元素之和。
对于有向图而言： 顶点Vi的出度是邻接矩阵中第i行的元素之和。 顶点Vi的入度是邻接矩阵中第i列的元素之和。
3.类似地可以定义网的邻接矩阵为：
有向图的邻接表
A B E
结论1： 第i个链表中结点 数目为顶点i的出度 结论2： 在有向图的邻接表中 不易找到指向该顶点的弧。
0 A 1 B 2 C 3 D
1 2 3 0
4
C
D
在有向图的邻接表中，
对于每个顶点链接的是 由该顶点出发的弧。
1
4 E
2
有向图的逆邻接表
B
A E
在有向图的邻接表
7.2 图的存储表示
B
A F E
C
D
A
B
C
D
E
F
0 1 0 0 1 0
1 0 0 0 1 1
0 0 0 1 0 1
0 0 1 0 0 1
1 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0
A B C D E F
一、图的数组(邻接矩阵)存储表示
1.定义: 矩阵的元素为 Aij= B A F E C
A
{ 1 (i,j)VR
1 0 0 1 0
0 1 0 0 1
0 0 1 0 0
1 0 0 0 0
A B C D E
借助邻接矩阵是否可以判断： 1）任意两个顶点之间是否相连？ 2）各个顶点的度是多少？
A B C D E
A
B
C D
E
0 0 0 1 0
1 0 0 1 0
0 1 0 0 1
0 0 1 0 0
1 0 0 0 0
A B C D E
访问顶点 V ： for (W1、W2、W3 ) 若该邻接点Wi未被访问， 则从它出发进行深度优先搜索遍历。
从上页的图解可见:
1）从深度优先搜索遍历连通图的过
程类似于树的先根遍历； 2）如何判别V的邻接点是否被访问？ 解决的办法是：为每个顶点设立一 个 “访问标志 visited[w]”。 Flash演示
C
D
C
D
假设一个连通图有 n 个顶点和 e 条边， 其中 n-1 条边和 n 个顶点构成一个极小 连通子图，称该极小连通子图为此连通图 的生成树20。 B A F E C D
对非连通图，则 称由各个连通分 量的生成树的集 合为此非连通图 的生成森林21。
图 有向图 弧 有向完全图 无向图 边 完全图
点集和弧集构成的图为有向图。
例如: G1 = (V1, VR1)
A
B C D E
其中 V1={A, B, C, D, E} VR1={<A,B>, <A,E>,
<B,C>, <C,D>, <D,B>, <D,A>, <E,C> }
A B C D E B C
A E D
A
B E
C
D
3.若<v, w>VR 必有<w, v> 4.由顶点集和 VR,则称 (v,w) 为顶点v 和 边集构成的图 顶点 w 之间存在一条边。 称作无向图。 例如: G2=(V2,VR2) V2={A, B, C, D, E, F}
遍历 三、基本操作：
DFSTraverse(G, v, Visit());
//从顶点v起深度优先遍历图G，并对每 //个顶点调用函数Visit一次且仅一次。
BFSTraverse(G, v, Visit());
//从顶点v起广度优先遍历图G，并对每 //个顶点调用函数Visit一次且仅一次。
END:7.1 抽象数据类型图的定义
B
A
B C F E
假设图中有 n 个顶点，e 条边，则
含有 e=n(n-1)/2 条边的无向图称为 完全图3 ； 含有 e=n(n-1) 条弧的有向图称为 有向完全图4 ； 若边或弧的个数 e<nlog2n，则称 6。 作稀疏图5，否则称作稠密图 ，
假若顶点v 和顶点w 之间存在一条边， 则称顶点v 和w 互为邻接点7，
A B C D E F
0 (i,j)VR
D
2.特点：对称！
0 1 0 0 1 0
1 0 0 0 1 1
0 0 0 1 0 1
0 0 1 0 0 1
1 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0
B C D E F
有向图的邻接矩阵 也为对称矩阵吗? 不一定！
A B C D E
A
B C D E
0 0 0 1 0
B
C D
VR2={(A,B),(A,E), (B,E), A
(C,D),(D,F),(B,F),(C,F)} 也可(E,B)
F
E
二、名词和术语
15
A
21 2
9
B
3
7
11
弧或边带权的图
E
C
F
分别称作有向网或 无向网2 。
设图G=(V,{VR}) 和图 G=(V,{VR}), 且 VV, VRVR, 则称 G 为 G 的子图1。
A[i][j]=
wij ∞ 若（i,j）∈E(G)或〈i,j〉∈E(G) 其它情形
1 2 3 4 5
1
6 4 5 7 2 3 9
2
1
2
1
3
8
4
3 4 5
6 1 6 8 1 2 8 2 3 9 4 7
3 9 4 一种链式存储结构。 一种链式存储结构。在 邻接表中，对图中每个
D. 112
条边。 D. 8
4.有8个结点的有向完全图有 条边。 A．14 B. 28 C. 56
D. 112
巩固练习(2)
5.一个图中，所有顶点的度数之和等于图的边数的 A．1/2 B.1 C.2 D.4 倍。
6.任何一个无向连通图的最小生成树有 A．只有一棵 B. 一棵或多棵 C. 一定有多棵 D. 可能不存在 7.如果n个顶点的图是一个环，则它有 A．n B. n*(n-1) C. n*(n-1)/2
棵。
棵生成树。 D. 1
结构的建立和销毁 三、基本操作：
CreatGraph(&G, V, VR):
// 按定义(V, VR) 构造图 DestroyGraph(&G):
// 销毁图
三、基本操作： 对顶点的访问操作
LocateVex(G, u); // 若G中存在顶点u，则返回该顶点在 // 图中“位置” ；否则返回其它信息。 GetVex(G, v); // 返回 v 的值。
若图G 中任意两个顶 点之间都有路径相通， 则称此图为连通图16； A B A
F E
B
C D
C
D
F
E
若无向图为非连通图， 则图中各个极大连通 子图称作此图的连通 分量17。
若任意两个顶点之间都存在一 对有向图， 条有向路径，则称此有向图为强连通图18。 否则，其各个强连通子图称作它的强连 通分量19。 A B E B A E
ADT Graph{
数据对象V： V是具有相同特性的数据元素的集合。 数据关系R： R=｛VR｝ VR＝{<v,w>| v,w∈V 且 P(v,w)， <v,w>表 示从 v 到 w 的一条弧， 谓词 P(v,w) 定义了弧 <v,w>的意义或信息} 基本操作：……
｝
2.由于“弧”是有方向的，因此称由顶 由于“弧”是有方向的，
第 7章 图
A B C D E
图是一种较线性表和树更为复杂 的数据结构。也是日常生活中应用广 泛的结构之一。
线性结构：数据元素之间仅有线性关系， 每个数据元素只有一个直接前 驱，一个直接后继。
树型结构：数据元素之间有着明显的层次 关系，并且每一个层上的数据 元素可能和下一层中多个元素 相关，但只能和上一层中一个 元素（双亲结点）相关。 图形结构：结点之间的关系可以是任意的， 图中任意两个数据元素之间都可能 相关。
中，对于每个顶点
C
0 A
3
3 4 2 0
D
0 1
链接的是指向该顶
点的弧。
结论： 第 i 个链表中结点
数目为顶点i的入度
1 B
2 C
3 D
4 E
巩固练习
例1：已知如图所示的有向图，请给出该图的:
1.每个顶点的入/出度 2.邻接矩阵
3.邻接表
4.逆邻接表
巩固练习
例1：已知如图所示的有向图，请给出该图的:
7.1 抽象数据类型图的定义 一、图的定义
非空
1.图是由一个顶点集 V 和一个弧集 R构成的数 A 据结构。 B E Graph = (V , R ) R=｛VR｝ 其中：VR＝{<v,w>| v,w∈V 且 P(v,w)} C D <v,w>表示从 v 到 w 的一条 的一条弧，并称 弧，并称 v 为 弧尾，w 为弧头。 谓词 P(v,w) 定义了弧 <v,w>的意义或信息。
B A F
C D E
顶点建立一个单链表，
第i个单链表中的结点表
示依附于顶点Vi的边
（对有向图而言是以顶 点Vi为尾的弧）。
二、图的邻接表存储表示（2）
0 1 2 3 4 5
A B C D E F
1 0 3 2 0 1
4 4 5 5 1 2
B
5
C D
A F E
结论：第i个链表中结点
3
数目为顶点i的度
TD(B) = 3