2011年南京理工大学843量子力学考研试题
《量子力学》22套考研自测题+答案
。
2．在量子力学中，一个力学量是否是守恒量只决定于
的性
质，也就是说，决定于该力学量是否与体系的
对易，而与
体系的
无关。一个力学量是否具有确定值，只决定于体系
的
，也就是说，决定于体系是否处于该力学量的
，
无论该力学量是否守恒量。
二、（本题 15 分）
1．设全同二粒子的体系的 Hamilton 量为 Hˆ （1，2，），波函数为
（1） Nˆ ≡ aˆ +aˆ 本征值必为实数。
（2） Nˆ 2 = Nˆ
（3） Nˆ 的本征值为 0 或者 1。
2．利用对易式σ ×σ = 2iσ ，求证：{σ i ,σ j }= 0 ，(i, j = x, y, z) ，其中，σ i ,σ j
为 Pauli 矩阵。
三、（本题 15 分）
1．设氦原子中的两个电子都处于 1s 态，（不简并）两个电子体系的
ψ (x,0) =
α⎡
π
⎢ ⎣
1− 3
2 3
⎤ αx⎥
⎦
exp(−
1 2
α
2x2)
α
，其中
=
μω
，求
1、在 t = 0 时体系能量的取值几率和平均值。
2、 t > 0 时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值
四、（15 分）当 λ 为一小量时，利用微扰论求矩阵
⎜⎛ 1 2λ
0 ⎟⎞
⎜ 2λ 2 + λ 3λ ⎟
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量子力学自测题（１）
一、简答与证明：（共 25 分） 1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。 （4 分） 2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6 分） 3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全 同粒子体系的波函数。（4 分）
免费的南大历年《量子力学》的真题
南京大学1998年硕士研究生考试试题——量子力学(一) 20分 有半壁无限高势垒的一维阱 ()ax a x x V x V ><<<⎪⎩⎪⎨⎧∞=000在0V E <的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？（二）20分 一个取向用角坐标θ和ϕ确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：()ϕ2cos ˆˆ22 B L A H+=，式中A 和B 均为常数，且B A >>，2ˆL 是角动量平方算符，试用一级微扰论计算系统的p 能级（1=l ）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。
（三）20分求在一维无限深势阱中，处于()x n ψ态时的粒子的动量分布几率()2p n φ 。
（四）20分 试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果： （1）i j x i p jx i peee21ˆˆˆˆˆˆˆˆ-⋅+⋅⋅⋅=⋅ ？式中i ˆ和j ˆ分别是x 和y 方向的单位矢量。
（2）()[])(ˆˆˆˆ,ˆ'x f pip x f p px x x x = ？式中xi p x ∂∂= ˆ ，（3）系统的哈密顿算符为()r V p H+=μ2ˆˆ2 ，设()r n ϕ是归一化的束缚态波函数，则有：()n n n n r V r p ϕϕϕμϕ∇⋅=212ˆ2？（五）20分碱金属原子处在z 方向的外磁场B 中，微扰哈密顿为Bls H H H ˆˆˆ1+= ，其中S L dr dV r c H ls⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=121ˆ22μ ，()Z Z B S L c eB H 22+=μ ， 当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函数，能使微扰计算比较简单，为什么？ 注： ()()()()ϕθπim mllm e m l m l l Y P cos !!412+-+=()x x P =01；()()2/12111x x P -=；()()x x x P 2/121213-=()()22213x x P -=专业: 理论物理、粒子物理与原子核物理(20分) 一、 t ＝0时，粒子的状态为][sin )(2kx A x =φ，求此时动量的可能测值和相应的几率，并计算动量的平均值。
免费的南大历年《量子力学》的真题,真题
南京大学1998年硕士研究生考试试题——量子力学专业: 理论物理、粒子物理与光学(一) 20分 有半壁无限高势垒的一维阱 ()ax a x x V x V ><<<⎪⎩⎪⎨⎧∞=000在0V E <的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？（二）20分 一个取向用角坐标θ和ϕ确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：()ϕ2cos ˆˆ22 B L A H+=，式中A 和B 均为常数，且B A >>，2ˆL 是角动量平方算符，试用一级微扰论计算系统的p 能级（1=l ）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。
（三）20分求在一维无限深势阱中，处于()x n ψ态时的粒子的动量分布几率()2p n φ 。
（四）20分 试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果： （1）i j x i p jx i peee21ˆˆˆˆˆˆˆˆ-⋅+⋅⋅⋅=⋅ ？式中i ˆ和j ˆ分别是x 和y 方向的单位矢量。
（2）()[])(ˆˆˆˆ,ˆ'x f pip x f p px x x x = ？式中xi p x ∂∂= ˆ ，（3）系统的哈密顿算符为()r V p H+=μ2ˆˆ2 ，设()r n ϕ是归一化的束缚态波函数，则有：()n n n n r V r p ϕϕϕμϕ∇⋅=212ˆ2 ？（五）20分碱金属原子处在z 方向的外磁场B 中，微扰哈密顿为Bls H H H ˆˆˆ1+= ，其中S L dr dV r c H ls⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=121ˆ22μ ，()Z Z B S L c eB H 22+=μ ， 当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函数，能使微扰计算比较简单，为什么？ 注： ()()()()ϕθπim mllm e m l m l l Y P cos !!412+-+=()x x P =01；()()2/12111x x P -=；()()x x x P 2/121213-=()()22213x x P -=南京大学1999年硕士研究生考试试题——量子力学专业: 理论物理、粒子物理与光学(20分) 一、 t ＝0时，粒子的状态为][sin )(2kx A x =φ，求此时动量的可能测值和相应的几率，并计算动量的平均值。
南京理工大学历年大物试卷及答案剖析
2011级大物试卷及答案一、选择题（每题2分，共20分）1、一质点从静止出发绕半径为R 的圆周作匀变速圆周运动，角加速度为α，当该质点走完一圈回到出发点时，所经历的时间为 （ B ）（A ）R 221α； （B ）απ4； （C ）απ2； （D ）条件不够不能确定。
2、有一个小球，置于一个光滑的水平桌面上，有一绳其一端连接此小球，另一端穿过桌面中心的小孔，该小球原以角速度ω在距孔为r 的圆周上转动，今将绳从小孔缓慢往下拉的过程中，则对小球下列叙述正确的是 （ C ） （A ）角动量、动能、动量都不变； （B ）角动量、动能、动量都改变； （C ）角动量不变，动能、动量都改变； （D ）角动量和动量不变，动能改变。
3、均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图1。
今使棒从水平位置由静止开始下落。
在棒摆动到竖直位置的过程中，则应 （ A ） （A ）角速度从小到大，角加速度从大到小； （B ）角速度从小到大，角加速度从小到大； （C ）角速度从大到小，角加速度从大到小； （D ）角速度从大到小，角加速度从小到大。
4、一简谐振动曲线如图2所示，则振动周期为 （ D ） （A ）2.62s ； （B ）0.42s ； （C ）0.38s ； （D ）2.40s5、传播速度为100m/s ，频率为50Hz 的平面简谐波，在波线上相距为0.5m 的两点之间的位相差为 （ C ）（A ）3π； （B ）6π； （C ）2π； （D ）4π。
6、如图3所示，设某热力学系统经历一个准静态过程b →c →a ，a ，b 两点在同一条绝热线上，则该系统在b →c →a 过程中 （ D ） （A ）只吸热，不放热； （B ）只放热，不吸热；（C ）有的阶段吸热，有的阶段放热，吸收的热量等于放出的热量； （D ）有的阶段吸热，有的阶段放热，吸收的热量大于放出的热量； （E ）有的阶段吸热，有的阶段放热，吸收的热量小于放出的热量。
量子力学习题答案
量子力学习题答案1.2在0k附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。
解：由德布罗意波粒二象性的关系知：Eh；ph/由于所考虑的电子是非相对论的电子（Ek(3eV)ec2(0.51106)），故：EP2/(2e)h/ph/2eEhc/692ecE621.24100.7110/20.51103m0.71nm1.3氦原子的动能是E=1.5kT，求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。
解：对于氦原子而言，当T1K时，其能量为E于是有h/ph/2HeE3432kT321.3811023JK11K2.071023J6.6261026.6901027J231.26nmJkg2.0710一维谐振子处于(某)Ae2某/22状态中，其中为实常数，求：1.归一化系数；2.动能平均值。
（解：1.由归一化条件可知：e某22d某/）(某)(某)d某A2某Ae2某22d某1/1取相因子为零，则归一化系数A1/2/1/42.T222某(某)T(某)d某Ae某222/222某/2(P/2)ed某2A2e某/2(2222d2d某dd某)e某22/2d某222A22e某/2(某e2某22/2)d某2/2A{某e22某22(某e22某22)d某}22222A24某e1212222某22d某222A(241222)2某d(e某22)A(24){某e某e某d某}422＝A(24（)）＝A422＝若＝，则该态为谐振子的基态，T4解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H定理是非常方便的。
一维谐振子的哈密顿量为：H22d2d某12某22它的基态能量E012选择为参量，则:dE0d12；dHdTd2d某2(2d22d某)2T0dHd020dHd02T12由F-H定理知：可得：dE0dT1422.2由下列定态波函数计算几率流密度：(1)11reikr(2)21reikr从所得结果说明1表示向外传播的球面波，2表示向内(即向原点)传播的球面波。
量子力学考试题
量子力学考试题量子力学考试题（共五题，每题20分）1、扼要说明：（a ）束缚定态的主要性质。
（b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。
2、设力学量算符（厄米算符）∧F ，∧G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧F ），试证明：（a ）∧K 的本征值是实数。
（b ）对于∧F 的任何本征态ψ，∧K 的平均值为0。
（c ）在任何态中2F +2G ≥K3、自旋/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为S H ??ω=∧H ＝ω∧z S +ν∧x S （ω，ν>0，ω?ν）（a ）求能级的精确值。
（b ）视ν∧x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。
4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0<x</x5、某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。
已知单粒子“轨道”态只有3种：a ψ(→r )，b ψ(→r )，c ψ(→r )，试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。
（i ）无自旋全同粒子。
（ii ）自旋 /2的全同粒子（例如电子）。
量子力学考试评分标准1、（a ），（b ）各10分（a ）能量有确定值。
力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。
（b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’）选择定则：l ?＝1±，m ?＝0,1±，s m ?＝0 根据：电矩m 矩阵元-e →r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分（a ）∧K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。
（b ）∧F ψ＝λψ，ψ∧F ＝λψ K ＝ψ∧K ψ＝i ψ∧F ∧G -∧G ∧F ψ ＝i λ｛ψ∧G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧F 2+∧G 2-∧Kψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧F -i ∧G )ψ︱2≥0 ∴<∧F 2+∧G 2-∧K >≥0，即2F +2G ≥K 3、(a)，(b)各10分(a) ∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝2 ω［1001-］+2 ν［0110］＝2 ［ωννω-］∧H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2λ，则［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λωννλω---︱＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2 22νω+，E 2＝222νω+ 当ω?ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+2 22ων）＝ω+ων22E 1≈-2 ［ω+ων22］，E 2 ＝2［ω+ων22］（b ）∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝∧H 0+∧H’，∧H 0＝ω∧z S ，∧H ’＝ν∧x S∧H 0本征值为ω 21±，取E 1（0）＝-ω 21，E 2（0）＝ω 21相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01 ]则∧H ’之矩阵元（S z 表象）为'11H =0，'22H =0，'12H ＝'21H ＝ν 21E 1＝E 1（0）+'11H +)0(2)0(12'21E E H-＝-ω 21+0-ων2241＝-ω21-ων241 E 2＝E2（0）+'22H +)0(1)0(22'12E E H -＝ω 21+ων2414、E 1＝2222ma π，)(1x ψ＝0sin 2a xa π a x x a x ≥≤<<,00x ＝dx x a ?021ψ＝2sin 202a dx a x x a a=?π x p ＝-i ?=a dx dx d011ψψ-i ?=aa x d a 020)sin 21(2π x xp ＝-i ??-=aaa x d a x x a i dx dx d x 0011)(sin sin 2ππψψ ＝-a a x xd a i 02)(sin 1π ＝0sin [12a a x x a i π --?adx a x 02]sin π＝0+?=ai dx ih 02122 ψ 四项各5分5、（i ），（ii ）各10分（i ）s ＝0，为玻色子，体系波函数应交换对称。
中科院量子力学真题
x <a 势场中运动 (V0 > 0 ) 。试求系统能级或能级方 x >a
-6-
putiansong 3@
试证明位力定理：
ψn
ˆ2 p 1 � � ψ n = ψ n r ⋅∇V (r ) ψ n 2m 2 ˆ2 1 p 4 ˆ ' = −λ p ˆx + mω 2 x 2 ，设受到微扰 H 的作 2m 2
-1-
putiansong 3@
（1）求其能级和本征函数；
⎧V1 , −α < ϕ < 0 ˆ ' = V (ϕ ) = ⎪ （2）加 H ⎨V2 , 0 < ϕ < α 微扰， ⎪ 0, 其他 ⎩
求对最低的两能级的一级微扰修正。 注：在坐标系中 ∇ 2 =
1 ∂ ∂ 1 ∂2 ∂2 。 (r ) + 2 + r ∂r ∂r r ∂ϕ 2 ∂z 2 ⎧ 0, 0 < x < a 中运动， t = 0 时刻处于基态， 此 ⎩∞, a < x, x < 0
ˆ = 五、一维谐振子系统哈密顿量为 H 0
用，试求对第 n 个谐振子能级的一级微扰修正。
ˆ n = （已知矩阵元 n ' x ℏ ( n + 1δ n ', n+1 + nδ n ', n−1 ) ） 2mω
� � 1⎛r � � r⎞ ˆ ˆ ˆ r = ⎜ ⋅ p + p ⋅ ⎟ ，则： 二、 (30') 在三维体系中粒子的径向动量算符 p 2⎝ r r⎠ ˆ r 是否为厄密算符，为什么？ （1） p ˆ r 的表示； （2）写出在球坐标系中 p ˆr ] = ? （3）求 [ r, p
汇总高校量子力学考研试题
习题1一、填空题1．玻尔的量子化条件为。
2．德布罗意关系为。
3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。
4．波函数的统计解释：_______________________________________________________________________________________________5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几率为。
6．波函数的标准条件为。
7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。
8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子___________守恒。
9．力学量算符应满足的两个性质是。
10．厄密算符的本征函数具有。
11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为_______________________________________________。
12.______;_______;_________。
28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___。
13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。
14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。
15．隧道效应是指__________________________________________。
16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。
17．为氢原子的波函数，的取值范围分别为。
18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为。
19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符与态矢量的关系为__________。
20．力学量算符在态下的平均值可写为的条件为____________________________。