D1-4 极限的运算法则
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1-4极限的基本性质
如何求 M ？ 可取
M max{ x1 , x2 ,..., x N , a 1}.
证 设 取 1 , 则 N Z , 当n N 时, 有
xn a 1 ,
从而有
xn a a 1 a
M max x1 , x2 , , x N , 1 a
取 则有
xn M ( n 1 , 2 , ) .
即收敛数列必有界.
注
关系： xn 收敛
xn 有界
反之未必成立 . 例如, 数列 ( 1 )n1 虽有界但不收敛 .
推论 无界数列必发散. 定理1.2'(函数极限的局部有界性) 如果极限 lim
x
f ( x ) 存在,
例如: 数列 xn 1 n 1 （ ）
数列 xn 2
[ M , M ]上.
n
有界
无界
数 轴 上 对 应 于 有 界 数 列 的 点 xn 都 落 在 闭 区 间
定理1.2 (收敛数列的有界性) 如果数列 { xn }收敛,那么数列
{ xn } 一定有界.
问题
xn
对于无限多项
( n 1, 2, ...)，
f ( x) A .
又 lim xn x0 且 xn x0 ,
n
对上述 0, 正整数N , 使当n N时, 恒有
0 xn x0 .
从而有 f ( xn ) A , 故 lim f ( xn ) A.
n
注 1° 常常利用上述结果来求数列的极 限:
n
ab 2
,
故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有
ab 2 ab 2 xn
高数上D1_4函数的极限
内容小结
1. 函数极限的
或
定义及应用
2. 函数极限的性质:
保号性定理
与左右极限等价定理
思考与练习
1. 若极限
存在,
2. 设函数
且
存在, 则
例3
Th1
Th3
Th2
是否一定有
？
或
即
当
时, 有
若
记作
几何解释:
极限存在
函数局部有界
这表明:
例2. 证明
证:
欲使
取
则当
时 , 必有
因此
只要
例3. 证明
证:
故
取
当
时 , 必有
因此
例4. 证明: 当
证:
欲使
且
而
可用
因此
只要
时
故取
则当
时,
保证 .
必有
三. 左极限与右极限
左极限 :
当
时, 有
右极限 :
当
时, 有
定理 1 .
例5. 设函数
证:
取
因此
注:
就有
故
欲使
即
直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
两种特殊情况 :
当
时, 有
当
时, 有
几何意义 :
例如，
都有水平渐近线
都有水平渐近线
又如，
二、自变量趋于有限值时函数的极限
定义2 . 设函数
在点
的某去心邻域内有定义 ,
当
时, 有
则称常数 A 为函数
当
时的极限,
第一章
二、自变量趋于有限值时函数的极限
1. 函数极限的
或
定义及应用
2. 函数极限的性质:
保号性定理
与左右极限等价定理
思考与练习
1. 若极限
存在,
2. 设函数
且
存在, 则
例3
Th1
Th3
Th2
是否一定有
？
或
即
当
时, 有
若
记作
几何解释:
极限存在
函数局部有界
这表明:
例2. 证明
证:
欲使
取
则当
时 , 必有
因此
只要
例3. 证明
证:
故
取
当
时 , 必有
因此
例4. 证明: 当
证:
欲使
且
而
可用
因此
只要
时
故取
则当
时,
保证 .
必有
三. 左极限与右极限
左极限 :
当
时, 有
右极限 :
当
时, 有
定理 1 .
例5. 设函数
证:
取
因此
注:
就有
故
欲使
即
直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
两种特殊情况 :
当
时, 有
当
时, 有
几何意义 :
例如，
都有水平渐近线
都有水平渐近线
又如，
二、自变量趋于有限值时函数的极限
定义2 . 设函数
在点
的某去心邻域内有定义 ,
当
时, 有
则称常数 A 为函数
当
时的极限,
第一章
二、自变量趋于有限值时函数的极限
(完整版)极限四则运算法则
极限四则运算法则由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。
定理 1 若 limf(x) A,lim g(x) B ，则 lim[f(x) g(x)]存在，且lim[ f (x) g (x)] A B lim f (x) lim g(x)。
所以 lim(f (x)g(x))x x o其它情况类似可证。
注：本定理可推广到有限个函数的情形。
定理 2:若 lim f (x) A,lim g(x) B ，则 lim f (x)证明：只证lim[ f(x)g(x)] A B ，过程为 xX 0， 对 0, i 0，x X o时，有f (x) A 3,对此，20,当 0 x x o时，有g(x)(f(x)g(x)) (A 2，取 min{2｝，当 0 x x o 时，有B)| |(f(x) A)(g(x) B) f(x)A |g(x)lim f (x)g(x)AB lim f(x)lim g(x)。
证明：因为lim f (x) 代 lim g(x) B ，f (x) A ,g(x) (,均为无穷小)f(x)g(x) (A)(B) AB(A )，记为无穷小,lim f(x)g(x)AB 。
推论1： lim[ cf (x)] clim f (x) ( c 为常数)。
推论2： lim[ f(x)]n[lim f (x)]n(n 为正整数)。
定理3：设 lim f (x) A,lim g(x)A lim f(x)B lim g (x)g(x)存在,证明：设f(x) A ,g(x) B (,为无穷小)，考虑差:【例 11 lim (ax b) lim ax lim ba lim xb ax o b 。
x X o x x o x x ox x o【例 2】 lim x n[lim x]nx o n 。
x X ox x o推论 1: 设 f(x)a o x na 1x n 1an 1xa n 为一多项式，当 lim f(x)n a o xo n 1a 1 xo an1x o anf (x o )。
高等数学1-4极限的运算法则
u u0
说明：此公式形式多样；有时需区分正负 例题 计算
(1) lim arctan e x , lim arctan e x , lim arctan e x
x x x
1 1 1 (2) lim arc cot , lim arc cot , lim arc cot x 0 x x 0 x x 0 x
问答：P45-1（4，6，14） 作业：P45-1（1，2，3，15）
讨论：如果两个函数极限都不存在，那么 二者和差积商的结果如何呢？ 例 P46-5（ B）
三． 复合函数极限法则P47
定理2. 设 lim g ( x) u，则 0
x x0
x x0
lim f ( g ( x)) lim f (u )
小结 一、确定型 1.代入 2.四则运算、复合运算 3.无穷小、无穷大小关系 二、未定型 1.0/0 消零因子 2. ∞/∞ 同除∞ 3. ∞-∞ 通分、有理化
讨论：下列运算错在何处 ？
1 1 1 (1) lim sin x cos lim sin x lim cos 0 lim cos 0; x0 x0 x0 x x0 x x
第四节 极限的运算法则
一 、无穷小与无穷大 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则
一、无穷小与无穷大P37
定义1：在自变量x的某一变化过程中，如
果函数f(x)的极限是0，那么就称f(x)是x的这 一变化过程中的无穷小
定义2：在自变量x的某一变化过程中，如
果函数f(x)的绝对值无限增大，那么就称f(x) 是x的这一变化过程中的无穷大，记为 lim f ( x)
说明：此公式形式多样；有时需区分正负 例题 计算
(1) lim arctan e x , lim arctan e x , lim arctan e x
x x x
1 1 1 (2) lim arc cot , lim arc cot , lim arc cot x 0 x x 0 x x 0 x
问答：P45-1（4，6，14） 作业：P45-1（1，2，3，15）
讨论：如果两个函数极限都不存在，那么 二者和差积商的结果如何呢？ 例 P46-5（ B）
三． 复合函数极限法则P47
定理2. 设 lim g ( x) u，则 0
x x0
x x0
lim f ( g ( x)) lim f (u )
小结 一、确定型 1.代入 2.四则运算、复合运算 3.无穷小、无穷大小关系 二、未定型 1.0/0 消零因子 2. ∞/∞ 同除∞ 3. ∞-∞ 通分、有理化
讨论：下列运算错在何处 ？
1 1 1 (1) lim sin x cos lim sin x lim cos 0 lim cos 0; x0 x0 x0 x x0 x x
第四节 极限的运算法则
一 、无穷小与无穷大 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则
一、无穷小与无穷大P37
定义1：在自变量x的某一变化过程中，如
果函数f(x)的极限是0，那么就称f(x)是x的这 一变化过程中的无穷小
定义2：在自变量x的某一变化过程中，如
果函数f(x)的绝对值无限增大，那么就称f(x) 是x的这一变化过程中的无穷大，记为 lim f ( x)
D1-4=1=无穷大与无穷小 极限运算法则
无穷小因子析出法
解 x 时, 分子,分母的极限均为无穷大.
3 x 方 法 先用 去除分子分母, 分出无穷小,
无穷小分出法 求有理函数当 x 的极限时, 先将分子、分母同除以x 的最高次幂, 以分出 无穷小, 再求极限.
3 2 1 2 3 3x 2x 1 0 x x x lim 3 lim 0. x x 3 x 5 x 3 5 1 1 2 3 x x
④ (2)有两个重要的推论
推论1 如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则
lim[cf ( x )] c lim f ( x ).
常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 如果 lim f ( x )存在, 而n是正整数, 则
lim[ f ( x )]n [lim f ( x )]n .
取 min{ 1 , 2 }, 则当 0 x x0 时, 恒有 u u M , M 当x x0时, u 为无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
x x0
f ( x ) A ( x ).
充分性 设 f ( x ) A ( x ),
其中 ( x )是当x x0时的无穷小 ,
则 lim f ( x ) lim ( A ( x )) A lim ( x ) A.
x x0 x x0
x x0
取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 x N时, 恒有 , 2 2 0 ( x )
无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
高等数学 1-4 无穷小与无穷大及极限运算法则
( 1) n
n
0 , 数列 {
( 1) n
}是当 n 时的无穷小
.
无穷小的运算性质:
(1) 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是 无穷小. 注：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
例如 , n 时 , 但 n个 1 n 1 n 之和为 1不是无穷小 . 是无穷小，
无穷小与无穷大的关系
定理 在同一种变化情况下,
(1)无穷大的倒数为无穷小;
(2)恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷 小的讨论.
补充：
分清无穷小和有界，无穷大和无界这两组概念 无穷大必无界，而无界未必无穷大
极限运算法则
e . g .1 .求 I= lim (x h) x
)
x sin x x 1
0
(4)无穷小与函数极限的关系.
定理
x x0
lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ),
其中 ( x ) 是当 x x 0 时的无穷小.
问题：
对于f ( x) 2x
2 2
Hale Waihona Puke x 3，能否将其表示成一个无穷小+其极限的形式？
分清无穷小和有界无穷大和无界这两组概念无穷大必无界而无界未必无穷大混凝土衬砌渠道具有防渗抗冲效果好输水能力大经久耐用便于管理等特点
第四节 无穷小与无穷大 及极限运算法则
一、无穷小(量)
1.定义:
在自变量某种变化下， f ( x ) 以零为极限，把 f ( x ) 称为在该变化下的无穷小(量) .
若 函 数
二、无穷大(量)
定义: 在自变量某种变化下， f ( x ) 可无限增大，把 f ( x ) 称为在该变化下的无穷大(量) .
1-4极限的运算法则
若 lim( x) ， x x0
内, 则有 （证略 P20）
极限的变量代换
例7.求
解:
令
u
x3 x2 9
已知 lim u 1 x3 6
∴ 原式 =
6 6
1 6
例.求
解: 方法 1 令 u x , 则 limu 1,
x1
x 1 u2 1 u 1 x 1 u 1
例1. 求
解:
lim 1 0 x x
利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是
的渐近线 .
y sin x x
二、 极限的四则运算法则
定理 3 . (1) 若 lim f (x) A, lim g(x) B ,则有
证: 因 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
∴ 原式 lim(u 1) 2
u 1
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
x1 x 1
x1
2
内容小结
极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 极限的变量代换
注意使用条件
思考及练习
1.
问
是否存在 ? 为什么 ?
答: 不存在 . 否则由 利用极限四则运算法则可知 矛盾.
x0 x( x 1 1) x0
1
1
x11 2
例.
求极限
lim x1
x
1 1
2 x2
1
解:原式＝lim ( x 1) 2 lim 1 1 x1 ( x 1)( x 1) x1 x 1 2
三、 复合函数的极限
定理4. 设在邻域 又
内, 则有 （证略 P20）
极限的变量代换
例7.求
解:
令
u
x3 x2 9
已知 lim u 1 x3 6
∴ 原式 =
6 6
1 6
例.求
解: 方法 1 令 u x , 则 limu 1,
x1
x 1 u2 1 u 1 x 1 u 1
例1. 求
解:
lim 1 0 x x
利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是
的渐近线 .
y sin x x
二、 极限的四则运算法则
定理 3 . (1) 若 lim f (x) A, lim g(x) B ,则有
证: 因 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
∴ 原式 lim(u 1) 2
u 1
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
x1 x 1
x1
2
内容小结
极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 极限的变量代换
注意使用条件
思考及练习
1.
问
是否存在 ? 为什么 ?
答: 不存在 . 否则由 利用极限四则运算法则可知 矛盾.
x0 x( x 1 1) x0
1
1
x11 2
例.
求极限
lim x1
x
1 1
2 x2
1
解:原式＝lim ( x 1) 2 lim 1 1 x1 ( x 1)( x 1) x1 x 1 2
三、 复合函数的极限
定理4. 设在邻域 又
(完整版)极限的运算法则及计算方法
第二节 极限的运算法则
一．极限的四则运算法则 定理 设 lim f ( x) A, lim g( x) B, 则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g( x) B 推论1 如果 lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x). 常数因子可以提到极限记号外面.
3 5
（2）计算有理分式在 x 极限的运算
例4：求下列极限
2x2 2x 1
x2 4
x2
(1) lim
; (2) lim
; (3) lim
x x2 5x 4
x x 2
x x2 4
解: 由于当 x 时，分子分母均趋于无穷大，极限不存在
所以极限的四则运算法则不能用
在分子分母中同时除以 x 的最高次幂，可化为极限存在的情况
分子分母分解因式
2x2 5x 2 (2x 1)( x 2) , 3x2 7 x 2 (3x 1)( x 2)
2x2 5x 2 lim x2 3x2 7x 2
(2x 1)( x 2) lim
x2 (3 x 1)( x 2)
(2x 1) lim
x2 (3 x 1)
Q lim( x2 x 2) 0 , lim( x 2) 0
x2
x2
所以极限的四则运算法则不能用
但是 x2 x 2 ( x 2)( x 1)
x2 x 2
( x 2)( x 1)
lim
lim
lim( x 1) 3
x2 x 2
x2
x2
x2
从而可以总结出下列规律：
一．极限的四则运算法则 定理 设 lim f ( x) A, lim g( x) B, 则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g( x) B 推论1 如果 lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x). 常数因子可以提到极限记号外面.
3 5
（2）计算有理分式在 x 极限的运算
例4：求下列极限
2x2 2x 1
x2 4
x2
(1) lim
; (2) lim
; (3) lim
x x2 5x 4
x x 2
x x2 4
解: 由于当 x 时，分子分母均趋于无穷大，极限不存在
所以极限的四则运算法则不能用
在分子分母中同时除以 x 的最高次幂，可化为极限存在的情况
分子分母分解因式
2x2 5x 2 (2x 1)( x 2) , 3x2 7 x 2 (3x 1)( x 2)
2x2 5x 2 lim x2 3x2 7x 2
(2x 1)( x 2) lim
x2 (3 x 1)( x 2)
(2x 1) lim
x2 (3 x 1)
Q lim( x2 x 2) 0 , lim( x 2) 0
x2
x2
所以极限的四则运算法则不能用
但是 x2 x 2 ( x 2)( x 1)
x2 x 2
( x 2)( x 1)
lim
lim
lim( x 1) 3
x2 x 2
x2
x2
x2
从而可以总结出下列规律：
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解法 2 令 t
1 t
1 x
则 t 0 ,
1 t
2
原式 = lim
t0
1
1 t
1 2
lim
t0
1 t 1 t
2
2
lim
t0
1 1 t 1
2
§1.4 极限运算法则
作业
P21:
2，3，5，6，7，9，10
利用极限四则运算法则可知 矛盾. 2. 存在 , 与已知条件
解: 原式 lim
n ( n 1) 2n
2
n
lim
1
n 2
(1
1 n
)
1 2
§1.4 极限运算法则
3. 求
解法 1
原式 = lim
x x 1 x
2
x
lim
1 1 1 x
2
x
1
1 2
推论 1 . lim[ C f ( x)] C lim f ( x) 推论 2 . lim[ f ( x)]n [ lim f ( x) ] n 例1. 设 n 次多项式
x x0
( C 为常数 ) ( n 为正整数 ) 试证
lim Pn ( x) Pn ( x0 ).
证: lim Pn ( x)
4 31 9
x 1 2 x 1 2 x
“ 抓大头”
x
5 21
x
§1.4 极限运算法则
一般有如下结果：
lim a0 x
m
a1 x
m 1
am
x
b0 x b1 x
n
n 1
bn
为非负常数 )
( 如 P20 例4 )
( 如 P20 例5 )
§1.4 极限运算法则
第一章 函数与极限
§1.4 极限的运算法则
本节内容 一．函数极限的四则运算法则 二．复合函数的极限运算法则
§1.4 极限运算法则
一、 极限的四则运算法则
定理 1 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有 证: 因 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
A B A B A B 1
设 因此 为无穷小,
( B A ) B ( B ) 无穷小 有界
f ( x) g ( x)
所以
§1.4 极限运算法则
定理 4 .若lim f ( x) A , lim g ( x) B, 且 f ( x) g ( x), 则 A B . 例2. 设有分式函数 其中 试证:
x x0
§1.4 极限运算法则
定理 3 . 若lim f ( x) A , lim g ( x) B , 且 B≠0 , 则有
证: 因 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 有
f ( x) A , g ( x) B , 其中 , 为无穷小
二、 复合函数的极限运算法则
定理5. 设
( x) a , 又
且 x 满足
则有
时,
§1.4 极限运算法则
例7. 求 解: 令 u
x3 x 9
1 x3 1 6
2
lim u lim
x 3
x 3
∴ 原式 =
1 6
6 6
§1.4 极限运算法则
例8 . 求 解: 方法 1 令 u x , 则 lim u 1,
x 1
x 1 x 1
u 1 u 1
2
u 1
∴ 原式 lim(u 1) 2
u 1
方法 2
lim ( x 1)( x 1) x 1
x 1
lim( x 1) 2
x 1
§1.4 极限运算法则
思考及练习
1. 问 是否存在 ? 为什么 ?
答: 不存在 . 否则由
例4 . 求
解: x = 1 时, 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
x 1
lim
x 5x 4 2x 3
2
1 5 1 4 2 1 3
2
0
§1.4 极限运算法则
例5 . 求 解: 注意到 和 都不存在，但因
所以
§1.4 极限运算法则
例6 . 求
解:
分子分母同除以 x 2 , 则 原式 lim
f ( x) A , g ( x) B
(其中 , 为无穷小) 于是
f ( x) g ( x) ( A ) ( B ) ( A B) ( )
显然 也是无穷小, 由极限定义知结论成立 .
§1.4 极限运算法则
定理 2 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
x x0 x x0
都是
多项式 , 若
证:
lim R( x)
lim P ( x )
x x0
lim Q ( x )
§1.4 极限运算法则
例3.
lim ( x 3)( x 1) 3)( x 3)
x 3 ( x
lim
x 1 x3
3
x = 3 时分母为 0 !