2016届四川省成都市高三第一次诊断性检测数学(理)试题(解析版)

2016年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={x∈Z|（x+1）（x﹣2）≤0}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x＜2} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，1}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】求出A中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出A，求出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣1≤x≤2，x∈Z，即A={﹣1，0，1，2}，∵B={x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．在△ABC中，“A=”是“cosA=“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据三角函数的性质结合充分必要条件判断即可．【解答】解：在△ABC中，0＜A＜π，由“A=”⇔“cosA=”，故选：C．【点评】本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是一道基础题．3．如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为（）A ．3：1B ．2：1C ．1：1D ．1：2【考点】简单空间图形的三视图；由三视图求面积、体积． 【专题】计算题；数形结合；等体积法；立体几何． 【分析】V=V 半球﹣V 圆锥，由三视图可得球与圆锥内的长度． 【解答】解：球的半径为r ，圆锥的半径为r ，高为r ； V 圆锥=•πr 3，V 半球=×πr 3=πr 3， ∴V=V 半球﹣V 圆锥=πr 3，∴剩余部分与挖去部分的体积之比为1：1， 故选：C【点评】本题通过三视图考查几何体体积的运算，关键是掌握体积公式，属于基础题．4．设a=（），b=（），c=log 2，则a ，b ，c 的大小顺序是（ ）A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a 【考点】对数值大小的比较．【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用． 【分析】利用指数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=（）=＞b=（）＞1，c=log 2＜0，∴a ＞b ＞c ． 故选：B ．【点评】本题考查了指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．已知m ，n 为空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m∥α，m∥n，则n∥αD．若m⊥α，m∥β，则α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】对四个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，若m∥α，m∥β，则α∥β或α，β相交，不正确；对于B，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，不正确；对于C，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，不正确；对于D，因为m∥β，则一定存在直线n在β内，使得m∥n，又m⊥α可得出n⊥α，由面面垂直的判定定理知，α⊥β，此命题正确，故选：D．【点评】本题考查平面与平面之间的位置关系，空间中两个平面的位置关系主要有相交与平行，相交中比较重要的位置关系是两面垂直，解答本题，有着较好的空间立体感知能力，能对所给的模型找到恰当的实物背景作出判断是正确解答本题的关键，本题考查了利用基础理论作出推理判断的能力，是立体几何中的基本．6．执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【专题】图表型；转化思想；试验法；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S的值，并输出满足退出循环条件时的k值，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=0满足条，0≤k，S=3，n=1满足条件1≤k，S=7，n=2满足条件2≤k，S=13，n=3满足条件3≤k，S=23，n=4满足条件4≤k，S=41，n=5满足条件5≤k，S=75，n=6…若使输出的结果S不大于50，则输入的整数k不满足条件5≤k，即k＜5，则输入的整数k的最大值为4．故选：A．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模，本题属于基础知识的考查．7．已知菱形ABCD边长为2，∠B=，点P满足=λ，λ∈R，若•=﹣3，则λ的值为（）A． B．﹣C． D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．【解答】解：由题意可得=2×2×cos60°=2，•=（+）•（﹣）=（+）•[（﹣）﹣]=（+）•[（λ﹣1）•﹣]=（1﹣λ）﹣+（1﹣λ）•﹣=（1﹣λ）•4﹣2+2（1﹣λ）﹣4=﹣6λ=﹣3，∴λ=，故选：A．【点评】本题主要考查平面向量的基本定理的应用，两个向量的数量积的运算，两个向量的加减法及其几何意义，属于中档题．8．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C．若，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出直线l和两个渐近线的交点，进而根据，求得a和b的关系，根据c2﹣a2=b2，求得a和c的关系，则离心率可得．【解答】解：直线l：y=x+a与渐近线l1：bx﹣ay=0交于B（，），l与渐近线l2：bx+ay=0交于C（﹣，﹣），∵A（a，0），，∴（﹣a，）=（﹣﹣，﹣﹣），∴﹣a=（﹣﹣）∴b=2a，∴c2﹣a2=4a2，∴e2==5，∴e=，故选：C．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．9．设不等式组示的平面区域为D．若指数函数y=a x（a＞0且a≠1）的图象经过区域D上的点，则a的取值范围是（）A．[，3]B．[3，+∞）C．（0，]D．[，1）【考点】简单线性规划．【专题】作图题；函数思想；对应思想；数形结合法；不等式．【分析】由约束条件作出可行域，画出指数函数在0＜a＜1时的图象，求出图象过A（﹣1，3）时a的值，则a的范围可求．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣1，3），当函数y=a x（a＞0且a≠1）的图象经过区域D上的点A时，有a﹣1=3，即a=．由指数函数图象的特点可知，当a∈[，1）时，指数函数y=a x（a＞0且a≠1）的图象经过区域D上的点．故选：D．【点评】本题考查基地的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了指数函数的性质，是中档题．10．如果数列{a n}中任意连续三项奇数项与连续三项偶数项均能构成一个三角形的边长，则称{a n}为“亚三角形”数列；对于“亚三角形”数列{a n}，如果函数使得y=f（x）仍为一个“亚三角形”数列，则称y=f（x）是数列{a n}的一个“保亚三角形函数”（n∈N*）．记数列{a n}的前项和为S n，c1=2016，且5S n+1﹣4S n=10080，若g（x）=lgx是数列{c n}的“保亚三角形函数”，则数列{c n}的项数的最大值为（）（参考数据：lg2≈0.30，lg2016≈3.304}．A．33 B．34 C．35 D．36【考点】数列的应用．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】先利用条件求出数列{c n}的通项公式，证明其满足“亚三角形”数列．然后利用对数型复合函数的单调性得到g（c n）是单调递减函数，再由lgc n+4+lgc n+2＞lgc n求解对数不等式得答案．【解答】解：由5S n+1﹣4S n=10080，得5S n﹣4S n=10080（n≥2），两式作差得：5c n+1﹣4c n=0（n≥2）．﹣1∴（n≥2）．又c1=2016，且5S n+1﹣4S n=10080，∴5（c1+c2）﹣4c1=10080，解得，．∴．则数列{c n}是等比数列．∴．由上可知，数列{c n}是递减数列．∵=．∴数列{c n}是“亚三角形”数列；函数g（x）=lgx是增函数，则lgc n是减函数．由lgc n+4+lgc n+2＞lgc n得，．整理得：．解得：n＜33.04．则数列{c n}的项数的最大值为33．故选：A．【点评】本题是在新定义下对数列的综合考查，考查了对数函数的单调性．关于新定义的题型，在作题过程中一定要理解定义，并会用定义来解题，是中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分。

11．设复数z满足﹣iz=（3+2i）（1﹣i）（其中i为虚数单位），则z=1+5i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数z满足﹣iz=（3+2i）（1﹣i）（其中i为虚数单位），∴﹣iz=5﹣i，∴∴﹣i•iz=（5﹣i）i，化为z=5i+1．故答案为：1+5i．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题．12．（﹣2）7的展开式中，x2的系数是﹣280．【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；二项式定理．【分析】写出二项展开式的通项，由x得指数为2求得r值，则x2的系数可求．【解答】解：∵（﹣2）7的展开式的通项为=．由，得r=3．∴x2的系数是．故答案为：﹣280．【点评】本题考查二项式定理，关键是熟记二项展开式的通项，是基础的计算题．13．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污染，记甲、乙的平均成绩为，，则＞的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】由茎叶图求出，，由＞，得90＜89+，x∈N，由此能过河卒子同＞的概率．【解答】解：由已知中的茎叶图可得乙的5次综合测评中的成绩分别为87，86，92，94，91，则乙的平均成绩：=（87+86+92+94+91）=90设污损数字为x则甲的5次综合测评中的成绩分别为85，87，84，99，90+X甲的平均成绩：=（85+87+84+99+90+x）=89+，∵＞，∴90＜89+，x∈N，解得x的可能取值为6，7，8，9，∴＞的概率是p==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶力的性质的合理运用．14．如图，某房地产公司要在一块矩形宽阔地面上开发物业，阴影部分是不能开发的古建筑群，且要求用在一条直线上的栏栅进行隔离，古建筑群的边界为曲线y=1﹣x2的一部分，栏栅与矩形区域边界交于点M，N．则△MON面积的最小值为．【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】设MN为曲线y=1﹣x2的切线，切点为（m，n），由抛物线的方程，求出导数，求得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，分别令x=0，y=0可得M，N的坐标，求得△MNO的面积，再由导数求得单调区间和极小值，也为最小值，即可得到所求值．【解答】解：设MN为曲线y=1﹣x2的切线，切点为（m，n），可得n=1﹣m2，y=1﹣x2的导数为y′=﹣x，即有直线MN的方程为y﹣（1﹣m2）=﹣m（x﹣m），令x=0，可得y=1+m2，再令y=0，可得x=（m＞0），即有△MON面积为S=（1+m2）•=，由S′=（﹣+48m2+24）=0，解得m=，当m＞时，S′＞0，函数S递增；当0＜m＜时，S′＜0，函数S递减．即有m=处取得最小值，且为．故答案为：．【点评】本题考查三角形的面积的最值的求法，注意运用函数的导数，求得切线方程，再由单调性求最值，考查运算能力，属于中档题．15．已知函数f（x）=，若存在实数k使得函数f（x）的值域为[﹣1，1]，则实数a的取值范围是[2，1+]．【考点】函数的值域．【专题】作图题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由于y=log2（2﹣x）在[0，k）上是递减函数，再由函数f（x）的值域是[﹣1，1]，得到k的范围，再由y=x3﹣3x2+3的图象，结合函数的值域[﹣1，1]，从而得到a的取值范围．【解答】解：由于y=log2（2﹣x）在[0，k）上是递减函数，且x=0时，y=1，x=时，y=﹣1，故0＜k≤，画出函数f（x）的图象，令x3﹣3x2+3=1，解得x=1，1+，1﹣（舍去），令g（x）=x3﹣3x2+3，则g′（x）=3x2﹣6x，由g′（x）=0，得x=0或x=2．∴当x=2时，函数g（x）有极小值﹣1．由于存在k使得函数f（x）的值域是[﹣1，1]，故a的取值范围是[2，1+]．故答案为[2，1+]．【点评】本题考查分段函数的图象和应用，考查函数的单调性和值域，考查数形结合的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。