第5课时 直线的方程(三)

问题4 轴对称问题
(1)点(x1,y1)关于直线l:Ax+By+C=0对称的对称点(x2,y2) 可由
������2 -������1 ������ ·(- ) = -1(B ≠ 0), ������2 -������1 ������ ������2 + ������1 ������2 + ������1 得出对称点坐标. ������· + B· +C = 0 , 2 2
利用一般式解决平行与垂直问题
已知两直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0, 当 m 为何值时,直线 l1 与 l2:(1)平行;(2)垂直.
【解析】(1) l1∥l2⇔- =m 1 m -2 3
且- ≠m 1 2
6
2m 3
,解得 m=-1.
∴当 m=-1 时,l1∥l2. (2) l1⊥l2⇔(- )(m 1 m -2 3
【解析】 (1)因为 k=2,且经过点 A(1,3),由直线的点斜式可得 y3=2(x-1),整理可得直线的一般式方程为 2x-y+1=0. (2)由直线的斜率 k= 3 ,且在 y 轴上的截距为 4,故直线的斜截 式为 y= 3 x+4,整理可得直线的一般式方程为 3 x-y+4=0. (3)由直线的两点式可得 为 2x-3y-13=0. (4)由直线的截距式可得 + =1,整理得直线的一般式方程为
3 2
4 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般
式方程: (1)过点 B(-3,0),且垂直于 x 轴; (2)在 y 轴上的截距为 3,且平行于 x 轴.
【解析】(1)x=-3,即 x+3=0. (2)y=3,即 y-3=0.
求直线的一般式方程
根据下列条件求解直线的一般式方程:
(1)直线的斜率为 2,且经过点 A(1,3); (2)斜率为 3,且在 y 轴上的截距为 4; (3)经过两点 A(2,-3),B(-1,-5); (4)在 x,y 轴上的截距分别为 2,-4.
3.直线(2-m)x+my+3=0 与直线 x-my-3=0 垂直,则 m 为 -2或1 .
【解析】当斜率不存在时,m=0,则两直线平行,不合题意,所以两 直线的斜率都存在.由 k1·k2=-1 可得(2-������ ������
)· =-1,解得 m=-2 或
������
1
m=1.(此题也可直接用 2-m+m(-m)=0 求解)
2 1
3
化成一般式为 x+2y-4=0. (2)由斜截式得 y=2,即一般式为 y-2=0. (3)由截距式得 3 + =1,即一般式为 2x-y-3=0.
2
������
������
-3
(4)由两点式得
������ -(-2) ������ -3
-4-(-2) 5-3
=
,即一般式为 x+y-1=0.
【解析】直线 l:2x-y+1=0 与 x 轴、y 轴的交点分别为(- ,0)、 (0,1),则直线 l 不经过第四象限.故选 D.
直线 2x+3y-6=0 的斜率是 是 ,它的截距式方程是 2
2 3 ������ ������
,在 y 轴上的截距 .
2 3
【解析】直线 2x+3y-6=0 可化为 y=- x+2,故斜率为- ,在 y 轴 上的截距为 2,截距式方程为 + =1.
3 5
(2)由题意得
2m2 + m-1 ≠ 0, m 2 -2m -3 2m 2 +m -1 1 2
③ ④
= -1.
由③得 m≠-1 且 m≠ . 由④得 m=-1 或 m=-2. ∴m=-2.
(1)求与直线 y=-2x+10 平行,且在 x 轴、y 轴上的截距之和 为 12 的直线的方程. (2)求过点 A(1,-4)且与直线 2x+3y+5=0 平行的直线的方程.
2 -4 ������ ������ ������ -(-3) -5-(-3) -1-2
=
������ -2
,整理得直线的一般式方程
2x-y-4=0.
考查直线系方程
已知直线 l:5ax-5y-a+3=0. (1)求证:不论 a 为何值,直线 l 总经过第一象限; (2)为使直线不经过第二象限,求 a 的取值范围.
A.4(x+2)-y+1=0 B.4x-y+9=0 C.y=4x+9 D.
������ -1 ������ +2
=4
【解析】y-1=4(x+2)⇒y-1=4x+8⇒4x-y+9=0,故选 B.
2 直线 l:2x-y+1=0 不经过( D ).
A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限
1 2
设直线 l 的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列 条件分别确定 m 的值. (1) l 在 x 轴上的截距是-3;(2) 2l 的斜率是-1.
m -2m-3 ≠ 0,① 【解析】(1)由题意得 2m -6 = -3,② 2
m -2m -3 5 3
由①可得 m≠-1 且 m≠3. 由②得 m=3 或 m=- ,∴m=- .
x-
2m 3
.
且- ≠m m -2 3
6
2m 3
,解得 m=-1.
1 2
∴当 m=-1 时,l1∥l2. (2) l1⊥l2⇔(- )(m
)=-1,解得 m= .
∴当 m= 时,l1⊥l2.
2
1
(法二)(1) l1∥l2⇔1×3-m·(m-2)=0 且 1·(2m)6·(m-2)≠0,解得 m=-1. ∴当 m=-1 时,l1∥l2. (2) l1⊥l2⇔1·(m-2)+m·3=0,解得 m= .
3 2
即 2x+3y+10=0.
(法二)设所求直线的方程为 2x+3y+b=0, ∵直线过点 A(1,-4), ∴2×1+3×(-4)+b=0,解得 b=10. 故所求直线的方程是 2x+3y+10=0.
Байду номын сангаас
1.如果直线 l:Ax+By+C=0 的倾斜角为 45°,则有( B ). A.A=B B.A=-B C.AB=1 D.AB=-1
第5课时 直线的方 程 (三 )
1.掌握直线的一般式方程,归纳直线方程的五种形式各自的 特点及适用范围.
2.能根据具体问题的特点选择恰当的直线方程解决问题.
同学们,前面我们学习了直线的点斜式,斜
截式,两点式,截距式方程,可以发现它们都
是二元一次方程.现在请同学们思考一下,
在平面直角坐标系中的每一条直线是否都
【解析】(1)直线 l 的方程可化为 y- =a(x- ), ∴直线 l 的斜率为 a,且过定点 A( , ),
5 5 5 1 3 5 3 1
而点 A( , )在第一象限内,故不论 a 为何值,直线 l 恒过第一象限.
5 5
1 3
(2)直线 OA 的斜率为 k=
3 -0 5 1 -0 5
=3.
如图所示,要使 l 不经过第二象限,需斜率 a≥kOA=3, ∴a 的取值范围为[3,+∞).
)=-1,解得 m= .
∴当 m= 时,l1⊥l2.
2
1
[问题]两直线的垂直与平行如何判断?上面的解法中判断 两直线的垂直与平行,正确吗?问题出在哪里?
[结论]直线方程中如果含有参数,一定要分类讨论,关注斜率是否 存在.于是,正确解答如下:
(法一)当 m=0 时,l1:x+6=0,l2:2x-3y=0,l1 与 l2 相交且不垂 直. 当 m≠0 时,l1:y=- x- ,l2:y=(1)l1∥l2⇔- =m 1 1 m m -2 3 m 1 6 m -2 3
2 1 1 2
∴当 m= 时,l1⊥l2.
根据下列各条件写出直线的一般式方程. (1)斜率是- ,经过点 A(8,-2);
2 1
(2)经过点 B(4,2),平行于 x 轴; (3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是2 、-3; (4)经过两点 P1(3,-2),P2(5,-4).
【解析】(1)由点斜式得 y-(-2)=- (x-8),
(2)直线关于直线对称 求直线 l1:A1x+B1y+C1=0 关于 l:Ax+By+C=0 对称的直线 l2 的方程的方法:转化为点关于直线对称.在 l1 上任取两点 P1 和 P2,求出 P1,P2 关于 l 的对称点,再用两点式求出 l2 的方程.
1 直线 y-1=4(x+2)化为一般式方程为( C ).
【解析】直线 l 的斜率 k=- ,又 k=tan 45°=1,得 A=-B.
������ ������
故选 B.
2.若 a-b+c=0,则直线 ax+by+c=0 必经过的一个定点是 ( C ). A.(1,1) B.(-1,1) C.(1,-1) D.(-1,-1)
【解析】由 a-b+c=0,知点(1,-1)满足方程 ax+by+c=0.故选 C.
可以用一个关于x,y的二元一次方程表示.
问题1
Ax+By+C=0
x y
问题2
0
A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0
l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0 B1=B2=0且A1C2-A2C1≠0)
A1A2+B1B2=0