北京交通大学 运筹学 教案2_标准型及解的几何意义(改)

i =1 K
αi
≤1
X = α1 X 1 + L + α k X k
X 1 ,L , X K 的凸组合。 则称X 的凸组合。 则称 为
二维空间
两点连线上的任何一点都是这两点的凸组合
X = αX 1 + ( 1 − α ) X 2 (0 ≤α ≤ 1)
X1
2
X
1
2 X18
•凸集 凸集
设 K ⊂ E n ，若任意两点 X 1 ∈ K , X 2 ∈ K 的凸组合属 于 K，即 ，
x1 x2 … xn a1j a2j … amj b1 b2 … bm
X=
Pj =
b=
向 量 Pj 对 应 的 决 策 变 量 为 xj 。
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Max z=(c1 , c2, …,cn ) , a11 a21 … am1
x1 x2
M
=Σcjxj =CX Σaijxj =bi i=1,…,m i=1, ,m AX = b X ≥0 xj≥0 j=1,…,n j=1, ,n
A Q4 3 Q3 • Q2பைடு நூலகம்4,2) Q1 O
4
x1
16
§2 线性规划问题的几何意义
本节重点： 本节重点： 凸组合的概念 凸集的概念 线性规划基本定理
17
2．1 基本概念 ．
• 凸组合 设 X 1 ,L , X K ∈ E n 若存在 α 1 ,K ,α k ，0 ≤ ， ，且 ∑ α i = 1 ，使
j=1
(1.1)
(1.2) (1.3)
j =1
∑ aij x j = bi
xj ≥ 0
n
i = 1,2,..., m
j = 1 ,2 ,..., n
7
用矩阵描述为： 用矩阵描述为： max z =CX AX = b X ≥0
a11 … a12 … a1n a21 … a22 … a2n … … A= am1 … am2 …amn 0 0 … 0
10
a12 … a1n x1 a22 … a2n x2 M = M … … am2 … amn xn b
m
xn b1 b2
x1 (p1,p2, …,pn) x2 = b ,p M
ΣPjxj=b
xn
1．4 线性规划问题的解的概念 ．
max z = 2x1 + 3x2 s . t . x1 + 2 x2 + x3 =8 4 x1 + x4 =16 4 x2 +x5 =12 x1，x2，x3，x4，x5 ≥0
X = αX 1 + ( 1 − α ) X 2 ∈ K (0 ≤α ≤ 1)
为凸集。 则称 K 为凸集。
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
上图中(a)、 是凸集 是凸集， 、 不是凸集 不是凸集， 上图中 、 (b)是凸集，(c)、 (d)不是凸集，任何两 个凸集的交集是凸集，如图(e)。从直观上说， 个凸集的交集是凸集，如图 。从直观上说，凸集没 有凹入部分，其内部没有空洞。 有凹入部分，其内部没有空洞。 19
1．3 线性规划问题的标准形式 ．
为了求解LP问题 必须统一其模型， 问题， • 为了求解 问题，必须统一其模型，本课程 选用标准型式为 （1) 目标函数为求最大
对于目标函数是求最小怎么办？ 对于目标函数是求最小怎么办？ min Z=1000 x1+800 x2 令：z’= -z, 则minz=maxz’ maxZ’= -1000 x1-800 x2
3
（3）所有变量要求非负
现实中， 现实中，有些变量可能从物理意义或经济意义上讲没有非负要求 min z =x1－x2＋4 x3 s．t． 3 x2－4 x3 ≥－9 ．． －x1 + x2 ≥6 5 x2＋2 x3 ≤16 x1 ≤ 0 ，x2 ≥0， x3无符号限制 解：令x1’=－x1，x1’≥0， x3 = x3’－x3’’, x3’、x3’’ ≥0 ， 将第一个约束条件两端乘“ 并加入松弛变量x 将第一个约束条件两端乘“－1”并加入松弛变量 4， 并加入松弛变量 第二个约束减剩余变量x 第三个约束加入松弛变量x 代入整理后得： 第二个约束减剩余变量 5，第三个约束加入松弛变量 6，代入整理后得： maxz ’=x1’＋x2－4 x3’＋4 x3’’ s．t． ．． －3 x2＋4 x3’－4 x3’’＋x4 ＝9 x1’ + x2 － x5 = 6 5 x2＋2 x3’－2 x3’’ +x6 = 16 x1’， x2， x3’、 x3’’，x4，x5，x6≥0
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
图中红粗线和红点是顶点。 图中红粗线和红点是顶点。
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2.2 基本定理
若线性规划问题存在可行解， 定理 1 若线性规划问题存在可行解，则所有可行解的集合 ——可行域 是凸集。 ——可行域 D = {X| AX= b，X ≥0 }是凸集。 是凸集 证明： 证明： 设 X1∈D，X2 ∈D，则 A X1=b，A X2=b，X1 ≥0，X2 ≥0 ， ， ， 故 AX =A[αX 1 + ( 1 − α ) X 2 ] =αAX 1 + ( 1 − α ) AX 2 = b
4
练习： 练习：
max z =2x1+x2＋3x3 ＋x4 s．t． x1+x2＋x3 ＋x4 ≤ 7 ．． 2x1-3x2＋x3 ＝-8 －x1-2x2＋2x4 ≥ 1 x1 , x3 ≥ 0, x2 ≤ 0， x4无符号限制
min z =2x1－x2＋2x3 s．t． －x1＋x2＋x3 ＝4 ．． － x1 + x2 － x3 ≤ 6 x1 ≤0 ，x2 ≥3， x3无符号限制 再思考：如果 有区间限制怎么办 有区间限制怎么办？ 再思考：如果x有区间限制怎么办？
2
当表达式中含“ 当表达式中含“≥”时， 可以在约束条件左边减去一个非负变量——剩余变量， 剩余变量， 可以在约束条件左边减去一个非负变量 剩余变量 使原来的“ 变为“ 使原来的“≥”变为“＝”。 目标： 目标：min f =1000 x1+800 x2 约束条件： x1 ≥1 约束条件： 0.8 x1+ x2 ≥1.6 x1 ≤2 x2 ≤1.4 x1、x2 ≥0 maxz'＝–minz＝－1000 x1－800 x2＋0·x3＋0·x4＋0·x5＋0·x6 s．t． x1 －x3 ＝1 ．． 0.8 x1+ x2 －x4 ＝1.6 x1 ＋ x5 ＝ 2 x2 ＋x6＝1.4 x1、x2、x3、x4、x5、x6≥0
可行解 最优解 基 可 行 解
基解
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§2 线性规划问题的几何意义
本节重点： 本节重点： 凸组合的概念 凸集的概念 线性规划基本定理
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x2
如例1 如例1，max z = 2x1 + 3x2 s.t. x1 + 2 x2 + x3 =8 4 x1 + x4 =16 4 x2 +x5 =12 x1，x2，x3，x4，x5 ≥0
m m
个基可行解，基可行解至多有m个正分量 个正分量。 同样至多有 C n 个基可行解，基可行解至多有 个正分量。 对应于基可行解的基； 可行基 对应于基可行解的基； 基最优解 ： 使目标函数达到最大值的基可行解。 使目标函数达到最大值的基可行解。
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上述解的概念中基解和基可行解最为重要， 上述解的概念中基解和基可行解最为重要，各种解的 关系粗略地可用下图表示： 关系粗略地可用下图表示： 非可行解
1
（2)约束条件均用线性等式方程来表示， 2)约束条件均用线性等式方程来表示， 约束条件均用线性等式方程来表示 且右边常数项均非负。 且右边常数项均非负。
实际情形约束条件显然不可能都是等式关系。 实际情形约束条件显然不可能都是等式关系。 当表达式中含“ 当表达式中含“≤”时 可在约束条件左边加上一个非负的变量——松弛变量，使原来的“≥”变为“＝ 松弛变量，使原来的“ 可在约束条件左边加上一个非负的变量 松弛变量 变为“ ”； max z = 2x1 + 3x2 s.t. x1 + 2 x2 ≤ 8 4 x1 ≤ 16 4 x2 ≤ 12 x1， x2 ≥ 0 max z = 2x1 + 3x2 s.t. x1 + 2 x2 + x3 =8 4 x1 + x4 =16 4 x2 +x5 =12 x1，x2，x3，x4，x5 ≥0
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经过上述过程，可得到线性规划问题数学模型的标准形式为： 经过上述过程，可得到线性规划问题数学模型的标准形式为：
max z =c1x1 + c2x2 +···+ cnxn s.t. a11x1 + a12x2 +···+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 +···+ a2nxn = b2 ··· ··· am1x1 + am2x2 +···+ amnxn = bm x1，x2，···，xn ≥ 0 ， 其中bi ≥ 0，（i =1，2，···，m） ， ， ， ， 一般m< n；m，n > 0。 一般 ； ， 。
令所有非基变量为零， 基解 对应每一个基B,令所有非基变量为零，由 (1.5) 约 ) 束方程组求得的解X 束方程组求得的解 ； 个变量， 约束方程组( ) 约束方程组(1.5)中，有m 个方程n 个变量，m<n，有无穷 多解， 个系数向量线性无关， 多解 ， 若 前 m 个系数向量线性无关 ， 令 xm+1=…=xn =0，则可求 = ， 出XB =( x1，x2，…，xm)T，则X=( x1，x2，…，xm，0，…，0)T ， ， ， ， 就是一个基解。 就是一个基解。 至多有 C n 个基解，基解的非零分量至多 个，非零分量个 个基解，基解的非零分量至多m个 数小于m 的基解为退化解。 数小于 的基解为退化解。 • 基可行解 满足非负条件( )的基解； 满足非负条件(1.6)的基解；