2.5等比数列前n项和-课件
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等比数列的前n项和PPT课件
等比数列的前n项和ppt课件
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
xx年xx月xx日
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目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
高中数学人教A版必修5第二章2.5等比数列前n项的求和公式课件
意思意思，第一天给我1元，第二天给我2元，第三天给我4
元，．．．以后就每天给我的钱是前一天的两倍，一直给我30天，
我们就算两清了，你看100万元，．．哇，发财了！猪八戒：猴哥，你可别反悔呀！
孙悟空：那我们可以签一个合同嘛！说着就起草了一份合同.猪八戒
230 = 2 + 22 + ⋯ + 229 + 230
①－②,得到 30 －230 =1－230
（1-2）30 =1－230
30 =
−
−
≈1.1× （元）
大约就是11亿元
②
•
•
•
•
•
猪八戒应还孙悟空的钱：
等比数列
2
3
29
1, 2，2 ，2 ， ⋯ ，2
30 = 1 +2+22 +⋯ + 228 + 229 ①
①×2得到：
230 = 2 + 22 + ⋯ + 229 +230
②
①－②,得到 30 －230 =1－230
（1-2）30 =1－230
30 =
−
−
≈1.1× （元）
大约就是11亿元
等比数列的前 n 项和公式
当 q≠1 时， Sn ＝
a1 ( 1－ q n )
．
1－q
正想签字，可转念一想，发现不对劲了，这猴哥本来就精明，做了
生意之后更精了，他会不会又在耍我？
孙悟空借给猪八戒的钱：100×10000×30=3× （元）
就是 3千万元
猪八戒应还孙悟空的钱：
1, 2，22 ，23 ， ⋯ ，229
30 = 1 +2+22 ⋯ + 228 + 229
元，．．．以后就每天给我的钱是前一天的两倍，一直给我30天，
我们就算两清了，你看100万元，．．哇，发财了！猪八戒：猴哥，你可别反悔呀！
孙悟空：那我们可以签一个合同嘛！说着就起草了一份合同.猪八戒
230 = 2 + 22 + ⋯ + 229 + 230
①－②,得到 30 －230 =1－230
（1-2）30 =1－230
30 =
−
−
≈1.1× （元）
大约就是11亿元
②
•
•
•
•
•
猪八戒应还孙悟空的钱：
等比数列
2
3
29
1, 2，2 ，2 ， ⋯ ，2
30 = 1 +2+22 +⋯ + 228 + 229 ①
①×2得到：
230 = 2 + 22 + ⋯ + 229 +230
②
①－②,得到 30 －230 =1－230
（1-2）30 =1－230
30 =
−
−
≈1.1× （元）
大约就是11亿元
等比数列的前 n 项和公式
当 q≠1 时， Sn ＝
a1 ( 1－ q n )
．
1－q
正想签字，可转念一想，发现不对劲了，这猴哥本来就精明，做了
生意之后更精了，他会不会又在耍我？
孙悟空借给猪八戒的钱：100×10000×30=3× （元）
就是 3千万元
猪八戒应还孙悟空的钱：
1, 2，22 ，23 ， ⋯ ，229
30 = 1 +2+22 ⋯ + 228 + 229
等比数列的前n项和PPT课件
讲授新课
1 2 22 23 24 263
这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
263
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
它是以1为首项，公比是2的等比数列，
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
湖南省长沙市一中卫星远程学校
等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, 它的前n项和是
a2,
a3,
…,
an这…种求和
的方法,就
是错位相
减法!
湖南省长沙市一中卫星远程学校
等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, a2, a3, …, an… 它的前n项和是
∴当q≠1时，
①
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 )
即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②－①可得：
2S64 S64 (2 22 23 263 264) (1 2 22 23 263 )
等比数列前n项和公式课件PPT
等比数列的特殊前n项和
对于等比数列，当公比q=1时，前n项和公式为Sn=na1；当q=-1时，Sn=a1a1*q^n/1+q。
等比数列前n项和公式的变种
倒序相加法
错位相减法
将等比数列的前n项和公式倒序相加， 可以得到新的求和公式。
通过错位相减法，可以求出等比数列 的通项公式。
分组求和法
将等比数列分组求和，可以简化计算 过程。
公式与其他数学知识的结合
总结词：综合运用
详细描述：等比数列前n项和公式可以与其他数学知识结合使用，以解决更复杂的数学问题。例如，可以与等差数列、函数、 极限等知识结合，用于解决一些综合性数学问题。
03
等比数列前n项和公式的扩展
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和
等差数列是一种特殊的等比数列，其前n项和公式为Sn=n/2 * (a1+an)，其中 a1为首项，an为第n项。
等比数列前n项和公式的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明等比数列的前n 项和公式。
累乘法
通过累乘法证明等比数列的前n项和公 式。
04
等比数列前n项和公式的练习 与巩固
基础练习题
详细描述：通过简单的等比数列求和问题，让 学生熟悉并掌握等比数列前n项和的公式。
解题思路：利用等比数列前n项和公式，将数列中的 每一项表示为2的幂，然后求和。
05
等比数列前n项和公式的总结 与回顾
本节课的重点回顾
等比数列前n项和公 式的推导过程
等比数列前n项和公 式的适用范围和限制 条件
如何应用等比数列前 n项和公式解决实际 问题
本节课的难点解析
如何理解和掌握等比数列前n项和公 式的推导过程
对于等比数列，当公比q=1时，前n项和公式为Sn=na1；当q=-1时，Sn=a1a1*q^n/1+q。
等比数列前n项和公式的变种
倒序相加法
错位相减法
将等比数列的前n项和公式倒序相加， 可以得到新的求和公式。
通过错位相减法，可以求出等比数列 的通项公式。
分组求和法
将等比数列分组求和，可以简化计算 过程。
公式与其他数学知识的结合
总结词：综合运用
详细描述：等比数列前n项和公式可以与其他数学知识结合使用，以解决更复杂的数学问题。例如，可以与等差数列、函数、 极限等知识结合，用于解决一些综合性数学问题。
03
等比数列前n项和公式的扩展
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和
等差数列是一种特殊的等比数列，其前n项和公式为Sn=n/2 * (a1+an)，其中 a1为首项，an为第n项。
等比数列前n项和公式的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明等比数列的前n 项和公式。
累乘法
通过累乘法证明等比数列的前n项和公 式。
04
等比数列前n项和公式的练习 与巩固
基础练习题
详细描述：通过简单的等比数列求和问题，让 学生熟悉并掌握等比数列前n项和的公式。
解题思路：利用等比数列前n项和公式，将数列中的 每一项表示为2的幂，然后求和。
05
等比数列前n项和公式的总结 与回顾
本节课的重点回顾
等比数列前n项和公 式的推导过程
等比数列前n项和公 式的适用范围和限制 条件
如何应用等比数列前 n项和公式解决实际 问题
本节课的难点解析
如何理解和掌握等比数列前n项和公 式的推导过程
2.5等比数列前n项和公式的推导及性质.ppt
• 1．数列{2n－1}的前99项和为( )
• A．2100－1 2100
B．1－
• C．299－1
D．1－299
解析：a1＝1，q＝2，∴S99＝1×11－－2299＝299－1.
答案：C
• 2．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝96 ，Sn＝189，则n的值为( )
• A．4
B．5
• C．6
知三求二
已知 a1 、an、 q时
Sn
a1
(1 q 1 q
n
)
(q
1)
na1
(q 1)
Sn
a1 anq
1 q
(q
1)
na1
(q 1)
等比数列前n项和公式 你了解多少？
(1) 等比数列前n项和公式： 利用“错位相减法”推
{ { Sn=
na1
a1(1 qn )
(q=1)
(q=1)
导
Sn=
na1
(2)a1
27, a9
1 ,q 243
0
解：(1)因为
a1
1 ,q 2
1 2
所以当n 8时
1
1
1
8
Sn
2 2 1 1
255 256
(2)
由a1
27, a9
12 243
,可得
:
1 243
27 q8
又由q 0,可得：
1
q
3
27
1
1
8
于是当n 8时
Sn
3 1640
a1 anq
1-q
1-q
(q=1)
(q=1)
(2) 等比数列前n项和公式的应用：
等比数列的前n项和公式课件
③
两边同时乘以 q 为
qSn a1q a1q a1q a1q
2 3 n1
a1q
n
错 位 4 相 减
由③- 4 得
(1 q ) S n a1 1 q n
例1 求等比数列
1 1 1 , , , 2 4 8
1 4 1 2
的前8项的和．
解 由题意知,
Sn a1 1 qn 1 q
(2) 公式推导过程中用到的“错位相减” 方法; (3) 公式的运用.
a1 , q, n, Sn
5 10
5
10
a1 an q Sn 1 q
'
所以
课堂小结
(1)等比数列的前n项和公式
a1 1 q n a1 an q Sn , q 1 1 q 1 q Sn na1 q 1
a1 1 ,q 2 4 1 2 1 , 2
10
则
4 1 1 1 2 2 15 S4 , 1 16 1 2
1 1 1 2 2 S10 1 1 2
1023 . 1024
所以
S10 S 4
S64 1 2 22 261 262 263
2
2
2
2
61
2
62
2
63
264
S64 1 2 2 2 2
2 62
63
①
两边同时乘以2，
2S64 2 2 2 2 2
2 3 63
64
②
由①-②得,
S64 1 2
有
1 a5 a1q , 2
《 等比数列的前n项和》课件
分析：第1年产量为 5000台 第2年产量为 5000×(1+10%)=5000×1.1台
第3年产量为5000×(1+10%) ×(1+10%)
…… 50001.12台 第n年产量为 50001.1n1台
则n年内的总产量为：
5 5 1 .1 5 1 .1 2 5 1 .1 n 1
例2.某商场第一年销售计算机5000台,如果平均每年 的销售量比上一年增加10%,那么从第一年起,约几年 内可使总销售量达到30000台(保留到个位)?
(1q)Sna1anq
∴当q≠1时，
Sn
a1(1qn) 1q
①
或
Sn
a1 anq 1q
②
∴当q＝1时，Sn na1.
等比数列的前n项和公式的推导
“方程”在代数课程里占有重要的地 位，方程思想是应用十分广泛的一种数 学思想，利用方程思想，在已知量和未 知量之间搭起桥梁，使问题得到解决．
等比数列的前n项和公式
我们看国王能不能满足他的要求，由于每 个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数 的2倍，共有64个格子，各个格子里的麦粒数 依次是：
讲授新课
讲授新课
1
讲授新课
12
讲授新课
1 2 22
讲授新课
1 2 22 23
讲授新课
1 2 22 23 24
讲授新课
1 2 22 23 24
讲授新课
1 2 2 2 2 3 24 2 63
这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
2 63
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22, 23, , 263.
第3年产量为5000×(1+10%) ×(1+10%)
…… 50001.12台 第n年产量为 50001.1n1台
则n年内的总产量为：
5 5 1 .1 5 1 .1 2 5 1 .1 n 1
例2.某商场第一年销售计算机5000台,如果平均每年 的销售量比上一年增加10%,那么从第一年起,约几年 内可使总销售量达到30000台(保留到个位)?
(1q)Sna1anq
∴当q≠1时，
Sn
a1(1qn) 1q
①
或
Sn
a1 anq 1q
②
∴当q＝1时，Sn na1.
等比数列的前n项和公式的推导
“方程”在代数课程里占有重要的地 位，方程思想是应用十分广泛的一种数 学思想，利用方程思想，在已知量和未 知量之间搭起桥梁，使问题得到解决．
等比数列的前n项和公式
我们看国王能不能满足他的要求，由于每 个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数 的2倍，共有64个格子，各个格子里的麦粒数 依次是：
讲授新课
讲授新课
1
讲授新课
12
讲授新课
1 2 22
讲授新课
1 2 22 23
讲授新课
1 2 22 23 24
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1 2 22 23 24
讲授新课
1 2 2 2 2 3 24 2 63
这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
2 63
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22, 23, , 263.
人教版高中数学必修5(A版) 2.5等比数列的前n项和 PPT课件
例3
某商场今年销售计算机5000台，如果平均每 年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么 从今起，大约几年可使总销售量达到30000台 (结果保留到个位)？
5000台 5000×(1+10%)=5000×1.1台 5000×(1+10%) ×(1+10%) 第2年产量为 第3年产量为
分析：第1年产量为
……
第n年产量为
n1
5000 1.12台
50001.1 台
则 n 年内的总产量为：
5 5 1.1 5 1.12 5 1.1n1 30000
例3
某商场今年销售计算机5000台，如果平均每 年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么 从今起，大约几年可使总销售量达到30000台 (结果保留到个位)？
答：约5年可以使总销售量量达到30000台
小结
1.已知 a1 , n, q 则
Sn
{
na 1,
a1 1 q n , 1 q
( q=1).
(q≠1).
( q=1). (q≠1).
已知 a1 , an , q 则
Sn
{
na 1,
a1 an q , 1 q
2.对含字母的题目一般要分别考虑q=1和q≠1两种情况。
, q 1 10% 1.1, Sn 30000 , 其中 a1 5000
n 5000 1 1 . 1 ∴ 30000 . 1 1.1
解：由题意,从第1年起,每年的销售量组成一个等比数列 an ,
即
1.1 1.6.
n
两边取常用 n lg1.1 lg1.6 对数，得 lg1.6 0.20 5 ( 年) ∴ n lg1.1 0.041