2020年北京交大附中高考数学一模试卷-(含答案解析)
2020年北京交大附中高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.已知函数，若存在唯一的零点，且，则a的取值范围为A. B. C. D.3.在平行四边形ABCD中，，，则A. B. 2 C. 3 D. 44.已知某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，则该四面体的四个面中直角三角形的个数为A. 4B. 3C. 2D. 15.已知是等差数列的前n项和，则“对恒成立”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知函数，若函数存在零点，则实数a的取值范围是A. B. C. D.7.在棱长为1的正方体中，E，F分别为线段CD和上的动点，且满足，则四边形所围成的图形如图所示阴影部分分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和A. 有最小值B. 有最大值C. 为定值3D. 为定值28.如图，在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，终边分别是射线OA和射线射线OA，OC与单位圆的交点分别为，若，则的值是A.B.C.D.9.在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且，，，P 为BC中点．过点P作交AC所在直线于Q，则在方向上投影的最大值是A. B. C. D.10.一次数学竞赛，共有6道选择题，规定每道题答对得5分，不答得1分，答错倒扣1分．一个由若干名学生组成的学习小组参加了这次竞赛，这个小组的人数与总得分情况为A. 当小组的总得分为偶数时，则小组人数一定为奇数B. 当小组的总得分为奇数时，则小组人数一定为偶数C. 小组的总得分一定为偶数，与小组人数无关D. 小组的总得分一定为奇数，与小组人数无关二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知，，，则a，b，c中最小的是______．12.已知点在抛物线C：上，则点M到抛物线C焦点的距离是______．13.已知，，若，，则满足条件的m可以为______写出一个即可14.已知函数当时，的最小值等于______；若对于定义域内的任意x，恒成立，则实数a的取值范围是______．15.已知函数，对于任意实数，当时，记的最大值为若，则______；若则的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD，，，，E为PB中点．Ⅰ求证：平面ACE；Ⅱ求二面角的余弦值；17.已知函数．Ⅰ求函数的最小正周期；Ⅱ当时，求证：．18.某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照，，分组，绘成频率分布直方图如图：专家A B C D E评分Ⅰ求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；Ⅱ从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数；试求与的值；Ⅲ考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分．方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分．请直接写出与的大小关系．19.已知．Ⅰ若曲线在点处的切线与x轴平行，求a的值；Ⅱ若在处取得极大值，求a的取值范围．20.已知椭圆的左顶点A与上顶点B的距离为．Ⅰ求椭圆C的方程和焦点的坐标；Ⅱ点P在椭圆C上，线段AP的垂直平分线分别与线段AP、x轴、y轴相交于不同的三点M，H，Q．求证：点M，Q关于点H对称；若为直角三角形，求点P的横坐标．21.对于集合，，，集合A中的元素个数记为．规定：若集合A满足，则称集合A具有性质T．Ⅰ已知集合3，5，，，写出，的值；Ⅱ已知集合，为等比数列，，且公比为，证明：A具有性质T；Ⅲ已知A，B均有性质T，且，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合，，故选：B．先分别求出集合A和B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：解：当时，，令，解得，函数有两个零点，舍去．当时，，令，解得或．当时，，当或时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增．是函数的极小值点，0是函数的极大值点．函数存在唯一的零点，且，则：；即：，可得．当时，，当或时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减．是函数的极小值点，0是函数的极大值点．不满足函数存在唯一的零点，且，综上可得：实数a的取值范围是．故选：B．当时，，令，解得，两个解，舍去．当时，，令，解得或对a分类讨论：当时，由题意可得关于a的不等式组；当时，推出极值点不满足题意，推出结果即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．3.答案：C解析：解：在平行四边形ABCD中，，，，，则．故选：C．利用已知条件表示所求数量积的两个向量，然后利用数量积的运算法则求解即可．本题考查平面向量的数量积的运算，向量的加减运算的求法，考查计算能力．4.答案：A解析：【分析】本题考查三视图与几何体直观图的关系，几何体形状的判断，是基本知识的考查．画出几何体的直观图，利用几何体的直观图判断直角三角形的个数即可．【解答】解：某四面体的三视图：正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，如图，四面体为正方体的一部分，4个面都是直角三角形．故选：A．5.答案：C解析：解：若对恒成立，则整理得，当时，得，即等差数列是单调递减数列，则成立，若成立，得，此时由得，得，此时恒成立，综上“对恒成立”是“”的充要条件，故选：C．根据等差数列的通项公式结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列通项公式以及前n项和公式进行化简是解决本题的关键．6.答案：D解析：解：函数，函数的图象如图：函数存在零点，则实数a的取值范围是：．故选：D．画出函数的图象，利用数形结合推出a的范围即可．本题考查分段函数的应用，函数的零点的判断，考查数形结合以及计算能力．7.答案：D解析：解：依题意，设四边形的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为，，，，则四边形在上面，后面，左面的投影分别如上图．所以在后面的投影的面积为，在上面的投影面积，在左面的投影面积，所以四边形所围成的图形如图所示阴影部分分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和．故选：D．分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可．本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力．属于中档题．8.答案：C解析：解：由三角函数的定义可知，，，，故选：C．由三角函数的定义可知，，，，然后结合两角差的余弦公式即可求解本题主要考查了三角函数的定义及两角差的余弦公式的简单应用，属于基础试题9.答案：C解析：解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，设，则，设直线AB，AC的斜率分别为，，由到角公式得：，化简得：，则，则，由在方向上投影的几何意义可得：在方向上投影为，则在方向上投影的最大值是，故选：C．先建系，再由到角公式得：，化简得：，则，则，再由在方向上投影的几何意义可得解．本题考查了到角公式及平面向量数量积的运算，属中档题．10.答案：C解析：【分析】本题主要考查合情推理的应用，属于中档题．计算出总分为偶数，答错或不答时少的分数也是偶数是解决本题的关键．先计算一个人得总分是偶数，若m题不答，则总分少4m分，为偶数，若n题答错，则总分少6n分为偶数，根据偶数的运算性质进行判断即可．【解答】解：每个人得的总分是，在满分的基础上，若1题不答，则总分少4分，若1题答错，则总分少6分，即在满分的基础上若m题不答，则总分少4m分，若n题答错，则总分少6n分，则每个人的得分一定是偶数，则小组的总得分也是偶数，与小组人数无关，故选：C．11.答案：c解析：解：，又，所以，即，故a，b，c中最小的是c．故答案为：c由对数值大小的比较得：，又，所以，即，得解．本题考查了对数值大小的比较，属简单题．12.答案：2解析：解：由点在抛物线C：上，可得，，抛物线C：，焦点坐标，则点M到抛物线C焦点的距离是：2，故答案为：2．由题意可知：点的坐标代入抛物线方程，求出，求得焦点，利用直线的两点式，即可求点M到抛物线C焦点的距离．本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线的两点式方程，考查计算能力，属于基础题．13.答案：8，9，10，11，12，13，14，15，任取一个为正确答案．解析：【分析】本题考查了对数值的运算，属基础题．由对数的运算得：，，可得答案．【解答】解：由，，即取即满足，，故满足条件的m可以为同理可得m可为7，8，9，10，11，12，13，14，15，故答案为：8，9，10，11，12，13，14，15，任取一个为正确答案．14.答案：；解析：【分析】本题考查分段函数的运用：求最值，考查分类讨论思想和转化思想，以及运算能力和推理能力，属于中档题．求得时的解析式，分段结合二次函数的最值求法，可得最小值；讨论x的范围去绝对值，参数分离，结合二次函数的最值求法，可得a的范围．【解答】解：当时，，由时，，可得时，取得最小值；由时，，可得时，取得最小值．综上可得的最小值为；若对于定义域内的任意x，恒成立，当时，有，即，由在的最大值为0，可得，即；由时，，即，由在的最大值为，可得，综上可得a的范围是．故答案为：；．15.答案：3解析：解：当时，，则，则当时，的最大值为．，则，作出函数图象如图：，区间长度为2，若，则对应区间为，此时，若，即，则对应区间为，此时，则的取值范围是，故答案为：3，根据定义先求出，将绝对值函数表示成分段函数形式，利用数形结合进行求解即可．先求出，将函数表示成分段函数形式，结合，讨论区间对应函数的最值进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的解析式，利用数形结合以及函数最值的性质是解决本题的关键．16.答案：证明：设BD交AC于点F，连结EF．因为底面ABCD是矩形，所以F为BD中点．又因为E为PB中点，所以．因为平面ACE，平面ACE，所以平面ACE．取CD的中点O，连结PO，FO．因为底面ABCD为矩形，所以．因为，O为CD中点，所以，所以．又因为平面平面ABCD，平面PCD，平面平面，所以平面ABCD．如图，建立空间直角坐标系，则，1，，1，，0，，设平面ACE的法向量为y，，2，，令，则，，所以1，．平面ACD的法向量为0，，，．如图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．解析：Ⅰ设BD交AC于点F，连结推导出由此能证明平面ACE．取CD的中点O，连结PO，推导出平面建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查数形结合思想，是中档题．17.答案：解：Ⅰ，，所以的最小正周期．证明：因为，即，所以在上单调递增．当时，即时，．所以当时，．解析：Ⅰ首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．Ⅱ利用函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.答案：解：Ⅰ由图知，某场外观众评分不小于9的概率是．Ⅱ的可能取值为2，；．所以X的分布列为：X23P所以．由题意可知，，所以．Ⅲ．解析：本题考查了离散型随机变量的期望和方差，属中档题．Ⅰ由图知，某场外观众评分不小于9的概率是；Ⅱ计算概率可得分布列和期望；Ⅲ专家评分的平均分高于观众评分的平均分，但专家人数远小于观众人数，故小于．19.答案：共13分解：因为，的定义域为，所以．．由题设知，即，解得．此时．所以a的值为分由得．若，则当时，，，，所以；当时，，，所以．所以在处取得极大值．若，则当时，，，所以．所以0不是f的极大值点．综上可知，a的取值范围是分解析：的定义域为，．利用导数的几何意义能求出a的值．当，求出在处取得极大值．当时，求出不是f的极大值点．由此能求出a的取值范围．本题考查实数值、实数的取值范围的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．20.答案：解：Ⅰ依题意，有所以，椭圆方程为焦点坐标分别为，证明：Ⅱ证法1：设，则依题意，，，所以所以直线PA的斜率因为，所以所以直线MQ的斜率所以直线MQ的方程为令，得到因为，所以，所以，所以H是M，Q的中点，所以点M，Q关于点H对称．证法2：设，直线AP的方程为，联立方程，消元得，所以，所以，所以，所以，，所以，因为，所以，所以直线MQ的方程为，令，得到，所以，所以H是M，Q的中点，所以点M，Q关于点H对称．证法3：设，直线AP的方程为，联立方程，消元得，，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以直线MQ的方程为，令，得到，所以，所以H是M，Q的中点，所以点M，Q关于点H对称．方法1：因为为直角三角形，且，所以为等腰直角三角形，所以，因为，，即，化简，得到，解得舍，即点P的横坐标为．方法2：因为为直角三角形，且，所以，所以，因为，，所以，所以，即，因为，化简，得到，解得舍，即点P的横坐标为．方法3：因为为直角三角形，且，所以，所以，因为，，，所以，化简得到，因为，化简，得到，解得舍，即点P的横坐标为．方法4：因为为直角三角形，所以所以点A，P，Q都在以AP为直径的圆上，因为，，所以有所以，因为，即点P的横坐标为．解析：Ⅰ推导出，从而，由此能求出椭圆方程，焦点坐标．Ⅱ证法1：设，则，求出，直线PA的斜率，由，得，由此能求出直线MQ的斜率和直线MQ的方程，从而推导出，由此能证明H是M，Q的中点，点M，Q关于点H对称．证法2：设，直线AP的方程为，联立方程，得，由韦达定理得，推导出，由，得，直线MQ的方程为，推导出，由此能证明H是M，Q的中点，点M，Q关于点H对称．证法3：设，直线AP的方程为，联立方程，得，推导出，由，得，由此能证明H是M，Q的中点，点M，Q关于点H对称．方法1：推导出为等腰直角三角形，，从而得到，由此能求出点P的横坐标．方法2：由为直角三角形，且，得，从而，由此能求出点P的横坐标．方法3：由为直角三角形，且，从而，，进而，由此能求出点P的横坐标．方法4：由为直角三角形，得点A，P，Q都在以AP为直径的圆上，从而，由此能求出点P的横坐标．本题考查椭圆的方程、焦点坐标的求法，考查两点关于一点对称的证明，考查点的横坐标的求法，考查直线与椭圆的位置关系、韦达定理、弦长公式等基础知识，综合程度较高，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于中档题．21.答案：解：4，6，8，10，12，，则；要证A具有性质T，只需证明，若，则．假设上式结论不成立，即若，则．即，即，，．因为上式的右边为3的倍数，而上式的左边为2的倍数，所以上式不成立．故假设不成立，原命题成立．分由题意，集合A具有性质T，等价于任意两个元素之和均不相同．如，对于任意的，有，等价于，即任意两个不同元素之差的绝对值均不相同．令，所以A具有性质．因为集合A，B均有性质T，且，所以，当且仅当时等号成立．所以的最小值为分解析：Ⅰ根据定义分别计算出集合，即可得到结论．Ⅱ根据等比数列的通项公式，利用反证法进行证明即可Ⅲ集合A具有性质T，等价于任意两个元素之和均不相同，结合A，B元素性质进行求解本题主要考查集合新定义的应用，结合定义利用反证法是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。
2020北京高三一模数学解答题百题汇编
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班级:
姓名:
学号:
1. 如图，在四棱锥
中，
面
，底面
为平行四边形，
，
，
．
（ 1 ） 求证： （ 2 ） 求二面角
平面
． 的余弦值的大小．
2. 已知函数
，且满足
．
（ ）求函数 的解析式及最小正周期．
（ ）若关于 的方程
在区间
上有两个不同解，求实数 的取值范围．
10
36. 已知数列 是由正整数组成的无穷数列．若存在常数
，使得
，对任意
的
成立，则称数列 具有性质 ．
（ 1 ） 分别判断下列数列 是否具有性质 ．（直接写出结论）
1
．
2
．
（ 2 ） 若数列 满足
，求证：“数列 具有性质 ”是“数列
为常数列”的充分必要条件．
（ 3 ） 已知数列 中
，且
．若数列 具有性质 ，求数列
1
（ 1 ） 从北斗二代定位的 个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于 米的概率． （ 2 ） 从图中 ， ， ， 四个点位中随机选出两个，记 为其中纵坐标误差的值小于 的点位的 个数，求 的分布列和数学期望． （ 3 ） 试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．（结论不要求证明）
在数列 中，
，
，其中
．
（ 1 ） 求 的通项公式．
（ 2 ） 若 ， ， 成等比数列，其中 ，
，且
且
，
，求 的最小值．
21. 某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境
下的发芽率，并按发芽率分为 组：
北京市交大附中2019_2020学年高一数学下学期期末考试试题含解析
17. 如图，在三棱锥 中， ， ， ， 分别是 ， ， 的中点，求证：
〔1〕 平面 ；
〔2〕 平面 ；
〔3〕平面 平面 ；
〔4〕请在图中画出平面 截三棱锥 的截面，判断截面形状并说明你的理由；
〔5〕假如 .求出第〔4〕问中的截面面积.
【答案】(1). (2). ；
【解析】
【分析】
由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式 ，求得 、 的值．
【详解】∵角 的终边过点 ，如此 ，
将射线 〔 为坐标原点〕按逆时针方向旋转 后得到角 的终边，
如此 ，
故答案 ， .
【点睛】此题主要考查任意角的三角函数的定义，设 是一个任意角，它的终边上异于原点的一个点的坐标为 ，那么 ， ， ，诱导公式 ，属于根底题．
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用诱导公式化简整理得 ，即得最大值.
【详解】由诱导公式可得 ，
如此 ，
函数 的最大值为 .
应当选：A.
【点睛】此题考查了诱导公式 和三角函数最大值，属于根底题.
8. 直线 ， ，平面 ， ， ， ， ，那么“ 〞是“ 〞的〔〕
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
〔2〕设 ，连接 ，由 平面 ，可推出 ，而 为 的中点，故得证；
〔3〕由平面 平面 ， ，可推出 平面 ，故 ；由平面 平面 ， ，可推出 平面 ，故 ；再由线面垂直 判定定理即可得证.
【详解】证明：〔1〕∵平行四边形 ，∴ ，
面 ， 面 ，
面 ，
∵ 为正方形，∴ ，
2020年北京交大附中高考数学一模试卷(含答案解析)
2020年北京交大附中高考数学一模试卷一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|x(x −3)<0}，B ={−1,0，1，2，3}，则A ∩B =( )A. {−1}B. {1,2}C. {0,3}D. {−1,1，2，3}2. 已知函数 f (x )=ax 3−3x 2+1，若 f (x )存在唯一的零点 x 0，且 x 0>0，则 a 的取值范围是A. (2,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,−2)D. (−∞,−1)3. 已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=( )A. 2B. 6C. 8D. 124. 一个四面体的三视图如图所示，那么该四面体的四个面中最大的面积为A. 12B. √22 C. √32D. 15. 已知数列{a n }，{b n }满足b n =a n +a n+1，则“数列{a n }为等差数列”是“数列{b n }为等差数列”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 即不充分也不必要条件6. 已知定义在R 上的函数满足f(x +1)=f(x −1)，f(x)={2x −5,0<x ≤1ln x−1e5,1<x ≤2，若关于x 的不等式f(x)+a(x −2018)≤0在(2018,2020]上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,2]B. (−∞,2)C. (−∞,52]D. (−∞,52)7. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，O ，P ，R ，S 分别为棱AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1，A 1A 的中点，则六边形MNOPRS 在正方体各个面上的投影可能为( )A.B.C.D.8.在平面直角坐标系xOy中，以x轴的非负半轴为始边，角α的终边上一点Ｐ的坐标是(−35,45 )，将α的终边按顺时针方向旋转π3得到角β的终边，则cosβ=()A. −3+4√310B. −3−4√310C. 4+3√310D. 4−3√3109.已知梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=π2，AB=BC=1，AD=2，P是DC的中点，则|PA⃗⃗⃗⃗⃗ +2PB⃗⃗⃗⃗⃗ |=()A. √822B. 2√5C. 4D. 510.10名象棋选手进行单循环赛(即每两名选手比赛一场).规定两人对局，胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45，则第二名选手的得分是()A. 12B. 13C. 16D. 17二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.设a=20.1,b=ln52,c=log3910，则a,b,c的大小关系是__________．12.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(5,0)，则抛物线的标准方程为______．13.已知log a b=lg100.若b=10，则a=__________，若b=a+2，则a=_________．14.设函数f(x)=(x−a)|x−a|−x|x|+2a+1(a<0).若存在x0∈[−1,1]，使f(x0)≤0，则a的取值范围是．15.已知函数f(x)=−14x2+2x+3，g(x)=|32x−3|，若函数F(x)={f(x),f(x)<g(x),g(x),f(x)≥g(x),则F(2)=________，F(x)的最大值为________．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是菱形；PA⊥平面ABCD，PA=AD=AC，点F为PC的中点．(Ⅰ)求证：PA//平面BFD；(Ⅱ)求二面角C−BF−D的余弦值．17.设a∈R，f(x)=cosx(asinx−cosx)+cos2(π2−x)，且满足f(−π3)=f(0)．(1)求函数f(x)的最小正周期，对称中心；(2)求函数f(x)在[−π,π]上的单调递增区间．18.李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)；(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x .是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX 与x .的大小(只需写出结论)．19. 设f(x)=xlnx −ax 2+(2a −1)x ，a ∈R.已知f(x)在x =1处取得极大值．求实数a 的取值范围．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 22=1(a >√2)的离心率为√22，左、右顶点分别为A ，B ，点M 是椭圆C 上异于A ，B 的一点，直线AM 与y 轴交于点P ．(Ⅰ)若点P 在椭圆C 的内部，求直线AM 的斜率的取值范围；(Ⅱ)设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且AQ//BM，求证：∠PFQ为定值．21.求证：正弦函数没有比小的正周期．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵集合A={x|x(x−3)<0}={x|0<x<3}，B={−1,0，1，2，3}，∴A∩B={1,2}．故选：B．先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.答案：C解析：本题考查了利用导数求函数单调区间和极值及函数零点的相关知识，解题时要注意分类讨论，当a= 0时，f(x)存在两个零点，不符合题意，故a≠0；当a>0时，求导可得f(x)存在负零点；当a<0时，求导可得满足f(2a)>0，即得答案．解：对函数f(x)=ax3−3x2+1求导得f′(x)=3ax2−6x=3x(ax−2)，令f′(x)=0，得3x(ax−2)=0．(1)当a=0时，f(x)=1−3x2，存在两个零点，不符合题意，故a≠0；(2)当a>0时，2a >0，所以f(x)在(−∞,0),(2a,+∞)上单调递增，在(0,2a)上单调递减，所以x=2a为f(x)的极小值点，x=0为f(x)的极大值点，且f(0)=1>0，当x趋于负无穷时，函数值也趋于负无穷，故此时函数f(x)必有一负零点，不符合题意；(3)当a<0时，2a <0，所以f(x)在(−∞,2a),(0,+∞)上单调递减，在(2a,0)上单调递增，所以x =0为f(x)的极大值点，x =2a 为f(x)的极小值点，若要使f (x )仅有一正零点，结合函数图象，可知f(2a )>0，即f(2a )=1−4a 2>0，解得a <−2， 综上所述，a 的取值范围为(−∞,−2)． 故选C ．3.答案：C解析：本题考查向量的数量积，考查平面向量的坐标运算，属于基础题． 利用向量坐标运算法则、向量的数量积公式直接求解． 解：∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,5)， |OA⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32+(−4)2=5， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−1×2+5×1+5=8． 故选C ．4.答案：C解析：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征是什么． 根据三视图，得到四面体的直观图，然后判断四个面中的最大面积即可． 解：将该几何体放入边长为1的正方体中，由三视图可知该四面体为D −BD 1C 1，由直观图可知，最大的面为BDC 1．在正三角形BDC1中，BD=√2，所以面积S=12×(√2)2×=√32．故选C．5.答案：A解析：根据等差数列的定义结合充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的定义是解决本题的关键．解：若数列{a n}为等差数列，设公差为d，则当n≥2时，b n−b n−1=a n+a n+1−a n−1−a n=a n+1−a n+a n−a n−1=2d为常数，则数列{b n}为等差数列，即充分性成立，若数列{b n}为等差数列，设公差为b，则n≥2时，b n−b n−1=a n+a n+1−a n−1−a n=a n+1−a n−1=d为常数，则无法推出a n−a n−1为常数，即无法判断数列{a n}为等差数列，即必要性不成立，即“数列{a n}为等差数列”是“数列{b n}为等差数列”充分不必要条件，故选：A．6.答案：C解析：解：f(x)={2x−5,0<x≤1 ln x−1e5,1<x≤2，可得0<x≤1时，f(x)递增，且f(x)∈(−4,−3]，1<x≤2时，f(x)=ln(x−1)−5≤−5，由f(x+1)=f(x−1)，可得f(x+2)=f(x)，即f(x)的最小正周期为2，关于x的不等式f(x)+a(x−2018)≤0在(2018,2020]上恒成立，即为f(x)在(2018,2020]的图象在直线y=−a(x−2018)的下方．可得2018<x≤2019，f(x)=2x−2018−5∈(−4,−3]；2019<x≤2020时，f(x)=ln(x−2019)−5≤−5，如右图，直线y=−a(x−2018)恒过定点(2018,0)，，当直线经过点(2020,−5)时，即−5=−2a，解得a=52时，直线恒在f(x)在(2018,2020]的上方，由图象可得a≤52故选：C．求得f(x)的值域和周期2，作出y=f(x)在(2018,2020]的图象，结合直线恒过定点(2018,0)，考虑点(2020,−5)，以及图象即可得到所范围．本题考查函数的周期性和运用，考查函数的图象的关系，注意运用转化思想和数形结合思想，属于中档题．7.答案：D解析：解：正方体ABCD−A1B1C1D1中，六边形MNOPRS前后两个面上的投影如图1所示；在左右两个面上的投影如图2所示；在上下两个面上的投影如图3所示；故选：D ．根据题意分别画出六边形MNOPRS 在六个面上的投影即可． 本题考查了空间几何体三视图的应用问题，是基础题．8.答案：A解析：本题主要考查任意角的三角函数和两角差的余弦公式的运用，属于中档题． 根据题意可得sinα=45，cosα=−35且，然后利用两角差的余弦公式即可求解．解：由题意知sinα=45，cosα=−35．所以cosβ=cos (α−π3)=cosαcos π3+sinαsin π3=−35×12+45×√32=4√3−310． 故选A ．9.答案：A解析：本题考查了向量的坐标运算和向量的模的计算，关键是建立坐标系，属于基础题．以BA ，BC 所在的直线为y ，x 轴，建立如图所示的坐标系，根据向量的坐标运算和向量的模的计算即可求出． 解：以BA ，BC 所在的直线为y ，x 轴，建立如图所示的坐标系， 则B(0,0)，A(0,1)，C(1,0)，D(2,1)， ∵P 是DC 的中点，。
2020-2021学年北京北方交大附属中学高一数学文模拟试卷含解析
2020-2021学年北京北方交大附属中学高一数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在映射，，且，则与A中的元素对应的B中的元素为（）A. B. C. D..参考答案：A略2. 在上，若，则的范围是（）Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.参考答案：C略3. （5分）函数的周期，振幅，初相分别是（）A．B．C．D．参考答案：C考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．专题：计算题．分析：本题的函数解析式已知，由其形式观察出振幅，初相，再由公式求出函数的周期，对照四个选项得出正确选项解答：∵函数∴振幅是2，初相是又x的系数是，故函数的周期是T==4π对照四个选项知应选C故选C点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，解题的关键是理解A，ω，φ的意义，根据解析式及相关公式求出此三个参数的值．本题是基本概念型题．4. 如图是由哪个平面图形旋转得到的（）A. B. C. D.参考答案：D略5. 已知，则的表达式是（）A． B． C． D．参考答案：A6. 若a=2，b=logπ3，c=log2sin，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a参考答案：A【考点】不等式比较大小．【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解．【解答】解：∵a=2＞20=1，0=logπ1＜b=logπ3＜logππ=1，c=log2sin＜log21=0，∴a＞b＞c．故选：A．7. 设集合,则满足的集合B的个数是（）A．1 B.3 C.4 D.8参考答案：C8. 两圆的位置关系是（）A.相交B.外切C.相离D.内切参考答案：B略9. 从学号为0～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试,采用系统抽样的方法,则所选5名学生的学号可能是( )A. 1,2,3,4,5B. 5,16,27,38,49C. 2,4,6,8,10D. 4,13,22,31,40参考答案：D略10. 在中，，则为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设函数f（x）=，其中a＞0，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是．参考答案：[7，+∞）【考点】函数的值域．【分析】根据指数函数性质可知y=3x+4a，（x＞3）是增函数，其值域y＞27+4a，y=2x+a2（x≤3）也是增函数，其值域y≤9+a2．要使f（x）的值域为R，只需9+a2≥27+4a即可，从而可得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=，其中a＞0，令y1=3x+4a，（x＞3）是增函数，其值域y1＞27+4a，y2=2x+a2（x≤3）也是增函数，其值域y2≤9+a2．要使f（x）的值域为R，只需9+a2≥27+4a解得：a≥7或a≤﹣3．∵a＞0，∴实数a的取值范围是[7，+∞）故答案为：[7，+∞）．12. 如果＝，且是第四象限的角，那么＝．参考答案：13. 若函数，求x的取值区间参考答案：由，得，所以x 的取值区间为。
2020年北京市东城区高考数学一模试卷 (解析版)
2020年高考数学一模试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{2}2．函数的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）3．已知，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．﹣24．若双曲线的一条渐近线与直线y＝2x+1平行，则b的值为（）A．1B．C．D．25．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．4B．6C．8D．126．已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（）A．x2﹣1＞0B．C．sin x﹣x＞0D．cos x+x＞07．在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是（）A．B．C．D．8．已知三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝2x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的范围为（）A．（0，1]B．C．D．10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以x（t）表示，被捕食者的数量以y（t）表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：（）A．若在t1，t2时刻满足：y（t1）＝y（t2），则x（t1）＝x（t2）B．如果y（t）数量是先上升后下降的，那么x（t）的数量一定也是先上升后下降C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量（m，1），（1，﹣2），（2，3），若与共线，则实数m ＝．12．在（x）6的展开式中常数项为．（用数字作答）13．圆心在x轴上，且与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切的圆的方程为．14．△ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且AD＝3CD，，则CD ＝，sin∠ABD＝．15．设函数给出下列四个结论：①对∀a＞0，∃t∈R，使得f（x）＝t无解；②对∀t＞0，∃a∈R，使得f（x）＝t有两解；③当a＜0时，∀t＞0，使得f（x）＝t有解；④当a＞2时，∃t∈R，使得f（x）＝t有三解．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小．17．已知函数，且满足_______．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围．从①f（x）的最大值为1，②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f（x）的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值．（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于﹣4的点位的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．（结论不要求证明）19．已知椭圆，它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形AF1BF2为正方形，且面积为2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形，求出该菱形周长的最大值．20．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈R）．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，求f（x）在区间（0，2a]上的最小值．21．数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，对于给定的t（t＞1，t∈N+），记满足不等式：x n﹣x t≥t*（n﹣t）（∀n∈N+，n≠t）的t*构成的集合为T（t）．（Ⅰ）若数列A：x n＝n2，写出集合T（2）；（Ⅱ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）均为相同的单元素集合，求证：数列x1，x2，…，x n，…为等差数列；（Ⅲ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）为单元素集合，那么数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{2}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{2}．故选：D．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．函数的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0，列不等式求出解集即可．解：函数，令0，得x﹣2≥0，解得x≥2，所以f（x）的定义域为[2，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了根据二次根式被开方数大于或等于0求函数定义域的问题，是基础题．3．已知，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求解a值．解：∵，∴2＝（1+ai）（1﹣i）＝1+a+（a﹣1）i，∴，即a＝1．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．4．若双曲线的一条渐近线与直线y＝2x+1平行，则b的值为（）A．1B．C．D．2【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到关系式，求解即可．解：双曲线的一条渐近线y＝bx与直线y＝2x+1平行，可得b＝2．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．4B．6C．8D．12【分析】几何体是一个三棱锥，根据三视图的数据，画出直观图，求解体积即可．解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，D1﹣BCD，根据三棱锥的三视图的面积，设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是DC＝4，BC＝3，DD1＝2∴三棱锥的体积是4×3×2＝4故选：A．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原平面图形，是基础题．6．已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（）A．x2﹣1＞0B．C．sin x﹣x＞0D．cos x+x＞0【分析】根据x＜﹣1，利用函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性即可判断出结论．解：∵x＜﹣1，∴x2﹣1＞0，x2，又∵sin x，cos x∈[﹣1，1]，∴sin x﹣x＞0，cos x+x＜0．可得：ABC成立，D不成立．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是（）A．B．C．D．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出3分钟转过的角度，由此计算点M所处位置的坐标．解：每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为2π；点M的初始位置坐标为，运动到3分钟时动点M所处位置的坐标是M′（，）．故选：C．【点评】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．8．已知三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】三角形ABC，那么“”⇒•0，可得A为锐角．进而判断出结论．解：三角形ABC，那么“”⇒•0，可得A为锐角．此时三角形ABC不一定为锐角三角形．三角形ABC为锐角三角形⇒A为锐角．∴三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、简易逻辑的判定方法、三角形的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝2x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的范围为（）A．（0，1]B．C．D．【分析】设P的坐标，看可得PA的中点M的坐标，进而求出OM的斜率，由均值不等式可得其取值范围．解：设P（，y），y＞0，所以PA的中点M（，），所以k OM，因为y，所以0，所以k OM∈（0，]，故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，及均值不等式的性质，属于中档题．10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以x（t）表示，被捕食者的数量以y（t）表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：（）A．若在t1，t2时刻满足：y（t1）＝y（t2），则x（t1）＝x（t2）B．如果y（t）数量是先上升后下降的，那么x（t）的数量一定也是先上升后下降C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值【分析】根据图象数形结合，逐一进行分析即可解：由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A不正确；在曲线上半段中观察到y（t）是先上升后下降，而x（t）是不断变小的，故B不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C正确；当捕食者数量最大时在图象最右端，x（t）∈（25，30），y（t）∈（0，50），此时二者总和x（t）+y（t）∈（25，80），由图象可知存在点x（t）＝10，y（t）＝100，x（t）+y（t）＝110，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者数量也会达到最大值，故D错误，故选：C．【点评】本题考查的知识点是函数的图象和性质，本题比较抽象，理解起来有一定的难度．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量（m，1），（1，﹣2），（2，3），若与共线，则实数m ＝3．【分析】先求出（m﹣1，3），再由与共线，列方程能求出实数m．解：∵向量（m，1），（1，﹣2），（2，3），∴（m﹣1，3），∵与共线，∴，解得实数m＝3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则和向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．在（x）6的展开式中常数项为160．（用数字作答）【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解：在的展开式中的通项公式为T r+1•2r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得常数项为•23＝160，故答案为：160．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．13．圆心在x轴上，且与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切的圆的方程为（x﹣1）2+y2．【分析】设所求圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2，利用圆与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切，即可得出结论．解：设所求圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2，因为圆与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切，则r，解得a＝1，r，所以圆的方程为（x﹣1）2+y2．故答案为：（x﹣1）2+y2．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．14．△ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且AD＝3CD，，则CD ＝2，sin∠ABD＝．【分析】根据题意画出图形，利用余弦定理求出CD的值，再利用正弦定理求出sin∠ABD 的值．解：如图所示，等边△ABC中，AD＝3CD，所以AC＝2CD；又，所以BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD，即（2CD）2+CD2﹣2•2CD•CD•cos120°，解得CD＝2，所以AD＝6；由，即，解得sin∠ABD．故答案为：2，．【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．15．设函数给出下列四个结论：①对∀a＞0，∃t∈R，使得f（x）＝t无解；②对∀t＞0，∃a∈R，使得f（x）＝t有两解；③当a＜0时，∀t＞0，使得f（x）＝t有解；④当a＞2时，∃t∈R，使得f（x）＝t有三解．其中，所有正确结论的序号是③④．【分析】可取a＝3，由一次函数的单调性和基本不等式，可得f（x）的值域，即可判断①；取a＝0，判断f（x）的单调性，即可判断②；考虑a＜0时，求得f（x）的值域，即可判断③；当a＞2时，结合一次函数的单调性和基本不等式，以及f（x）的图象，即可判断④．解：对于①，可取a＝3，则f（x），当x＜0时，f（x）＝3（x+1）∈（﹣∞，3）；当x≥0时，f（x）＝2x﹣3+23﹣x≥22，当且仅当x＝3时，取得等号，故a＝3时，f（x）的值域为R，∀t∈R，f（x）＝t都有解，故①错误；对于②可取a＝0时，f（x），可得f（x）在R上单调递增，对∀t＞0，f（x）＝t至多一解，故②错误；对于③，当a＜0时，x＜0时，f（x）＝a（x+1）递减，可得f（x）＞a；又x≥0时，x﹣a＞0，即有2x﹣a＞1，可得2x﹣a+2a﹣x＞2，则f（x）的值域为（a，+∞），∀t＞0，f（x）＝t都有解，故③正确；对于④，当a＞2时，x＜0时，f（x）＝a（x+1）递增，可得f（x）＜a；当x≥0时，f （x）＝2x﹣a+2a﹣x≥2，当且仅当x＝a时，取得等号，由图象可得，当2＜t＜3时，f（x）＝t有三解，故④正确．故答案为：③④．【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查方程的解的个数，注意运用反例法判断命题不正确，以及数形结合思想，考查推理能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小．【分析】（Ⅰ）由底面ABCD为平行四边形，得AD∥BC，再由直线与平面平行的判定可得AD∥平面PBC；（Ⅱ）过D作平行于AC的直线Dx，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D ﹣xyz．分别求出平面PCB与平面PCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D﹣PC﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC；（Ⅱ）解：过D作平行于AC的直线Dx，∵AB⊥AC，∴Dx⊥DC，又PD⊥面ABCD，∴以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz．则C（0，1，0），P（0，0，1），B（1，2，0），（1，1，0），（0，﹣1，1），设平面PCB的一个法向量为，由，取y＝1，得；取平面PCD的一个法向量．则cos．由图可知，二面角D﹣PC﹣B为钝角，∴二面角D﹣PC﹣B的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．17．已知函数，且满足_______．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围．从①f（x）的最大值为1，②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f（x）的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式和诱导公式化简函数f（x），若满足①，利用最大值求出a的值，写出f（x）的解析式，求出最小正周期；（Ⅱ）令f（x）＝1求得方程的解，根据方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解找出这两个解，从而写出实数m的取值范围．若满足②，利用三角函数的图象与性质列出方程求得a的值，以下解法均相同．若满足③，利用f（x）的图象过点，代入求出a的值，以下解法均相同．解：（Ⅰ）函数f（x）＝a sin（2x）﹣2cos2（x）＝a sin（2x）﹣cos（2x）﹣1＝a sin（2x）﹣sin（﹣2x）﹣1＝（a+1）sin（2x）﹣1，若满足①f（x）的最大值为1，则a+1＝2，解得a＝1，所以f（x）＝2sin（2x）﹣1；f（x）的最小正周期为Tπ；（Ⅱ）令f（x）＝1，得sin（2x）＝1，解得2x2kπ，k∈Z；即x kπ，k∈Z；若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，则x或；所以实数m的取值范围是[，）．若满足②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，且f（x）的最小正周期为Tπ，所以﹣（a+1）﹣1＝﹣3，解得a＝1；以下解法均相同．若满足③f（x）的图象过点，则f（）＝（a+1）sin1＝0，解得a＝1；以下解法均相同．【点评】本题考查了利用三角函数的基本性质求解析式问题，也考查了三角函数图象与性质的应用问题，是中档题．18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值．（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于﹣4的点位的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．（结论不要求证明）【分析】（Ⅰ）通过图象观察，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，由古典概率的计算公式可得所求值；（Ⅱ）通过图象可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于﹣4的有两个点：C，D，则X的所有可能取值为0，1，2，分别求得它们的概率，作出分布列，计算期望即可；（Ⅲ）通过观察它们的极差，即可判断它们的方差的大小．解：（Ⅰ）由图可得，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，所以从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为0.06；（Ⅱ）由图可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于﹣4的有两个点：C，D，所以X的所有可能取值为0，1，2，P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），所以X的分布列为X12P所以X的期望为E（X）＝0121；（Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代．【点评】本题考查古典概率的求法，以及随机变量的分布列和期望的求法，方差的大小的判断，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19．已知椭圆，它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形AF1BF2为正方形，且面积为2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形，求出该菱形周长的最大值．【分析】（Ⅰ）由题意可得b＝c，bc＝2，求得b，再由a，b，c的关系可得a，进而得到所求椭圆方程；（Ⅱ）设l1的方程为y＝kx+m1，C（x1，y1），D（x2，y2），设l2的方程为y＝kx+m2，M（x3，y3），N（x4，y4），分别联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，求得|CD|，|MN|，运用菱形和椭圆的对称性可得l1，l2关于原点对称，结合菱形的对角线垂直和向量数量积为0，可得3m12﹣2k2﹣2＝0，设菱形CDMN 的周长为l，运用基本不等式，计算可得所求最大值．解：（Ⅰ）因为四边形AF1BF2为正方形，且面积为2，所以b＝c，且•2c•2b＝2，解得b＝c＝1，a2＝2，所以椭圆的标准方程：y2＝1；（Ⅱ）设l1的方程为y＝kx+m1，C（x1，y1），D（x2，y2），设l2的方程为y＝kx+m2，M（x3，y3），N（x4，y4），联立可得（1+2k2）x2+4km1x+2m12﹣2＝0，由△＞0可得16k2m12﹣4（1+2k2）（2m12﹣2）＞0，化简可得2k2+1﹣m12＞0，①x1+x2，x1x2，|CD|•|x1﹣x2|•••，同理可得|MN|•，因为四边形CDMN为菱形，所以|CD|＝|MN|，所以m12＝m22，又因为m1≠m2，所以m1＝﹣m2，所以l1，l2关于原点对称，又椭圆关于原点对称，所以C，M关于原点对称，D，N也关于原点对称，所以且，（2x1，2y1），（2x2，2y2），因为四边形CDMN为菱形，可得•0，即x1x2+y1y2＝0，即x1x2+（kx1+m1）（kx2+m1）＝0，即（1+k2）x1x2+km1（x1+x2）+m12＝0，可得（1+k2）•km1•m12＝0，化简可得3m12﹣2k2﹣2＝0，设菱形CDMN的周长为l，则l＝4|CD|•4，当且仅当2+2k2＝1+4k2，即k2时等号成立，此时m12＝1，满足①，所以菱形CDMN的周长的最大值为4．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，主要考查化简运算能力和推理能力，属于难题．20．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈一、选择题）．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，求f（x）在区间（0，2a]上的最小值．【分析】（Ⅰ）先利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程；（Ⅱ）先把f（x）有两个极值点转化为方程2a有两个不等的正根，再利用数形结合求出a的取值范围；（Ⅲ）先利用导函数的符号判断f（x）在区间（0，2a]上的单调性，进而解决其最小值．解：∵f（x）＝x（lnx﹣ax），∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax．（Ⅰ）当a＝1时，f′（1）＝﹣1，f（1）＝﹣1，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣1）＝﹣（x﹣1），即y＝﹣x；（Ⅱ）∵若f（x）有两个极值点，∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax＝0有两个不等的正根，即2a两个不等的正根．令g（x），x＞0，g′（x），令g′（x）＝0⇒x＝1，当x∈（0，1）时g′（x）＞0，此时g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时g′（x）＜0，此时g（x）单调递减；且g（1）＝1，故0＜2a＜1，解得：a∈（0，）．（Ⅲ）∵f（x）＝x（lnx﹣ax），∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax，f″（x）2a，∵a＞1，x∈（0，2a]，令f″（x）＝0⇒x，当x∈（0，）时，f″（x）＞0，此时f′（x）单调递增；当x∈（，+∞）时，f″（x）＜0，此时f′（x）单调递减，故f′（x）max＝f′（）＝﹣ln（2a）＜0，∴f（x）在（0，2a]上单调递减，故f（x）在（0，2a]上的最小值为f（2a）＝2a[ln（2a）﹣2a2]．【点评】本题主要考查曲线的切线方程的求法及导数的综合应用，属于一道有难度的题．21．数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，对于给定的t（t＞1，t∈N+），记满足不等式：x n﹣x t≥t*（n﹣t）（∀n∈N+，n≠t）的t*构成的集合为T（t）．（Ⅰ）若数列A：x n＝n2，写出集合T（2）；（Ⅱ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）均为相同的单元素集合，求证：数列x1，x2，…，x n，…为等差数列；（Ⅲ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）为单元素集合，那么数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．【分析】（Ⅰ）推导出n2﹣4≥t*（n﹣2）（∀n∈N+，n≠t），当n＞2时，上式可化为n+2≥t*，5≥t*，当n＝1时，上式可化为3≤t*，由此能求出T（2）为[3，5]．（Ⅱ）T（t）（∀t∈N+，t＞l）中均只有同一个元素，不妨设为a．当n＝t+1时，有x t+1﹣x t≥a，（∀t＞1），当n＝t﹣1时，有x t﹣x t﹣1≤a（∀t＞1），由此能证明数列x1，x2，…，x n，…为等差数列．（Ⅲ）设T（i）＝{a}，T（j）＝{b}，1＜i＜j，a≠b，由T（i）＝{a}，知x j﹣x i≥a（j ﹣i），由T（j）＝{b}，知：x i﹣x j≥b（i﹣j），即x j﹣x i≤b（j﹣i），从而a（j﹣i）≤x j﹣x i≤b（j﹣i），a≤b．设T（i）＝{t i}，则t2≤t3≤…≤t n≤…，1＜i＜j，则t i≤t j，推导出t2＝t3＝t4＝t5＝…，由此能证明数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列．解：（Ⅰ）由于A：，T（2）为满足不等式（n﹣t）（∀n∈N+）的t*构成的集合，∴n2﹣4≥t*（n﹣2）（∀n∈N+，n≠t），当n＞2时，上式可化为n+2≥t*，∴5≥t*，当n＝1时，上式可化为3≤t*，∴T（2）为[3，5]．（Ⅱ）证明：对于数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，若T（t）（∀t∈N+，t＞l）中均只有同一个元素，不妨设为a，下面证明数列A为等差数列，当n＝t+1时，有x t+1﹣x t≥a，（∀t＞1），①当n＝t﹣1时，有x t﹣x t﹣1≤a（∀t＞1），②∵①②两式对任意大于1的整数均成立，∴x t+1﹣x t＝a（∀t＞1）成立，∴数列x1，x2，…，x n，…为等差数列．（Ⅲ）对于数列A：x1，x2，…，x n，…，不妨设T（i）＝{a}，T（j）＝{b}，1＜i＜j，a≠b，由T（i）＝{a}，知x j﹣x i≥a（j﹣i），由T（j）＝{b}，知：x i﹣x j≥b（i﹣j），即x j﹣x i≤b（j﹣i），∴a（j﹣i）≤x j﹣x i≤b（j﹣i），∴a≤b．设T（i）＝{t i}，则t2≤t3≤…≤t n≤…，这说明1＜i＜j，则t i≤t j，∵对于数列A：x1，x2，…，x n，…，T（t）（∀t∈N+，t＞1）中均只有一个元素，首先考察t＝2时的情况，不妨设x2＞x1，∵x2﹣x1≤t2，又T（2）为单元素集，∴x2﹣x1＝t2，再证t3＝x3﹣x2，证明如下：由t3＝x3﹣x2，证明如下：由t3的定义可知：t3≥x3﹣x2，，∴，由t2的定义可知x3﹣x2≥t2＝x2﹣x1，∴t3≥x3﹣x2，∴x3﹣x2＝t3，∵t3＞t2，∴t3＝x3﹣x2＞t2，则存在正整数m（m≥4），使得（m﹣2）t2＝x m﹣x2，③∵x2﹣x1＝t2≤x3﹣x2≤t3≤x4﹣x3≤…≤x k﹣x k﹣1≤…∴x m﹣x2（m﹣2）t2，这与③矛盾，∴t3＝t2，同理可证t2＝t3＝t4＝t5＝…，∴数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列．【点评】本题考查集合的求法，考查等差数列的证明，考查等比数列的判断与证明，考查推理论主能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．。
2019-2020学年北京交大附中高一(下)期末数学试卷(解析版)
2019-2020学年北京交大附中高一（下）期末数学试卷一、选择题：（本大题共8小题，每题6分，共48分）1．（6分）已知角α的终边经过点（3，﹣4），则cosα的值为（）A．﹣B．C．﹣D．﹣2．（6分）已知向量＝（t，1），＝（1，2）．若⊥，则实数t的值为（）A．﹣2B．2C．D．3．（6分）在△ABC中，若A＝，B＝，a＝2，则b＝（）A．B．C．D．4．（6分）已知三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若l∥m，m⊂α，则l∥αC．若l∥α，l∥β，则α∥βD．若l∥α，l⊥β，则α⊥β5．（6分）函数f（x）＝sinπx cosπx的最小正周期为（）A．1B．2C．πD．2π6．（6分）已知，且，那么sinα＝（）A．B．C．D．7．（6分）函数f（x）＝sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）A．B．1C．D．8．（6分）已知直线a，b，平面α，β，α∩β＝b，a∥α，a⊥b，那么“a⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题：（本大题共6小题，每题5分，共30分）9．（5分）已知向量＝（1，2），＝（3，1），则向量，夹角的大小为．10．（5分）已知向量与的夹角为120°，且||＝||＝4，那么•（3+）的值为．11．（5分）在平面直角坐标系中，角α的终边过点A（3，4），则tanα＝；将射线OA（O为坐标原点）按逆时针方向旋转后得到角β的终边，则sinβ＝．12．（5分）已知cos2α＝，则cos2（）﹣2cos2（π﹣α）的值为．13．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）．若f（）﹣f（﹣）＝2，则函数f（x）的单调增区间为．14．（5分）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（0＜φ＜）图象如图，则φ的值为，ω的值为．三、解答题（本大题满分42分）15．（9分）函数f（x）＝2sin（2x﹣）．（1）求函数f（x）的单调递增区间和最小正周期；（2）请用“五点法”画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）；x2x0y（3）求函数f（x）在[，π]上的最大值和最小值，并指出相应的x的值．16．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝7，AD＝3，BD＝5，BC＝8，∠DBC＝60°．（1）求∠ADB的大小；（2）求CD的长；（3）求四边形ABCD的面积．17．（11分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，∠ABD＝∠ABC＝∠DCB＝90°，E，F，G分别是AC，AD，BC的中点，求证：（1）AB⊥平面BCD；（2）CD∥平面EFG；（3）平面ACD⊥平面ABC；（4）请在图中画出平面EFG截三棱锥A﹣BCD的截面，判断截面形状并说明你的理由；（5）若AB＝CD＝4．求出第（4）问中的截面面积．18．（9分）如图，已知正方形ABCD所在平面和平行四边形ACEF所在平面互相垂直，平面ECB⊥平面ABCD，AB＝，M是线段EF上的一点且AM∥平面BDE．（1）求证：平面ABF∥平面CDE；（2）求证：M是线段EF的中点；（3）求证：EC⊥平面ABCD．19．（5分）利用周期知识解答下列问题：（Ⅰ）定义域为R的函数f（x）同时满足以下三条性质：①存在x0∈R，使得f（x0）≠0；②对于任意x∈R，有f（x+2）＝9f（x）；③f（x）不是单调函数，但是它图象连续不断，写出满足上述三个性质的一个函数f（x），则f（x）＝．（不必说明理由）（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分．（i）求f（x）＝sin2x+cos3x的最小正周期并说明理由．（i）求证：g（x）＝sin x+cosπx不是周期函数．2019-2020学年北京交大附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每题6分，共48分）1．【分析】由条件利用本任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点（3，﹣4），∴x＝3，y＝﹣4，r＝5，则cosα＝＝，故选：B．2．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出t的值．【解答】解：∵向量，，若，则＝t+2＝0，∴实数t＝﹣2，故选：A．3．【分析】直接利用正弦定理即可求解．【解答】解：由正弦定理得：，∴，∴，解得：b＝3，故选：B．4．【分析】对于A，m与n相交、平行或异面；对于B，l∥α或l⊂α；对于C，α与β平行或相交；对于D，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面α，β，对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；对于B，若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故B错误；对于C，若l∥α，l∥β，则α与β平行或相交，故C错误；对于D，若l∥α，l⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：D．5．【分析】利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求出它的最小正周期．【解答】解：函数，故它的周期T＝＝1，故选：A．6．【分析】直接利用三角函数的定义的应用求出结果．【解答】解：已知，且，则：．故选：B．7．【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可．【解答】解：函数f（x）＝sin（x+）+cos（x﹣）＝sin（x+）+cos（﹣x+）＝sin（x+）+sin（x+）＝sin（x+）．故选：A．8．【分析】过直线a作平面γ，交平面α于直线a'，∵a∥α，∴a∥a'，∴a'⊥b，由a⊥β可推出α⊥β，由α⊥β可推出a⊥β，故“a⊥β”是“α⊥β”的充要条件．【解答】解：若α⊥β，过直线a作平面γ，交平面α于直线a'，∵a∥α，∴a∥a'，又a⊥β，∴a'⊥β，又∵a'⊆α，∴α⊥β，若α⊥β，过直线a作平面γ，交平面α于直线a'，∵a∥α，∴a∥a'，∵a⊥b，∴a'⊥b，又∵α⊥β，α∩β＝b，∴a'⊥β，∴a⊥β，故“a⊥β”是“α⊥β”的充要条件，故选：C．二、填空题：（本大题共6小题，每题5分，共30分）9．【分析】利用cos＜＞＝，能求出向量与的夹角．【解答】解：∵平面向量＝（1，2），＝（3，1），∴cos＜＞＝＝＝，∴＜＞＝45°．∴向量与的夹角45°．故答案为：45°．10．【分析】先根据数量积的分配律将所求式子展开，再由平面向量数量积的运算法则即可得解．【解答】解：•（3+）＝3•+＝3×4×4×cos120°+42＝﹣8．故答案为：﹣8．11．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得tanα、sinβ的值．【解答】解：∵角α的终边过点A（3，4），则tanα＝，将射线OA（O为坐标原点）按逆时针方向旋转后得到角β的终边，则sinβ＝sin（α+）＝cosα＝＝，故答案为：；．12．【分析】由cos2α＝求得cos2α的值，再化简并计算所求三角函数值．【解答】解：由cos2α＝，得2cos2α﹣1＝，即cos2α＝；所以cos2（）﹣2cos2（π﹣α）＝sin2α﹣2cos2α＝1﹣3cos2α＝1﹣3×＝﹣1．故答案为：﹣1．13．【分析】由已知函数关系式可得函数周期为π，又由已知条件可得f（），f（﹣）取到最大值和最小值，进而可求出φ，继续利用函数单调性求出单调增区间．【解答】解：因为函数f（x）＝sin（2x+φ），所以函数周期为π．若f（）﹣f（﹣）＝2，则f（）＝sin（+φ）＝1，f（﹣）＝sin（﹣+φ）＝﹣1，故+φ＝2kπ+，k∈z，且﹣+φ＝2kπ﹣，k∈z，即φ＝2kπ+，k∈z故f（x）＝sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，故答案为：[kπ﹣，kπ+]，k∈z．14．【分析】根据图象过点（0，1），结合φ的范围求得φ的值，再根据五点法作图求得ω，可得函数的解析式．【解答】解：由函数图象过点（0，1），可得sinφ＝1，则sinφ＝，又0＜φ＜，∴φ＝，∴f（x）＝sin（ωx+）．再根据五点法作图可得，ω+＝2π，∴ω＝．故答案为：；．三、解答题（本大题满分42分）15．【分析】（1）根据正弦函数的图象与性质求出函数f（x）的单调递增区间和最小正周期；（2）列表，描点、连线，画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图；（3）求出x∈[﹣，]时函数f（x）的最大值和最小值，以及对应x的值．【解答】解：（1）函数f（x）＝2sin（2x﹣），令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z；解得﹣+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z；即﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；所以函数f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；最小正周期T＝＝π；（2）填写表格如下；x2x0π2πy020﹣202用“五点法”画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图为；（3）x∈[﹣，]时，2x﹣∈[0.]，sin（2x﹣）∈[﹣，1]，所以函数f（x）＝2sin（2x﹣）在[，π]上取得最大值为2，最小值为﹣1，且x＝时f（x）取得最小值，x＝时f（x）取得最大值．16．【分析】（1）利用余弦定理可得结论；（2）利用余弦定理可得结论；（3）由三角形面积公式分别求得△ABD和△BCD的面积，即可得结论．【解答】解：（1）在△ABD中，AB＝7，AD＝3，BD＝5，由余弦定理可得cos∠ADB＝＝＝﹣，所以∠ADB＝120°．（2）在△BCD中，BD＝5，BC＝8，∠DBC＝60°，由余弦定理可得CD2＝BD2+BC2﹣2BD•BC•cos∠DBC＝25+64﹣2×5×8×＝49，所以CD＝7．（3）S△ABD＝AD•BD•sin∠ADB＝＝，S△BCD＝BC•BD•sin∠DBC＝×8×5×＝10，所以四边形ABCD的面积为S△ABD+S△BCD＝．17．【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可得证；（2）由三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（3）推得CD⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理，即可得证；（4）可取BD的中点H，连接GH，FH，可得截面EFHG，由三角形的中位线定理，以及线面垂直的性质定理，可得截面为矩形；（5）判断截面为边长为2的正方形，可得截面的面积．【解答】解：（1）证明：由∠ABD＝∠ABC＝90°，可得AB⊥BD，AB⊥BC，又BD∩BC＝B，则AB⊥平面BCD；（2）证明：由EF为△ACD的中位线，可得EF∥CD，且CD⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，则CD∥平面EFG；（3）证明：由AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，得AB⊥CD，又CD⊥BC，BC∩CD＝C，所以CD⊥平面ABC，又CD⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面ABC；（4）可取BD的中点H，连接GH，FH，截面EFHG为所求截面．由GH为△BCD的中位线，可得GH∥CD，GH＝CD，又EF∥CD，EF＝CD，所以EF＝GH，且EF∥GH，可得四边形EFHG为平行四边形，由AB⊥CD，EG∥AB，EF∥CD，可得EF⊥EG，则截面EFHG为矩形；（5）若AB＝CD＝4，可得截面EFHG为边长为2的正方形，其面积为4．18．【分析】（1）易知AF∥CE，AB∥CD，由面面平行判定定理的推论即可得证；（2）设AC∩BD＝O，连接OE，由AM∥平面BDE，可推出AM∥OE，而O为AC的中点，故得证；（3）由平面ABCD⊥平面ACEF，BD⊥AC，可推出BD⊥平面ACEF，故BD⊥EC；由平面ECB⊥平面ABCD，AB⊥BC，可推出AB⊥平面ECB，故AB⊥EC；再由线面垂直的判定定理即可得证．【解答】证明：（1）∵平行四边形ACEF，∴AF∥CE．∵正方形ABCD，∴AB∥CD．又AF∩AB＝A，CE∩CD＝C，AF、AB⊂平面ABF，CE、CD⊂平面CDE，∴平面ABF∥平面CDE．（2）设AC∩BD＝O，连接OE，则O为AC的中点，∵AM∥平面BDE，AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥OE．又O为AC的中点，∴M为线段EF的中点．（3）∵平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF＝AC，BD⊥AC，∴BD⊥平面ACEF，∴BD⊥EC．∵平面ECB⊥平面ABCD，平面ECB∩平面ABCD＝BC，AB⊥BC，∴AB⊥平面ECB，∴AB⊥EC．又BD∩AB＝B，BD、AB⊂平面ABCD，∴EC⊥平面ABCD．19．【分析】（Ⅰ）由已知条件可取f（x）＝3x sin2πx（答案不唯一）（Ⅱ）若选择（i）我们知道y＝sin2x与y＝cos3x的周期分别为：π，．让它们的整数倍相等即可得出函数f（x）的最小正周期．（ii）我们知道y＝sin x与y＝cosπx的周期分别为：2π，2．而2π与2的整数倍不可能相等，即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝3x sin2πx（答案不唯一）．故答案为：3x sin2πx．（Ⅱ）若选择（i）我们知道y＝sin2x与y＝cos3x的周期分别为：π，．取T＝2π，则f（2π+x）＝f（x），而f（π+x）≠f（x），可得：2π是函数f（x）＝sin2x+cos3x的最小正周期．（ii）证明：我们知道y＝sin x与y＝cosπx的周期分别为：2π，2．而2π与2的整数倍不可能相等，因此g（x）＝sin x+cosπx不是周期函数。
2020届高三毕业班第一次综合质量检测数学(理)试题—附答案
5.
已知函数
f
(
x)
1
x x
2
sin x ，则函数 y
f (x) 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
6．从区间 0，1随机抽取 2n 个数 x1, x2 ,, xn , y1, y2 ,, yn ，组成坐标平面上的 n 个点
(x1, y1 ) ，(x2 , y2 ) ，… (xn , yn ) ，其中到原点距离小于1的点有 m 个，用随机模拟的
A．20100
B．20200
C．40200
D．40400
12．在棱长为 4 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E, F 分别为 AA1, BC 的中点，点 M 在
棱 B1C1 上， B1M
1 4
B1C1
，若平面
FEM
交
A1B1 于点 N
，四棱锥 N
BDD1B1 的五
个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 半径为
A(3, 0, 0) ， B(0, 3, 0) ， S(0, 3 , 3 3 ) ， C(1,0,0) ， 22
上．
（1）求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程． （2）求△PAB 面积的最大值．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) | 2x t | ，若 f (x) 1的解集为 (1,0) ． （1）求 t 并解不等式 f (x) x 2 ； （2）已知： a,b R ，若 f (x) 2a b | 2x 2 | ，对一切实数 x 都成立， 求证： a 2b 1 ．
3
2
根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用
2024届北京市北方交大附中高三数学第一学期期末综合测试试题含解析
2024届北京市北方交大附中高三数学第一学期期末综合测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）A ．5i >B ．8i >C ．10i >D ．12i >2．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则2222a b c-=（ ） A ．32 B ．12 C ．14 D ．183．若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(,1)6π，则它的一条对称轴方程可能是（ ） A ．6x π= B ．3x π= C ．12x π= D ．512x π= 4．过抛物线C 的焦点且与C 的对称轴垂直的直线l 与C 交于A ，B 两点，||4AB =，P 为C 的准线上的一点，则ABP ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．85．已知函数13()4sin 2,0,63f x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈π ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,...,n x x x x ，且123...n x x x x <<<<，则123122...2n n x x x x x -+++++=（ ）A ．503πB ．21πC ．1003πD ．42π6．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．13 B ．23 C ．33 D ．237．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（ ）A ．CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住B ．CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C ．猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%D ．猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18% 8．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，则A ．P ⊆QB ．Q ⊆PC ．R C P ⊆QD ．Q ⊆R C P9．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110．设m ，n 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件11．已知函数()3cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ）A ．12x π=- B ．12x π= C ．3x π=- D ．3x π=12．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．5C ．6D ．7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年北京交大附中高考数学一模试卷-(含答案解析)
2020年北京交大附中高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.已知函数，若存在唯一的零点，且，则a的取值范围为A. B. C. D.3.在平行四边形ABCD中，，，则A. B. 2 C. 3 D. 44.已知某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，则该四面体的四个面中直角三角形的个数为A. 4B. 3C. 2D. 15.已知是等差数列的前n项和，则“对恒成立”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知函数，若函数存在零点，则实数a的取值范围是A. B. C. D.7.在棱长为1的正方体中，E，F分别为线段CD和上的动点，且满足，则四边形所围成的图形如图所示阴影部分分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和A. 有最小值B. 有最大值C. 为定值3D. 为定值28.如图，在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，终边分别是射线OA和射线射线OA，OC与单位圆的交点分别为，若，则的值是A.B.C.D.9.在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且，，，P 为BC中点．过点P作交AC所在直线于Q，则在方向上投影的最大值是A. B. C. D.10.一次数学竞赛，共有6道选择题，规定每道题答对得5分，不答得1分，答错倒扣1分．一个由若干名学生组成的学习小组参加了这次竞赛，这个小组的人数与总得分情况为A. 当小组的总得分为偶数时，则小组人数一定为奇数B. 当小组的总得分为奇数时，则小组人数一定为偶数C. 小组的总得分一定为偶数，与小组人数无关D. 小组的总得分一定为奇数，与小组人数无关二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知，，，则a，b，c中最小的是______．12.已知点在抛物线C：上，则点M到抛物线C焦点的距离是______．13.已知，，若，，则满足条件的m可以为______写出一个即可14.已知函数当时，的最小值等于______；若对于定义域内的任意x，恒成立，则实数a的取值范围是______．15.已知函数，对于任意实数，当时，记的最大值为若，则______；若则的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD，，，，E为PB中点．Ⅰ求证：平面ACE；Ⅱ求二面角的余弦值；17.已知函数．Ⅰ求函数的最小正周期；Ⅱ当时，求证：．18.某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照，，分组，绘成频率分布直方图如图：专家A B C D E评分Ⅰ求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；Ⅱ从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数；试求与的值；Ⅲ考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分．方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分．请直接写出与的大小关系．19.已知．Ⅰ若曲线在点处的切线与x轴平行，求a的值；Ⅱ若在处取得极大值，求a的取值范围．20.已知椭圆的左顶点A与上顶点B的距离为．Ⅰ求椭圆C的方程和焦点的坐标；Ⅱ点P在椭圆C上，线段AP的垂直平分线分别与线段AP、x轴、y轴相交于不同的三点M，H，Q．求证：点M，Q关于点H对称；若为直角三角形，求点P的横坐标．21.对于集合，，，集合A中的元素个数记为．规定：若集合A满足，则称集合A具有性质T．Ⅰ已知集合3，5，，，写出，的值；Ⅱ已知集合，为等比数列，，且公比为，证明：A具有性质T；Ⅲ已知A，B均有性质T，且，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合，，故选：B．先分别求出集合A和B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：解：当时，，令，解得，函数有两个零点，舍去．当时，，令，解得或．当时，，当或时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增．是函数的极小值点，0是函数的极大值点．函数存在唯一的零点，且，则：；即：，可得．当时，，当或时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减．是函数的极小值点，0是函数的极大值点．不满足函数存在唯一的零点，且，综上可得：实数a的取值范围是．故选：B．当时，，令，解得，两个解，舍去．当时，，令，解得或对a分类讨论：当时，由题意可得关于a的不等式组；当时，推出极值点不满足题意，推出结果即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．3.答案：C解析：解：在平行四边形ABCD中，，，，，则．故选：C．利用已知条件表示所求数量积的两个向量，然后利用数量积的运算法则求解即可．本题考查平面向量的数量积的运算，向量的加减运算的求法，考查计算能力．4.答案：A解析：【分析】本题考查三视图与几何体直观图的关系，几何体形状的判断，是基本知识的考查．画出几何体的直观图，利用几何体的直观图判断直角三角形的个数即可．【解答】解：某四面体的三视图：正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，如图，四面体为正方体的一部分，4个面都是直角三角形．故选：A．5.答案：C解析：解：若对恒成立，则整理得，当时，得，即等差数列是单调递减数列，则成立，若成立，得，此时由得，得，此时恒成立，综上“对恒成立”是“”的充要条件，故选：C．根据等差数列的通项公式结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列通项公式以及前n项和公式进行化简是解决本题的关键．6.答案：D解析：解：函数，函数的图象如图：函数存在零点，则实数a的取值范围是：．故选：D．画出函数的图象，利用数形结合推出a的范围即可．本题考查分段函数的应用，函数的零点的判断，考查数形结合以及计算能力．7.答案：D解析：解：依题意，设四边形的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为，，，，则四边形在上面，后面，左面的投影分别如上图．所以在后面的投影的面积为，在上面的投影面积，在左面的投影面积，所以四边形所围成的图形如图所示阴影部分分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和．故选：D．分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可．本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力．属于中档题．8.答案：C解析：解：由三角函数的定义可知，，，，故选：C．由三角函数的定义可知，，，，然后结合两角差的余弦公式即可求解本题主要考查了三角函数的定义及两角差的余弦公式的简单应用，属于基础试题9.答案：C解析：解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，设，则，设直线AB，AC的斜率分别为，，由到角公式得：，化简得：，则，则，由在方向上投影的几何意义可得：在方向上投影为，则在方向上投影的最大值是，故选：C．先建系，再由到角公式得：，化简得：，则，则，再由在方向上投影的几何意义可得解．本题考查了到角公式及平面向量数量积的运算，属中档题．10.答案：C解析：【分析】本题主要考查合情推理的应用，属于中档题．计算出总分为偶数，答错或不答时少的分数也是偶数是解决本题的关键．先计算一个人得总分是偶数，若m题不答，则总分少4m分，为偶数，若n题答错，则总分少6n分为偶数，根据偶数的运算性质进行判断即可．【解答】解：每个人得的总分是，在满分的基础上，若1题不答，则总分少4分，若1题答错，则总分少6分，即在满分的基础上若m题不答，则总分少4m分，若n题答错，则总分少6n分，则每个人的得分一定是偶数，则小组的总得分也是偶数，与小组人数无关，故选：C．11.答案：c解析：解：，又，所以，即，故a，b，c中最小的是c．故答案为：c由对数值大小的比较得：，又，所以，即，得解．本题考查了对数值大小的比较，属简单题．12.答案：2解析：解：由点在抛物线C：上，可得，，抛物线C：，焦点坐标，则点M到抛物线C焦点的距离是：2，故答案为：2．由题意可知：点的坐标代入抛物线方程，求出，求得焦点，利用直线的两点式，即可求点M到抛物线C焦点的距离．本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线的两点式方程，考查计算能力，属于基础题．13.答案：8，9，10，11，12，13，14，15，任取一个为正确答案．解析：【分析】本题考查了对数值的运算，属基础题．由对数的运算得：，，可得答案．【解答】解：由，，即取即满足，，故满足条件的m可以为同理可得m可为7，8，9，10，11，12，13，14，15，故答案为：8，9，10，11，12，13，14，15，任取一个为正确答案．14.答案：；解析：【分析】本题考查分段函数的运用：求最值，考查分类讨论思想和转化思想，以及运算能力和推理能力，属于中档题．求得时的解析式，分段结合二次函数的最值求法，可得最小值；讨论x的范围去绝对值，参数分离，结合二次函数的最值求法，可得a的范围．【解答】解：当时，，由时，，可得时，取得最小值；由时，，可得时，取得最小值．综上可得的最小值为；若对于定义域内的任意x，恒成立，当时，有，即，由在的最大值为0，可得，即；由时，，即，由在的最大值为，可得，综上可得a的范围是．故答案为：；．15.答案：3解析：解：当时，，则，则当时，的最大值为．，则，作出函数图象如图：，区间长度为2，若，则对应区间为，此时，若，即，则对应区间为，此时，则的取值范围是，故答案为：3，根据定义先求出，将绝对值函数表示成分段函数形式，利用数形结合进行求解即可．先求出，将函数表示成分段函数形式，结合，讨论区间对应函数的最值进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的解析式，利用数形结合以及函数最值的性质是解决本题的关键．16.答案：证明：设BD交AC于点F，连结EF．因为底面ABCD是矩形，所以F为BD中点．又因为E为PB中点，所以．因为平面ACE，平面ACE，所以平面ACE．取CD的中点O，连结PO，FO．因为底面ABCD为矩形，所以．因为，O为CD中点，所以，所以．又因为平面平面ABCD，平面PCD，平面平面，所以平面ABCD．如图，建立空间直角坐标系，则，1，，1，，0，，设平面ACE的法向量为y，，2，，令，则，，所以1，．平面ACD的法向量为0，，，．如图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．解析：Ⅰ设BD交AC于点F，连结推导出由此能证明平面ACE．取CD的中点O，连结PO，推导出平面建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查数形结合思想，是中档题．17.答案：解：Ⅰ，，所以的最小正周期．证明：因为，即，所以在上单调递增．当时，即时，．所以当时，．解析：Ⅰ首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．Ⅱ利用函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.答案：解：Ⅰ由图知，某场外观众评分不小于9的概率是．Ⅱ的可能取值为2，；．所以X的分布列为：X23P所以．由题意可知，，所以．Ⅲ．解析：本题考查了离散型随机变量的期望和方差，属中档题．Ⅰ由图知，某场外观众评分不小于9的概率是；Ⅱ计算概率可得分布列和期望；Ⅲ专家评分的平均分高于观众评分的平均分，但专家人数远小于观众人数，故小于．19.答案：共13分解：因为，的定义域为，所以．．由题设知，即，解得．此时．所以a的值为分由得．若，则当时，，，，所以；当时，，，所以．所以在处取得极大值．若，则当时，，，所以．所以0不是f的极大值点．综上可知，a的取值范围是分解析：的定义域为，．利用导数的几何意义能求出a的值．当，求出在处取得极大值．当时，求出不是f的极大值点．由此能求出a的取值范围．本题考查实数值、实数的取值范围的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．20.答案：解：Ⅰ依题意，有所以，椭圆方程为焦点坐标分别为，证明：Ⅱ证法1：设，则依题意，，，所以所以直线PA的斜率因为，所以所以直线MQ的斜率所以直线MQ的方程为令，得到因为，所以，所以，所以H是M，Q的中点，所以点M，Q关于点H对称．证法2：设，直线AP的方程为，联立方程，消元得，所以，所以，所以，所以，，所以，因为，所以，所以直线MQ的方程为，令，得到，所以，所以H是M，Q的中点，所以点M，Q关于点H对称．证法3：设，直线AP的方程为，联立方程，消元得，，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以直线MQ的方程为，令，得到，所以，所以H是M，Q的中点，所以点M，Q关于点H对称．方法1：因为为直角三角形，且，所以为等腰直角三角形，所以，因为，，即，化简，得到，解得舍，即点P的横坐标为．方法2：因为为直角三角形，且，所以，所以，因为，，所以，所以，即，因为，化简，得到，解得舍，即点P的横坐标为．方法3：因为为直角三角形，且，所以，所以，因为，，，所以，化简得到，因为，化简，得到，解得舍，即点P的横坐标为．方法4：因为为直角三角形，所以所以点A，P，Q都在以AP为直径的圆上，因为，，所以有所以，因为，即点P的横坐标为．解析：Ⅰ推导出，从而，由此能求出椭圆方程，焦点坐标．Ⅱ证法1：设，则，求出，直线PA的斜率，由，得，由此能求出直线MQ的斜率和直线MQ的方程，从而推导出，由此能证明H是M，Q的中点，点M，Q关于点H对称．证法2：设，直线AP的方程为，联立方程，得，由韦达定理得，推导出，由，得，直线MQ的方程为，推导出，由此能证明H是M，Q的中点，点M，Q关于点H对称．证法3：设，直线AP的方程为，联立方程，得，推导出，由，得，由此能证明H是M，Q的中点，点M，Q关于点H对称．方法1：推导出为等腰直角三角形，，从而得到，由此能求出点P的横坐标．方法2：由为直角三角形，且，得，从而，由此能求出点P的横坐标．方法3：由为直角三角形，且，从而，，进而，由此能求出点P的横坐标．方法4：由为直角三角形，得点A，P，Q都在以AP为直径的圆上，从而，由此能求出点P的横坐标．本题考查椭圆的方程、焦点坐标的求法，考查两点关于一点对称的证明，考查点的横坐标的求法，考查直线与椭圆的位置关系、韦达定理、弦长公式等基础知识，综合程度较高，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于中档题．21.答案：解：4，6，8，10，12，，则；要证A具有性质T，只需证明，若，则．假设上式结论不成立，即若，则．即，即，，．因为上式的右边为3的倍数，而上式的左边为2的倍数，所以上式不成立．故假设不成立，原命题成立．分由题意，集合A具有性质T，等价于任意两个元素之和均不相同．如，对于任意的，有，等价于，即任意两个不同元素之差的绝对值均不相同．令，所以A具有性质．因为集合A，B均有性质T，且，所以，当且仅当时等号成立．所以的最小值为分解析：Ⅰ根据定义分别计算出集合，即可得到结论．Ⅱ根据等比数列的通项公式，利用反证法进行证明即可Ⅲ集合A具有性质T，等价于任意两个元素之和均不相同，结合A，B元素性质进行求解本题主要考查集合新定义的应用，结合定义利用反证法是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。
2020年北京交大附中高考数学一模试卷(带答案)
2020年北京交大附中高考数学一模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合，，则A∩B=（）A. B. C. D. ϕ2.已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为( )A. （2，+∞）B. （-∞，-2）C. （1，+∞）D. （-∞，-1）3.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，，则=（）A. -3B. 2C. 3D. 44.已知某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，则该四面体的四个面中直角三角形的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 15.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，则“S n＞na n对n≥2恒成立”是“a3＞a4”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知函数f（x）=，若函数f（x）存在零点，则实数a的取值范围是（）A. （-∞，0）B. （-∞，1）C. （1，+∞）D. （0，+∞）7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为线段CD和A1B1上的动点，且满足CE=A1F，则四边形D1FBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（）A. 有最小值B. 有最大值C. 为定值3D. 为定值28.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，终边分别是射线OA和射线OB．射线OA，OC与单位圆的交点分别为，C（-1，0）．若∠BOC=，则cos（β-α）的值是（）A. B. C. D.9.在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且∠BAC=，，BC=1，P为BC中点．过点P作PQ⊥BC交AC所在直线于Q，则在方向上投影的最大值是（）A. B. C. D.10.一次数学竞赛，共有6道选择题，规定每道题答对得5分，不答得1分，答错倒扣1分．一个由若干名学生组成的学习小组参加了这次竞赛，这个小组的人数与总得分情况为（）A. 当小组的总得分为偶数时，则小组人数一定为奇数B. 当小组的总得分为奇数时，则小组人数一定为偶数C. 小组的总得分一定为偶数，与小组人数无关D. 小组的总得分一定为奇数，与小组人数无关二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知a=log3e，b=ln3，c=log32，则a，b，c中最小的是______．12.已知点M（1，2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，则点M到抛物线C焦点的距离是______．13.已知a=log26，b=log515，若a＞log3m＞b，m∈N*，则满足条件的m可以为______．（写出一个即可）14.已知函数当a=0时，f（x）的最小值等于______；若对于定义域内的任意x，f（x）≤|x|恒成立，则实数a的取值范围是______．15.已知函数f（x），对于任意实数x∈[a，b]，当a≤x0≤b时，记|f（x）-f（x0）|的最大值为D[a，b]（x0）．①若f（x）=（x-1）2，则D[0，3]（2）=______；②若则D[a，a+2]（-1）的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB=2，BC=1，，E为PB中点．（Ⅰ）求证：PD∥平面ACE；（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值；17.已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求证：．18.某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7，8），[8，9），[9，10]分组，绘成频率分布直方图如图：专家A B C D E评分9.69.59.68.99.7（Ⅰ）求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；（Ⅱ）从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数；试求E（X）与E （Y）的值；（Ⅲ）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分．方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分．请直接写出与的大小关系．19.已知f（x）=（x-1）e x-ax2．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在x=0处取得极大值，求a的取值范围．20.已知椭圆的左顶点A与上顶点B的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点的坐标；（Ⅱ）点P在椭圆C上，线段AP的垂直平分线分别与线段AP、x轴、y轴相交于不同的三点M，H，Q．（ⅰ）求证：点M，Q关于点H对称；（ⅱ）若△PAQ为直角三角形，求点P的横坐标．21.对于集合A={a1，a2，…，a n}，B={b1，b2，…，b m}，n∈N*，m∈N*．A+B={x+y|x∈A，y∈B}．集合A中的元素个数记为|A|．规定：若集合A满足，则称集合A具有性质T．（Ⅰ）已知集合A={1，3，5，7}，，写出|A+A|，|B+B|的值；（Ⅱ）已知集合A={a1，a2，…，a n}，{a n}为等比数列，a n＞0，且公比为，证明：A具有性质T；（Ⅲ）已知A，B均有性质T，且n=m，求|A+B|的最小值．2020年北京交大附中高考数学一模试卷答案和解析【答案】1. B2. B3. C4. A5. C6. D7. D8. C9. C10. C11. c12. 213. 9.（7,8,9,10,11,12,13,14,15,16）任取一个为正确答案.14. -3；[]15. 3 [1，4]16. 证明：（I）设BD交AC于点F，连结EF．因为底面ABCD是矩形，所以F为BD中点．又因为E为PB中点，所以EF∥PD．因为PD⊄平面ACE，EF⊂平面ACE，所以PD∥平面ACE．（II）取CD的中点O，连结PO，FO．因为底面ABCD为矩形，所以BC⊥CD．因为PC=PD，O为CD中点，所以PO⊥CD，OF∥BC．所以OF⊥CD．又因为平面PCD⊥平面ABCD，PO⊂平面PCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，所以PO⊥平面ABCD．如图，建立空间直角坐标系O-xyz，则A（1，-1，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0，1），E（，，）设平面ACE的法向量为=（x，y，z），=（-1，2，0），=（-，，）．令y=1，则x=2，z=-1，所以=（2，1，-1）．平面ACD的法向量为=（0，0，1），cos，＞=-．如图可知二面角E-AC-D为钝角，所以二面角E-AC-D的余弦值为-．17. 解：（Ⅰ），=，=所以f（x）的最小正周期．证明：（II）因为，即，所以f（x）在上单调递增．当时，即时，．所以当时，．18. 解：（Ⅰ）由图知a=0.3，某场外观众评分不小于9的概率是．（Ⅱ）X的可能取值为2，3．P（X=2）=；P（X=3）=．所以X的分布列为：X23P所以E（X）=2×．由题意可知，，所以E（Y）=np=．（Ⅲ）．19. （共13分）解：（I）因为，f（x）的定义域为（-∞，+∞），所以f'（x）=xe x-ax．f'（1）=e-a．由题设知f'（x）=0，即e-a=0，解得a=e．此时．所以a的值为e．…．（5分）（II）由（I）得f'（x）=xe x-ax=x（e x-a）．①若a＞1，则当x∈（-∞，0）时，x＜0，e x＜1，e x-a＜0，所以f'（x）＞0；当x∈（0，ln a）时，x＞0，e x-a＜e ln a-a=0，所以f'（x）＜0．所以f（x）在x=0处取得极大值．②若a≤1，则当x∈（0，1）时，x＞0，e x-a≥e x-1＞0，所以f'（x）＞0．所以0不是f（x）的极大值点．综上可知，a的取值范围是（1，+∞）．…．（13分）20. 解：（Ⅰ）依题意，有所以，椭圆方程为焦点坐标分别为，证明：（Ⅱ）（i）证法1：设P（x0，y0），则依题意x0≠±2，y0≠0，A（-2，0），所以所以直线PA的斜率因为PA⊥MQ，所以k PA•k MQ=-1所以直线MQ的斜率所以直线MQ的方程为令x=0，得到因为，所以，所以，所以H是M，Q的中点，所以点M，Q关于点H对称．证法2：设P（x0，y0），直线AP的方程为y=k（x+2），联立方程，消元得（1+2k2）x2+8k2x+8k2-4=0，所以△=16＞0，所以，所以，所以，，所以，因为AP⊥MQ，所以，所以直线MQ的方程为，令x=0，得到，所以，所以H是M，Q的中点，所以点M，Q关于点H对称．证法3：设P（x0，y0），直线AP的方程为x=ty-2，联立方程，消元得，（t2+2）y2-4ty=0，因为，所以，所以，所以，因为AP⊥MQ，所以，所以直线MQ的方程为，令x=0，得到，所以，所以H是M，Q的中点，所以点M，Q关于点H对称．（ii）方法1：因为△APQ为直角三角形，且|PQ|=|AQ|，所以△APQ为等腰直角三角形，所以，因为P（x0，y0），，即，化简，得到，解得（舍），即点P的横坐标为．方法2：因为△APQ为直角三角形，且|PQ|=|AQ|，所以∠AQP=90°，所以，因为P（x0，y0），，所以，所以，即，因为，化简，得到，解得（舍），即点P的横坐标为．方法3：因为△APQ为直角三角形，且|PQ|=|AQ|，所以∠AQP=90°，所以|AP|=2|MQ|，因为P（x0，y0），，，所以，化简得到，因为，化简，得到，解得（舍），即点P的横坐标为．方法4：因为△APQ为直角三角形，所以∠AQP=90°所以点A，P，Q都在以AP为直径的圆上，因为P（x0，y0），，A（-2，0）所以有所以，因为，化简，得到，解得（舍）即点P的横坐标为．21. 解：（I）A+A={1，4，6，8，10，12，14}，则|A+A|=7；B+B={，1，，3，，2，，，4，}，则|B+B|=10．…．（4分）（II）要证A具有性质T，只需证明，若n1＜n2≤n3＜n4，则．假设上式结论不成立，即若n1＜n2≤n3＜n4，则．即，即，，．因为上式的右边为3的倍数，而上式的左边为2的倍数，所以上式不成立．故假设不成立，原命题成立．…．（10分）（III）由题意，集合A具有性质T，等价于任意两个元素之和均不相同．如，对于任意的a＜b≤c＜d，有a+d≠b+c，等价于d-c≠b-a，即任意两个不同元素之差的绝对值均不相同．令A*={x-y|x∈A，y∈A，x＞y}，所以A具有性质T．因为集合A，B均有性质T，且n=m，所以|A+B|=n2-|A*∩B*|，当且仅当A=B时等号成立．所以|A+B|的最小值为．…．（14分）【解析】1. 解：∵集合={x|0＜x＜1}，，∴A∩B={}．故选：B．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2. 解：（i）当a=0时，f（x）=-3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，函数f（x）有两个零点，舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2-6x=3ax（x-），令f′（x）=0，解得x=0或．①当a＜0时，＜0，当x＜或x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当＜x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．∵函数f（x）=ax3-3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，则：；即：，可得a＜-2．②当a＞0时，＞0，当x＞或x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当0＜x＜时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．不满足函数f（x）=ax3-3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，综上可得：实数a的取值范围是（-∞，-2）．故选：B．（i）当a=0时，f（x）=-3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，两个解，舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2-6x=3ax（x-），令f′（x）=0，解得x=0或．对a分类讨论：①当a＜0时，由题意可得关于a的不等式组；②当a＞0时，推出极值点不满足题意，推出结果即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．3. 【分析】本题考查平面向量的数量积的运算，向量加减的坐标运算，考查计算能力，属基础题.利用已知条件表示所求数量积的两个向量，然后利用数量积的运算法则求解即可．【解答】在平行四边形ABCD中，AB∥CD，，==（4，-1），==（0，-3），则=4×0+（-1）（-3）=3．故选：C．4. 【分析】本题考查三视图与几何体直观图的关系，几何体形状的判断，是基本知识的考查．画出几何体的直观图，利用几何体的直观图判断直角三角形的个数即可．【解答】解：某四面体的三视图：正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，如图，四面体为正方体的一部分，4个面都是直角三角形．故选：A．5. 解：若S n＞na n对n≥2恒成立，则na1+d＞n（a1+（n-1）d]，整理得（n-1）d＜0，①当n≥2时，得d＜0，即等差数列{a n}是单调递减数列，则a3＞a4成立，若a3＞a4成立，得d＜0，此时由①得n-1＞0，得n＞1，此时n≥2恒成立，综上“S n＞na n对n≥2恒成立”是“a3＞a4”的充要条件，故选：C．根据等差数列的通项公式结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列通项公式以及前n项和公式进行化简是解决本题的关键．6. 解：函数f（x）=，函数的图象如图：函数f（x）存在零点，则实数a的取值范围是：（0，+∞）．故选：D．画出函数的图象，利用数形结合推出a的范围即可．本题考查分段函数的应用，函数的零点的判断，考查数形结合以及计算能力．7.解：依题意，设四边形D1FBE的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D'，F'，B'，E'，则四边形D1FBE在上面，后面，左面的投影分别如上图．所以在后面的投影的面积为S后=1×1=1，在上面的投影面积S上=D'E'×1=DE×1=DE，在左面的投影面积S左=B'E'×1=CE×1=CE，所以四边形D1FBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S后+S上+S左=1+DE+CE=1+CD=2．故选：D．分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可．本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力．属于中档题．8. 解：由三角函数的定义可知，cos，sinα=，β=，∴cos（β-α）=cos cosα+sin sinα==故选：C．由三角函数的定义可知，cos，sinα=，β=，然后结合两角差的余弦公式即可求解本题主要考查了三角函数的定义及两角差的余弦公式的简单应用，属于基础试题9. 解：建立如图所示的平面直角坐标系，则B（-，0），C（，0），P（0，0），设A（x，y），则x＜0，设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2，由到角公式得：=tan，化简得：x2+（y-）=，则x2，则-≤x＜0，由在方向上投影的几何意义可得：在方向上投影为|DP|=|x|，则在方向上投影的最大值是，故选：C．先建系，再由到角公式得：=tan，化简得：x2+（y-）=，则x2，则-≤x ＜0，再由在方向上投影的几何意义可得解．本题考查了到角公式及平面向量数量积的运算，属中档题．10. 【分析】本题主要考查合情推理的应用，属于中档题.计算出总分为偶数，答错或不答时少的分数也是偶数是解决本题的关键．先计算一个人得总分是偶数，若m题不答，则总分少4m分，为偶数，若n题答错，则总分少6n分为偶数，根据偶数的运算性质进行判断即可．【解答】解：每个人得的总分是6×5=30，在满分的基础上，若1题不答，则总分少4分，若1题答错，则总分少6分，即在满分的基础上若m题不答，则总分少4m分，若n题答错，则总分少6n分，则每个人的得分一定是偶数，则小组的总得分也是偶数，与小组人数无关，故选：C．11. 解：b=ln3＞1，又2＜e＜3，所以log32＜log3e＜1，即c＜a＜b，故a，b，c中最小的是c．故答案为：c由对数值大小的比较得：b=ln3＞1，又2＜e＜3，所以log32＜log3e＜1，即c＜a＜b，得解．本题考查了对数值大小的比较，属简单题．12. 解：由点M（1，2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，可得4=2p，p=2，抛物线C：y2=4x，焦点坐标F（1，0），则点M到抛物线C焦点的距离是：2，故答案为：2．由题意可知：点的坐标代入抛物线方程，求出p=2，求得焦点F（1，0），利用直线的两点式，即可求点M到抛物线C焦点的距离．本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线的两点式方程，考查计算能力，属于基础题．13. 【分析】本题考查了对数值的运算，属基础题．由对数的运算得：a=log26＞log24=2,b=log515＜log525=2，可得答案．【解答】解：由a=log26＞log24=2，b=log515＜log525=2，即取m=9即log39=2满足a＞log3m＞b，m∈N*，故满足条件的m可以为9．（同理可得m可为7,8,9,10,11,12,13,14,15,16）故答案为：9.（7,8,9,10,11,12,13,14,15,16）任取一个为正确答案.14. 【分析】本题考查分段函数的运用：求最值，考查分类讨论思想和转化思想，以及运算能力和推理能力，属于中档题．求得a=0时f（x）的解析式，分段结合二次函数的最值求法，可得最小值；讨论x的范围去绝对值，参数分离，结合二次函数的最值求法，可得a的范围．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=，由-3≤x≤0时，f（x）=（x+1）2-2，可得x=-1时，f（x）取得最小值-2；由0＜x≤3时，f（x）=-（x-1）2+1，可得x=3时，f（x）取得最小值-3．综上可得f（x）的最小值为-3；（2）若对于定义域内的任意x，f（x）≤|x|恒成立，①当-3≤x≤0时，有x2+2x+a-1≤-x，即1-a≥x2+3x，由y=x2+3x在[-3，0]的最大值为0，可得1-a≥0，即a≤1；②由0＜x≤3时，-x2+2x-a≤x，即a≥x-x2，由y=-x2+x在（0，3]的最大值为，可得a≥，综上可得a的范围是[，1]．故答案为：-3；[，1]．15. 解：①当0≤x≤3时，f（2）=1，则|f（x）-f（x0）|=|（x-1）2-1|=，则当x=3时，|f（x）-f（x0）|的最大值为D[0，3]（2）=（3-1）2-1=4-1=3．②f（-1）=-1+2=1，则|f（x）-f（x0）|=|f（x）-1|=，作出函数h（x）=|f（x）-1|图象如图：∵a≤-1≤a+2，∴区间长度为2，若a=-1，则对应区间为[-1，1]，此时D[a，a+2]（-1）=h（1）=h（0）=1，若a+2=-1，即a=-3，则对应区间为[-3，-1]，此时D[a，a+2]（-1）=h（-3）=（-3+1）2=4，则D[a，a+2]（-1）的取值范围是[1，4]，故答案为：3，[1，4]①根据定义先求出f（2）=1，将绝对值函数表示成分段函数形式，利用数形结合进行求解即可．②先求出f（-1）=1，将函数表示成分段函数形式，结合a≤-1≤a+2，讨论区间对应函数的最值进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的解析式，利用数形结合以及函数最值的性质是解决本题的关键．16. （Ⅰ））设BD交AC于点F，连结EF．推导出EF∥PD．由此能证明PD∥平面ACE．（II）取CD的中点O，连结PO，FO．推导出PO⊥平面ABCD．建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角E-AC-D的余弦值．本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查数形结合思想，是中档题．17. （Ⅰ）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（Ⅱ）利用函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18. 本题考查了离散型随机变量的期望和方差，属中档题．（Ⅰ）由图知a=0.3，某场外观众评分不小于9的概率是；（Ⅱ）计算概率可得分布列和期望；（Ⅲ）专家评分的平均分高于观众评分的平均分，但专家人数远小于观众人数，故小于．19. （I）f（x）的定义域为（-∞，+∞），f'（x）=xe x-ax．f'（1）=e-a．利用导数的几何意义能求出a的值．（II）f'（x）=xe x-ax=x（e x-a）．当a＞1，求出f'（x）＜0．f（x）在x=0处取得极大值．当a≤1时，求出f'（x）＞0.0不是f（x）的极大值点．由此能求出a的取值范围．本题考查实数值、实数的取值范围的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．20. （Ⅰ）推导出，从而，由此能求出椭圆方程，焦点坐标．（i）证法1：设P（x0，y0），则，求出，直线PA的斜率，（Ⅱ）由PA⊥MQ，得k PA•k MQ=-1，由此能求出直线MQ的斜率和直线MQ的方程，从而推导出，由此能证明H是M，Q的中点，点M，Q关于点H对称．证法2：设P（x0，y0），直线AP的方程为y=k（x+2），联立方程，得（1+2k2）x2+8k2x+8k2-4=0，由韦达定理得，推导出，由AP⊥MQ，得，直线MQ的方程为，推导出，由此能证明H是M，Q的中点，点M，Q关于点H对称．证法3：设P（x0，y0），直线AP的方程为x=ty-2，联立方程，得（t2+2）y2-4ty=0，推导出，由AP⊥MQ，得，由此能证明H是M，Q的中点，点M，Q关于点H对称．（ii）方法1：推导出△APQ为等腰直角三角形，，从而得到，由此能求出点P的横坐标．方法2：由△APQ为直角三角形，且|PQ|=|AQ|，得，从而，由此能求出点P的横坐标．方法3：由△APQ为直角三角形，且|PQ|=|AQ|，从而∠AQP=90°，|AP|=2|MQ|，进而，由此能求出点P的横坐标．方法4：由△APQ为直角三角形，得点A，P，Q都在以AP为直径的圆上，从而，由此能求出点P的横坐标．本题考查椭圆的方程、焦点坐标的求法，考查两点关于一点对称的证明，考查点的横坐标的求法，考查直线与椭圆的位置关系、韦达定理、弦长公式等基础知识，综合程度较高，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于中档题．21. （Ⅰ）根据定义分别计算出集合A+A，B+B即可得到结论．（Ⅱ）根据等比数列的通项公式，利用反证法进行证明即可（Ⅲ）集合A具有性质T，等价于任意两个元素之和均不相同，结合A，B元素性质进行求解本题主要考查集合新定义的应用，结合定义利用反证法是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。