中考数学专题讲座 函数、方程、不等式问题

中考数学专题讲座 函数、方程、不等式问题【知识纵横】函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特殊的观念。

也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，例求两个函数的交点坐标，一般通过函数解析式组成的方程组来解决。

又如例4复合了一次函数、二次函数，并对所得的函数要结合自变量的取值范围来考虑最值，这就需要结合图像来解决。

【典型例题】【例1】（天津市）已知抛物线c bx ax y ++=232，（1）若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；（2）若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围； （3）若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当10<<x 时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．【思路点拨】（Ⅰ）令y=0，求方程的两根；（2）考虑判别式；（3）由不等式及结合图像解之。

【例2】（黄石市）如图，已知抛物线与x 轴交于点(20)A -，，(40)B ，，与y 轴交于点(08)C ，． （1）求抛物线的解析式及其顶点D 的坐标；（2）设直线C D 交x 轴于点E ．在线段O B 的垂直平分线上是否存在点P ，使得点P 到直线C D 的距离等于点P 到原点O 的距离？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）过点B 作x 轴的垂线，交直线C D 于点F其对称轴平移，使抛物线与线段E F 单位长度？【思路点拨】（2）设(2)P t ，,建立关于t 的方程； （3）考虑抛物线向上平移、向下平移两种情况。

【例3】（吉林长春）已知两个关于x 的二次函数1y 与当x k =时，217y =；且二次函数2y 的图象的对称轴是直线1x =-．222112()2(0)612y y a x k k y y x x =-+>+=++，，（1）求k 的值；（2）求函数12y y ，的表达式；（3）在同一直角坐标系内，问函数1y 的图象与2y 的图象是否有交点？请说明理由． 【思路点拨】（1）2y ＝（y 1 + y 2）—1y ；（2）由对称轴的方程，求出a 的值；（3）考虑方程根的判别式。

【例4】（广西南宁）随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。

某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1y 与投资量x 成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润2y 与投资量x 成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润1y 与2y 关于投资量x 的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？【思路点拨】：（2）设获得的利润是z 万元，则z ＝1y ＋2y ，注意x 范围内最值求法。

【学力训练】1、（广州）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x=的图象相交于A 、B 两点.（1）根据图象，分别写出A 、B 的坐标； （2）求出两函数解析式；（3）根据图象回答：当x 为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值.2、（江西省卷）已知：如图所示的两条抛物线的解析式分别是211y ax ax =--+，221y ax ax =--（其中a 为常数，且0a >）． （1）请写出三条．．与上述抛物线有关的不同类型的结论；（2）当12a =时，设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M N ，两点（M 在N 的左边），221y ax ax =--与x 轴分别交于E F ，两点（E 在F 的左边），观察M N E F ，，，四点坐标，请写出一个．．你所得到的正确结论，并说明理由； （3）设上述两条抛物线相交于A B ，两点，直线12l l l ，，都垂直于x 轴，12l l ，分别经过A B ，两点，l 在直线12l l ，之间，且l 与两条抛物线分别交于C D ，两点，求线段C D 的最大值．3、（四川自贡）抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点为M ，与x 轴的交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），△ABM 的三个内角∠M 、∠A 、∠B 所对的边分别为m 、a 、b.若关 于x 的一元二次方程0)(2)(2=+++-a m bx x a m 有两个相等的实数根.（1）判断△ABM 的形状，并说明理由.（2）当顶点M 的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大 致图形.（3）若平行于x 轴的直线与抛物线交于C 、D 两点，以CD 为直径的圆恰好与x 轴相切， 求该圆的圆心坐标.（青海省卷）王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某4、一天他利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图甲所示，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图乙所示（其中O A是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．（1）求王亮解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求王亮回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x之间的函数关系式；（3）王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？（学习收益总量=解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量）图甲图乙函数、方程、不等式问题的参考答案【典型例题】【例1】（天津市）（Ⅰ）当1==b a ，1-=c 时，抛物线为1232-+=x x y ， 方程01232=-+x x 的两个根为11-=x ，312=x ．∴该抛物线与x 轴公共点的坐标是()10-，和103⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（Ⅱ）当1==b a 时，抛物线为c x x y ++=232，且与x 轴有公共点． 对于方程0232=++c x x ，判别式c 124-=∆≥0，有c ≤31．①当31=c 时，由方程031232=++x x ，解得3121-==x x ．此时抛物线为31232++=x x y 与x 轴只有一个公共点103⎛⎫- ⎪⎝⎭，．②当31<c 时，11-=x 时，c c y +=+-=1231， 12=x 时，cc y +=++=5232．由已知11<<-x 时，该抛物线与x 轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为31-=x ，应有1200.y y ⎧⎨>⎩≤， 即1050.c c +⎧⎨+>⎩≤，解得51c -<-≤． 综上，31=c 或51c -<-≤．（Ⅲ）对于二次函数c bx ax y ++=232，由已知01=x 时，01>=c y ；12=x 时，0232>++=c b a y ， 又0=++c b a ，∴b a b a c b a c b a +=++++=++22)(23． 于是02>+b a ．而c a b --=，∴02>--c a a ，即0>-c a ． ∴0>>c a ．∵关于x 的一元二次方程0232=++c bx ax 的判别式])[(412)(4124222>+-=-+=-=∆ac c a ac c a ac b，∴抛物线c bx ax y ++=232与x 轴有两个公共点，顶点在x 轴下方． 又该抛物线的对称轴ab x 3-=，由0=++c b a ，0>c ，02>+b a ， 得a b a -<<-2， ∴32331<-<ab ．又由已知01=x 时，01>y ；12=x 时，02>y ，观察图象， 可知在10<<x 范围内，该抛物线与x 轴有两个公共点．【例2】（黄石市）（1）设抛物线解析式为(2)(4)y a x x =+-，把(08)C ，代入得1a =-．228y x x ∴=-++2(1)9x =--+，顶点(19)D ，（2）假设满足条件的点P 存在，依题意设(2)P t ，， 由(08)(19)C D ，，，求得直线C D 的解析式为8y x =+，它与x 轴的夹角为45 ，设O B 的中垂线交C D 于H ，则(210)H ，．则10PH t =-，点P 到C D的距离为2d PH t ==-．又PO ==．t ∴=-．平方并整理得：220920t t +-=10t =-±∴存在满足条件的点P ，P的坐标为(210-±，． （3）由上求得(80)(412)E F -，，，．①若抛物线向上平移，可设解析式为228(0)y x x m m =-+++>．当8x =-时，72y m =-+． 当4x =时，y m =．720m ∴-+≤或12m ≤． 072m ∴<≤．②若抛物线向下移，可设解析式为228(0)y x x m m =-++->． 由2288y x x m y x ⎧=-++-⎨=+⎩， 有20x x m -+=．140m ∴=-≥△，104m ∴<≤．∴向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移14个单位长【例3】（吉林长春）（1）由22112()2612y a x k y y x x =-++=++，得22222121()612()2610()y y y y x x a x k x x a x k =+-=++---=++--．又因为当x k =时，217y =，即261017k k ++=， 解得11k =，或27k =-（舍去），故k 的值为1．（2）由1k =，得2222610(1)(1)(26)10y x x a x a x a x a =++--=-+++-，所以函数2y 的图象的对称轴为262(1)a x a +=--，于是，有2612(1)a a +-=--，解得1a =-，所以2212212411y x x y x x =-++=++，．（3）由21(1)2y x =--+，得函数1y 的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为(12)，；由22224112(1)9y x x x =++=++，得函数2y 的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为(19)-，；故在同一直角坐标系内，函数1y 的图象与2y 的图象没有交点．【例4】（广西南宁）（1）设1y =kx ,由图①所示，函数1y =kx 的图像过（1，2），所以2=1⋅k ，2=k故利润1y 关于投资量x 的函数关系式是1y =x 2；因为该抛物线的顶点是原点，所以设2y =2ax ，由图12-②所示，函数2y =2ax 的图像过（2，2），所以222⋅=a ，21=a故利润2y 关于投资量x 的函数关系式是221x y =；（2）设这位专业户投入种植花卉x 万元（80≤≤x ），则投入种植树木（x -8）万元，他获得的利润是z 万元，根据题意，得z =)8(2x -+221x =162212+-x x =14)2(212+-x当2=x 时，z 的最小值是14；因为80≤≤x ，所以622≤-≤-x 所以36)2(2≤-x 所以18)2(212≤-x所以32141814)2(212=+≤+-x ，即32≤z ，此时8=x当8=x 时，z 的最大值是32.【学力训练】1、（广州）（1）y ＝0.5x ＋１，y ＝x12（2）－６<x <0或x >42、（江西省卷）（1）解：答案不唯一，只要合理均可．例如：①抛物线211y ax ax =--+开口向下，或抛物线221y ax ax =--开口向上；②抛物线211y a x a x =--+的对称轴是12x =-，或抛物线221y a x a x =--的对称轴是12x =；③抛物线211y ax ax =--+经过点(01)，，或抛物线221y ax ax =--经过点(01)-，； ④抛物线211y ax ax =--+与221y ax ax =--的形状相同，但开口方向相反；⑤抛物线211y ax ax =--+与221y ax ax =--都与x 轴有两个交点；⑥抛物线211y ax ax =--+经过点(11)-，或抛物线221y ax ax =--经过点(11)-，；等等． （2）当12a =时，2111122y x x =--+，令2111022x x --+=，解得21M N x x =-=，． 2211122y x x =--，令2111022x x --=，解得12E F x x =-=，．①00M F N E x x x x +=+=∴ ，，点M 与点F 对称，点N 与点E 对称； ②0M F N E x x x x M N E F +++=∴ ，，，，四点横坐标的代数和为0；③33M N EF M N EF ==∴= ，，（或M E N F =）．（3）0a > ，∴抛物线211y ax ax =--+开口向下，抛物线221y ax ax =--开口向上．根据题意，得22212(1)(1)22C D y y ax ax ax ax ax =-=--+---=-+．∴当0x =时，C D 的最大值是2．3、（四川自贡）（1）令0))((4)2(2=+--=∆a m a m b ，得222m b a =+由勾股定理的逆定理和抛物线的对称性知△ABM 是一个以a 、b 为直角边的等腰直角三角形（2）设1)2(2-+=x a y ∵△ABM 是等腰直角三角形∴斜边上的中线等于斜边的一半 又顶点M(－2，－1) ∴121=AB ，即AB ＝2∴A(－3，0)，B(－1，0)将B(－1，0) 代入1)2(2-+=x a y 中得1=a∴抛物线的解析式为1)2(2-+=x y ，即342++=x x y 图略（3）设平行于x 轴的直线为y k =解方程组243y ky x x =⎧⎨=++⎩得121++-=k x ，122+--=k x （)1->k∴线段CD 的长为12+k ∵以CD 为直径的圆与x 轴相切 据题意得k k =+1 ∴12+=k k第 11 页 共 11 页 解得 251±=k ∴圆心坐标为)251,2(+-和)251,2(--4、（青海省卷）（1）设y kx =，把(24)，代入，得2k =．2y x ∴=．自变量x 的取值范围是：030x ≤≤．（2）当05x ≤≤时，设2(5)25y a x =-+，把(00)，代入，得25250a +=，1a =-．22(5)2510y x x x ∴=--+=-+． 当515x ≤≤时，25y =即210(05)25(515)x x x y x ⎧-+=⎨⎩≤≤≤≤． （3）设王亮用于回顾反思的时间为(015)x x ≤≤分钟，学习效益总量为Z ， 则他用于解题的时间为(30)x -分钟．当05x ≤≤时，222102(30)860(4)76Z x x x x x x =-++-=-++=--+． ∴当4x =时，76Z =最大．当515x ≤≤时，252(30)285Z x x =+-=-+．Z 随x 的增大而减小，∴当5x =时，75Z =最大．综合所述，当4x =时，76Z =最大，此时3026x -=．即王亮用于解题的时间为26分钟，用于回顾反思的时间为4分钟时，学习收益总量最大．。