2.1.1(2)指数与指数幂的运算(教学设计)
指数与指数幂的运算优秀教案
2.1.1 指数与指数幂的运算（2课时）第一课时 根式教案目标：1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。
教案重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质教案难点：根式概念和分数指数幂概念的理解教案方法：学导式教案过程：（I ）复习回顾引例：填空 *)n a a a n N ⋅∈个（； m n a += (m,n ∈Z)； _____=； （II ）讲授新课1.引入：（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为m na a ÷可看作m n a a -⋅,所以m n m n a a a -÷=可以归入性质m n m n a a a +⋅=；又因为n ba )(可看作m na a -⋅，所以n nn b a b a =)(可以归入性质()n n n ab a b =⋅(n ∈Z)）,这是为下面学习分数指数幂的概念和性质做准备。
为了学习分数指数幂，先要学习n 次根式（*N n ∈）的概念。
（2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。
如：分析：若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n =a ，则2叫a 的n 次方根。
由此，可有：2.n 次方根的定义：（板书）问题1：n 次方根的定义给出了，x 如何用a 表示呢？n a x =是否正确？ 分析过程：解：因为33=27，所以3是27的3次方根；因为5)2(-=-32，所以-2是-32的5次方根；因为632a )a (=，所以a 2是a 6的3次方根。
结论1：当n 为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n 次方根是正数，负数的n 次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。
此时，a 的n 次方根可表示为n a x =。
从而有：3273=，2325-=-，236a a =解：因为4216=，16)2(4=-，所以2和-2是16的4次方根；因为任何实数的4次方都是非负数，不会等于-81，所以-81没有4次方根。
国家课程校本化：§2.1.1 指数与指数幂的运算(教师用书)
第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数§2.1.1 指数与指数幂的运算【课标解读】 1．理解n 次方根和根式的概念；2．理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算； 3．学习重点：理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算；4．学习难点：理解根式根式的概念，掌握根式与分数指数幂之间的转化．【自学导引】1．若n n 33-=- ，则n 的取值集合是 . 【答案】{|21,}n n k k *=+∈N 2．下列说法正确的是（ ） （A ）64的6次方根是2 （B ）664的运算结果是2±（C ）1>n 且*N ∈n 时，a a n n =)(对于任意实数a 都成立（D ）1>n 且*N ∈n 时，式子n n a 对于任意实数a 都有意义【答案】D3．设a n n m ,1,,>N ∈*是正实数，则下列各式中正确的有（ ）①n m nm a a=； ②10=a ； ③m na-=（A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个【答案】A41104325(0.008)()0.253----⨯⨯【答案】π5．无理指数幂的含义：如32，它是一个确定的实数，可以看成由以3的一串不足近似值和相应的一串过剩近似值为指数的有理数幂的值 的结果.【答案】逼近【典例精析】【例1】求使等式3)3()9)(3(2+-=--a a a a 成立的实数a 的范围.【答案】{|33}a a -≤≤ 【例2】已知13x x -+=，求下列各式的值：（1）1122x x-+； 【答案】5（2）22x x -+； 【答案】7（3）22x x --； 【答案】± （4）33x x -+. 【答案】5【例3】化简：223410623+--.【自主反馈】 1．（原创题）下列各式正确的是（ ）（A ）42=- （B 2=-（C ）322[(2)]8-=- （D ）x=2．计算：111232217(0.027)()(2)279---+= ．3．已知31=+-a a ,下列各式中正确的个数是（ ）①722=+-aa ；②1833=+-aa ；③52121±=+-aa ；④521=+aa a a .（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 4.【课时作业】1. 根式aa 11（式中0>a ）的分数指数幂形式为（ ） （A ）34-a （B ）34a （C ）43-a（D ）43a2.若0≠xy ，则xy y x 2422-=成立的条件可以是（ ）（A ）0,0>>y x （B ）0,0<>y x （C ）0,0≥<y x （D ）0,0<<y x3. 552)()(b a b a -+-的值是( )（A ）0 （B ）)(2b a - （C ）0或)(2b a - （D ）b a -4. 计算122121(2)()2()48n n n n ++*-∈N ⋅的结果为（ ） （A ）461 （B ）522+n （C ）6222+-n n （D ）72)21(-n5. 与aa 1-的值相等是（ ） （A ）a（B ）a -（C ）a - （D ）a --6. 若11225x x-+=，则21x x+的值是 .7.160.25361.587-⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭.8. 使式子34(12)x --有意义的x 的取值范围是 _.9. 若103m=，102n=，则3210m n -的值为 .10.已知22)()()(a b b a b a --=--成立，则b a ,需满足条件 .11. 计算：5.00312603.1232366141+--+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛--.12.已知21na =，求33n nnna a a a--++的值.13.2()a n *=∈N 成立的条件.14.(1)x ≥。
2.1.1指数与指数幂的运算教案
2.1.1指数与指数幂的运算教案篇一：2.1.1指数与指数幂的运算教案指数与指数幂的运算申请资格种类：高级中学教师资格学科：数学测试人姓名：课题名称：第二章第一节指数函数第一课时指数与指数幂的运算一、教学内容分析指数函数是基本初等函数之一，应用非常广泛。
它是在上一章节学习了函数的概念和基本性质后第一个较为系统研究的基本初等函数。
教科书通过实际问题引入分数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性，为此先将平方根和立方根的概念扩充到n次方根，将二次根式的概念扩充到一般根式的概念，然后进一步介绍了分数指数幂及其运算性质，最后结合一个实例，通过有理数指数幂逼近无理数指数幂的方法介绍了无理数指数幂的意义，从而将指数的取值范围扩充到实数。
本节是下一节学习指数函数的基础。
二、教学对象分析授课对象为高一学生。
首先，这个年龄段的学生学习兴趣浓厚、思维活跃和求知欲强。
其次，学生在初中学习阶段已经接触到平方根与立方根、整数指数幂及其运算性质等知识点，为本节学习奠定了知识的基础。
最后，本节的学习过程中对学生观察力、逻辑能力、抽象能力有一定要求，这对该阶段的学生可能会造出一定的困难。
三、教学目标四、教学重点和难点本节的教学重点是理解有理数指数幂的意义、掌握幂的运算。
本节的教学难点是理解根式的概念、掌握根式与分数指数幂之间的转化、理解无理数指数幂的意义。
五、教学方法根据本节课的特点，采用问题探究、引导发现和归纳概括相结合的教学方法。
六、教学过程设计（一）导入新课1、引导学生回忆函数的概念，说明学习函数的必要性，引出实例。
2、以实例引入，让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂的兴趣与欲望。
问题：当生物体死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。
根据此规律，人们想获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t的关系。
引导学生得出关系式：t?1?5730P???2??总结关系式能解决实际问题，让学生体会数学的应用价值，同时指出为了更好地解决实际问题必须进一步深入学习函数。
学案6：2.1.1 指数与指数幂的运算
当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；
当x<y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)．
所以原式＝
例2(1) (2)a (3)①a3· ＝a3·a ＝a ＝a .
【解析】(1)a ＝ ＝
(2)(a2· )÷( · )＝(a2·a )÷(a ·a )＝a ÷a ＝a ＝a
(4)2 ÷4 ·3 .
方法归纳
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
当堂检测
[基础巩固]
一、选择题
1．B
【解析】 ＝(－2 ) ＝(－2×2 ) ＝(－2 ) ＝－2 .
2．D
【解析】要使原式有意义，只需 ，
∴a≥0且a≠2.
3．A
【解析】依题意知x<0，所以 ＝－ ＝－ .
4.D
【解析】原式＝ ＝a ＝a .
5．C
【解析】( )4·( )4
＝( ) ·( )
＝(a ) ·(a ) ＝a ·a ＝a4.
3．化简 的结果是()
A．－ B.
C．－ D.
4. (a>0)的值是()
A．1B．a
C．a D．a
5．化简( )4·( )4的结果是()
A．a16B．a8
C．a4D．a2
二、填空题(每小题5分，共15分)
6. －2＋(1－ )0－ －160.75＝________.
高中数学2_1指数与指数幂的运算教案版
黑龙江省鸡西市高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算教案新人教版必修1课题：§2.1.1指数及指数幂的运算模式与方法启发式教学目的使学生理根式的概念，掌握n次方根的性质。
重点指数的运算难点指数的运算教学内容师生活动及时间分配一，引入课题为了讲解指数函数，需要把指数的概念扩充到实数指数幂，本小节主要学习分数指数幂的概念和运算性质，并给出了无理数指数幂的概念和性质。
2．为了学习分数指数的概念，首先要介绍根式的概念，学生在初中已学习了数的开平方、开立方和二次根式，根式的内容是这些已学内容的推广。
因此要结合这些已学内容引入根式的概念和n次方根的性质。
二、探索新知（一）引出根式的概念。
需要注意的是，当n 是奇数时，表示a的n次方根；当n是偶数时，a≥0，表示正的n次方根或0。
在两种情况下，根据n次方根的概念，都有。
也就是.教师引导学生复习初中所学的公式及相关知识引导讨论x的范围加深对于公式的理解及应用说，先开方，再乘方（同次），结果为被开方数，如果先乘方，再开方（同次），结果是什么呢？可让学生分别求出的结果，然后指出，一般地，当n 为奇数时，，当n为偶数时，。
可向学生说明，当n 是偶数时。
的结果为|a|，是因为≥0时，而则是根据绝对值的意义得出的。
课堂练习：1、填空： （1）25的平方根是 （2）27的立方根是（3）－32的五次方根为 （4）16的四次方根是2、若244(),a a a -=-则a 的取值范围是3、求下列各式的值（1）2(5) （2）33(2)- （3）44(2)- （4）2(3)π-.四，小结：教师引导学生总结并补充五、课后作业教科书P 59 4选做：练习册。
指数与指数幂的运算教案(1_2课时)
【学习探究】
【预习提纲】
（根据以下提纲，预习教材第50页～第53页）
1.1.分数指数幂
（1）正数的正分数指数幂的意义
=， =， =； = .
（2）正数的负分数指数幂的意义
=， =， =； = .
（3） 的分数指数幂
的正分数指数幂等于， 的负分数指数幂.
2.1.1指数与指数幂的运算（第1课时）
【教学目标】
1．掌握根式的概念以及根式的运算性质
2．让学生学会用联系的观点看待问题
【重点】有理指数幂的概念及运算.
【难点】根式的概念.
【学习探究】
【预习提纲】
（根据以下提纲，预习教材第48页～第50页）
1.整数指数幂及其运算
（1）通过问题1，结合初中所学知识，说明整数指数幂 的含义是__， ）的含义是____.
(1) (2) (3)
2.填空
（1）
（1） + ；
（2）
【典型例题】
例1计算下列各式的值：
（1） （2） （3）
【方法总结】
【变式训练】求等式 成立的实数 的范围.
例2计算：（1） ；（2）
【方法总结】
【自我检测】
1.化简 的值是（）.
（A）3（B）-3（C） 3（D）-9
（2） 次方根
如果 ，那么___________，其中 ，且 .
若 是奇数，任意实数 的 次方根有1个，正数的 次方根是正数，负数的 次方根是负数.
若 是偶数，负数没有偶次方根，而正数的 次方根有2个，它们互为相反数.
无论 是奇数还是偶数，0的 次方根为0.
【感悟】结合初中所学知识，理解记忆，效果较好.
2.1.1指数与指数幂的运算(2)教案
龙文教育个性化辅导教案提纲学生: 日期: 年 月 日 第 次 时段: 教学课题 2.1.1指数与指数幂的运算（2）--导学案教学目标 考点分析 1. 理解分数指数幂的概念； 2. 掌握根式与分数指数幂的互化； 3. 掌握有理数指数幂的运算.教学重点 1. 理解分数指数幂的概念； 2. 掌握根式与分数指数幂的互化教学难点 1. 掌握根式与分数指数幂的互化； 2. 掌握有理数指数幂的运算.教学方法观察法、探究法、启发式教学、讲练结合 教学过程：一、课前准备（预习教材P 50~ P 53，找出疑惑之处）复习1：一般地，若n x a =，则x 叫做a 的 ，其中1n >,n *∈N . 简记为： .像n a 的式子就叫做 ，具有如下运算性质：()n n a = ；n n a = ；np mp a = .复习2：整数指数幂的运算性质.（1）m n a a = ；（2）()m n a = ；（3）()n ab = .二、新课导学※ 学习探究探究任务：分数指数幂引例：a >0时，1051025255()a a a a ===， 则类似可得312a = ； 22332333()a a a == ，类似可得a = .新知：规定分数指数幂如下*(0,,,1)mn m na a a m n N n =>∈>； *11(0,,,1)mn mn m n a a m n N n a a -==>∈>.试试：（1）将下列根式写成分数指数幂形式：253= ； 345= ；m a = (0,)a m N *>∈.（2）求值：238； 255； 436-； 52a -.反思：① 0的正分数指数幂为 ；0的负分数指数幂为 .② 分数指数幂有什么运算性质？小结：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．指数幂的运算性质： （0,0,,a b r s Q >>∈）r a ·r r s a a +=； ()r s rs a a =； ()r r s ab a a =．※ 典型例题例1 求值：2327；4316-； 33()5-；2325()49-.变式：化为根式.例2 用分数指数幂的形式表示下列各式(0)b >：（1）2b b ； （2）533b b ； （3）34b b .例3 计算（式中字母均正）：（1）211511336622(3)(8)(6)a b a b a b -÷-； （2）311684()m n .小结：例2，运算性质的运用；例3，单项式运算.例4 计算：（1）334a a a(0)a >； （2）312103652(2)()m n m n --÷- (,)m n N *∈；（3）344(1632)64-÷.小结：在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则.反思：① 23的结果？结论：无理指数幂.（结合教材P 53利用逼近的思想理解无理指数幂意义）② 无理数指数幂(0,)a a αα>是无理数是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质如何？※ 动手试试练1. 把851323x x --⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 化成分数指数幂.练2. 计算：（1）3443327 ； （2）34638()125a b .三、总结提升※ 学习小结①分数指数幂的意义；②分数指数幂与根式的互化；③有理指数幂的运算性质.※ 知识拓展放射性元素衰变的数学模型为：0t m m e λ-=，其中t 表示经过的时间，0m 表示初始质量，衰减后的质量为m ，λ为正的常数.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若0a >，且,m n 为整数，则下列各式中正确的是（ ）.A. m m n n a a a ÷=B. m n mn a a a ⋅=C. ()nm m n a a += D. 01n n a a -÷= 2. 化简3225的结果是（ ）.A. 5B. 15C. 25D. 1253. 计算()1222--⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的结果是（ ）. A ．2 B ．2- Ｃ．22 D ．22- 4. 化简2327-= . 5. 若102,104m n ==，则3210m n -= .总结与反思：课后作业：1. 化简下列各式：（1）3236()49； （2）233a b a b a b .2. 计算：34333324381224a abb a a ab a ⎛⎫-÷- ⎪ ⎪++⎝⎭.学生对于本次课评价： ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字： 教师评定：1、上次作业评价： ○非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化2、上课情况评价： ○非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化教师签字：教务主任签字： ___________龙文教育教务处。
教学设计4：2.1.1 指数与指数幂的运算 第二课时
2.1.1 指数与指数幂的运算 第2课时导入新课思路1.碳14测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收,只要植物和动物生存着,它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后,即会停止吸收碳14,其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量,便可推断其年代(半衰期:经过一定的时间,变为原来的一半).引出本节课题:指数与指数幂的运算之分数指数幂.思路2.同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂. 推进新课 新知探究 提出问题(1)整数指数幂的运算性质是什么？ (2)观察以下式子,并总结出规律：a ＞0, ①510a=352)(a =a 2=a510;②8a =24)(a =a 4=a 28; ③412a =443)(a =a 3=a 412; ④210a=225)(a =a 5=a210.(3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗？435,357,57a ,n m x (x>0,m,n ∈N *,且n>1).(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？ (5)你能推广到一般的情形吗？活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点启发学生类比(2)的规律表示,借鉴(2)(3),我们把具体推广到一般,对写正确的同学及时表扬,其他学生鼓励提示.讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：a n =a·a·a·…·a,a 0=1(a≠0);00无意义; a -n =n a1(a≠0);a m ·a n =a m+n ;(a m )n =a mn ;(a n )m =a mn ;(ab)n =a n b n . (2)①a 2是a 10的5次方根；②a 4是a 8的2次方根；③a 3是a 12的4次方根；④a 5是a 10的2次方根.实质上①510a =a510,②8a =a 28,③412a=a412,④210a=a210结果的a 的指数是2,4,3,5分别写成了510,28,412,510,形式上变了,本质没变. 根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）. (3)利用(2)的规律,435=543,357=735,57a =a 57,n mx=x nm .(4)53的四次方根是543,75的三次方根是735,a 7的五次方根是a 57,x m 的n 次方根是x nm . 结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.(5)如果a>0,那么a m 的n 次方根可表示为na m =a n m ,即a nm =n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1). 综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书: 规定:正数的正分数指数幂的意义是a mn =n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1). 提出问题①负整数指数幂的意义是怎样规定的? ②你能得出负分数指数幂的意义吗? ③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义? ④综合上述,如何规定分数指数幂的意义?⑤分数指数幂的意义中,为什么规定a ＞0,去掉这个规定会产生什么样的后果?⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?活动：学生回想初中学习的情形,结合自己的学习体会回答,根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来,与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质,教师在黑板上板书,学生合作交流,以具体的实例说明a ＞0的必要性,教师及时作出评价. 讨论结果：①负整数指数幂的意义是:a -n =n a1(a≠0),n ∈N *. ②既然负整数指数幂的意义是这样规定的,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义.规定:正数的负分数指数幂的意义是amn -=mn a1=nma 1(a>0,m,n ∈N *,n>1).③规定:零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义. ④教师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是: 正数的正分数指数幂的意义是a mn =n ma(a>0,m,n ∈N *,n>1),正数的负分数指数幂的意义是amn -=mn a1=nma1(a>0,m,n ∈N *,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.⑤若没有a ＞0这个条件会怎样呢?如(-1)31=3-1=-1,(-1)62=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零,如无a ＞0的条件,比如式子3a 2=|a|32,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时,应把负号移到根式的外边,然后再按规定化成分数指数幂,也就是说,负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数,而不是负数,负数只是出现在指数上.⑥规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. 有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质: （1）a r ·a s =a r+s (a>0,r,s ∈Q ), （2）(a r )s =a rs (a>0,r,s ∈Q ), （3）(a·b)r =a r b r (a>0,b>0,r ∈Q ).我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题,来看下面的例题. 应用示例思路1例1求值:①832;②2521-③(21)-5;④(8116)43-.活动：教师引导学生考虑解题的方法,利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式,根据题目要求,把底数写成幂的形式,8写成23,25写成52,21写成2-1,8116写成(32)4,利用有理数幂的运算性质可以解答,完成后,把自己的答案用投影仪展示出来. 解：①832=(23)32=2323⨯=22=4;②2521-=(52)21-=5)21(2-⨯=5-1=51; ③(21)-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32; ④(8116)43-=(32))43(4-⨯=(32)-3=827.点评：本例主要考查幂值运算,要按规定来解.在进行幂值运算时,要首先考虑转化为指数运算,而不是首先转化为熟悉的根式运算,如832=328=364=4. 例2用分数指数幂的形式表示下列各式.a 3·a ;a 2·32a ;3a a (a>0).活动：学生观察、思考,根据解题的顺序,把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算,根式化为分数指数幂时,要由里往外依次进行,把握好运算性质和顺序,学生讨论交流自己的解题步骤,教师评价学生的解题情况,鼓励学生注意总结. 解：a 3·a =a 3·a 21=a 213+=a 27;a 2·32a =a 2·a 32=a232+=a 38;3a a =(a·a 31)21=(a 34)21=a 32.点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式来表示,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.例3计算下列各式（式中字母都是正数）: （1）(2a 32b 21)(-6a 21b 31)÷(-3a 61b 65); （2）(m 41n83-)8. 活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的,整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序,再解答,把自己的答案用投影仪展示出来,相互交流,其中要注意到（1）小题是单项式的乘除运算,可以用单项式的乘除法运算顺序进行,要注意符号,第（2）小题是乘方运算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方进行计算,熟悉后可以简化步骤.解：（1）原式=［2×(-6)÷(-3)］a 612132-+b653121-+=4ab 0=4a;（2）(m 41n83-)8=(m 41)8(n 83-)8=m841⨯n883⨯-=m 2n -3=32n m . 点评：分数指数幂不表示相同因式的积,而是根式的另一种写法.有了分数指数幂,就可把根式转化成分数指数幂的形式,用分数指数幂的运算法则进行运算了. 本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用. 变式训练 求值:(1)33·33·63;(2)6463)12527(nm . 解：(1)33·33·63=3·321·331·361=36131211+++=32=9；(2)6463)12527(nm =(6463)12527(n m =(646333)53(n m =646643643643)()5()()3(n m =42259n m =42259-n m . 例4计算下列各式: （1）(125253-)÷425; （2）322aa a •(a ＞0）.活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,化为同底.利用分数指数幂计算,在第（1）小题中,只含有根式,且不是同次根式,比较难计算,但把根式先化为分数指数幂再计算,这样就简便多了,第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,最后写出解答. 解：（1）原式=(2531-12521)÷2541=(532-523)÷521 =52132--52123-=561-5=65-5;（2）322a a a •=32212aa a •=a32212--=a 65=65a .思路2例1比较5,311,6123的大小.活动：学生努力思考,积极交流,教师引导学生解题的思路,由于根指数不同,应化成统一的根指数,才能进行比较,又因为根指数最大的是6,所以我们应化为六次根式,然后,只看被开方数的大小就可以了.解：因为5=635=6125,311=6121,而125＞123＞121,所以6125>6123>6121.所以5>6123>311.点评：把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法. 例2求下列各式的值:(1)432981⨯;(2)23×35.1×612.活动：学生观察以上几个式子的特征,既有分数指数幂又有根式,应把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,如果根式中根指数不同,也应化成分数指数幂,然后分析解答,对(1)应由里往外432981⨯=421344)3(3⨯,对(2)化为同底的分数指数幂,及时对学生活动进行评价.解：(1)432981⨯=［34×(334)21］41=(3324+)41=(3314)41=367=633;(2)63125.132⨯⨯=2×321×(23)31×(3×22)61=231311++·3613121++=2×3=6.例3计算下列各式的值: （1）［(a 23-b 2)-1·(ab -3)21(b21)7］31;（2）1112121-+-++--a a a aa;(3)14323)(---÷a b b a.活动：先由学生观察以上三个式子的特征,然后交流解题的方法,把根式用分数指数幂写出,利用指数的运算性质去计算,教师引导学生,强化解题步骤,对(1)先进行积的乘方,再进行同底数幂的乘法,最后再乘方,或先都乘方,再进行同底数幂的乘法,对（2）把分数指数化为根式,然后通分化简,对（3）把根式化为分数指数,进行积的乘方,再进行同底数幂的运算.解：(1)原式=(a23-b 2)31-(ab -3)61·(b 21)37=a 21b32-a 61b21-b 67=a6121+b672132+--=a 32b 0=a 32;另解：原式=(a 23b -2a 21b 23-·b 27)31 =(a2123+b27232+--)31=(a 2b 0)31=a 32;（2）原式=11111-+-++a aa aa =)1(1-+a a a =)1(11-+-a a a a=)111(1-+-a a a= )1(2--a a =)1(2a a a-;（3）原式=（a 21b32）-3÷(b -4a -1)21=a23-b -2÷b -2a21-=a2123+-b -2+2=a -1=a1. 例4已知a ＞0,对于0≤r≤8,r ∈N *,式子(a )8-r ·)1(4ar能化为关于a 的整数指数幂的情形有几种？活动：学生审题,考虑与本节知识的联系,教师引导解题思路,把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,即先把根式转化为分数指数幂,再进行幂的乘方,化为关于a 的指数幂的情形,再讨论,及时评价学生的作法.解：(a )8-r ·)1(4ar=a 28r -·a4r -=a448rr --=a4316r -.16-3r 能被4整除才行,因此r=0,4,8时上式为关于a 的整数指数幂.点评：本题中确定整数的指数幂时,可由范围的从小到大依次验证,决定取舍.利用分数指数幂进行根式运算时,结果可以化为根式形式或保留分数指数幂的形式. 例5已知f （x ）=e x －e -x ,g （x ）=e x +e -x . （1）求［f （x ）］2－［g （x ）］2的值； （2）设f （x ）f （y ）=4,g （x ）g （y ）=8,求)()(y x g y x g -+的值.活动：学生观察题目的特点,说出解题的办法,整体代入或利用公式,建立方程,求解未知,如果学生有难度,教师可以提示引导,对（1）为平方差,利用公式因式分解可将代数式化简,对(2)难以发现已知和未知的关系,可写出具体算式,予以探求.解：(1)［f （x ）］2－［g （x ）］2=［f （x ）+g （x ）］·［f （x ）－g （x ）］=（e x －e -x +e x +e -x ）（e x －e -x －e x －e -x ）=2e x （－2e -x ）=－4e 0=－4; 另解：(1)［f （x ）］2－［g （x ）］2=(e x -e -x )2-(e x +e -x )2 =e 2x -2e x e -x +e -2x -e 2x -2e x e -x -e -2x =-4e x -x=-4e 0=-4;(2)f （x ）·f （y ）=（e x －e -x ）（e y －e -y ）=e x +y+e -(x+y)－e x -y －e -(x -y)=g （x+y ）－g （x －y ）=4, 同理可得g （x ）g （y ）=g （x+y ）+g （x －y ）=8, 得方程组⎩⎨⎧=++=+8,y)-g(x y)g(x 4,y)-g(x -y)g(x 解得g （x+y ）=6,g （x －y ）=2.所以)()(y x g y x g -+=26=3.点评：将已知条件变形为关于所求量g （x+y ）与g （x －y ）的方程组,从而使问题得以解决,这种处理问题的方法在数学上称之为方程法,方程法所体现的数学思想即方程思想,是数学中重要的数学思想. 知能训练课本P 54练习 1、2、3. ［补充练习］教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答,教师巡视,启发,对做得好的同学给予表扬鼓励.1.(1)下列运算中,正确的是( ) A.a 2·a 3=a 6 B.(-a 2)3=(-a 3)2 C.(a -1)0=0 D.(-a 2)3=-a 6(2)下列各式①42)4(n -,②412)4(+-n ③54a ,④45a （各式的n ∈N ,a ∈R ）中,有意义的是( )A.①②B.①③C.①②③④D.①③④ (3)24362346)()(a a •等于( )A.aB.a 2C.a 3D.a 4(4)把根式－232)(--b a 改写成分数指数幂的形式为( ) A.-2(a -b)52- B.-2(a -b)25-C.-2(a52--b 52-) D.-2(a25--b 25-)(5)化简（a 32b 21）（-3a 21b 31）÷（31a 61b 65）的结果是( )A.6aB.-aC.-9aD.9a2.计算：(1)0.02731-－（－71）-2+25643－3-1+（2－1）0=________.(2)设5x =4,5y =2,则52x -y =________.3.已知x+y=12,xy=9且x ＜y,求21212121yx y x +-的值.答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)83.解：21212121yx y x +-=))(())((2121212121212121y x y x y x y x -+--=yx yy x x -+-21212.因为x+y=12,xy=9,所以(x -y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27. 又因为x ＜y,所以x -y=-2×33=-63.所以原式36612--=33-. 拓展提升1.化简111113131313132---+++++-x xx x x x x x .活动：学生观察式子特点,考虑x 的指数之间的关系可以得到解题思路,应对原式进行因式分解,根据本题的特点,注意到: x -1=(x31)3-13=(x 31-1)·(x 32+x 31+1); x+1=(x31)3+13=(x 31+1)·(x 32-x 31+1);x -x 31=x 31［(x31)2-1］=x 31(x 31-1)(x 31+1).构建解题思路教师适时启发提示.解：111113131313132---+++++-x xx x x x x x =111)(11)(3131323131333131323331---+++++-x x x x x x x x x=)1()1)(1(1)1)(1(1)1)(1(31313131313132312132313231-+--++-++++++-x x x x x x x x x x x x x=x 31-1+x 32-x 31+1-x 32-x 31=-x 31. 点拨:解这类题目,要注意运用以下公式, (a 21-b 21)(a 21+b 21)=a -b, (a 21±b21)2=a±2a 21b 21+b,(a 31±b 31)(a32 a 31b 31+b 32)=a±b.2.已知a 21+a 21-=3,探究下列各式的值的求法.(1)a+a -1;(2)a 2+a -2;(3)21212323----aa a a .解：(1)将a 21+a21-=3,两边平方,得a+a -1+2=9,即a+a -1=7;(2)将a+a -1=7两边平方,得a 2+a -2+2=49,即a 2+a -2=47; (3)由于a 23-a23-=(a21)3-(a 21-)3, 所以有21212323----aa a a =2121212112121))((-----++-aa a a a a a a =a+a -1+1=8.点拨:对“条件求值”问题,一定要弄清已知与未知的联系,然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值. 课堂小结活动：教师,本节课同学们有哪些收获?请把你的学习收获记录在你的笔记本上,同学们之间相互交流.同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点:(1)分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是a mn=n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1),正数的负分数指数幂的意义是a m n-=m na 1=n m a 1(a>0,m,n ∈N *,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.(2)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.(3)有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r 、s,均有下面的运算性质:①a r ·a s =a r+s (a>0,r,s ∈Q ),②(a r )s =a rs (a>0,r,s ∈Q ),③(a·b)r =a r b r (a>0,b>0,r ∈Q ).(4)说明两点:①分数指数幂的意义是一种规定,我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性,其中没有推出关系.②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用.因而分数指数幂与根式可以互化,也可以利用(a n )n m =n mn a ⨯=a m 来计算.作业课本P 59习题2.1A 组 2、4.设计感想本节课是分数指数幂的意义的引出及应用,分数指数是指数概念的又一次扩充,要让学生反复理解分数指数幂的意义,教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解,用观察、归纳和类比的方法完成,由于是硬性的规定,没有合理的解释,因此多安排一些练习,强化训练,巩固知识,要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务.。
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2.1.1（2）指数与指数幂的运算（教学设计）
内容：分数指数幂
一、教学目标
（一）知识目标
（1）理解根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算。
（2）理解掌握分数指数幂的意义并能进行基本的运算。
（二）能力目标
（1）学生能进一步认清各种运算间的联系，提高归纳，概括的能力．
（2）让学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想．
（3）训练学生思维的灵活性
（三）德育目标
（1）激发学生自主学习的兴趣
（2）养成良好的学习习惯
教学重点： 次方根的概念及其取值规律。
教学难点：分数指数幂的意义及其运算根据的研究。
教学过程：
一、复习回顾，新课引入：
指数与其说它是一个概念，不如说它是一种重要的运算，且这种运算在初中曾经学习过，今天只不过把它进一步向前发展。
引导学生回顾指数运算的由来，是从乘方而来，因此最初指数只能是正整数，同时引出正整数指数幂的定
义。
．然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义，分别写出
及 ，同时追问这里 的由来。
二、师生互动，新课讲解：
1.分数指数幂
看下面的例子：
当0>a 时，
（1）2552510)(a a a ==，又5102=，所以510
510a a =； （2）3443412)(a a a ==，又4123=，所以412
412a a =． 从上面的例子，我们看到，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式． 那么，当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式呢？
根据n 次方根的定义，规定正数的正分数指数幂的意义是：n m n m
a a =（0>a ，1*,,>∈n N n m ）．
0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂无意义.
由于分数有既约分数和非既约分数之分，因此当0<a 时，应当遵循原来的运算顺序，通常不写成分数指数幂形式． 例如：3273-=-，而3)27(62=-．
规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．
整数指数幂的运算性质对于分数指数幂即有理数指数幂同样适用．
联系并指出整数指数幂的运算性质对有理指数幂仍然适用
(1)a r a s =a r+s (a>0,r,s ∈Q)
(2)(a r )s =a rs (a>0,r,s ∈Q)
(3)(ab)r =a r b r (a>0,b>0, r,∈Q)
3．分数指数幂与根式的表示方法之间关系。
（1） 规定正数的正分数指数幂的意义是：
n m n m
a a = （a>0，m,n ∈N +，且n>1）
（2） 规定正数的负分数指数幂的意义是： =-m m a n m
a 1
（a>0，m,n ∈N +，且n>1）
（3） 特别指出分数指数幂的底数a 、m 、n 的取值只需式子有意义即可。
例1（课本P51例2）：求值：
238；12
25-；51()2-；3
416()81-
变式训练1： 求下列各式的值：
（1）1225； （2）3227
-； （3）361-⎪⎭⎫ ⎝⎛； （4）431000081-⎪⎭⎫ ⎝⎛． 解 (１) 55
)5(2521221221
===⨯； （2）9133)3(272)3
2(332
332
====--⨯--； （3）2166)6(613313===⎪⎭⎫ ⎝⎛---；
（4）27100031010310310000813
343443
=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-．
例2（课本P51例3）用分数指数幂的形式表示下各式（其中a>0） 3a a ；322a a ；3a a
例3（课本P52例4）：计算下列各式（式中字母都是正数）
（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷- （2）31884()m n -
（先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析、提问、解答）
分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的. 整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.
我们看到（1）小题是单项式的乘除运算；（2）小题是乘方形式的运算，它们应让如何计算呢？
其实，第（1）小题是单项式的乘除法，可以用单项式的运算顺序进行.
第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算.
解：（1）原式=211115326236[2(6)(3)]a
b +-+-⨯-÷- =04ab =4a （2）原式=3
1
8884()()m n - =23m n -
例4：（课本P52例5）计算下列各式
（1）34(25125)25-÷ （2）2
32(.a a a a ＞0）
分析：在第（1）小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，同样，第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算.
解：（1）原式= 111324(25125)25-÷
= 231322(55)5-÷
= 213132
2255--- = 1
655-
=
655- （2）原式=1252265236
2
1
32a a a a a a --===⋅ 小结：运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数.
课堂练习：（课本P54练习NO ：1；2；3）
三、课堂小结，巩固反思：
1.这堂课的主要内容是什么？
2.做指数运算时有什么需要注意的地方？
这节课我们学习了指数幂的定义，性质以及一些运算。
在学习中，我们应当逐步深入，领悟从整数到根式再到分数的导出过程，理解由特殊到一般的研究方法，在有关活动中发展学生的探索意识和合作交流的习惯。
四、布置作业
A 组：
1、（课本P59习题2.1 A 组：NO ：2（1）（2）（3））
2、（课本P59习题2.1 A 组：NO ：4（1）~（8））
3、(tb0112901)下列等式中正确的是（D ）
(A) -
x =(-x)21 (x ≠0) (B) x 31-= -3x (C) 31
62y y = (y<0) (D) 4343
)()(x
y y x =- (xy ≠0) 4、(tb0112902)下列各式成立的是（A ）。
(A) 31324= (B) 32
322)(n m n m +=+ (C) (5
5)ab a
b = (D) 3162)2()2(-=- 5、(tb0112911)化简4
33
)278(b a --(a>0,b>0)的结果是（C ）。
(A) b a 23 (B) -b a
23
(C) 448116
b a (D) -44811
b a
6、(tb0113012)34329
-b a (a>0,b>0)化简得（C ）。
(A) 4323-b a (B)31
31-b a (C) 41
23-b a (D) 49
31-b a
B 组：
1、（课本P59习题 2.1 B 组：NO ：2）。