【全国百强校】重庆市第八中学2017届高三上学期第一次适应性考试理数(原卷版)
重庆市第八中学2017届高考适应性月考卷(二)理科数学
秘密★启用前重庆市第八中学2017届高考适应性月考卷（二）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的名字、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合|1log |,02212>=<-+=x x B x x x A ，则=B AA. ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 B. ()1,0C. ⎝⎛⎪⎭⎫-21,2 D. ⎪⎭⎫⎝⎛1,212. 已知首项为正的等比数列 n a 的公比为q ，则“10<<q ” 是 “n a 为递减数列”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3. 已知γβα,,是三个不同的平面，21,l l 是两条不同的直线，下列命题是证明题的是 A. 若,,γβγα⊥⊥ 则βα// B. 若,//1αl β⊥1l ，则βα//C. 若βα//，,//1αl ，β//2l ，则21//l l C. 若βα⊥，α⊥1l ，β⊥2l ，则21l l ⊥ 4. 直线05=-+y ax 截圆 :C 012422=+--+y x y x 的弦长为4，则a = A. -2 B. -3 C. 2 D. 3 5. 下列命题中错误的个数为 ①12121-+=x y 的图象关于（0,0） 对称；②13++=x x y 的图象关于（0，1）对称；③112-=x y 的图象关于直线0=x 对称；④x x y cos sin +-的图象关于直线4π=x 对称。
【重庆市第八中学】2017届高三上学期适应性月考理综试卷(四)(附答案与解析)
重庆市第八中学2017届高三上学期适应性月考（四）理综试卷二、选择题：本题共8小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，第14~17题只有一项符合题目要求，第18~21题有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
14．通电导线置于匀强磁场中，其中导线所受安培力的方向垂直于纸面的是（ ）A ．B ．C ．D ．15．有关人造地球卫星，下列说法正确的是（ ） A ．两颗轨道不同的卫星，其周期可能相等B ．周期相同的两颗卫星，其机械能一定相同C ．在椭圆轨道上运行的卫星，其机械能不守恒D ．人造卫星环绕地球的运动周期可以等于70分钟16．一个正七边形七个顶点上各固定一个电量为q 的点电荷，各电荷的电性如图2所示，O 点是正七边形的几何中心。
若空间中有一点M ，且M O 垂直于正七边形所在平面，则下列说法正确的是（ ）A ．M 点的场强方向是沿着O M 连线，由O 点指向M 点B ．M 点的场强方向是沿着O M 连线，由M 点指向点OC ．将一个负检验电荷从M 点移动到无穷远处，电场力做正功D ．将一个正检验电荷从M 点移动到无穷远处，电场力做正功17．如图3所示为氢原子能级图。
光子能量为E 的一束光，照射大量处于n 2=能级的氢原子，氢原子吸收光子后，能发出三种频率分别为1ν、2ν、3ν（依次增大）的光，则E 等于（ ）A ．21h()ν-νB ．1h νC ．2h νD ．3h ν18．下列关于原子核的说法正确的是（ ）图 3图40图 5（1）若该同学测出的数据为1U 4.50V =，2U 2.50V =，则该同学测出的V R =________Ω（2）若该同学用如图乙所示的若干节串联的“番茄电池”（电动势在4~5V 之间，内阻约为图 7图 6（1）器材：mA；R和R为定值电阻，M1v①被封闭的气体压强是多大；②缓慢将管子绕通过B 点的水平粥转动180︒，使管倒立，求此时管内空气柱的长度。
2017届重庆市第八中学高三理上适应性考试一数学试卷
2017届重庆市第八中学高三理上适应性考试一数学试卷考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上1．设集合{}(){}|sin ,x R ,|lg A y y x B x y x ==∈==-，则A B = （ ）A ．(]0,1B ．[)1,0-C ．[]1,0-D ．(],1-∞ 2．已知向量()()1,,3,2a m b ==- ，且()//a b b + ，则m =（ ）A ．23-B ．23C ．-8D ．8 3．设命题2:,ln p x R x x ∀∈>，则p ⌝为（ ）A ．2000,ln x R x x ∃∈>B ．2,ln x R x x ∀∈≤C ．2000,ln x R x x ∃∈≤D ．2,ln x R x x ∀∈<4．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且15914,27a a S +=-=-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）A ．1B ．6C ．7D ．6或75．已知实数()ln ln ln ,ln ,2a b c πππ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<6．若4sin 3cos 0αα-=，则21cos 2sin 2αα+的值为（ ） A ．2516 B ．1 C ．2548 D ．2564 7．ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知()22,21sin a b c b C ==-，则C =（ ）A ．34πB ．3πC ．4πD ．6π 8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111n n na a a ++=-，若12a =，则{}n a 的前2017项的积为（ ）A ．1B ．2C ．-6D ．-5869．记[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.31, 1.32=-=-．设函数()[]f x x x =-，若方程()1log a f x x -=有且仅有3个实数根，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．(]3,4B ．[)3,4C ．[)2,3D ．(]2,310．如图1，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离与O 到M 的距离之和表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 11．设函数())3lnf x x x =+且)233ln 113a a f a ⎛⎫--<- ⎪-⎝⎭，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()3,+∞ B．)+∞C．) D．(()3,+∞ 12．设函数()()x x f x e x ae =-（其中e 为自然对数的底数）恰有两个极值点()1212,x x x x <，则下列说法不正确的是（ ）A ．102a <<B ．110x -<<C ．()1102f x -<< D ．()()120f x f x +>13．已知{}n a 为等比数列，且13214,,42a a a -成等比数列，则5735a a a a ++的值为____________． 14．已知,m n 为单位向量，其夹角为60°，则2m n -= _________．15．设点P 为函数()3112f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上任一点，且()f x 在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为____________．16．已知函数()()sin 0,463f x x f f πππωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则ω=___________．17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2322n n n S =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足121n n n n nb a a a a ++=-+ ，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：5212n T n <+． 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，,//,222,AB AD AB CD CD AB AD PB ⊥===⊥底面ABCD ，E 是PC 上的点．（1）求证：BD ⊥平面PBC ；（2）设1PB >，若E 是PC 的中点，且直线PD 与平面EDB所成角的正弦值为3，求二面角P BD E --的余弦值．19．某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理．现需决策此蛋糕店每天应该制作几个生日蛋糕，为此搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图，以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．（1）若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕，①求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：个，n N ∈）的函数解析式； ②在当天的利润不低于750元的条件下，求当天需求量不低于18个的概率．（2）若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的期望值为决定依据，判断应该制作16个是17个？20．设椭圆E 的方程为()22211x y a a+=>，O 为坐标原点，直线l 与椭圆E 交于点,,A B M 为线段AB 的中点．（1）若,A B 分别为E 的左顶点和上顶点，且OM 的斜率为12-，求E 的标准方程； （2）若2a =，且1OM =，求AOB ∆面积的最大值． 21．设函数()()()()22ln 1,1x x f x x g x a a R x+=+=∈+ ． （1）若函数()()()h x f x g x =-在定义域内单调递减，求a 的取值范围；（2）设*n N ∈，证明：1422212111n e n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （e 为自然对数的底数）． 22．选修4-1：几何证明选讲如图，在ABC ∆中，090ABC ∠=，以AB 为直径的圆交AC 于点E ，过点E 作圆O 的切线交BC 于点F ．（1）求证：2BC EF =；（2）若3CE OA =，求EFB ∠的大小．23．选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线C ． （1）写出曲线C 的参数方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴坐标建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭若,P Q 分别为曲线C 和直线l 上的一点，求,P Q 的最近距离．24．选修4-5：不等式选讲设函数()12f x x x a =--+．（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若不等式()0f x >，在[]2,3x ∈上恒成立，求a 的取值范围．参考答案1．B【解析】试题分析：由题意得{}{}|11,|0A y y B x x =-≤≤=<，所以A B = {|10}x x -≤<，故选B ．考点：集合的运算．2．A【解析】试题分析：由题意得，()4,2a b m +=- ，又()//a b b + ，所以4232m -=-，解得23m =-，故选A ．考点：向量的坐标运算．3．C【解析】试题分析：由题意得，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题2:,ln p x R x x ∀∈>，则p ⌝为“2000,ln x R x x ∃∈≤”，故选C ． 考点：全称命题的否定．4．B【解析】试题分析：由等差数列{}n a 的性质，可得15332147a a a a +==-⇒=-，又1999()272a a S +==- 19563a a a ⇒+=-⇒=-，所以53253a a d -==-，所以数列{}n a 的通项公式为3(3)n a a n d =+-7(3)2213n n =-+-⨯=-，令02130n a n ≤⇒-≤，解得132n ≤，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得n S 取最小值时的n 为6，故选B ．考点：等差数列的性质．5．A【解析】试题分析：由l n (1,2)π∈，且ln ππ<，又函数ln y x =为单调递增函数，所以()ln ln ln ππ<，根据指数函数的性质，可得ln 22c π=>，所以a b c <<，故选A ． 考点：指数函数与对数函数的性质．6．D【解析】试题分析：由4sin 3cos 0αα-=，则3t a n 4α=，所以22221cos sin cos 2sin 2cos 4sin cos ααααααα+=++ 223()1tan 125414tan 64144αα++===++⨯，故选D ． 考点：三角函数的化简求值．7．C【解析】试题分析：由()22,21sin a b c b C ==-，由余弦定理得2222222cos 22a b c b c C ab b +--== ()222221sin sin 2b b C C b --==，即tan 1C =，所以4C π=，故选C ． 考点：余弦定理．8．B【解析】试题分析：由12a =，111n n na a a ++=-，则23456113,,,2,3,23a a a a a =-=-===- ，由此可得此时数列是以4四项为周期的周期数列，且12341a a a a =，所以{}n a 的前2017项的积为12342017a a a a a11112a =⨯⨯⨯⨯= ，故选B ．考点：数列的性质．9．B【解析】试题分析：由题意得，方程()11[]f x x x -=+-，所以方程()1log a f x x -=有且仅有3个实数根，即1[]log a x x x +-=有且仅有3个实数根，即函数1[]y x x =+-和函数log a y x =的图象有三个不同的交点．分别作出两函数的图象，如图所示，要使得函数1[]y x x =+-和函数log a y x =的图象有三个不同的交点，则log 31a ≥且log 41a <，解得34a ≤<，故选B ．考点：方程的根的个数的判断与函数[]x 的应用．【方法点晴】本题主要考查了方程的根的个数以及[]x 的应用，其中解答中涉及到取整函数[]x 的性质和对数函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了数形结合思想和学生的分析问题和解答问题的能力，其中解答中把方程有且仅有3个实数根，转化为函数1[]y x x =+-和函数log a y x =的图象有三个不同的交点，正确作出函数的图象是解答的关键，属于中档试题．10．B【解析】试题分析：在直角三角形OMP 中，1,OP POM x =∠=，则cos OM x =，所以点M 到直线OP 的距离与O 到M 的距离之和表示成x 的函数为()sin cos cos sin cos f x OM x x x x x =+=+1sin 2cos 2x x =+，当2x π=时，()02f π=；当0x =时，()01f =，且最小正周期为2π，故选B ．考点：函数的实际应用．11．C【解析】试题分析：由函数())3ln f x x x =+，令1x =-，则()31(1l n (1)l n (21)f -=-=--，所以)233l n 113a a f a ⎛⎫--<- ⎪-⎝⎭，即)233l n 113a a f a ⎛⎫-<- ⎪-⎝⎭，即233(1)3a a f f a ⎛⎫-<- ⎪-⎝⎭，又函数())3ln f x x x =+为单调递增函数，所以23313a a a -<--3a <<，故选C ．考点：函数的单调性与奇偶性的应用．【方法点晴】本题主要考查了函数的性质及其应用，其中解答中涉及到函数的单调性及其应用、函数的奇偶性及其应用、不等式的求解和函数值的计算，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中，把1)1-转化为()1f -是解答问题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．12．D【解析】试题分析：由题意得()()()()112x x x x x x f x e ae e x ae e x ae '=-+-=+-，由于函数()f x 的两个极值点为()1212,x x x x <，即()1212,x x x x <是方程()0f x '=的两个不等实数根，即方程120x x ae +-=且0a ≠，所以12x x e a +=，设121(0),2x x y a y e a+=≠=，在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图所示，要使得两个函数有2个不同的交点，应满足102112a a⎧>⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得102a <<，且110x -<<，令0x =，得()()0000f e ae a =-=-，所以()1102f x -<<，故选D ．考点：利用导数函数的单调性与极值的应用．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值的应用问题，其中解答中涉及到指数函数的图象与性质以及一次函数的图象与性质的应用、不等式组的求解等知识点的综合应用，着重考查了转化与化归思想和数形结合思想的应用，本题的解答中把问题转化为方程()0f x '=的两个不等实数根，利用函数11(0)2x y a a+=≠和2x y e =的图象有两个交点是解答的关键，属于中档试题．13．4【解析】试题分析：由题意得，设等比数列的公比为q ，因为13214,,42a a a -成等比数列，则 22231211111()44()4422a a a a q a a q =-⨯⇒=-⨯，解得2q =-，所以257354a a q a a +==+． 考点：等比数列．14【解析】试题分析：由题意得222024242cos6013m n m m n n m n -=-⋅+=-⋅+=，所以2m n -=考点：向量的运算． 15．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：由题意得，()22111(3)22f x x x '=+≥⨯=tan α≥[0,)απ∈，所以32ππα≤<．考点：利用导数研究函数在某点处的切线．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数在某点处的切线的方程，其中解答中涉及到函数的导数的运算、直线的斜率与倾斜角，以及倾斜角的范围和基本不等式的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答的能力，本题的解答中利用导数，转化为tan α≥16．1 【解析】试题分析：因为,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以1(,)4244x πππωωπωπ+∈++，因为()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以周期2T w ππ=≥，解得2w ≤，因为()sin()4f x x πω=+的减区间满足322,242k x k k Z ππππωπ+<+≤+∈，取0k =，解得1524w ≤≤，又因为63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4x π=时，函数取得最值，即()sin()144f x ωππ=+=±，所以1w =．考点：三角函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了三角函数的图象与性质，其中解答中涉及到三角函数的周期、三角函数的单调区间、三角函数的最值等知识点综合考查，着重考查了三角函数的图象单调性和最值，以及学生的分析问题和解答问题的能力，本题的解答中把()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，解得1524w ≤≤，再根据4x π=时，函数取得最值，即可求解w 的值，属于中档试题．17．（1）1n a n =+；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）根据数列的通项n a 和n S 的关系，即可求解数列{}n a 的通项公式；（2）由1112213n b n n ⎛⎫=+- ⎪++⎝⎭，即可利用裂项相消求解数列的和，得以证明．试题解析：（1）当2n ≥时，()()221131312222n n n n n n n a S S n ---=-=+--=+， 又1n =时，112a S ==适合1n a n =+， ∴1n a n =+（2）证明：由（1）知()()()111131231213n b n n n n n n ⎛⎫=+-++=+- ⎪++++⎝⎭，∴123111111122243513n n T b b b b n n n ⎛⎫=++++=+-+-++- ⎪++⎝⎭111115222232312n n n n ⎛⎫=++--<+ ⎪++⎝⎭． 考点：数列的通项公式；数列的求和．18．（1）证明见解析；（2）3【解析】试题分析：（1）由PB ⊥平面,BD ABCD ⊂平面ABCD ，得出BD PB ⊥，再根据勾股定理，证得BD BC ⊥，再利用线面垂直的判定定理，即可证明BD ⊥平面PBC ；（2）以B 为原点，建立空间直角坐标系，设(),,n x y z =为平面EDB 的法向量，由0n BD n BE == ，求得平面的一个法向量，再利用向量的运算，即可得二面角P BD E --为锐角余弦值． 试题解析：（1）证明：∵PB ⊥平面,BD ABCD ⊂平面ABCD ， ∴BD PB ⊥，由题意知1,1,2AB AD CD ===，∴BD BC ==222BD BC DC +=，∴BD BC ⊥，又BC PB B = ，∴BD ⊥平面PBC（2）解：以B 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则()()()0,0,0,1,1,0,1,1,0B D C -，设()()0,0,0P a a >，则()()1111,,,1,1,0,,,,1,1,a 222222a a E BD BE PD ⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设(),,n x y z =为平面EDB 的法向量，则0n BD n BE == ，即0x y x y az +=⎧⎨-+=⎩，取,,2x a y a z ==-=-，则(),,2n a a =-- ． 设直线PD 与平面EDB 所成角为θ，依题意，sin cos ,PD n PD n PD nθ==== 则2a =或1a =（舍），由（1）知,BC BD BC PB ⊥⊥，∴BC ⊥平面PBD ，∴()1,1,0BC =-为平面PBD 的法向量，当2a =时，()2,2,2,cos ,3BC n n BC n BC n=--==， 易得二面角P BD E --为锐角，所以其余弦值为3考点：直线与平面垂直的判定与证明；二面角的求解． 19．（1）①()()()1008501685017n n y n N n -≤⎧⎪=∈⎨≥⎪⎩；②1935； （2）一天应该制作17个生日蛋糕．【解析】试题分析：（1）①由题意得，当17n ≥时，850y =；当16n ≤时，100850y n =-，即可求解函数的解析式；②根据当天的利润不低于750元为事件A ，设当天需求量不低于18个为事件B ，利用条件概率的计算公式，即可求解概率；（2）分别求出一天制作16和17个，列出相应的分布列，求解数学期望，即可作出选择．试题解析：（1）①当17n ≥时，()1710050850y =⨯-=； 当16n ≤时，()505017100850y n n n =--=-．得()()()1008501685017n n y n N n -≤⎧⎪=∈⎨≥⎪⎩．②设当天的利润不低于750元为事件A ，设当天需求量不低于18个为事件B ， 由①得“利润不低于750元”等价于“需求量不低于16个”，则()0.7P A =，()()()0.150.130.119|0.735P AB P B A P A ++===（2）蛋糕店一天应制作17个生日蛋糕，理由如下：X ，X 的分布列为0.168500.54764+⨯= Y 表示当天的利润（单位：元），Y 的分布列为 8000.7760+⨯=，由以上的计算结果可以看出，EX EY >，即一天制作17个的利润大于制作16个的利润， 所以蛋糕店一天应该制作17个生日蛋糕考点：条件概率的计算；离散型随机变量的分布列及期望．20．（1）2214x y +=；（2）AOB ∆的面积取得最大值1． 【解析】试题分析：（1）设()()()001122,,,,,M x y A x y B x y ，代入椭圆的方程，利用点差法，求解斜率，即可求解a 的值，得到椭圆的方程；（2）设直线:l x my n =+，代入椭圆的方程，利用根与系数的关系，得出点M 的坐标，根据12121122AOB S OD y y n y y ∆=-=-得出三角形的面积，利用不等式即可求解最值．试题解析：（1）设()()()001122,,,,,M x y A x y B x y ，则221122222211x y ax y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得()()()()1212121220x x x x y y y y a -++-+=，即12212010y y y a x x x -+=- ，又01212011,2y y y x x a x -==--， 代入化简，得2a =，故E 的标准方程为2214x y += （2）设直线()()1122:,,,,y l x my n A x y B x =+， 由方程组()22222424044x my n m y mny n x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩ ① 2121212222248,,444mn n ny y y y x x m m m -⇒+=-=+=+++． 1212224,,2244x x y y nmn M m m ++⎛⎫⎛⎫⇒=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， ()22224116m OM n m +=⇒=+②，设直线l 与x 轴的交点为(),0D n ， 则12121122AOB S OD y y n y y ∆=-=-， 令()()()222212224841416m S n y y m +=-=+， 设()244t m t =+≥，则()()222248448481144241441624m t S t t mt t +==⨯=≤=+++++，当12t =时，即m n =±=AOB ∆的面积取得最大值1考点：椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到椭圆的几何性质的应用、基本不等式求最值、三角形的面积等知识点的综合考查，着重考查了学生的推理与运算能力以及转化与化归思想的应用，此类问题的解答中把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，转化为方程的根与系数的关系、判别式和韦达定理的应用是解答的关键，试题运算量大，有一定的难度，属于难题． 21．（1）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）求解函数的导数，判定函数的单调性，转化为()0h x '≤对()1,x ∈-+∞恒成立，利用分类参数，即可求解实数a 的取值范围；（2）取12a =，由第（1）问可知()h x 在()0,+∞为单调递减函数，从而()()00h x h <=，得出()212ln 121x xx x++<⋅+对()0,x ∈+∞均成立，进而可证明相应的结论．试题解析：（1）解：函数()h x 的定义域为()1,-+∞，且()()()()22ln 11x x h x f x g x x a x+=-=+-⋅+，则()()()()()()()()222222121221111x x x x x a x x h x a x x x ++-++-⋅++'=-⋅=+++， 由于()h x 在()1,-+∞内单调递减，则()0h x '≤对()1,x ∈-+∞恒成立，即()()21220x a x x +-++≤ 对()1,x ∈-+∞恒成立，从而2max 122x a x x +⎛⎫≥ ⎪++⎝⎭，则max 11211a x x ⎛⎫ ⎪≥= ⎪ ⎪+++⎝⎭， 故a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）证明：取12a =，由第（1）问可知()h x 在()0,+∞为单调递减函数， 从而()()00h x h <=；则()212ln 121x xx x++<⋅+对()0,x ∈+∞，均成立，令()21,2,,kx k n n== ，有 2222222222111ln 122211k k k k k k k n n k n n n k n n n⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭+<=+≤+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭+ ；从而22212ln 111n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 2222222221211212ln 1ln 1ln 12111n n n n n n n nn n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++<+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()2211133441n n n n n ⎡⎤-+-⎢⎥=-≤+⎢⎥⎣⎦， 故3422212111n e n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 考点：利用导数研究函数的单调性；不等关系的证明． 【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值及不等式的证明，其中解答中涉及到到导数的运算、恒成立问题的求解、不等关系的转化等知识点的综合考查，着重考查了恒成立的分类参数法的应用，转化与化归思想的应用，以及学生的推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，平时注意总结和积累． 22．（1）证明见解析；（2）060EFB ∠=． 【解析】试题分析：（1）由题意可知，,FB FE 均为圆O 的切线，所以FB EF =，连接,BE OE ，利用角度关系，得出EF FC =，即可证明结论；（2）不妨设1OA =，则3,2C E A B ==，利用三角形的射影定理1AE =，进而得出sin ACB ∠，根据三角函数的定义，即可求解． 试题解析：（1）证明：由题意可知，,FB FE 均为圆O 的切线，所以FB EF =，连接,BE OE ，易知090AEB OEF ∠=∠=，所以090FEC OEA FEC OAC ∠+∠=∠+∠=， 又090OAC ACB ∠+∠=，所以FEC ACB ∠=∠，所以EF FC =， 所以2BC BF FC EF EF EF =+=+= （2）解：不妨设1OA =，则3,2CE AB ==，在Rt ABC ∆中，由射影定理可知，2AB AE AC = ，()223AE AE =+ ，所以1AE =，∴4AC =，所以 所以030ACB ∠=，由（1）可知，030FEC ∠=，∴060EFB ∠= 考点：与圆有关的比例线段；三角形的射影定理．23．（1）2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（2）．【解析】试题分析：（1）设()11,x y 为圆上一点，在已知变换下C 上的点(),x y ，得出椭圆的标准方程，进而得出椭圆的参数方程；（2）得出直线的方程，设()2cos ,sin P θθ，利用点到直线的距离公式，求得d ，利用三角函数的性质，即可求解最小值．试题解析：（1）设()11,x y 为圆上一点，在已知变换下C 上的点(),x y ，依题意112x x y y =⎧⎨=⎩，由22111x y +=得2212x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2214x y +=， 故C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（2）将l的极坐标方程化为直角坐标方程：sin 44y x πρθ⎛⎫+=⇒+= ⎪⎝⎭， 设()2cos ,sin P θθ，设点P 到l 的距离为d ，4d +==≥=其中sin ϕϕ==2πθϕ+= 考点：参数方程与直角方程的互化；极坐标方程的应用． 24．（1）22,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【解析】 试题分析：（1）代入1a =，得出绝对值不等式，去掉绝对值号，即可求解每个不等式的解集，得出不等式的解集；（2）把()0f x >在[]2,3x ∈上恒成立，转化为120x x a --+>在[]2,3x ∈上恒成立，再根据绝对值的意义，即可求解a 的取值范围． 试题解析：（1）∵()1,11211a f x x x =>⇔--+>，()()()1111121112111211x x x x x x x x x ⎧⎧≤--<≤>⎧⎪⎪⇔⎨⎨⎨-+++>-+-+>--+>⎪⎩⎪⎩⎩或或22211233x x x ⇔-<≤--<<-⇔-<<-或， ∴解集为22,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（2）()0f x >在[]2,3x ∈上恒成立120x x a ⇔--+>在[]2,3x ∈上恒成立2211221x a x x x a x ⇔+<-⇔-<+<-1321x a x ⇔-<<--在[]2,3x ∈上恒成立，()()max min 1321524522x a x a a ⇔-<<--⇔-<<-⇔-<<-∴a 的范围为5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 考点：绝对值不等式；不等式恒成立．。
2017届重庆市第八中学高三上学期第一次适应性考试数学(理)试题
理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}(){}|sin ,x R ,|lg A y y x B x y x ==∈==-，则A B = （ ） A ．(]0,1 B ．[)1,0- C ．[]1,0- D ．(],1-∞2.已知向量()()1,,3,2a m b ==- ，且()//a b b +，则m =（ ）A ．23-B ．23C ．-8D ．8 3.设命题2:,ln p x R x x ∀∈>，则p ⌝为（ ）A ．2000,ln x R x x ∃∈>B ．2,ln x R x x ∀∈≤C ．2000,ln x R x x ∃∈≤ D ．2,ln x R x x ∀∈<4.已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且15914,27a a S +=-=-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ） A ．1 B ．6 C ．7 D ．6或75.已知实数()ln ln ln ,ln ,2a b c πππ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<6.若4sin 3cos 0αα-=，则21cos 2sin 2αα+的值为（ ）A ．2516B ．1C ．2548D ．25647. ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知()22,21sin a b c b C ==-，则C =（ ）A ．34π B ．3π C ．4π D ．6π 8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111nn na a a ++=-，若12a =，则{}n a 的前2017项的积为（ ） A ．1 B ．2 C ．-6 D ．-5869.记[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.31, 1.32=-=-．设函数()[]f x x x =-，若方程()1log a f x x -=有且仅有3个实数根，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．(]3,4B ．[)3,4C ．[)2,3D ．(]2,310.如图1，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离与O 到M 的距离之和表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11. 设函数())3ln f x x x =+且)233ln113a a f a ⎛⎫---<- ⎪-⎝⎭，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()3,+∞ B．)+∞ C．) D．(()3,+∞12.设函数()()x x f x e x ae =-（其中e 为自然对数的底数）恰有两个极值点()1212,x x x x <，则下列说法不正确的是（ ） A ．102a <<B ．110x -<<C ．()1102f x -<< D ．()()120f x f x +> 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知{}n a 为等比数列，且13214,,42a a a -成等比数列，则5735a a a a ++的值为____________． 14.已知,m n为单位向量，其夹角为60°，则2m n -=_________． 15.设点P 为函数()3112f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上任一点，且()f x 在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为____________． 16.已知函数()()sin 0,463f x x f f πππωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω=___________．三、解答题 （共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2322n n nS =+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足121n n n n nb a a a a ++=-+ ，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：5212n T n <+．18.（本小题满分12分）如图2，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，,//,222,AB AD AB CD CD AB AD PB ⊥===⊥底面ABCD ，E 是PC 上的点．（1）求证：BD ⊥平面PBC ；（2）设1PB >，若E 是PC 的中点，且直线PD 与平面EDB，求二面角P BD E --的余弦值．19.（本小题满分12分）某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理．现需决策此蛋糕店每天应该制作几个生日蛋糕，为此搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图3所示的柱状图，以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．（1）若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕，①求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：个，n N ∈）的函数解析式；②在当天的利润不低于750元的条件下，求当天需求量不低于18个的概率． （2）若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的期望值为决定依据，判断应该制作16个是17个？ 20.（本小题满分12分）设椭圆E 的方程为()22211x y a a+=>，O 为坐标原点，直线l 与椭圆E 交于点,,A B M 为线段AB 的中点．（1）若,A B 分别为E 的左顶点和上顶点，且OM 的斜率为12-，求E 的标准方程； （2）若2a =，且1OM =，求AOB ∆面积的最大值． 21.（本小题满分12分）设函数()()()()22ln 1,1x xf x xg x a a R x+=+=∈+ ．（1）若函数()()()h x f x g x =-在定义域内单调递减，求a 的取值范围；（2）设*n N ∈，证明：1422212111n e n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（e 为自然对数的底数）．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图4，在ABC ∆中，090ABC ∠=，以AB 为直径的圆交AC 于点E ，过点E 作圆O 的切线交BC 于点F ．（1）求证：2BC EF =；（2）若3CE OA =，求EFB ∠的大小． 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线C ． （1）写出曲线C 的参数方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴坐标建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,P Q 分别为曲线C 和直线l 上的一点，求,P Q 的最近距离． 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()12f x x x a =--+．（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若不等式()0f x >，在[]2,3x ∈上恒成立，求a 的取值范围．参考答案一、选择题二、填空题三、解答题（2）证明：由（1）知()()()111131231213n b n n n n n n ⎛⎫=+-++=+- ⎪++++⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∴123111111122243513n n T b b b b n n n ⎛⎫=++++=+-+-++- ⎪++⎝⎭．．．．．．．．．． 10分 111115222232312n n n n ⎛⎫=++--<+ ⎪++⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 18.（1）证明：∵PB ⊥平面,BD ABCD ⊂平面ABCD ，∴BD PB ⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 由题意知1,1,2AB AD CD ===，∴BD BC ==，∴222BD BC DC +=，∴BD BC ⊥，又BC PB B = ，∴BD ⊥平面PBC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）解：以B 为原点，建立空间直角坐标系如图3所示，则()()()0,0,0,1,1,0,1,1,0B D C -，设()()0,0,0P a a >，则()()1111,,,1,1,0,,,,1,1,a 222222a a E BD BE PD ⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设(),,n x y z =为平面EDB 的法向量，则0n BD n BE == ，即0x y x y az +=⎧⎨-+=⎩，取,,2x a y a z ==-=-，则(),,2n a a =-- ．设直线PD 与平面EDB 所成角为θ，依题意，sin cos ,PD n PD n PD nθ==== 则2a =或1a =（舍），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 由（1）知,BC BD BC PB ⊥⊥， ∴BC ⊥平面PBD ，∴()1,1,0BC =-为平面PBD 的法向量，当2a =时，()2,2,2,cos ,BC n n BC n BC n=--==， 易得二面角P BD E --．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.解：（1）①当17n ≥时，()1710050850y =⨯-=； 当16n ≤时，()505017100850y n n n =--=-．得()()()1008501685017n n y n N n -≤⎧⎪=∈⎨≥⎪⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ②设当天的利润不低于750元为事件A ，设当天需求量不低于18个为事件B ，由①得“利润不低于750元”等价于“需求量不低于16个”，则()0.7P A =，()()()0.150.130.119|0.735P AB P B A P A ++===．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）蛋糕店一天应制作17个生日蛋糕，理由如下：若蛋糕店一天制作17个，X 表示当天的利润（单位：元），X 的分布列为5500.16500.27500.168500.54764EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 若蛋糕店一天制作16个，Y 表示当天的利润（单位：元），Y 的分布列为6000.17000.28000.7760EY =⨯+⨯+⨯=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分由以上的计算结果可以看出，EX EY >，即一天制作17个的利润大于制作16个的利润， 所以蛋糕店一天应该制作17个生日蛋糕．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.解：（1）设()()()001122,,,,,M x y A x y B x y ，则221122222211x y ax y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得()()()()1212121220x x x x y y y y a -++-+=，．．．．．．．．．．．．．2分 即012212010y y y a x x x -+=- ，又01212011,2y y y x x a x -==--， 代入化简，得2a =，故E 的标准方程为2214x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）设直线()()1122:,,,,y l x my n A x y B x =+，由方程组()22222424044x my nm y mny n x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩ ① 2121212222248,,444mn n ny y y y x x m m m -⇒+=-=+=+++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 1212224,,2244x x y y nmn M m m ++⎛⎫⎛⎫⇒=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， ()22224116m OM n m +=⇒=+②，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分设直线l 与x 轴的交点为(),0D n ，则12121122AOB S OD y y n y y ∆=-=-， 令()()()222212224841416m S n y y m +=-=+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 设()244t m t =+≥，则()()222248448481144241441624m t S t t mt t +==⨯=≤=+++++， 当12t =时，即m n =±=时，AOB ∆的面积取得最大值1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21.（1）解：函数()h x 的定义域为()1,-+∞，且()()()()22ln 11x xh x f x g x x a x+=-=+-+ ，则()()()()()()()()222222121221111x x x x x a x x h x a x x x ++-++-++'=-=+++ ， 由于()h x 在()1,-+∞内单调递减，则()0h x '≤对()1,x ∈-+∞恒成立，即()()21220x a x x +-++≤ 对()1,x ∈-+∞恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分从而2max 122x a x x +⎛⎫≥ ⎪++⎝⎭，则max 111211a x x ⎛⎫⎪≥= ⎪ ⎪+++⎝⎭， 故a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）证明：取12a =，由第（1）问可知()h x 在()0,+∞为单调递减函数， 从而()()00h x h <=；则()212ln 121x xx x++<+ 对()0,x ∈+∞，均成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分令()21,2,,kx k n n == ，有2222222222111ln 122211k k k k k k k n n k n n n k n n n⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭+<=+≤+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭+ ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 从而22212ln 111n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 2222222221211212ln 1ln 1ln 12111n n n n n n n nn n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++<+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()2211133441n n n n n ⎡⎤-+-⎢⎥=-≤+⎢⎥⎣⎦， 故3422212111n e n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.（1）证明：由题意可知，,FB FE 均为圆O 的切线， 所以FB EF =，连接,BE OE ，易知090AEB OEF ∠=∠=， 所以090FEC OEA FEC OAC ∠+∠=∠+∠=， 又090OAC ACB ∠+∠=，所以FEC ACB ∠=∠，所以EF FC =，所以2BC BF FC EF EF EF =+=+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）解：不妨设1OA =，则3,2CE AB ==，在Rt ABC ∆中，由射影定理可知，2AB AE AC = ，()223AE AE =+ ，所以1AE =，∴4AC =，所以1sin 2AB ACB AC ∠==， 所以030ACB ∠=，由（1）可知，030FEC ∠=，∴060EFB ∠=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 23.解：（1）设()11,x y 为圆上一点，在已知变换下C 上的点(),x y ，依题意112x x y y =⎧⎨=⎩，由22111x y +=得2212x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2214x y +=， 故C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分11页 （2）将l的极坐标方程化为直角坐标方程：sin 44y x πρθ⎛⎫+=⇒+= ⎪⎝⎭， 设()2cos ,sin P θθ，设点P 到l 的距离为d ，d ≥=其中sin ϕϕ==2πθϕ+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 24.解：（1）∵()1,11211a f x x x =>⇔--+>，()()()1111121112111211x x x x x x x x x ⎧⎧≤--<≤>⎧⎪⎪⇔⎨⎨⎨-+++>-+-+>--+>⎪⎩⎪⎩⎩或或 22211233x x x ⇔-<≤--<<-⇔-<<-或， ∴解集为22,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）()0f x >在[]2,3x ∈上恒成立120x x a ⇔--+>在[]2,3x ∈上恒成立 2211221x a x x x a x ⇔+<-⇔-<+<-1321x a x ⇔-<<--在[]2,3x ∈上恒成立，()()max min1321524522x a x a a ⇔-<<--⇔-<<-⇔-<<- ∴a 的范围为5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。
第八中学2017届高三高考适应性月考(七)理数试题 含解析
重庆市第八中学2017届高考适应性月考卷（七）理科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1。
设集合，则（）A。
（—1，1) B. (—1，0）C。
D. （0，1）【答案】B【解析】由有，所以集合，由有,所以集合则,选B.2. 设复数,则（)A。
B。
C。
1 D. 2【答案】D【解析】，所以，选D.3。
在正项等比数列中，，则数列的前5项和（）A. 40B. 81C. 121D. 364【答案】C【解析】由等比数列的性质有,又，所以，因为，则公比，数列的前5项和,选C。
4。
学校在10名男教师和5名女教师中随机选取2名教师到西部支教，所选2名教师恰为1名男教师和1名女教师的概率为（）A. 1B.C. D。
【答案】C【解析】设“所选2名教师恰为1名男教师和1名女教师"为事件A，则，选C.5. 已知点（2,0）到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】C【解析】双曲线的渐近线方程为，即,因为点到渐近线的距离为，所以，又，所以，离心率，选C。
6. 函数的图象大致为（）A. B. C. D。
【答案】B【解析】当时，，，则，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减；且当时,，又因为函数为奇函数，故选B.点睛:本题主要考查了已知函数的解析式，找到相对应的函数的图象，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化；知式选图：①从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．④从函数的周期性，判断图象的循环往复．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项，注意联系基本函数图象和模型,当选项无法排除时，代特殊值,或从某些量上寻找突破口．.。
7. 如图，某几何体的三视图中，正视图和左视图均由边长为1的正三角形构成，俯视图由半径为1和的两个同心圆组成，则该几何体的体积为（）A。
重庆八中2017届高三上学期第一次调考数学试卷(理科) 含解析
2016-2017学年重庆八中高三（上）第一次调考数学试卷（理科)一、选择题：本大题共12小题，每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1．集合P=｛3，4，5}，Q={6，7｝，定义P*Q=｛（a,b）｜a∈P，b∈Q｝，则P＊Q的子集个数为（）A．7 B．12 C．32 D．642．复数z=的共轭复数所对应的点位于复平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．设a=（)，b=（），c=log2，则a，b，c的大小顺序是（)A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．已知条件p:关于x的不等式｜x﹣1｜+|x﹣3|＜m有解；条件q：f（x）=（7﹣3m）x为减函数，则p成立是q成立的(）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是（）A．B．C．D．6．下列说法正确的是（)A．命题p：“”,则¬p是真命题B．命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R,x2+2x+3＞0”C．“x=﹣1”是“x2+2x+3=0”的必要不充分条件D．“a＞1"是“f（x）=log a x(a＞0，a≠1)在（0,+∞）上为增函数”的充要条件7．程序框图如图所示：如果程序运行的结果S=1320，那么判断框中应填入（）A．K＜10 B．K≤10 C．K＜9 D．K≤118．若关于x，y的不等式组，表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为()A．或B．或C．1或D．1或9．已知函数f(x）=｜lnx|﹣1，g（x）=﹣x2+2x+3，用min｛m,n｝表示m，n中的最小值,设函数h（x)=min｛f（x）,g(x）}，则函数h(x）的零点个数为()A．1 B．2 C．3 D．410．已知函数f(x)=|2x﹣|,其在区间［0,1］上单调递增，则a的取值范围为（）A．［0，1］B．［﹣1，0] C．［﹣1，1] D．［﹣，］11．已知函数f（x）=，若关于x的不等式［f（x）］2+af（x）＜0恰有1个整数解，则实数a的最大值为(）A．2 B．3 C．5 D．812．定义域为R的偶函数f（x）满足∀x∈R,有f(x+2）=f(x）﹣f（1），且当x∈[2,3]时，f （x）=﹣2x2+12x﹣18．若函数y=f（x）﹣log a（x+1）至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．(0，) B．（0，）C．(0，）D．（0，）二、填空题13．已知函数f(x)=ln（2x+）﹣，若f（a）=1,则f（﹣a）=．14．已知f(x）=log（x2﹣ax+3a）在区间［2，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是．15．已知f（x)是R上的减函数，A（3，﹣1），B（0，1）是其图象上两个点，则不等式|f （1+lnx）｜＜1的解集是．16．已知函数f（x)=（k＜0)，若函数y=f(f（x）)﹣1有3个零点，则实数k的取值范围为．三、解答题:本大题共5小题,共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2sin2x+1(x∈R）．（Ⅰ）求函数f(x）的最小正周期和单调递增区间;（Ⅱ）若在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=，A为锐角，且f（A+）=,求△ABC面积S的最大值．18．已知函数f（x）=2cosx(sinx﹣cosx）+m（m∈R),将y=f（x）的图象向左平移个单位后得到y=g（x）的图象,且y=g（x）在区间［0,]内的最大值为．(Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若g（B）=l，且a+c=2，求△ABC的周长l的取值范围．19．已知a＞0且a≠1,函数f（x）=log a（x+1），，记F(x)=2f（x）+g（x）（1）求函数F(x)的定义域D及其零点;（2)若关于x的方程F(x）﹣m=0在区间[0，1)内有解,求实数m的取值范围．20．已知函数f（x）=x2﹣(a+1）x﹣4（a+5）,g（x）=ax2﹣x+5，其中a∈R（1)若函数f（x）,g(x）存在相同的零点,求a的值（2）若存在两个正整数m，n，当x0∈（m，n）时，有f(x0）＜0与g（x0)＜0同时成立，求n的最大值及n取最大值时a的取值范围．21．已知函数f(x)=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ)记两个极值点分别为x1，x2,且x1＜x2．已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，求λ的范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计分．[选修4—1：几何证明选讲］22．如图,AB为圆O的直径，P为圆O外一点，过P点作PC⊥AB于C，交圆O于D点，PA交圆O于E点，BE交PC于F点．（Ⅰ)求证：∠P=∠ABE；(Ⅱ)求证：CD2=CF•CP．［选修4—4:坐标系与参数方程］23．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点,Ox轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为(φ为参数)，曲线C2的极坐标方程为：ρ(cosθ+sinθ）=1，若曲线C1与C2相交于A、B两点．（Ⅰ）求|AB｜的值；(Ⅱ）求点M（﹣1,2）到A、B两点的距离之积．［选修4—5：不等式选讲］24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x｜+a．(1)若a=0，求不等式f（x)≥0的解集；（2）若方程f（x)=x有三个不同的解，求实数a的取值范围．2016—2017学年重庆八中高三(上）第一次调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每题5分，共60分。
【全国百强校】重庆市第八中学2017届高三上学期第一次适应性考试理数(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{}(){}|sin ,x R ,|lg A y y x B x y x ==∈==-，则AB =（ ）A ．(]0,1B ．[)1,0-C ．[]1,0-D ．(],1-∞ 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得{}{}|11,|0A y y B x x =-≤≤=<，所以A B ={|10}x x -≤<，故选B ．考点：集合的运算．2.已知向量()()1,,3,2a m b ==-，且()//a b b +，则m =（ ） A ．23-B ．23C ．-8D ．8 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，()4,2a b m +=-，又()//a b b +，所以4232m -=-，解得23m =-，故选A ． 考点：向量的坐标运算．3.设命题2:,ln p x R x x ∀∈>，则p ⌝为（ ）A ．2000,ln x R x x ∃∈>B ．2,ln x R x x ∀∈≤C ．2000,ln x R x x ∃∈≤ D ．2,ln x R x x ∀∈<【答案】C 【解析】4.已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且15914,27a a S +=-=-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ） A ．1 B ．6 C ．7 D ．6或7【解析】试题分析：由等差数列{}n a 的性质，可得15332147a a a a +==-⇒=-，又1999()272a a S +==- 19563a a a ⇒+=-⇒=-，所以53253a a d -==-，所以数列{}n a 的通项公式为3(3)n a a n d =+- 7(3)2213n n =-+-⨯=-，令02130n a n ≤⇒-≤，解得132n ≤，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得n S 取最小值时的n 为6，故选B ． 考点：等差数列的性质．5.已知实数()ln ln ln ,ln ,2a b c πππ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b << 【答案】A 【解析】考点：指数函数与对数函数的性质． 6.若4sin 3cos 0αα-=，则21cos 2sin 2αα+的值为（ ） A ．2516 B ．1 C ．2548 D ．2564【答案】D 【解析】试题分析：由4sin 3cos 0αα-=，则3tan 4α=，所以22221cos sin cos 2sin 2cos 4sin cos ααααααα+=++ 223()1tan 1254314tan 64144αα++===++⨯，故选D ． 考点：三角函数的化简求值．7.ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知()22,21sin a b c b C ==-，则C =（ ）A ．34π B ．3π C ．4π D ．6π【解析】试题分析：由()22,21sin a b c b C ==-，由余弦定理得2222222cos 22a b c b c C ab b +--==()222221sin sin 2b b C C b --==，即tan 1C =，所以4C π=，故选C ． 考点：余弦定理．8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111nn na a a ++=-，若12a =，则{}n a 的前2017项的积为 （ ）A ．1B ．2C ．-6D ．-586 【答案】B【解析】考点：数列的性质．9.记[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.31, 1.32=-=-．设函数()[]f x x x =-，若方程()1log a f x x -=有且仅有3个实数根，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．(]3,4B ．[)3,4C ．[)2,3D ．(]2,3 【答案】B 【解析】考点：方程的根的个数的判断与函数[]x 的应用．【方法点晴】本题主要考查了方程的根的个数以及[]x 的应用，其中解答中涉及到取整函数[]x 的性质和对数函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了数形结合思想和学生的分析问题和解答问题的能力，其中解答中把方程有且仅有3个实数根，转化为函数1[]y x x =+-和函数log a y x =的图象有三个不同的交点，正确作出函数的图象是解答的关键，属于中档试题．10.如图1，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离与O 到M 的距离之和表 示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：在直角三角形OMP 中，1,OP POM x =∠=，则cos OM x =，所以点M 到直线OP 的距离与O 到M 的距离之和表示成x 的函数为()sin cos cos sin cos f x OM x x x x x =+=+1sin 2cos 2x x =+，当2x π=时，()02f π=；当0x =时，()01f =，且最小正周期为2π，故选B ． 考点：函数的实际应用．11.设函数())3lnf x x x =++且)233ln113a a f a ⎛⎫--<- ⎪-⎝⎭，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()3,+∞B ．)+∞ C ．) D ．(()3,+∞【答案】C 【解析】考点：函数的单调性与奇偶性的应用．【方法点晴】本题主要考查了函数的性质及其应用，其中解答中涉及到函数的单调性及其应用、函数的奇偶性及其应用、不等式的求解和函数值的计算，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中，把1)1-转化为()1f -是解答问题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．12.设函数()()x x f x e x ae =-（其中e 为自然对数的底数）恰有两个极值点()1212,x x x x <，则 下列说法不正确的是（ ） A ．102a << B ．110x -<< C ．()1102f x -<< D ．()()120f x f x +> 【答案】D 【解析】考点：利用导数函数的单调性与极值的应用．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值的应用问题，其中解答中涉及到指数函数的图象与性质以及一次函数的图象与性质的应用、不等式组的求解等知识点的综合应用，着重考查了转化与化归思想和数形结合思想的应用，本题的解答中把问题转化为方程()0f x '=的两个不等实数根，利用函数11(0)2x y a a+=≠和2x y e =的图象有两个交点是解答的关键，属于中档试题． 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知{}n a 为等比数列，且13214,,42a a a -成等比数列，则5735a a a a ++的值为____________． 【答案】4 【解析】试题分析：由题意得，设等比数列的公比为q ，因为13214,,42a a a -成等比数列，则 22231211111()44()4422a a a a q a a q =-⨯⇒=-⨯，解得2q =-，所以257354a a q a a +==+． 考点：等比数列．14.已知,m n 为单位向量，其夹角为60°，则2m n -=_________．【解析】试题分析：由题意得222024242cos 6013m n m m n n m n -=-⋅+=-⋅+=，所以2m n -=考点：向量的运算． 15.设点P 为函数()3112f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上任一点，且()f x 在点P 处的切线的倾斜角为α，则 α的取值范围为____________．【答案】,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数在某点处的切线的方程，其中解答中涉及到函数的导数的运算、直线的斜率与倾斜角，以及倾斜角的范围和基本不等式的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答的能力，本题的解答中利用导数，转化为tan α≥是解答的关键，属于中档试题． 16.已知函数()()sin 0,463f x x f f πππωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω=___________．【答案】1 【解析】试题分析：因为,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1(,)4244x πππωωπωπ+∈++，因为()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以周期2T wππ=≥，解得2w ≤，因为()sin()4f x x πω=+的减区间满足322,242k x k k Z ππππωπ+<+≤+∈，取0k =，解得1524w ≤≤，又因为63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4x π=时，函数取得最值，即()sin()144f x ωππ=+=±，所以1w =．考点：三角函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了三角函数的图象与性质，其中解答中涉及到三角函数的周期、三角函数的单调区间、三角函数的最值等知识点综合考查，着重考查了三角函数的图象单调性和最值，以及学生的分析问题和解答问题的能力，本题的解答中把()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，解得1524w ≤≤，再根据4x π=时，函数取得最值，即可求解w 的值，属于中档试题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2322n n nS =+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足121n n n n nb a a a a ++=-+，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：5212n T n <+． 【答案】(1) 1n a n =+；(2)证明见解析． 【解析】∴1n a n =+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分 （2）证明：由（1）知()()()111131231213n b n n n n n n ⎛⎫=+-++=+- ⎪++++⎝⎭，．．．．．．7分∴123111111122243513n n T b b b b n n n ⎛⎫=++++=+-+-++- ⎪++⎝⎭．．．．．．．．．． 10分 111115222232312n n n n ⎛⎫=++--<+ ⎪++⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。
重庆市第八中学2017-2018学年高三上学期第一次适应性考试理科综合物理试题 Word版含答案
2017-2018学年二、选择题：本题共8小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，第14~18题只有一项符合题目要求；第19~12题有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全得得4分，有选错的得0分。
14．下列说法正确的是A．亚里士多德提出物体的运动不需要力来维持B．伽利略用“月—地检验”证实了万有引力定律的普适性C．物体做曲线运动时，速度一定变化D．物体在恒力作用下一定做直线运动15.如图3所示，固定天花板与水平面夹角为θ(0<θ<90°),一木块在水平推力F作用下始终保持静止状态，则下列判断正确的是A．天花板与木块间的弹力可能为零B．天花板与木块间的摩擦力可能为零C．推力F逐渐增大的过程中，木块受天花板的摩擦力一定增大D．推力F逐渐增大的过程中，木块受天花板的摩擦力一定不变16.如图4所示，AB、BC为不同倾角的固定斜面，某物体从AB上的某点静止释放，在BC斜面上速度减为零并静止。
设物体经过B点时无能量损失。
该过程物体运动的总路程为15m，所用总时间为10s，在此过程中，物体速度的最大值为A．1.5m/s B.3m/s C.4m/s D.5m/s17.已知行星Kepler-186f绕恒星Kepler452做匀速圆周运动，其周期为T1；某人造卫星在离地高度等于地球半径的圆形轨道上饶地球做匀速圆周运动，其周期为T2.恒星Kepler452的质量与地球的质量之比为p，行星Kepler-186f饶绕恒星Kepler452运动的轨道半径与地球半径之比为q，则T1、T2之比为A18.直角坐标系xoy 中，A 、B 两点位于x 轴上，坐标如图5所示，C 、D 位于y 轴上。
C 、D 两点各固定一等量正点电荷，另一电量为Q 的负点电荷置于O 点时，B 点处的电场强度恰好为零。
若将该负点电荷移到A 点，则B 点处场强的大小和方向分别为（静电力常量为k ）A ．254kQ l ，沿x 轴正方向 B. 254kQl ，沿x 轴负方向 C.234kQ l ，沿x 轴负方向 D. 234kQl，沿x 轴正方向 19.如图6所示，小球甲从A 点水平抛出的同时小球乙从B 点自由释放，两小球先后经过C 点时速度大小相等、方向间夹角为45°。
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一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.设集合{}(){}
|sin ,x R ,|lg A y y x B x y x ==∈==-，则A
B =（ ）
A ．(]0,1
B ．[)1,0-
C ．[]1,0-
D ．(],1-∞ 2.已知向量()()1,,3,2a m b ==-，且()
//a b b +，则m =（ ） A ．23-
B ．2
3
C ．-8
D ．8 3.设命题2
:,ln p x R x x ∀∈>，则p ⌝为（ ）
A ．2000,ln x R x x ∃∈>
B ．2,ln x R x x ∀∈≤
C ．2
000,ln x R x x ∃∈≤ D ．2
,ln x R x x ∀∈<
4.已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且15914,27a a S +=-=-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ） A ．1 B ．6 C ．7 D ． 6或7
5.已知实数()ln ln ln ,ln ,2
a b c π
ππ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．b a c <<
D ．c a b << 6.若4sin 3cos 0αα-=，则2
1
cos 2sin 2αα
+的值为（ ） A ．
2516 B ．1 C ．2548 D ．2564
7.ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知()2
2
,21sin a b c b C ==-，则C =（ ） A ．
34π B ．3π C ．4π D ．6
π 8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111n
n n
a a a ++=
-，若12a =，则{}n a 的前2017项的积为（ ） A ．1 B ．2 C ．-6 D ．-586 9.记[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.31, 1.32=-=-．设函数()[]f x x x =-，若方程
()1log a f x x -=有且仅有3个实数根，则正实数a 的取值范围为（ ）
A ．(]3,4
B ．[)3,4
C ．[)2,3
D ．(]2,3 10.如图1，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边
为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离与O 到M 的距离之和表 示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11.设函数(
))
3
ln
f x x x =++
且)
233ln
113a a f a ⎛⎫
--<- ⎪-⎝⎭
，则实数a 的取值范围
为（ ）
A ．()3,+∞ B
．
)
+∞ C
．
) D
．(()3,+∞
12.设函数()()
x x f x e x ae =-（其中e 为自然对数的底数）恰有两个极值点()1212,x x x x <，则 下列说法不正确的是（ ） A ．102a <<
B ．110x -<<
C ．()11
02
f x -<< D ．()()120f x f x +> 第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.已知{}n a 为等比数列，且1321
4,
,42a a a -成等比数列，则5
735
a a a a ++的值为____________． 14.已知,m n 为单位向量，其夹角为60°，则2m n -=_________． 15.设点P 为函数()3112f x x x ⎛⎫
=
- ⎪⎝⎭
图象上任一点，且()f x 在点P 处的切线的倾斜角为α，则 α的取值范围为____________．
16.已知函数()()sin 0,463f x x f f πππωω⎛⎫
⎛
⎫
⎛⎫=+
>= ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
⎝⎭⎝⎭，且()f x 在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，则
ω=___________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2322
n n n
S =+
． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足121n n n n n
b a a a a ++=-+，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：5
212
n T n <+
．
18.（本小题满分12分）
如图2，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，
,//,222,AB AD AB CD CD AB AD PB ⊥===⊥底面ABCD ，E 是PC 上的点．
（1）求证：BD ⊥平面PBC ；
（2）设1PB >，若E 是PC 的中点，且直线PD 与平面EDB
，求二面角 P BD E --的余弦值．
19.（本小题满分12分）
某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格出售，如果 当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理．现需决策此蛋糕店每天应该制作几个生日蛋糕，为此搜集并整理 了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图3所示的柱状图，以100天记录的各需求量的频率 作为每天各需求量发生的概率．
（1）若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕，
①求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：个，n N ∈）的函数解析式； ②在当天的利润不低于750元的条件下，求当天需求量不低于18个的概率．
（2）若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的期望值为决定依据，判断 应该制作16个是17个？
20.（本小题满分12分）
设椭圆E 的方程为()22
211x y a a
+=>，O 为坐标原点，直线l 与椭圆E 交于点,,A B M 为线段AB 的中
点．
（1）若,A B 分别为E 的左顶点和上顶点，且OM 的斜率为1
2
-，求E 的标准方程； （2）若2a =，且1OM =，求AOB ∆面积的最大值．
21.（本小题满分12分）
设函数()()()()22ln 1,1x x
f x x
g x a a R x
+=+=∈+．
（1）若函数()()()h x f x g x =-在定义域内单调递减，求a 的取值范围；
（2）设*
n N ∈，证明：14
22212111n e n n n ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
（e 为自然对数的底数）
．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请
写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图4，在ABC ∆中，090ABC ∠=，以AB 为直径的圆交AC 于点E ，过点E 作圆O 的切线交BC 于 点F ．
（1）求证：2BC EF =；
（2）若3CE OA =，求EFB ∠的大小．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
将圆2
2
1x y +=上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线C ． （1）写出曲线C 的参数方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴坐标建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为
sin 4πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
，若,P Q 分别为曲线C 和直线l 上的一点，求,P Q 的最近距离．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()12f x x x a =--+．
（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；
（2）若不等式()0f x >，在[]2,3x ∈上恒成立，求a 的取值范围．
：。