新人教B版高中数学(选修22)1.4.2《微积分基本定理》word教案
2018版高中数学人教B版选修2-2学案：1.4.2 微积分基本定理(一)
1.4.2 微积分基本定理(一)明目标、知重点 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．1．微积分基本定理如果F ′(x )＝f (x )，且f (x )在[a ，b ]上可积，则ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则 (1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则ʃb a f (x )d x ＝S 上． (2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则ʃb a f (x )d x ＝－S 下．(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则ʃb a f (x )d x ＝S 上－S 下，若S上＝S 下，则ʃb a f (x )d x ＝0.[情境导学]从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f (x )＝x 3非常简单，但直接用定积分的定义计算ʃ10x 3d x 的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分？另外，我们已经学习了两个重要的概念——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系？我们能否利用这种联系求定积分？探究点一 微积分基本定理思考1 如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y ＝y (t )，并且y (t )有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度v (t )＝y ′(t )．设这个物体在时间段[a ，b ]内的位移为s ，你能分别用y (t )，v (t )表示s 吗？答 由物体的运动规律是y ＝y (t )知：s ＝y (b )－y (a )，通过求定积分的几何意义，可得s ＝ʃb a v (t )d t ＝ʃba y ′(t )d t ， 所以ʃb a v (t )d t ＝ʃb a y ′(t )d t ＝y (b )－y (a )．其中v (t )＝y ′(t )．小结 (1)如果f (x )在区间[a ，b ]上可积，且F ′(x )＝f (x )，则ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理．(2)运用微积分基本定理求定积分ʃb a f (x )d x 很方便，其关键是准确写出满足F ′(x )＝f (x )的F (x )． 思考2 对一个连续函数f (x )来说，是否存在唯一的F (x )，使F ′(x )＝f (x )？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？答 不唯一，根据导数的性质，若F ′(x )＝f (x )，则对任意实数c ，[F (x )＋c ]′＝F ′(x )＋c ′＝f (x )．不影响，因为ʃb a f (x )d x ＝[F (b )＋c ]－[F (a )＋c ]＝F (b )－F (a )．例1 计算下列定积分：(1)ʃ211x d x ；(2)ʃ31(2x －1x 2)d x ；(3)ʃ0－π(cos x －e x )d x . 解 (1)因为(ln x )′＝1x，所以ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln2－ln1＝ln2. (2)因为(x 2)′＝2x ，(1x )′＝－1x 2，所以ʃ31(2x －1x 2)d x ＝ʃ312x d x －ʃ311x 2d x ＝x 2|31＋1x |31＝(9－1)＋(13－1)＝223. (3)ʃ0－π(cos x －e x )d x ＝ʃ0－πcos x d x －ʃ0－πe x d x＝sin x |0－π－e x |0－π＝1eπ－1. 反思与感悟 求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限． 跟踪训练1 计算下列定积分： (1)⎠⎛12(x －1)5d x ；()()3202sin cos d x x x π⎰；(3)⎠⎛121x (x ＋1)d x .解 (1)因为⎣⎡⎦⎤16(x －1)6′＝(x －1)5， 所以⎠⎛12(x －1)5d x ＝⎪⎪16(x －1)621 ＝16×(2－1)6－16×(1－1)6＝16. (2)因为⎝⎛⎭⎫14sin 4x ′＝sin 3x cos x ， 所以()320sin cos d x x x π⎰＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫14sin 4x 20π＝14sin 4π2－14sin 40＝14. (3)令f (x )＝1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1，取F (x )＝ln x －ln(x ＋1)＝ln xx ＋1，则F ′(x )＝1x －1x ＋1.所以⎠⎛121x (x ＋1)d x ＝⎠⎛12(1x －1x ＋1)d x＝⎪⎪ln x x ＋121＝ln 43. 探究点二 分段函数的定积分例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4.先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分．解 图象如图．4242022()sin 1(1)f x dx dx dx x dx ππ=++-⎰⎰⎰⎰22420221(cos )()2x x x x ππ=-++-＝1＋(2－π2)＋(4－0)＝7－π2.反思与感悟 求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．跟踪训练2 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，cos x －1，x >0，求ʃ1－1f (x )d x .解 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ10(cos x －1)d x＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|10＝sin1－23. 探究点三 定积分的应用 例3 计算下列定积分：ʃπ0sin x d x ，ʃ2ππsin x d x ，ʃ2π0sin x d x .由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．解 因为(－cos x )′＝sin x ，所以ʃπ0sin x d x ＝(－cos x )|π0＝(－cosπ)－(－cos0)＝2；ʃ2ππsin x d x ＝(－cos x )|2ππ＝(－cos2π)－(－cosπ)＝－2；ʃ2π0sin x d x ＝(－cos x )|2π0＝(－cos2π)－(－cos0)＝0.可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x 轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x 轴上方曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积．反思与感悟 求平面图形面积的步骤：(1)画函数的图象，联立方程组求出曲线的交点坐标． (2)将曲边形的面积转化为曲边梯形的面积．(3)确定被积函数和积分区间，计算定积分，求出面积．跟踪训练3 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围图形的面积(如图所示)．解 所求面积为 S ＝ʃ54π－π2|sin x |d x＝－ʃ0－π2sin x d x ＋ʃπ0sin x d x －ʃ54ππsin x d x＝1＋2＋(1－22)＝4－22.1．定积分ʃ10(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1答案 C解析 ʃ10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝e.故选C.2．若ʃa 1(2x ＋1x )d x ＝3＋ln2，则a 的值是( ) A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 D解析 ʃa 1(2x ＋1x )d x ＝ʃa 12x d x ＋ʃa 11xd x ＝x 2|a 1＋ln x |a 1＝a 2－1＋ln a＝3＋ln2， 解得a ＝2.3．ʃ20(x 2－23x )d x ＝________. 答案 43解析 ʃ20(x 2－23x )d x ＝ʃ20x 2d x －ʃ2023x d x ＝x 33|20－x 23|20＝83－43＝43. 4．已知f (x )＝错误!，计算ʃ错误!f (x )d x . 解202()()()f x dx f x dx f x dx ππππ=+⎰⎰⎰202(42)cos ,x dx dx πππ=-π+⎰⎰取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π； 取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x . 所以22220221(42)cos (22)sin 1,2x dx dx x x x πππ-πππ-π+=π+=-π-⎰⎰ 即ʃπ0f (x )d x ＝－12π2－1. [呈重点、现规律]1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数．。
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数学①必修第一章集合1.1 集合与集合的表示方法1.1.1 集合的概念1.1.2 集合的表示方法1.2 集合之间的关系与运算1.2.1 集合之间的关系1.2.2 集合的运算第二章函数2.1 函数2.1.1 函数2.1.2 函数的表示方法2.1.3 函数的单调性2.1.4 函数的奇偶性2.1.5 用计算机作函数的图像（选学）2.2 一次函数和二次函数2.2.1 一次函数的性质和图像2.2.2 二次函数的性质和图像2.2.3 待定系数法2.3 函数的应用（I）2.4 函数与方程2.4.1 函数的零点2.4.2 求函数零点近似解的一种近似方法——二分法第三章基本初等函数（I）3.1 指数与指数函数3.1.1 有理指数幂及其运算3.1.2 指数函数3.2 对数与对数函数3.2.1 对数及其运算3.2.2 对数函数3.2.3 指数函数与对数函数的关系3.3 幂函数3.2 函数的应用（II）数学②必修第一章立体几何初步1.1 空间几何体1.1.1 构成空间几何体的基本元素1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4 投影与直观图1.1.5 三视图1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7 柱、锥、台和球的体积1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质与推论1.2.2 空间中的平行关系1.2.3 空间中的垂直关系第二章平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式2.2 直线的方程2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率2.2.2 直线方程的集中形式2.2.3 两条直线的位置关系2.2.4 点到直线的距离2.3 圆的方程2.3.1 圆的标准方程2.3.2 圆的一般方程2.3.3 直线与圆的位置关系2.3.4 圆与圆的位置关系2.4 空间直角坐标系2.4.1 空间直角坐标系2.4.2 空间两点的距离公式数学③必修第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念1.1.2 程序框图1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2 基本算法语句1.2.1 赋值、输入和输出语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句1.3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.1.4 数据的收集2.2 用样本估计总体2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3 变量的相关性2.3.1 变量间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关第三章概率3.1 事件与概率3.1.1 随机现象3.1.2 事件与基本事件空间3.1.3 频率与概率3.1.4 概率的加法公式3.2 古典概型3.2.1 古典概型3.2.2 概率的一般加法公式（选学）3.3 随机数的含义与应用3.3.1 几何概型3.3.2 随机数的含义与应用3.4 概率的应用数学④必修第一章基本初等函数（II）1.1 任意角的概念与弧度制1.1.1 角的概念的推广1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1.2 任意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义1.2.2 单位圆与三角函数线1.2.3 同角三角函数的基本关系式1.2.4 诱导公式1.3 三角函数的图像与性质1.3.1 正弦函数的图像与性质1.3.2 余弦函数、正切函数的图像与性质1.3.3 已知三角函数值求角第二章平面向量2.1 向量的线性运算2.1.1 向量的概念2.1.2 向量的加法2.1.3 向量的减法2.1.4 向量的数乘2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2 向量的分解与向量的坐标运算2.2.1 平面向量基本定理2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件2.3 平面向量的数量积2.3.1 向量数量积的物理背景与定义2.3.2 向量数量积的运算律2.3.2 向量数量积的坐标运算与度量公式2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用2.4.2 向量在物理中的应用第三章三角恒等变换3.1 和角公式3.1.1 两角和与差的余弦3.1.2 两角和与差的正弦3.1.3 两角和与差的正切3.2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式3.2.2 半角的正弦、余弦和正切3.3 三角函数的积化和差与和差化积数学⑤必修第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1.1.2 余弦定理1.2 应用举例第二章数列2.1 数列2.1.1 数列2.1.2 数列的递推公式（选学）2.2 等差数列2.2.1 等差数列2.2.2 等差数列的前n项和2.3 等比数列2.3.1 等比数列2.3.2 等比数列的前n项和第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系与不等式3.1.2 不等式的性质3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法3.4 不等式的实际应用3.5 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1 二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2 简单线性规划数学选修1-1第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.1.1 命题1.1.2 量词1.2 基本逻辑关联词1.2.1 “且”与“或”1.2.2 “非”（否定）1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充分条件、必要条件1.3.2 命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程2.1.2 椭圆的几何性质2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程2.2.2 双曲线的几何性质2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程2.3.2 抛物线的几何性质第三章导数及其应用3.1 导数3.1.1 函数的平均变化率3.1.2 瞬时速度与导数3.1.3 导数的几何意义3.2 导数的运算3.2.1 常数与幂函数的导数3.2.2 导数公式表3.2.3 导数的四则运算法则3.3 导数的应用3.3.1 利用导数判断函数的单调性3.3.2 利用导数研究函数的极值3.3.3 导数的实际应用数学选修1-2第一章统计案例1.1 独立性检验1.2 回归分析第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的引入3.1.1 实数系3.1.2 复数的引入3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法和减法3.2.2 复数的乘法和除法第四章框图4.1 流程图4.2 结构图数学选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.1.1 命题1.1.2 量词1.2 基本逻辑关联词1.2.1 “且”与“或”1.2.2 “非”（否定）1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充分条件、必要条件1.3.2 命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程的概念2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质2.2 椭圆2.2.1 椭圆的标准方程2.2.2 椭圆的几何性质2.3 双曲线2.3.1 双曲线的标准方程2.3.2 双曲线的几何性质2.4 抛物线2.4.1 抛物线的标准方程2.4.2 抛物线的几何性质2.5 直线与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算3.1.2 空间向量的基本定理3.1.3 空间向量的数量积3.1.4 空间向量的直角坐标运算3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示3.2.3 直线与平面的夹角3.2.4 二面角及其度量3.2.5 距离（选学）数学选修2-2第一章导数及其应用1.1 导数1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数1.1.3 导数的几何意义1.2 导数的运算1.2.1 常数函数与幂函数的导数1.2.2 导数公式表及数学软件的应用1.2.3 导数的四则运算法则1.3 导数的应用1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4 定积分与微积分基本定理1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法 2.3.1 数学归纳法2.3.2 数学归纳法应用举例第三章数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 实数系3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法数学选修2-3第一章计数原理1.1 基本计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列1.2.2 组合1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理1.3.2 杨辉三角第二章概率2.1 离散型随机变量及其分布列2.1.1 离散型随机变量2.1.2 离散型随机变量的分布列2.1.3 超几何分布2.2 条件概率与事件的独立性2.2.1 条件概率2.2.2 事件的独立性2.2.3 独立重复试验与二项分布2.3 随机变量的数字特征2.3.1 离散型随机变量的数学期望2.3.2 离散型随机变量的方差2.4 正态分布第三章统计案例3.1 独立性检验3.2 回归分析数学选修4-5不等式选讲第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.1.1 不等式的基本性质1.1.2 一元一次不等式和一元二次不等式的解法1.2 基本不等式1.3 绝对值不等式的解法1.3.1 |ax+b|≤c、|ax+b|≥c型不等式的解法1.3.2 |x-a|+|x-b|≥c、|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法1.4 绝对值的三角不等式1.5 不等式证明的基本方法1.5.1 比较法1.5.2 综合法和分析法1.5.3 反证法和放缩法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1 柯西不等式2.1.1 平面上的柯西不等式的代数和向量形式2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配置方法的证明2.2 排序不等式2.3 平均值不等式（选学）2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1 数学归纳法原理3.1.1 数学归纳法原理3.1.2 数学归纳法应用举例3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式3.2.1 用数学归纳法证明不等式3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式。
4.2微积分基本定理 教案(高中数学选修2-2 北师大版)
§2 微积分基本定理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)引导学生发现S＝S(t)与v＝v(t)在[a，b]上的位移的关系，推导出微积分基本定理；(2)简单运用微积分基本定理解答求定积分的问题．2．过程与方法通过对变速直线运动物体位移问题的探究，发现微积分基本定理这一过程，培养学生发现数学规律的思维方法与能力；通过对定理的应用，培养学生独立解决问题的能力，体会用联系的观点认识问题．3．情感、态度与价值观(1)通过对微积分基本定理的探究学习，经历数学的探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物的规律，培养探索精神和创新意识．(2)通过本节的运用和实践，体会导数与定积分的关系，以及数学的应用价值．●重点难点重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单定积分．难点：微积分基本定理的含义．教学时，引导学生分别用物体运动规律S＝S(t)和速度函数v＝v(t)表示出变速直线运动b 物体在时间段[a，b]上的位移S.然后从导数及定积分两个方面分析S(t)与v(t)的关系及S与⎠⎛a v(t)d t的关系，从而引导学生发现定理，突破难点．通过微积分基本定理求定积分，让学生在应用过程中，更深入地了解定理，以强化重点．(教师用书独具)●教学建议本节内容安排在定积分的概念之后，是对定积分的应用；同时，也是对导数与定积分的关系的探究与延伸．这一过程中，学生既经历了微积分基本定理的发现过程，又直观了解了微积分基本定理的含义．因此本节课宜采取发现式课堂教学模式．即在教师精心设计的问题的引导下，通过学生的作答、交流、探究，发现定理、应用定理．●教学流程创设情境，引出问题：从两个角度求物体走过的路程.⇒引导学生结合导数、定积分的定义求解，通过观察、比较、分析得出规律.⇒通过引导学生回答所提问题，将规律推广，得到定理.⇒运用定理解答例1及其变式训练.⇒通过例2及其互动探究的解答巩固定理，提高性质的运用能力.⇒探究定理的逆向应用，并应用其解决参数的计算问题，完成例3及变式训练.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解微积分基本定理的含义．(难点) 2.会利用微积分基本定理求函数的定积分．(重点)微积分基本定理1．物体走过的路程S 与时间t 的函数为S (t )＝t 2，试求物体从t ＝1到t ＝2走过的路程S .【提示】 S ＝S (2)－S (1)＝3.2．求该物体在t 时刻的瞬时速度v (t )，计算v (t )在[1,2]上的定积分并说明其物理意义． 【提示】 v (t )＝S ′(t )＝2t ，⎠⎛12v (t )d t ＝3，表示物体从t ＝1到t ＝2走过的路程．3．比较1、2中所得的结论，你能发现什么规律？并加以推广． 【提示】 ⎛12v (t )＝S (2)－S (1)，⎛ab v (t )d t ＝S (b )－S (a ).定理内容符号表示 作用 如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫作微积分基本定理，定理中的式子称为牛顿－莱布尼茨公式．通常称F (x )是f (x )的一个原函数⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a ) (1)建立了积分与导数间的密切联系(2)提供了计算定积分的一种有效方法利用微积分基本定理求定积分(1)⎠⎛054x d x ；(2)⎠⎛05(x 2－2x )d x ；(3)⎠⎛12(x －1x )d x ；(4)⎠⎛121x2d x .【思路探究】 先确定被积函数的一个原函数，然后利用微积分基本定理求出定积分．【自主解答】 (1)由于2x 2的导函数是4x ，根据微积分基本定理可得⎠⎛054x d x ＝2x 2|50＝2×52－2×02＝50.(2)由于13x 3－x 2的导函数是x 2－2x ，根据微积分基本定理可得⎠⎛05(x 2－2x )d x ＝(13x 3－x 2)|50＝(13×53－52)－(13×03－02)＝503. (3)由于12x 2－ln x 的导函数是x －1x ，根据微积分基本定理可得⎠⎛12(x －1x )d x ＝(12x 2－ln x )|21＝(12×22－ln 2)－(12×12－ln 1)＝32－ln 2. (4)由于－1x 的导函数是1x 2，根据微积分基本定理可得⎠⎛121x2d x ＝－1x |21＝－(12－11)＝12.1．本题的关键是寻求函数f (x )的一个原函数F (x )．2．应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数．求下列定积分的值．(1)⎠⎛01(2x ＋3)d x ；(2)⎠⎛1－2(1－t 3)d t ；(3)⎠⎛12(t ＋2)d x ；(4)⎠⎛0－π(cos x ＋e x )d x . 【解】 (1)∵(x 2＋3x )′＝2x ＋3， ∴⎠⎛01(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )⎪⎪⎪1＝1＋3＝4. (2)∵(t －t 44)′＝1－t 3，∴⎠⎛1－2(1－t 3)d t ＝(t －t 44)⎪⎪⎪1－2＝1－14－[－2－(－2)44]＝7－14＝274.(3)∵(tx ＋2x )′＝t ＋2，∴⎠⎛12(t ＋2)d x ＝(tx ＋2x )⎪⎪⎪21＝(2t ＋4)－(t ＋2)＝t ＋2. (4)⎠⎛0－π(cos x ＋e x )d x ＝⎠⎛0－πcos x d x ＋⎠⎛0－πe x d x＝sin x ⎪⎪0－＋e x ⎪⎪－＝1－1e π.(1)∫π20sin 2 x2d x ；(2)⎠⎛49x (1＋x )d x .【思路探究】 化简被积函数→转化为基本函数的积分→求原函数→求定积分 【自主解答】 (1)原式＝∫π2012(1－cos x )d x ＝12∫π20(1－cos x )d x ＝12∫π201d x －12∫π20cos x d x ＝x 2|π20－sin x 2|π20 ＝π－24.(2)原式＝⎠⎛49(x ＋x )d x ＝⎠⎛49x 12d x ＋⎠⎛49x d x＝23x 32|94＋12x 2|94＝2716.1．本题(1)(2)中的f (x )较为复杂，直接求其原函数不易，故而先化简f (x )再求定积分． 2．求函数f (x )在某个区间上的定积分，要正确运用导数运算求原函数，另外要灵活运用定积分的性质，这样会使计算简便．将本例(1)中“sin 2x 2”改为“(cos x 2－sin x 2)2”，即求∫π20(cos x 2－sin x2)2d x .【解】 ∫π20(cos x 2－sin x 2)2d x ＝∫π20(1－sin x )d x＝∫π201d x ＋∫π20(－sin x )d x ＝π2＋cos x |π20＝π2＋(cos π－cos 0)＝π－1.(1)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛0＝f (x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值．(2)已知f (x )是一次函数，其图像过点(3,4)，且⎠⎛01f (x )d x＝1，求f (x )的解析式． 【思路探究】 (1)先利用微积分基本定理求出定积分⎠⎛01f (x )d x ，然后列出关于x 0的方程，求出x 0的值．(2)设出f (x )的解析式，再根据已知条件列方程组求解． 【自主解答】 (1)因为f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)， 且(a3x 3＋cx )′＝ax 2＋c ， 所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(a 3x 3＋cx )|10＝a 3＋c ＝ax 20＋c ， 解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)． (2)依题意设一次函数f (x )的解析式为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)． ∵函数图像过点(3,4)，∴3k ＋b ＝4.①∵⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝(k 2x 2＋bx )|10＝k 2＋b ，∴k2＋b ＝1.② 由①②得，k ＝65，b ＝25，∴f (x )＝65x ＋25.1．本题利用函数的性质与微积分基本定理转化为方程求解参数．2．利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，其次要注意积分下限小于积分上限．已知⎠⎛0k(2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于( )A ．0B ．1C ．0或1D ．以上都不对【解析】 ∵⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)|k0＝k 2－k 3， ∴k 2－k 3＝0，解得k ＝1或k ＝0(舍去)，故选B. 【答案】 B数形结合思想在定积分计算中的应用(12分)已知函数f (x )为偶函数，且x ≥0时，f (x )＝4x －x 2，求⎠⎛4－4f (x )d x .【思路点拨】 画出f (x )的图像，利用定积分的几何意义求解． 【规范解答】 当x ≥0时，函数y ＝4x －x 2可化为y 2＝4x －x 2， 即(x －2)2＋y 2＝4(y ≥0).2分它表示以点(2,0)为圆心，2为半径的在x 轴及其上方的圆，4分 其面积为2π，即⎠⎛04f (x )d x ＝2π.6分又∵f (x )为偶函数，∴f (x )的图像关于y 轴对称， ∴⎠⎛0－4f (x )d x ＝⎠⎛04f (x )d x .8分∴⎠⎛4－4f (x )d x ＝⎠⎛0－4f (x )d x ＋⎠⎛04f (x )d x＝2⎠⎛04f (x )d x ＝4π.12分求函数的定积分一般有两种方法：一是当被积函数的原函数容易求出时，可求出原函数，用微积分基本定理求解；二是当被积函数的原函数不易被求出时，可考虑画出被积函数的图像，用定积分的几何意义求解，有时可结合定积分的运算性质．1．用微积分基本定理求定积分⎠⎛ab f (x )d x ，要将f (x )看作导函数，还原得到其原函数F (x )．2．对于复合函数求定积分，如分段函数、带绝对值函数、复杂的三角函数等，要先运用相关公式化简，再用积分性质分解为常见函数求定积分．1．下列式子正确的是( ) A.⎠⎛ab f(x)d x ＝f(b)－f(a)B .⎠⎛ab f (x )d x ＝f (b )－f (a )＋c。
高中数学人教B版选修2-2精品课件 1.4.2微积分基本定理
1 1 2 2 2 2 (3) x－x ＋ xdx＝ xdx－ x dx＋ dx x
2 1
2
1
1
1
3 x2 x 3 7 5 2 2 2 ＝ 1 － 1 ＋lnx1 ＝ － ＋ln2＝ln2－ . 2 3 2 3 6
2 2 2 2 2 2 (x ＋2x＋1)dx＝ x dx＋ 2xdx＋ 1dx [解析] (1)
1 1 1 1
x3 19 2 2 2 2 ＝ 1 ＋x 1 ＋x1 ＝ . 3 3
π π π (sinx－cosx)dx＝ sinxdx－ cosxdx (2)
(4)
0 －π
(cosx＋ex)dx＝
0 － π
0 －π
cosxdx＋
0 －π
exdx
＝sinx
＋e － π
0 x
1 ＝1－ π. e
归纳总结
求解 f(x)在区间[a，b]上的定积分，要正确利用定积分的性 质，把被积函数分解成简单基本初等函数的导函数的形式，再 利用微积分基本定理求解．在比较熟练的情况下，也可根据求 导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，直接找出原函数．
2 1
问题探究
探究点二 用定积分求平面图形的面积
例2、求y＝－x2与y＝x－2围成图形的面积S.
[解析]
y＝x－2 如图，由 2 y ＝－ x
得交点 A(－2，－4)，B(1，－1)． ∴围成图形的面积
1 2 S＝ [－x －(x－2)]dx
-2
4.定积分的几何意义 (1)当 f(x )≥0 时, 定积分 f(x)dx 表示由直线 y=f (x)所围成的曲边梯形的面积(图 1). 和曲线
【人教B版】高中数学选修2-2学案全集(全册 共65页 附答案)
【人教B版】高中数学选修2-2学案全集（全册共65页附答案）目录1.2 导数的运算1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理2.1.1 合情推理2．1.2 演绎推理2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法1.2 导数的运算1．掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数． 2．熟练运用导数的运算法则．3．正确地对复合函数进行求导，合理地选择中间变量，认清是哪个变量对哪个变量求导数．1．基本初等函数的导数公式表y ＝f (x ) y′＝f′(x )(1)求导公式在以后的求导数中可直接运用，不必利用导数的定义去求． (2)幂函数的求导规律：求导幂减1，原幂作系数．【做一做1－1】给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y′＝133x ；③若y ＝1x2，则y′＝－2x －3；④若y ＝f (x )＝3x ，则f′(1)＝3；⑤若y ＝cos x ，则y′＝sin x ；⑥若y ＝sin x ，则y′＝cos x ．其中正确的个数是( )．A ．3B ．4C ．5D ．6【做一做1－2】下列结论中正确的是( )．A ．(log a x )′＝a xB ．(log a x )′＝ln 10xC ．(5x )′＝5xD ．(5x )′＝5xln 5 2．导数的四则运算法则(1)函数和(或差)的求导法则： 设f (x )，g (x )是可导的，则(f (x )±g (x ))′＝__________，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的____________．(2)函数积的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，则[f (x )g (x )]′＝____________，即两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．由上述法则立即可以得出[Cf (x )]′＝Cf′(x )，即常数与函数之积的导数，等于常数乘以____________．(3)函数的商的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，g (x )≠0，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝________________.(1)比较：[f (x )g (x )]′＝f′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2(x )，注意差异，加以区分．(2)f (x )g (x )≠f ′(x )g ′(x )，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′≠g (x )f ′(x )＋f (x )g ′(x )g 2(x ).(3)两函数的和、差、积、商的求导法则，称为可导函数四则运算的求导法则．(4)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导． 若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．例如，设f (x )＝sin x ＋1x ，g (x )＝cos x －1x，则f (x )，g (x )在x ＝0处均不可导，但它们的和f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos x 在x ＝0处可导． 【做一做2】下列求导运算正确的是( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x·log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 3．复合函数的求导法则对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f [g (x )]．如函数y ＝(2x ＋3)2是由y ＝u 2和u ＝2x ＋3复合而成的．复合函数y ＝f [g (x )]的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为 y′x ＝y′u ·u ′x .即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．对于复合函数的求导应注意以下几点：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的，而其中要特别注意的是中间变量的导数．如(sin 2x )′＝2cos 2x ，而(sin 2x )′≠cos 2x .(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数．如求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的导数，设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y′x ＝y′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写． 【做一做3】函数y ＝ln(2x ＋3)的导数为________．1．如何看待导数公式与用定义法求导数之间的关系？剖析：导数的定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限定义的，因此求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，利用导数公式就可以比较简捷地求出函数的导数．2．导数公式表中y′表示什么？剖析：y′是f′(x )的另一种写法，两者都表示函数y ＝f (x )的导数． 3．如何理解y ＝C (C 是常数)，y′＝0；y ＝x ，y′＝1?剖析：因为y ＝C 的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为本身，所以切线的斜率都是0；因为y ＝x 的图象是斜率为1的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率为1.题型一 利用公式求函数的导数 【例题1】求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x2(1－2cos 2x4)．分析：熟练掌握常用函数的求导公式．运用有关的性质或公式将问题转化为基本初等函数后再求导数．反思：通过恒等变形把函数先化为基本初等函数，再应用公式求导． 题型二 利用四则运算法则求导 【例题2】求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6； (2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1.分析：仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形，然后进行求导．反思：对于函数求导问题，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，必须注意变换的等价性，避免不必要的运算错误．题型三 求复合函数的导数 【例题3】求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋1)n(x ∈N ＋)；(2)y ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 5；(3)y ＝sin 3(4x ＋3)；(4)y ＝x cos x 2.分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，其中还应特别注意中间变量的关系，求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．反思：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量．易犯错误的地方是混淆变量，或忘记中间变量对自变量求导．复合函数的求导法则，通常称为链条法则，因为它像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环．题型四 易错辨析易错点：常见函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则等，记忆不牢或不能够灵活运用，所以在求导时容易出错．牢记公式、灵活应用法则是避免求导出错的关键．【例题4】求函数y ＝12(e x ＋e －x)的导数．错解：y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x ＋e －x )′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x ＋e －x)．1下列各组函数中导数相同的是( )． A ．f (x )＝1与f (x )＝xB ．f (x )＝sin x 与f (x )＝cos xC ．f (x )＝1－cos x 与f (x )＝－sin xD ．f (x )＝x －1与f (x )＝x ＋12已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f′(－1)＝4，则a 的值为( )． A ．193 B ．103 C ．133 D ．1633函数y ＝cos xx的导数是( )．A ．－sin xx2 B ．－sin xC ．－x sin x ＋cos x x 2D ．－x cos x ＋cos xx 24设y ＝1＋a ＋1－x (a 是常数)，则y′等于( )．A ．121＋a ＋121－xB ．121－xC ．121＋a －121－xD ．－121－x5已知抛物线y ＝ax 2＋bx －5(a ≠0)，在点(2,1)处的切线方程为y ＝－3x ＋7，则a ＝________，b ＝________.答案：基础知识·梳理1．nxn －1a xln a1x ln acos x －sin x 【做一做1－1】B 由求导公式可知，①③④⑥正确． 【做一做1－2】D2．(1)f′(x )±g′(x ) 导数和(或差) (2)f′(x )g (x )＋f (x )g′(x ) 函数的导数 (3)fx g x －f x gxg 2x【做一做2】B 由求导公式知，B 选项正确.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x′＝x ′＋(x －1)′＝1－x －2＝1－1x2.(3x )′＝3x ln 3，(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x . 【做一做3】y′＝22x ＋3函数y ＝ln(2x ＋3)可看作函数y ＝ln u 和u ＝2x ＋3的复合函数，于是y′x ＝y′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ×2＝22x ＋3.典型例题·领悟【例题1】解：(1)y′＝(x x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32′＝32x 32－1＝32x . (2)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x5.(3)y′＝(5x 3)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2. (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y′＝(log 2x )′＝1x ln 2. (5)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y′＝cos x .【例题2】解：(1)y′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－3(x 2)′－5x ′－6′＝4x 3－6x －5.(2)y′＝(x ·tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·sin x cos x ′＝x ·sin x ′·cos x －x ·sin x cos x ′cos 2x＝sin x ＋x ·cos x ·cos x ＋x ·sin 2xcos 2x＝sin x ·cos x ＋x ·cos 2x ＋x ·sin 2x cos 2x ＝12sin 2x ＋x cos 2x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin 2x ＋2x 2cos 2x . (3)方法1：y′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11.方法2：y ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， y′＝3x 2＋12x ＋11.(4)方法1：y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝x －1′x ＋1－x －1x ＋1′x ＋12＝x ＋1－x －1x ＋12＝2x ＋12.方法2：y ＝1－2x ＋1， y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′＝－2′x ＋1－2x ＋1′x ＋12＝2x ＋12.【例题3】解：(1)y′＝[(2x ＋1)n]′＝n (2x ＋1)n －1·(2x ＋1)′＝2n (2x ＋1)n －1.(2)y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 5′＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 4·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ′＝5x4x ＋16.(3)y′＝[sin 3(4x ＋3)]′＝3sin 2(4x ＋3)[sin(4x ＋3)]′＝3sin 2(4x ＋3)·cos(4x ＋3)·(4x ＋3)′＝12sin 2(4x ＋3)cos(4x ＋3)．(4)y′＝(x cos x 2)′＝x ′·cos x 2＋(cos x 2)′·x＝cos x 2－2x 2sin x 2.【例题4】错因分析：y ＝e －x 的求导错误，y ＝e －x 由y ＝e u与u ＝－x 复合而成，因此其导数应按复合函数的求导法则进行．正解：令y ＝e u ，u ＝－x ，则y′x ＝y′u ·u ′x ，所以(e －x )′＝(e u )′(－x )′＝e －x×(－1)＝－e －x，所以y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋e －x ′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x －e －x )． 随堂练习·巩固1．D2．B f′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103.3．C y′＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝xx －cos x ·x ′x ＝－x sin x －cos xx ＝－x sin x ＋cos xx 2.4．D 由x 是自变量，a 是常数，可知(1＋a )′＝0，所以y′＝(1＋a )′＋(1－x )′＝[(1－x )12]′＝12(1－x )－12·(1－x )′＝－121－x .5．－3 9 ∵y′＝2ax ＋b ，∴y′|x ＝2＝4a ＋b ，∴方程y －1＝(4a ＋b )(x －2)与方程y ＝－3x ＋7相同，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，1－a ＋b ＝7，即4a ＋b ＝－3，又点(2,1)在y ＝ax 2＋bx －5上， ∴4a ＋2b －5＝1.即4a ＋2b ＝6.由⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，4a ＋2b ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝9.1.3.1 利用导数判断函数的单调性1．理解可导函数单调性与其导数的关系，会用导数确定函数的单调性． 2．通过比较体会用导数求函数单调区间的优越性．用函数的导数判定函数单调性的法则1．如果在(a ，b )内，f′(x )＞0，则f (x )在此区间是______，(a ，b )为f (x )的单调增区间；2．如果在(a ，b )内，f′(x )＜0，则f (x )在此区间是______，(a ，b )为f (x )的单调减区间．(1)在(a ，b )内，f′(x )＞0(＜0)只是f (x )在此区间是增(减)函数的充分条件而非必要条件．(2)函数f (x )在(a ，b )内是增(减)函数的充要条件是在(a ，b )内f′(x )≥0(≤0)，并且f′(x )＝0在区间(a ，b )上仅有有限个点使之成立．【做一做1－1】已知函数f (x )＝1＋x －sin x ，x ∈(0,2π)，则函数f (x )( )． A ．在(0,2π)上是增函数 B ．在(0,2π)上是减函数C ．在(0，π)上是增函数，在(π，2π)上是减函数D ．在(0，π)上是减函数，在(π，2π)上是增函数【做一做1－2】设f′(x )是函数f (x )的导数，f′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象最有可能是( )．1．函数的单调性与其导数有何关系？剖析：(1)求函数f(x)的单调增(或减)区间，只需求出其导函数f′(x)＞0(或f′(x)＜0)的区间．(2)若可导函数f(x)在(a，b)内是增函数(或减函数)，则可以得出函数f(x)在(a，b)内的导函数f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．2．利用导数判断函数单调性及单调区间应注意什么？剖析：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题时只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．(2)在对函数划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点．(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．题型一求函数的单调区间【例题1】求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝x ax－x2(a＞0)．分析：先求f′(x)，然后解不等式f′(x)＞0得单调增区间，f′(x)＜0得单调减区间．反思：运用导数讨论函数的单调性需注意如下几点：(1)确定函数的定义域，解决问题时，只能在函数的定义域内，通过讨论函数导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)在对函数划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点；(3)在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件．题型二根据函数的单调性求参数的取值范围【例题2】已知函数f(x)＝2ax－1x2，x∈(0,1]，若f(x)在x∈(0,1]上是增函数，求a 的取值范围．分析：函数f(x)在(0,1]上是增函数，则f′(x)≥0在(0,1]上恒成立．反思：函数f(x)在区间M上是增(减)函数，即f′(x)≥0(≤0)在x∈M上恒成立．题型三证明不等式【例题3】已知x＞1，求证：x＞ln(1＋x)．分析：构造函数f(x)＝x－ln(1＋x)，只要证明在x∈(1，＋∞)上，f(x)＞0恒成立即可．反思：利用可导函数的单调性证明不等式，是不等式证明的一种重要方法，其关键在于构造一个合理的可导函数．此法的一般解题步骤为：令F(x)＝f(x)－g(x)，x≥a，其中F(a)＝f(a)－g(a)＝0，从而将要证明的不等式“当x＞a时，f(x)＞g(x)”转化为证明“当x＞a时，F(x)＞F(a)”．题型四易错辨析易错点：应用导数求函数的单调区间时，往往因忘记定义域的限制作用从而导致求解结果错误，因此在求函数的单调区间时需先求定义域．【例题4】求函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调减区间．错解：f′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ，令4x 2－1x ＜0，得x ＜－12或0＜x ＜12，所以函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.1在区间(a ，b )内f′(x )＞0是f (x )在(a ，b )内为增函数的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2 B ．(π，2π)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π)3若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 为增函数，则一定有( )．A ．b 2－4ac ≤0 B．b 2－3ac ≤0C ．b 2－4ac ≥0 D．b 2－3ac ≥04如果函数f (x )＝－x 3＋bx (b 为常数)在区间(0,1)上是增函数，则b 的取值范围是__________．5函数y ＝－13x 3＋x 2＋5的单调增区间为________，单调减区间为________．答案：基础知识·梳理 1．增函数 2．减函数 【做一做1－1】A f′(x )＝1－cos x ，当x (0,2π)时，f′(x )＞0恒成立，故f (x )在(0,2π)上是增函数．【做一做1－2】C 由f′(x )的图象知，x (－∞，0)或x (2，＋∞)时，f′(x )＞0，故f (x )的增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，同理可得f (x )的减区间为(0,2)．典型例题·领悟【例题1】解：(1)f (x )′＝1－3x 2.令1－3x 2＞0，解得－33＜x ＜33.因此函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33. 令1－3x 2＜0，解得x ＜－33或x ＞33.因此函数f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞. (2)由ax －x 2≥0得0≤x ≤a ，即函数的定义域为[0，a ]．又f (x )′＝ax －x 2＋x ×12(ax －x 2)－12·(a －2x )＝－4x 2＋3ax 2ax －x2， 令f (x )′＞0，得0＜x ＜3a 4；令f (x )′＜0，得x ＜0或x ＞34a ，又x [0，a ]，∴函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a 4，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 4，a .【例题2】解：由题意，得f′(x )＝2a ＋2x3.。
人教B版选修(2-2)1.4.2《微积分基本定理》word学案
微积分基本定理(第一课时)(教学案)♦一、学习目标定位学习目标：通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿 的定积分学习重点:1、 微积分基本定理的内容2、 用微积分基本定理的求简单的定积分学习难点：微积分基本定理的引入♦二、新课导入分析：求解过程遇到麻烦，究其原因“和式难求”。
就需寻求新的解决方法。
♦三、新知探究1. 变速直线运动中 位置函数与速度函数 之间的联系一个作变速直线运动的物体的位移满足函数 y =y(t),由导数的概念可知，它 在任意时刻t 的速度为 设这个物体在时间段l.a,bl 内的位移为s,试用 y(t),v(t)表示 s 。
问题分解：1)如何用y(t)表示［a,b ］内的位移s?- 2)如何用v(t)表示［a,b ］内的位移s?-莱布尼兹公式求简单复习定积分的概念试用定义计算:丄dx 的值.解:dx.=x_1limlimnns2.微积分基本公式或牛顿一莱布尼兹公式一般的，如果函数f(x)是区间la,b 1上的连续函数，并且F(x)二f(x),那么，b.f (x)dx二_______________ 。
这就是微积分基本定理，也叫牛顿 --- 莱布尼兹a公式。
, — b也记作：f (x)dx = ________________ = ______________ 。
L a•说明:(!).它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题。
我们可以用f(x)的原函数(即满足F (x) f (x))的数值差F(b)-F(a)来计算f(x)在［a,b］上的定积分.(2)。
它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。
思考并回答下列问题(1)与函数f(x)相对应的F(x)唯一吗？如果不唯一，它们之间有什么关系？原函数的选择影响最后的计算结果吗？b(2)计算定积分 f(x)dx 的关键是什么？⑶寻找函数f (x)的原函数F(x)的方法是什么？(4)利用基本初等函数的求导公式求下列函数的原函数例2 .计算下列定积分：■: 2). 2：\sin xdx, sin xdx, sin xdx 。
高中数学人教B版选修2-2学案1.4.2 微积分基本定理 Word版含解析
微积分基本定理
．理解并掌握微积分基本定理．(重点、易混点)
．能用微积分基本定理求定积分．(难点)
．能用定积分解决有关的问题．
[基础·初探]
教材整理微积分基本定理
阅读教材～，完成下列问题．
．′()从到的积分等于()在两端点的取值之
.
．如果′()＝()，且()在[，]上可积，则
()＝.
其中()叫做()的一个．由于[()＋]′＝()，()＋也是()的原函数，其中为常数．一般地，原函数在[，]上的改变量()－()简记作().因此，微积分基本定理可以写成形式：.
【答案】.差()－() 原函数()＝()＝()－()
．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
()微积分基本定理中，被积函数()是原函数()的导数．( )
()应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为.( )
()应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连
续函数．( )
【答案】()√()√()√
．若＝(－)，则被积函数的原函数为( )
．()＝－．()＝－＋
．()＝－＋．()＝－
【解析】由微积分基本定理知，′()＝－，∵′＝－，∴选.
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
[小组合作型]
．＋．＋
．．－
()求下列定积分．
①(＋＋)；②,).
【自主解答】()(＋)＝(＋)＝(＋)－(＋)＝＋－
＝.
【答案】
()①(＋＋)
＝＋＋。
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高中数学人教B版教材目录高中数学（B版）必修一第一章集合第二章函数函数的概念和性质，一次函数和二次函数，函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）指数与指数函数对数与对数函数幂函数高中数学（B版）必修二第一章立体几何初步空间几何体的表面积和体积三视图第二章平面解析几何初步中点坐标公式两点间距离公式直线方程圆的方程空间直角坐标系（文不学）高中数学（B版）必修三第一章算法初步程序（主要是和必修五数列的内容结合考）第二章统计茎叶图和？？第三章概率古典概型（文的重点）高中数学（B版）必修四第一章基本初等函(Ⅱ)任意角的概念与弧度制任意角的三角函数三角函数的图象与性质（主要是以三角函数的图像）第二章平面向量向量的线性运算向量的分解与向量的坐标运算平面向量的数量积（重点）第三章三角恒等变换和角公式倍角公式和半角公式（诱导公式）高中数学（B版）必修五第一章解三角形正弦定理和余弦定理第二章数列数列（一般数列的通项和前N项和，递推公式）等差数列等比数列第三章不等式均值不等式一元二次不等式及其解法（与集合放在一起，或者是解答题中）二元一次不等式（组）与简单线性规划问题（直线）（文）高中数学（B版）选修1－1第一章常用逻辑用语命题与量词基本逻辑联结词充分条件、必要条件与命题的四种形式（一般会出选择题）第二章圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线第三章导数及其应用导数导数的运算高中数学（B版）选修1－2第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图选修2-1第一章常用逻辑用语命题及其关系充分条件与必要条件简单的逻辑联结词全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程曲线与方程椭圆双曲线抛物线第三章空间向量与立体几何空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用变化率与导数导数的计算导数在研究函数中的应用定积分的概念微积分基本定理定积分的简单应用第二章推理与证明合情推理与演绎推理直接证明与间接证明数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入数系的扩充和复数的概念复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理排列与组合探二项式定理第二章随机变量及其分布离散型随机变量及其分布列二项分布及其应用离散型随机变量的均值与方差第三章统计案例回归分析的基本思想及其初步应用独立性检验的基本思想及其初步应用。
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微积分基本定理
编号： 命题人：刘金波 班级： ；姓名： ；批改时间
预习案
自学指导
1.计算山坡的高度（结合课本内容P40）
（1）在爬山路线上每一点(,())x F x ，山坡的斜率为 ；
（2）将区间[,]a b n 等分，记x = ；以1[,]k k x x +为例。
EF 为曲线过点E 的 ，斜率为 ；于是GF= ,GH= , 当x 很小时，G H ≈GF,即有
1()()k k F x F x +-≈ 这样我们得到了一系列近似等式（见课本）
（3）山高12()()n h h h h F b F a =+++=-≈ ；由定积分
的定义知，当0x →时， ；
由此可见 这一公式告诉我们
学习案
一.微积分基本定理
如果'()(),F x f x =且()f x 在[a,b]上可积，则 ，其中()F x 叫做()f x 的一
个原函数..一般地，原函数在[a,b]上的改变量()()F b F a -简记为()|b
a F x ，因此，微积分的
基本定理可以写成形式 .
注意：（1）若'()(),F x f x =则()F x 叫做()f x 的一个原函数.但是[()]'()F x C f x +=，所
以()F x C +都是()f x 的原函数.
（2）探究一：求积分的关键是
（3）探究二：利用公式求平面图形面积的步骤：
（4）探究三：判断下列式子是否成立
①()()b
b
a a Cf x dx C f x dx =⎰⎰；其中C 为常数； ②设(),()f x g x 可积，则[]()()()()
b b b
a a a f x g x dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰；
③
()()b a a b f x dx f x dx =-⎰⎰； ④()()()()b c b
a a c f x dx f x dx f x dx a c
b =+<<⎰⎰⎰
二、典例分析
1、求定积分
例1、求下列定积分
（1）2230(34)x x dx +⎰； （2）122(2)x dx --+⎰； （3）3311(2)x dx x -⎰.
2.求面积
例2.求24y x =-和0y =围成的区域面积.
例3.求2y x =和3y x =围成的区域面积.
三、当堂检测
1、计算下列定积分
（1）302xdx =⎰ ； （2）0=⎰ ;
（3）211dx x
=⎰ ； （4）2211dx x =⎰ ；
2.求曲线y =与直线4,0x y ==所围成的曲边梯形的面积.
《微积分基本定理》课后巩固案
A 组 1.22
(sin cos )x x dx π
π-+⎰的值是（ ） A.0 B.
4
π C.2 D.4 2.下列式子正确的是（ ） A.()()()b a f x dx f b f a c =-+⎰ B.'()()()b
a f x dx f
b f a =-⎰ C.()()b a f x dx f x
c =+⎰ D.[()]'()b
a f x dx f x =⎰ 3.函数0cos x
y xdx =⎰的导数是（ ） A.cos x B.sin x - C.cos 1x - D.sin x
4.已知函数2()321f x x x =++，若1
1()2()f x dx f a -=⎰成立，则a = ；
B 组
5.曲线3cos (0)2
y x x π=≤≤
与坐标轴所围成的面积是（ ） A.2 B.3 C. 52
D.4 6.在曲线2(0)y x x =≥上某一点A 处作一切线使之于曲线及x 轴所围成的面积为112
，试求：（1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程.。