2.4抛物线的简单几何性质(第二课时)
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抛物线的简单几何性质(2)
(2)当k∈
时，它们没有交点.
时，它们有两个交点.
(3)当k∈
时，它们有一个交点.
思考 1:(课本第 71 页例 6) 2 已知抛物线的方程为 y 4 x ,直线 l 过定 点 P (2,1) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物 线 y 2 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点; ⑶没有公共点?
0 2
162k 2 k 1.
1 3 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 k 1, 或k . 2 1 于是,当k 1, 或 k 时, 方程 ①没有实数解, 从而 2 方程组 没有解.这时, 直线 l 与抛物线没有公共点 .
0 2
思考 2: 2 若抛物线 y x 存在关于直线 l : y 1 k ( x 1) 对称的两点,求实数 k 的取值范围. 答案: 2 k 0
分 析： 假设 存在 关于 直线 l : y 1 k ( x 1) 对 称 的 两 点 A、B,看 k 应满足什么条 件. 显然 k 0 不合题意,∴ k 0 1 ∴直线 AB 的方程为 y x b k 继续尝试估计主要也是设而不求,联立方程组,韦达定理找条件.
2
1 这时, 直线l 与抛物线只有一个公共 ,1 . 点 4
2 当k 0 时, 方程①的判别式为
1 1 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 k 1, 或k . 2 1 于是,当k 1, 或k 时 , 方程 ①只有一个解, 从 2 而方程组只有一个解.这时, 直线 l 与抛物线只 有一个公共点 . 1 0 2 2 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 1 k . 2 1 于是,当 1 k 且k 0时, 方程 ①只有两个解, 2 从而方程组只有两个解.这时, 直线 l 与抛物线 有两个公共点 .
时，它们没有交点.
时，它们有两个交点.
(3)当k∈
时，它们有一个交点.
思考 1:(课本第 71 页例 6) 2 已知抛物线的方程为 y 4 x ,直线 l 过定 点 P (2,1) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物 线 y 2 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点; ⑶没有公共点?
0 2
162k 2 k 1.
1 3 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 k 1, 或k . 2 1 于是,当k 1, 或 k 时, 方程 ①没有实数解, 从而 2 方程组 没有解.这时, 直线 l 与抛物线没有公共点 .
0 2
思考 2: 2 若抛物线 y x 存在关于直线 l : y 1 k ( x 1) 对称的两点,求实数 k 的取值范围. 答案: 2 k 0
分 析： 假设 存在 关于 直线 l : y 1 k ( x 1) 对 称 的 两 点 A、B,看 k 应满足什么条 件. 显然 k 0 不合题意,∴ k 0 1 ∴直线 AB 的方程为 y x b k 继续尝试估计主要也是设而不求,联立方程组,韦达定理找条件.
2
1 这时, 直线l 与抛物线只有一个公共 ,1 . 点 4
2 当k 0 时, 方程①的判别式为
1 1 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 k 1, 或k . 2 1 于是,当k 1, 或k 时 , 方程 ①只有一个解, 从 2 而方程组只有一个解.这时, 直线 l 与抛物线只 有一个公共点 . 1 0 2 2 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 1 k . 2 1 于是,当 1 k 且k 0时, 方程 ①只有两个解, 2 从而方程组只有两个解.这时, 直线 l 与抛物线 有两个公共点 .
抛物线的简单几何性质(第2课时)(教学课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
解析
x－y＝2，
由 2
y ＝4x
得 x2－8x＋4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，
故线段AB的中点坐标为(4,2).
→ →
5.已知定点 F(1,0)，动点 P 在 y 轴上运动，点 M 在 x 轴上，且PM·PF＝0，延长
→
→
2
-8
,x1-x2=
2
=
2
-8
.
,
22 +8
8
∴y1-y2=[k(x1-1)+2]-[-k(x2-1)+2]=k(x1+x2)-2k= -2k=.
-
∴kAB=1 - 2=-1.
1 2
∴直线AB的斜率为定值-1.
归纳总结
定值与定点问题的求解策略
1.欲证某个量为定值,先将该量用某变量表示,通过变形化简若能
【答案】由 2
y ＝4x，
消去 y，得 4x2＋4(b－1)x＋b2＝0.
1
由 Δ＞0，得 b＜2.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．
b2
则 x1＋x2＝1－b，x1x2＝ 4 .
1
C．6
1
D．8
【答案】A
[线段 AB 所在的直线的方程为
1 1
则焦点到直线 AB 的距离为 1－2＝2.]
1
x＝1，抛物线的焦点坐标为2，0，
2．若直线 x－y＝2 与抛物线 y2＝4x 交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点坐标
是________.
【答案】(4,2)
x－y＝2
高二数学抛物线的简单几何性质2
| AB | 2 p
方程
图 形 范围
y2 = 2px
y2 = -2px （p＞0） y l
x
x2 = 2py （p＞0） y
F x
x2 = -2py （p＞0） y
x l
（p＞0） y
l O F
l x
F
O
O
O
F
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于y轴对称
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
抛物线的简单几何性质(2)
一、抛物线的几何性质：
性质
方程
设抛物线方程为： y 2 2 px, ( p 0)
l
y
d
M
图形
K
O
F
x
范围 对称性
顶点坐标
x 0, y R 关于 x轴对称 坐标原点(0,0)
e 1
p | MF | x0 , 2 M ( x0 , y0 )
离心率 焦半径 通径
从点A、B、P分别向抛物线的准线作 垂线，垂足分别为A1、B1、P 1，依据 抛物线的定义，|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1| 所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|, 又PP1是梯形AA1BB1的中位线， 所以|AA1|+|BB1|=2|PP|. 1 因此，我们容易得到
p1
2P 的 | AB | 2 sin
y
A
F1 O F2
y
l
x
F1 O
l
A
F2
d1 d2
B
B
x
y
y
F1
.
2.4 第2课时抛物线的简单几何性质
代入抛物线方程y2＝4x，整理得：x2－3x＋1＝0. 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可知，|AF|等于点A 到准线x＝－1的距离|AA′|， 即|AF|＝|AA′|＝x1＋1，同理|BF|＝x2＋1，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝3＋2＝5.
[点评] 解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义 在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问 题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
第二章
2.4
第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
[ 点评 ]
1. 为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的
特征利用参数表示Байду номын сангаас物线上动点的坐标，有时还可以利用抛物 线的对称性避免分类讨论． 2 ．不能把抛物线看作是双曲线的一支．虽然两者都是沿
开口方向越来越远离对称轴，但抛物线却越来越接近于对称轴
大家都比较熟悉抛物线，二次函数的图象就是抛物线，但 你知道抛物线与椭圆、双曲线有哪些相似的性质吗？
第二章
2.4
第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
1．抛物线y2＝2px(p>0)的简单几何性质 (1) 对称性：以－ y 代 y ，方程 y2 ＝ 2px(p>0) 不变，因此这条 x 抛物线是以__________ 轴为对称轴的轴对称图形． 轴 抛物线的对称轴叫做抛物线的__________ ，抛物线只有一 条对称轴． 轴 (2)顶点：抛物线和它的__________ 的交点叫做抛物线的顶 点．
2.4
第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝3＋2＝5.
[点评] 解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义 在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问 题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
第二章
2.4
第2课时
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[ 点评 ]
1. 为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的
特征利用参数表示Байду номын сангаас物线上动点的坐标，有时还可以利用抛物 线的对称性避免分类讨论． 2 ．不能把抛物线看作是双曲线的一支．虽然两者都是沿
开口方向越来越远离对称轴，但抛物线却越来越接近于对称轴
大家都比较熟悉抛物线，二次函数的图象就是抛物线，但 你知道抛物线与椭圆、双曲线有哪些相似的性质吗？
第二章
2.4
第2课时
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1．抛物线y2＝2px(p>0)的简单几何性质 (1) 对称性：以－ y 代 y ，方程 y2 ＝ 2px(p>0) 不变，因此这条 x 抛物线是以__________ 轴为对称轴的轴对称图形． 轴 抛物线的对称轴叫做抛物线的__________ ，抛物线只有一 条对称轴． 轴 (2)顶点：抛物线和它的__________ 的交点叫做抛物线的顶 点．
2.4
第2课时
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2.4.2抛物线的简单几何性质(第二课时)精品PPT课件
三角形的重心恰好是抛物线的焦点，求BC所在直线方程.
解：由y2 32x得焦点坐标为(8,0),设B(x1, y1)、C(x2 , y2 )，
A(2,8),三角形重心是(8,0),
x1 y1
x2 3 y2 3
2 8
8,即 0.
x1 y1
x2 y2
22， 8.
y
故BC中点为(11,4).
当k 1或k 1 时,直线与抛物线没有公共点。 2
练习:过点 M(0,1) 且和抛物线 C: y2 4x 仅有一个
公共点的直线的方程是__________________________.
联立
y y
kx 2 4x
1
y 1或 x 0或 y x1
消去 x 得 ky2 4 y 4 0
o
A(2,8)
.
F
x
又由yy1222
32x1 32x2
y1 y2 x1 x2
32 y1 y2
4
B
kBC 4.
C
故BC方程为4x y 40 0.
又由4yx2
y 40 32x.
0,得
x2 22x 100 0, 84 0.
故BC所在直线的方程为4x y 40 0.
例 3：已知正方形 ABCD 的一边 CD 在直线 y x 4 上, 顶点 A 、B 在抛物线 y2 x 上,求正方形的边长.
联立
4
y x2 y2 ax
a2
消y得x2
44 0
4 a x
解得a
40
8或a
0
则 x1 x2 4 a，x1 x2 4
AB 2 4 a2 4 4 4 6
解得a 12或a 4
抛物线的简单几何性质(第2课时焦点弦)-高二数学教材配套教学课件(人教A版2019选择性必修第一册)
4
2
1
1
2
(2)
＋
＝ ；
|FA| |FB| p
(3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．
抛物线的简单几何性质
p
，0
p
证明：(1)抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F 2
，准线方程为 x＝－ .
2
p
设直线 AB 的方程为 x＝my＋ ，把它代入 y2＝2px，
2
化简，得 y2－2pmy－p2＝0.
上的两个动点(AB 不垂直于 x 轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段 AB 的垂直平分线恒
经过点 Q(6，0)，求抛物线的方程．
解：设抛物线的方程为
y2＝2px(p>0)，则其准线方程为
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AF|＋|BF|＝8，
p
p
∴x1＋ ＋x2＋ ＝8，
2
2
p
x＝－ .
1
则|CC1|＝ (|AA1|＋|BB1|)
2
1
1
＝ (|AF|＋|BF|)＝ |AB|.
2
2
∴以线段 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．
抛物线的简单几何性质
2. 以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐
标原点,则其方程为(
)
A.y2=8x
C.y2=8x或y2=-8x
2p
p
y0
2
y1 y2 p
p
y0
2
( y1 y2 ) p
02抛物线的简单的几何性质
P
A
R
T
O
N
E
抛物线的简单几何性质
2
1
1
2
(2)
＋
＝ ；
|FA| |FB| p
(3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．
抛物线的简单几何性质
p
，0
p
证明：(1)抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F 2
，准线方程为 x＝－ .
2
p
设直线 AB 的方程为 x＝my＋ ，把它代入 y2＝2px，
2
化简，得 y2－2pmy－p2＝0.
上的两个动点(AB 不垂直于 x 轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段 AB 的垂直平分线恒
经过点 Q(6，0)，求抛物线的方程．
解：设抛物线的方程为
y2＝2px(p>0)，则其准线方程为
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AF|＋|BF|＝8，
p
p
∴x1＋ ＋x2＋ ＝8，
2
2
p
x＝－ .
1
则|CC1|＝ (|AA1|＋|BB1|)
2
1
1
＝ (|AF|＋|BF|)＝ |AB|.
2
2
∴以线段 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．
抛物线的简单几何性质
2. 以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐
标原点,则其方程为(
)
A.y2=8x
C.y2=8x或y2=-8x
2p
p
y0
2
y1 y2 p
p
y0
2
( y1 y2 ) p
02抛物线的简单的几何性质
P
A
R
T
O
N
E
抛物线的简单几何性质
数学课件：第二章 2.4 2.4.2 抛物线的简单几何性质
∴y421p·y222＋y1·y2＝0， ∴b2＋2pb＝0， ∴b＋2p＝0，∴b＝－2p. ∴y1·y2＝－4p2，x1·x2＝b2＝4p2. ∴A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别是 4p2 和－4p2. (2)AB 方程为 my＝x－2p，∴AB 过定点(2p,0)．
解决抛物线中定点、定值问题的方法 在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值，过定点的问题，解决这类问 题的方法有很多，例如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这类问题 的关键是代换和转化．有时利用数形结合思想能达到避繁就简、化难为易、 事半功倍的效果．
解析：抛物线的焦点F
p2，0
，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－
p 2
，即
x＝y＋
p 2
，将其代入得：y2＝2px＝2p
y＋p2
＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0，所
以y1＋2 y2＝p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
答案：x＝－1
探究一 抛物线性质的应用
[典例1]
直线与抛物线的位置关系 将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与 抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件， 利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解．
2．已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰 被M(2,1)所平分． (1)求抛物线E的方程； (2)求直线AB的方程．
2.4.2 抛物线的简单几何性质
考纲定位
重难突破
1.掌握抛物线的性质、焦半径、焦点弦的应用．
2.会用抛物线的性质解决与抛物线相关的综合 重点：抛物线的图形和简
问题．
单几何性质．
2.4.2抛物线的简单几何性质(2) - 学生版
课题：§2.4.2 抛物线的简单几何性质应用（二）1．进一步掌握应用抛物线的几何性质解决有关问题；2．掌握直线与抛物线的位置关系，能综合应用有关知识解决抛物线的综合问题。
※复习：类比椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，填表。
思考：当焦点在y轴时，又怎样处理？题型三：定值问题例1:过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。
变式练习：22,,过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦求证:直线y x O A O B AB与轴的交点为定点。
x题型四：直线与抛物线的位置问题1． 直线与抛物线相切：直线与抛物线有且只有一个公共点，但不平行于抛物线的对称轴。
即把x ＝my ＋n 代入y 2＝2px （p ＞0）消去x 得：y 2－2pmy －2pn ＝0①，当方程①的判别式△＝0⇔直线与抛物线相切；2． 直线与抛物线相交：（1）直线与抛物线只有一个交点：直线与抛物线的对称轴平行； （2）直线与抛物线有两个不同的交点⇔方程①的判别式△＞0； 3. 直线与抛物线相离⇔方程①的判别式△＜0。
例2：已知抛物线的方程24y x =，直线l 过定点()2,1P -，斜率为k 。
k 为何值时，直线l 与抛物线24y x =：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？探究：1.画出上述几种位置关系，从图中你发现直线与抛物线只有一个公共点时是什么情况？2.方程组解的个数与公共点的个数是什么关系？变式练习：求过点(0,1)M 且和抛物线C:24y x =仅有一个公共点的直线的方程。
1．（2010年高考陕西卷理科8）已知抛物线()022>=p px y 的准线与圆07622=--+x y x 相切，则p 的值为 （ ）()21A ()1B ()2C ()4D2． 已知F 为抛物线22y x =的焦点，定点Q （2，1）点P 在抛物线上，要使||PQ PF +的值最小，点P 的坐标为（ ）A. (0，0)B. 112⎛⎫⎪⎝⎭， C.D. (2，2)3. （2012高考安徽理9）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则A O B ∆的面积为（ ）()A 2()B ()C 2()D4.已知抛物线22(0)y px p =>，过点()20p ，作直线交抛物线于11()A x y ，、22()B x y ，两点，给出下列结论：①O A O B ⊥；②AOB ∆的面积的最小值为24p ；③2124x x p =-，其中正确的结论是__________________.5.（ 2010年高考全国卷I 理科21）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上；。
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x1 , y1 Q . F
P x 2 , y 2
O
x
例3．在抛物线 y2=8x 上求一点P，使P到焦点F 的距离与到 Q(4 ，1)的距离的和最小，并求最小值。 y 解： y 2 8x 知： p 8 ， p 4 2 由
0 此抛物线的焦点坐标是 F (2 ，) ，
小结: 设而不求,联立方程组,韦达定理这是研 究直线和圆锥曲线的位置关系问题的重要方 法.
练习2: 已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小
值。
解：设A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 )
设l AB : y kx b
y
M A F
2、已知抛物线方程y2=4x,当b为何值时,直线l:y=x+b与 抛物线(1)只有一个公共点(2)两个公共点(3)没有公共点. 当直线与抛物线有公共点时,b的最大值是多少?
例2、过抛物线焦点作直线交抛物线y 2 2 px ( p 0)于 A，B两点，设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 求证 : y1 y2 p 2 .
(| PA | d ) min | AF | 5
3、过抛物线y ax 2 (a 0)的焦点F 作一直线交抛物线 1 1 于P、Q两点，若线段PF , QF的长度分别是p, q，则 ? p q y 1 2 抛物线:x y a
1 焦点:F (0, ) 4a 1 准线：y 4a
p 1 y0 y0 , 2 4
A D
y
M F
B
o
N C
x
AD AF , BC BF
1 AF BF 2( y0 ) 4
ABF中, AF BF AB 2
(| AF | | BF |) min 2
即y0 min
3 4
2.过抛物线
y2 = 8x 的焦点,作倾斜角为 45
0
16 的直线,则被抛物线截得的弦长为_________ 3、已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，点P1 （x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3,y3)在抛物线上，且 |P1F|、|P2F|、|P3F|成等差数列， 则有（ ） A．x x x B．y y y
p 联想2 :由于直线AB过点焦点F ( ,0) 2 时有y1 y2 p 2成立， 那么反之是否 也成立 ?
A
y O B x F
1、在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线Ｌ： 4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离.
解：直线与抛物线无交点设抛物线上一点P( x0 . y0 )，
则y0 2 64x0
2
例2、过抛物线焦点作直线交抛物线y 2 2 px ( p 0)于 A，B两点，设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 求证 : y1 y2 p 2 .
y
联想 : 在同样的条件下， 注意到 y1 y2 p 2 , 那么x1 x2 ________?
A O B F x
解：因为直线AB过定点F且不与x轴平
行,设直线AB的方程为
2
y 2 px p O 2 p y 2 p ( my ) 2 x my 2
即：y 2 pmy p 0
2 2
p x my 2
y A F B x
y1 y2 p （定值）
y0 2 将x0 代入得： 64 2 y0 3 y0 46 2 y0 48 y0 16 46 , ( y0 R ) d 16 80 5
4 x0 3 y0 46 4 x0 3 y0 46 d | | 5 16 9
y
O
.
F
x
当y0 24时, d min 2 此时P(9,24)
y0 min 3 4
此时l AB
1 : y x 4
练习2: 已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小
值。
解法二： A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 ) 设
2 MN AD BC , MN
1 AD BC 2( y0 ) 4
( | PF | | PQ | )min
此时 P (1 ，) ， 1 8 4 (2) 6 .
练习1、抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y8=0的距离的最小值是（ ）
作业： 1、抛物线y2=x和圆(x-3)2+y2=1上最近 的两点之间的距离是( ) 2、已知直线y=x+b与抛物线x2=2y交 于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点), 求b的值.
2
( 0, 0 )
( 0, 0 ) ( 0, 0 ) ( 0, 0 )
e=1
x 2 py y 0, ( p 0) x R
2
e=1
x 2 py y 0, ( p 0) x R
2
e=1
练习: 1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在 16 直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是_______.
设直线4 x 3 y m 0与抛物线相切 另解：
y 2 64 x y2 3y m 0 4 x 3 y m 0 16
由 0得 : m 36
2、设P是曲线y 2 4( x 1)上一动点，则点P到 点(0,1)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值是？
P Q O 2 F 4
准线方程是 x 2 .
x
由定义知：P到焦点 F 的距离等于 P到准线 l 的距离 . 即 | PF || PK | .
| PF | | PQ | | PK | | PQ |
显然，当 Q， ， 三点共线时， P K
| PK | | PQ | 有最小值 .
1 2 3
1 2 3
C．x1 x3 2 x2
D. y1 y3 2 y2
例 1 已知抛物线的方程为 y 4 x ,直线 l 过定点 P ( 2,1) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物线 y 2 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶ 没有公共点?
2
分析:直线与抛物 线有一个公共点 的情况有两种情 形：一种是直线 平行于抛物线的 对称轴； 另一种是直线与 抛物线相切．
解：曲线y 2 4( x 1)表示顶点在(1,0) 焦点到准线的距离为2的抛物线
y
d
P
所以抛物线的准线:x 0, 焦点:F (2,0)
d | PF |
A
O
.
F
x
又 | PA | | PF || AF |
当A, P, F共线时，PA | | PF |) min | AF | (|
2.4抛物线的几何性质
第二课时
图形
标准方程
2
范围
对称性
关于x 轴 对称，无 对称中心
关于x 轴 对称，无 对称中心 关于y 轴 对称，无 对称中心 关于y 轴 对称，无 对称中心
顶点
离心率 e=1
y 2 px x 0, ( p 0) y R
y 2 px x 0, ( p 0) y R
B
y k x b x 2 kx b 0 y x2
o
x
由弦长 | AB | 1 k 2 k 2 4b 2
k2 y1 y2 x1 x2 y0 k( )b b 2 2 2
1 k2 b 2 1 k 4
k2 1 1 k 2 1 1 y0 1 1 3 (当k 1时，取等号) 4 1 k 2 4 1 k 2 4 4 4
判断直线与抛物线位置关系的操作程序
把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程 直线与抛物线的 对称轴平行 相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0
相交
相切
相离
练习: 1.过点 M (0,1) 且和抛物线 C: y 2 2 x 仅有一个公共点的 直线的方程是__________________________.