高数二11-7斯托克斯公式
斯托克斯公式简析
斯托克斯公式简析斯托克斯公式是向量分析中的重要定理之一，它描述了曲面上的环路积分与曲面边界上的面积积分之间的关系。
斯托克斯公式的应用广泛，涉及到电磁学、流体力学、流形等领域。
本文将对斯托克斯公式进行简析，介绍其基本概念、公式表达以及应用实例。
一、斯托克斯公式的基本概念斯托克斯公式是由英国数学家乔治·斯托克斯于1854年提出的，它是格林公式在三维空间中的推广。
斯托克斯公式描述了一个曲面上的环路积分与曲面边界上的面积积分之间的关系。
在向量分析中，曲面的边界称为曲线，曲面上的环路积分称为线积分，曲面边界上的面积积分称为面积积分。
二、斯托克斯公式的表达形式斯托克斯公式的一般表达形式如下：∮_C F·dr = ∬_S (∇×F)·dS其中，C为曲线C的方向，F为一个向量场，dr为曲线C上的微元弧长，S为曲面S，dS为曲面S上的微元面积，∇×F为向量场F的旋度。
斯托克斯公式的左边是曲线C上的环路积分，右边是曲面S上的面积积分。
公式中的向量场F可以是速度场、电场、磁场等，具体应用中根据问题的需求来确定。
三、斯托克斯公式的应用实例1. 电磁学中的应用斯托克斯公式在电磁学中有着广泛的应用。
以电磁感应为例，当一个闭合回路中的磁通量发生变化时，根据法拉第电磁感应定律，回路中会产生感应电动势。
利用斯托克斯公式，可以将回路上的环路积分转化为磁场在曲面上的面积积分，从而简化计算过程。
2. 流体力学中的应用斯托克斯公式在流体力学中也有着重要的应用。
以流体的速度场为例，斯托克斯公式可以将速度场的环路积分转化为速度场的旋度在曲面上的面积积分。
这样，通过计算速度场的旋度，可以得到流体的涡量，从而研究流体的旋转性质。
3. 流形中的应用斯托克斯公式在流形理论中也有着重要的应用。
流形是一种广义的曲面，它可以是高维空间中的任意维度的对象。
斯托克斯公式可以将流形上的环路积分转化为流形边界上的面积积分，从而研究流形的拓扑性质。
微积分II课件——11-7 斯托克斯公式stokes公式 环流量与旋度
PQR
2. 旋度的定义:
i j k 称向量 ∂ ∂ ∂ 为向量场的旋度 (rotA ) .
∂x ∂y ∂z PQR
i j k 旋度 rotA = ∂ ∂ ∂
∂x ∂y ∂z PQR
= (∂R − ∂Q)i + (∂P − ∂R) j + (∂Q − ∂P )k. ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
Γ的单位切向量为 t = cosλ i + cos µ j + cosν k
斯托克斯公式的向量形式
∫∫ rotA ⋅ ndS = ∫ΓA ⋅ tds 或∫∫ (rotA )n dS = ∫Γ Atds
Σ
Σ
其中
(rotA )n = rotA ⋅ n
= (∂R − ∂Q)cosα + (∂P − ∂R)cos β + (∂Q − ∂P )cosγ
四、小结
cos α cosβ cos γ
斯托克斯公式
∫∫
Σ
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ds = ∂z
PQR
dydz dzdx dxdy
∫∫
Σ
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
= ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz
P Q R = ∫∫ rotA ⋅ ndS = ∫ΓA ⋅ tds
Σ
斯托克斯公式成立的条件
斯托克斯公式的物理意义
∫∫
Σ
∂P ∂z
dzdx
−
∂P dxdy ∂y
=
−
∫∫
Σ
(
∂P ∂y
+
∂P ∂z
f y )cosγds
即
∫∫
Σ
∂P ∂z
斯托克斯公式stokes定律
斯托克斯公式stokes定律斯托克斯公式（Stokes定律）是描述流体运动的基本定律之一，它被广泛应用于流体力学和电磁学等领域。
斯托克斯公式是以英国物理学家乔治·斯托克斯（George Stokes）的名字命名的，他在19世纪中叶首次提出了这个公式。
斯托克斯公式是由麦克斯韦方程组推导而来的，它描述了流体中的速度场与涡旋场之间的关系。
根据斯托克斯公式，涡旋场的环流与速度场通过曲面的面积分之间存在线性关系。
换句话说，斯托克斯公式给出了速度场在曲面上的环量与曲面边界上的环量之间的关系。
斯托克斯公式的数学表达形式如下：∮C F·ds = ∬S (∇ × F)·dS其中，C是曲面S的边界曲线，F是速度场，ds是边界曲线上的微元弧长，S是曲面S的面积，∇ × F是速度场F的旋度，dS是曲面S上的面积元。
斯托克斯公式的应用非常广泛。
在流体力学中，斯托克斯公式被用来计算旋转流体中涡旋的强度和分布情况。
在电磁学中，斯托克斯公式被用来计算磁场沿闭合回路的环量，从而计算磁场的旋度。
此外，斯托克斯公式还被应用于固体力学、量子力学等领域。
对于流体力学中的应用，斯托克斯公式可以帮助我们理解涡旋的生成和演化过程。
涡旋是流体中的一种特殊流动形式，它具有旋转的性质。
通过斯托克斯公式，我们可以计算涡旋的强度，并进一步研究其对流体运动的影响。
斯托克斯公式的应用还可以帮助我们解决一些工程和科学问题。
例如，在空气动力学中，我们可以利用斯托克斯公式来计算飞机机翼周围的气流情况，从而优化机翼的设计。
在电磁学中，我们可以利用斯托克斯公式来计算闭合电路中的电磁感应强度，从而分析电磁场的分布情况。
斯托克斯公式是流体力学和电磁学等领域中非常重要的定律之一。
它描述了速度场与涡旋场之间的关系，可以帮助我们理解和分析涡旋的形成和演化过程。
斯托克斯公式的应用广泛，可以帮助我们解决一些工程和科学问题。
通过学习和应用斯托克斯公式，我们可以深入理解流体力学和电磁学等领域的原理和现象。
经典高等数学课件D11-7斯托克斯公式
斯托克斯公式的又一种形式:
R Q P R Q P [( y z )cos ( z x )cos ( x y )cos ]dS
( P cos Q cos R cos )ds 其中: 的单位法向量为:n cos i cos j cos k , 的单位切向量为: cos i cos j cos k .
D D
14
*三、 环流量与旋度
1. 环流量的定义: 设向量场A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k 则沿场A中某一封闭的有向曲线上的曲线积分
称为向量场A沿有向闭曲线的环流量.
A ds Pdx Qdy Rdz
复 习
1.高斯公式 （条件：封闭性，有向性，连续性）
P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy. 外
2.高斯公式的应用 （1）简化计算面积分 （2）物理意义 通量
Pdydz Qdzdx Rdxdy
Q P 即 dxdy P ( x , y )dx Q( x , y )dy ---格林公式 x y D
故格林公式是斯托克斯公式的特殊情况.
8
3.记忆方法：
dydz dzdx dxdy
Pdx Qdy Rdz
4.另一种形式：
z R
o
1
x
Dx y
3 dydz dzdx dxdy (1,1,1) n dxdy 3 d .
D11_7斯托克斯公式
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其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个
边界, 方向如图所示.
z
解: 记三角形域为, 取上侧, 则
d ydz dzdx dxd y
x
y
z
z
x
y
o
1y
1
x
Dxy
d y d z d z d x d x d y 3
dxd y 3
第七节
第十一章
斯托克斯公式
*环流量与旋度
一、斯托克斯公式 *二、空间曲线积分与路径无关的条件 *三、环流量与旋度
*四、向量微分算子
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一、 斯托克斯( Stokes ) 公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则,
在包含 在内的一
利用对称性Dx y
2
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内容小结
1. 斯托克斯公式
d yd z
P d x Q d y R d z
x
P
dzdx
y
Q
dxd y
z
R
作业
cos
x
P
cos
y
Q
cos
z
dS
R
习题11-7（P245） 提高题：1
x
y
z P d x Q d y R d z
P
Q
R
或用第一类曲面积分表示:
cos cos cos
《高等数学》1(2)高等数学(同济大学)课件下第11_7斯托克斯公式
(3) 在G内存在某一函数 u, 使 d u P d x Q d y R d z
(4) 在G内处处有
P y
Q x
,
Q z
R y
,
R x
P z
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证: (4) (1) 由斯托克斯公式可知结论成立; (1) (2) (自证)
(2) (3) 设函数
u(x, y, z) (x, y,z) P d x Q d y R d z (x0 , y0 ,z0 )
fy
cos cos
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因此
P
d
x
P y
P z
cos cos
cos d S
P z
cos
P cos
y
d S
P z
d
z
d
x
P y
d
x
d
y
同理可证
Q d
y
Q x
d
x
d
y
Q d z
yd
zRdxFra bibliotekR y
d
y
d
z
R x
d
zd
x
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
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则 P d x C P(x, y, z(x, y))d x
Dx
y
y
P(
x,
y,
z
(
x,
y))
d
x
d
y
Dx y
P P z y z y
d xd
y
(利用格林公式)
n
z
P y
斯托克斯公式解释
斯托克斯公式解释
斯托克斯公式是矢量微积分中的重要定理，用于计算曲线和曲面之间的场量的积分关系。
该公式是由英国数学家乔治·斯托克斯在19世纪提出的。
斯托克斯公式描述了曲面上的环量与该曲面边界上的场量的积分之间的关系。
换句话说，该公式将曲面上的积分转化为曲线上的积分。
这个定理对于解决许多与电磁学、流体力学和量子力学等领域有关的问题非常有用。
斯托克斯公式的数学表达式如下：
∮_C F⋅dr = ∬_S (curl F)⋅dS
在这个公式中，C代表曲线的边界，F代表一个矢量场，r代表曲线上的位置向量。
S代表曲线所包围的曲面，curl F代表F的旋度，dS代表曲面上的面积元素。
斯托克斯公式的证明基于格林定理和高斯定理，利用了矢量微积分中的基本概念和运算规则。
它建立了曲线和曲面之间的密切联系，为研究各种物理现象提供了强大的工具。
该公式的应用非常广泛。
例如，在电磁学中，斯托克斯公式可以用来计算电场和磁场的环量，从而推导出安培定律和法拉第电磁感应定律。
在流体力学中，斯托克斯公式可以用来分析流体的旋转和涡量分布。
而在量子力学中，斯托克斯公式被用于描述波函数的环绕性质和自旋。
总之，斯托克斯公式是一条非常重要的定理，它揭示了曲线和曲面之间的积分关系。
通过运用斯托克斯公式，我们可以更好地理解和分析各种物理现象，并在科学研究和工程应用中提供准确的计算方法。
斯托克斯公式推导过程
斯托克斯公式推导过程
斯托克斯公式是一种描述曲线和曲面上向量场积分的定理。
它在数学、物理学和工程学领域中都有广泛的应用。
斯托克斯公式的推导过程比较复杂，但是我们可以通过以下步骤来理解它的推导过程。
第一步，我们需要了解斯托克斯公式的基本概念和符号。
斯托克斯公式是一个向量定理，描述了曲线和曲面上向量场的积分关系。
其中，曲线上的向量场可以表示为一个三元组$(P,Q,R)$，曲面上的向量场可以表示为一个三元组$(F,G,H)$。
另外，我们需要了解曲线、曲面的边界、方向和法向量等基本概念。
第二步，我们需要推导斯托克斯公式的基本形式。
通过对曲面上的向量场进行积分，我们可以得到斯托克斯公式的第一部分，即曲面上的积分等于曲面边界上的线积分。
其中，曲面的边界是指曲面上的曲线，其方向与曲面上的法向量一致。
第三步，我们需要对斯托克斯公式进行推广，以适用于更一般的情况。
对于任意一个向量场，可以通过将其分解成梯度场和旋度场的和来推导斯托克斯公式的一般形式。
其中，梯度场和旋度场都是向量场的两个基本成分，可以通过向量微积分的方法进行计算。
第四步，我们需要应用斯托克斯公式来解决实际问题。
斯托克斯公式在物理学、工程学和数学等领域中都有广泛的应用。
例如，在电磁场理论中，我们可以使用斯托克斯公式来计算电流的磁场分布；在流体力学中，我们可以使用斯托克斯公式来计算涡量的流量。
总之，斯托克斯公式是向量微积分中的重要定理，可以用来解决
曲线和曲面上向量场的积分问题。
其推导过程比较复杂，但是我们可以通过基本概念和符号、基本形式和推广、应用等方面来理解和应用它。