二次根式的化简--北师大版
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》说课稿
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》说课稿一. 教材分析北师大版八年级数学上册第2.7节《二次根式》是学生在学习了实数、有理数、无理数等相关知识的基础上，进一步深入研究根式的一种拓展。
本节内容主要介绍了二次根式的定义、性质和运算规则，旨在培养学生对根式的理解和运用能力。
教材通过例题和练习题的形式，使学生能够熟练掌握二次根式的相关知识，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，对于根式的概念和性质有一定的了解。
但二次根式作为一种特殊的根式，其定义和性质与一次根式有所不同，需要学生进行进一步的学习和理解。
此外，学生需要掌握二次根式的运算规则，并能够灵活运用到实际问题中。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解二次根式的定义，掌握二次根式的性质和运算规则，并能够运用到实际问题中。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流等学习方式，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学科的兴趣和热爱，培养学生的自信心和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次根式的定义、性质和运算规则。
2.教学难点：二次根式的运算规则的理解和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探索、讨论和解决问题。
2.教学手段：利用多媒体课件、板书、练习题等教学手段，帮助学生理解和掌握二次根式的相关知识。
六. 说教学过程1.导入：通过复习一次根式的相关知识，引导学生思考二次根式的定义和性质。
2.讲解：讲解二次根式的定义、性质和运算规则，通过例题和练习题的形式，使学生能够理解和掌握相关知识。
3.小组合作：学生分组讨论，通过解决实际问题，运用二次根式的相关知识，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。
4.总结：对本节内容进行总结，强调二次根式的定义、性质和运算规则的重要性和运用。
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教学设计4
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教学设计4一. 教材分析《二次根式》是北师大版数学八年级上册第七章的内容，本章主要让学生了解二次根式的概念、性质和运算方法。
通过本章的学习，学生能理解二次根式的实际意义，掌握二次根式的基本性质和运算规律，为后续学习更高深的数学知识打下基础。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了实数和分数，对数的运算有一定的基础。
但是，对于二次根式这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
此外，学生对于抽象的数学概念，有时难以理解其内涵，需要教师通过具体例子和生活中的实际问题来进行引导。
三. 教学目标1.了解二次根式的概念和性质。
2.掌握二次根式的运算方法。
3.能运用二次根式解决实际问题。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用讲授法、案例分析法、问题驱动法、小组讨论法等，结合多媒体教学，引导学生通过观察、思考、讨论、实践等方式，掌握二次根式的概念、性质和运算方法。
六. 教学准备1.教材、教案、课件。
2.相关的生活实例和练习题。
3.多媒体教学设备。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过引入实际问题，如“一个物体从地面上抛出，上升到最高点后再落下，求物体上升的最大高度。
”让学生思考如何用数学方法来解决这个问题。
2. 呈现（10分钟）教师通过讲解和展示课件，介绍二次根式的概念和性质，如“二次根式是一个形如√a的数学表达式，其中a是一个非负实数。
”并通过实例来引导学生理解二次根式的实际意义。
3. 操练（10分钟）教师给出一些二次根式的运算题目，如“计算√8 + √2”，让学生独立完成，然后进行讲解和解析。
4. 巩固（10分钟）教师通过一些练习题，让学生运用二次根式的运算方法，如“计算（√2 + √3）^2”，并引导学生理解二次根式的运算规律。
5. 拓展（10分钟）教师引导学生思考二次根式在实际问题中的应用，如“一个物体从地面上抛出，上升到最高点后再落下，求物体上升的最大高度。
北师大版数学八年级上册 二次根式的运算
的值. 解：由题意得 32mn21n2，3， 解得
m
n
4, 3 1, 2
即 mn 4 1 6 .
32 3
归纳 确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利 用被开方数相同，指数都为 2 ，列关于待定字母的方 程求解即可.
【变式题】如果最简二次根式 2 3a 8与 17 2a 可以合
并，那么要使式子 4a 2x 有意义，求 x 的取值范围.
3. 下列二次根式，不能与 12 合并的是__②__⑤___ (填
序号）.
① 48 ；②- 125 ；③ 11 ；④ 3 ；⑤ 18.
3
2
例7
已知 a，b，c 满足 a
2
8
b5 c3
2 0.
(1) 求 a，b，c 的值；
(2) 以 a，b，c 为三边长能否构成三角形？若能构成
三角形，求出其周长；若不能，请说明理由. 解分：析(：1)(1由)若题几意个得非a 负 式8 的 2和2为，零b ， 5则，这c 几3个2非. 负式 (必2)然能都. 理为由零如；下(2：)根∵据2三2角＜3形2的＜三5，边即关a＜系c来＜判b.断.
又∵ a c 5 2 5，∴ a + c＞b.
∴ 能够成三角形，周长为 a b c 5 2 5.
【变式题】有一个等腰三角形的两边长分别为
5 2，2 6，求其周长. 解：当腰长为 5 2 时， ∵ 5 2 5 2 10 2＞2 6， ∴ 此时能构成三角形，周长为 10 2+2 6； 当腰长为 2 6 时， ∵ 2 6 2 6 4 6＞5 2， ∴ 此时能构成三角形，周长为 5 2+4 6.
C. 2 3 5
D. 4 5 5 5 20 5
3. 计算：
二次根式的化简--北师大版(2019年11月)
商直淅三州刺史 尚希龆龀而孤 年十一 辞母请受业长安 范阳卢辩见而异之 令入太学 专精不倦 同辈皆共推服 周文帝尝亲临释奠 尚希时年十八 令讲《孝经》 词旨可观 文帝奇之 赐姓普六茹氏 擢为国子博士 累转舍人上士 明 武世 历太学博士 太子宫尹 计部中大夫 赐爵高都侯 东京司宪 中大夫 抚慰山东 河北 至相州而宣帝崩 与相州总管尉迟迥发丧于馆 尚希出谓左右曰 "蜀公哭不哀而视不安 将有他计 吾不去 将及于难 "遂夜遁 及明 迥方觉 令数十骑追不及 遂归京师 隋文帝以尚希宗室之望 又背迥而至 待之甚厚 及迥屯兵武陟 遣尚希领宗室兵三千人镇潼关 寻授司会中 大夫 文帝受禅 拜度支尚书 进爵为公 岁余 出为河南道行台兵部尚书 加银青光禄大夫 尚希时见天下州郡过多 上表以为"今郡县倍多于古 或地无百里 数县并置 或户不满千 二郡分领 具僚以众 资费日多 吏卒又倍 租调岁减 清干良材 百分无一 动须数万 如何可充 所谓人少官多 十羊九牧 今存要去闲 并小为大 国家则不亏粟帛 选用则易得贤才 "帝览而嘉之 遂罢天下诸郡 后历位瀛州刺史 兵部 礼部二尚书 授上仪同 尚希性惇厚 兼以学业自通 甚有雅望 为朝廷所重 上时每旦临朝 日侧不倦 尚希谏以为"陛下宜举大纲 责成宰辅 繁碎之务 非人主所宜亲 "上欢然曰 "公爱我者 " 尚希有足疾 谓曰 "蒲州出美酒 足堪养病 屈公卧临之 "于是拜蒲州刺史 仍领本州宗团骠骑 尚希在州 甚有惠政 复引瀵水立堤防 开稻田数千顷 人赖其利 卒官 谥曰平 子旻嗣 后封丹水县公 位安定郡丞 张煚 字士鸿 河间鄚人也 父羡 少好学 多所通涉 仕魏 为荡难将军 从武帝入关 累迁银 青光禄大夫 周文引为从事中郎 赐姓叱罗氏 历司织大夫 雍州中从事 应州刺史 仪同三司 赐爵虞乡县公 复入为司成中大夫 典国史 周代公卿 类多武将 唯羡以素业自通 甚为当时所重 后以年老致仕 隋文帝受禅 钦其德望 以书征之 及谒见 敕令勿拜 扶杖升殿 上降榻执手 与之同坐 宴语久之 赐以几杖 会迁都龙首 羡上表劝以俭约 上优诏答之 卒 赠沧州刺史 谥曰定 所撰《老子》 《庄子》义 名《道言》 五十二篇 煚好学 有父风 仕魏 位员外侍郎 周文引为外兵曹 明 武世 位冢宰司录 赐爵北平县子 宣帝时 加仪同 进爵为伯 隋文帝为丞相 煚深自推结 帝以其有干用 甚亲遇之 及受禅 拜为尚书右丞 进爵为侯 迁太府少卿 领营新都监丞 丁父忧去职 柴毁骨立 未期 授仪同三司 袭爵虞乡县公 历太府卿 户部尚书 晋王广为扬州总管 授煚司马 加银青光禄大夫 煚性和厚有识度 甚有当时誉 后拜冀州刺史 晋王广频表请之 复为晋王长史 检校蒋州事 及晋王为皇太子 复 为冀州刺史 位上开府 吏人悦服 称为良二千石 卒官 子慧宝 官至绛郡丞 开皇中 有刘仁恩者 政绩为天下第一 擢拜刑部尚书 以行军总管从杨素伐陈 与素破陈将吕仲肃于荆门 仁恩计功居多 授上大将军 甚有当时誉 冯翊郭均 上党冯世期并明悟有干略 相继为兵部尚书 此三人俱显名于世 然 事行阙落 史莫能知 苏孝慈 扶风人也 父武 周兖州刺史 孝慈少沉谨 有器干 美容仪 仕周 位至工部中大夫 封临水县公 隋文帝受禅 进爵安平郡公 拜太府卿 于时王业初基 征天下匠 纤微之巧 无不毕集 孝慈总其事 世以为能 历位兵部尚书 待遇愈密 时皇太子勇颇知时政 上欲重宫官之望 多 令大臣领其职 拜孝慈太子右卫率 尚书如故 及于陕州置常平仓 转输京下 以渭水多沙 乍深乍浅 乃决渭水为渠以属河 令孝慈督其役 渠成 上善之 又领太子左卫率 仍判工部 户部二尚书 称为干理 进位大将军 转工部尚书 率如故 先是 以百僚供费不足 台省府寺咸置廨钱 收息取给 孝慈以为 官与百姓争利 非兴化之道 表请公卿已下给职田各有差 上并纳焉 及将废太子 惮其在东宫 出为淅州刺史 太子以孝慈去 形于言色 迁洪州总管 俱有惠政 后桂林山越相聚为乱 诏孝慈为行军总管 击平之 卒官 子会昌 孝慈兄顺 周眉州刺史 子沙罗 字子粹 仕周 以破尉迟迥功 授开府仪同三司 封通泰县公 开皇中 历位资 邛二州刺史 检校利州总管 从史万岁击西爨 进位大将军 寻检校益州总管长史 及蜀王秀废 沙罗坐除名 卒于家 子康嗣 元寿 字长寿 河南洛阳人也 祖敦 魏侍中 邵陵王 父宝 周凉州刺史 寿少孤 性仁孝 九岁丧父 哀毁骨立 宗族乡党咸异之 事母以孝闻 及长 方直 颇涉文史 周武成初 封隆城县侯 保定四年 封仪陇县侯 授仪同三司 隋开皇初 议伐陈 以寿有思理 使于淮浦监修船舰 以强济见称 累迁尚书左丞 文帝尝出苑观射 文武并从 开府萧摩诃妻患且死 奏请遣子向江南收其家产 御史见而不言 寿奏劾之曰 "御史之官 义存纠察 直绳莫举 宪典谁寄？ 今月五日 銮舆徙跸 亲临射苑 开府仪同三司萧摩诃幸厕朝行 预观盛礼 奏称请遣子世略暂往江南重收家产 妻安遇患 弥留有日 安若长逝 世略不合此行 窃以人伦之义 伉俪为重 资爱之道 乌乌弗亏 摩诃远念资财 近忘匹好 一言才发 名教顿尽 而兼殿内侍御史臣韩徵之等亲所闻见 竟不弹纠 若知非不举 情涉阿纵；如不以为非 岂关理识？仪同三司 太子左庶子 检校书侍御史臣刘行本亏失宪体 何所逃愆？臣谬膺朝寄 忝居左辖 无容寝默 谨以状闻 "上嘉纳之 后授太常少卿 出为基州刺史 有公廉称 入为太府少卿 进位开府 炀帝嗣位 汉王谅反 左仆射杨素为行军元帅 寿为长史 事 平 以功授大将军 迁太府卿 大业四年 拜内史令 从帝西讨吐谷浑 寿率众屯金山 东西连营三百余里以围浑主 还拜右光禄大夫 七年 兼左翊卫将军 从征辽东 在道卒 帝哭之甚恸 赠尚书右仆射 光禄大夫 谥曰景 子敏 颇有才辩 而轻险多诈 寿卒 帝追思之 擢敏守内史舍人 交通博徒 数泄省中 语 化及之反 敏创其谋 伪授内史侍郎 为沈光所杀 论曰 二赵明习故事 当世咸推 及居端右 无闻殊绩 故知人之分器 各有量限 大小云异 不可相逾 晋蜀二王 帝之爱子 擅以权宠 莫拘宪法 王韶 元岩任当彼相 并见严惮 莫敢为非 謇谔之风有足称矣 宇文弼宇量宏远 声望攸归 斯言不密 以致 倾殒 惜矣 伊娄谦志识弘深 不念旧恶 请赦高遵之罪 有君子风焉 李圆通 郭荣 庞晃等或陈力经纶之际 或自结龙潜之始 其所以高位厚秩 隆恩殊宠 岂徒然哉 李安虽则灭亲 而于义亦已疏矣 杨尚希誉望隆重 张煚 苏孝慈威称贞干 并擢自开皇之初 盖当时之选也 元寿之弹行本 有意存夫名教 然其计功称伐 盖不足云 端揆之赠 则为优矣 《北史》 唐·李延寿 宇文述 王世充 段达 宇文述 字伯通 代郡武川人也 高祖侰与敦 曾祖长寿 祖孤 仕魏 并为沃野镇军主 父盛 仕周 位上柱国 大宗伯 述少骁锐 便弓马 年十一时 有相者谓曰 "公子善自爱 后当位极人臣 "周武帝时 以父军功 起家拜开府 述性谨密 周大冢宰宇文护甚爱之 以本官领护亲信 及武 帝亲总万机 召为左宫伯 累迁英果中大夫 赐爵博陵郡公 改封濮阳郡公 尉迟迥作乱 述以行军总管从韦孝宽击之 破迥将李隽军于怀州 又与诸将破尉惇于永平桥 以功超拜上柱国 进爵褒国公 开皇初拜右卫大将军 平陈之役 以行军总管自六合而济 时韩擒 贺若弼两军趣丹阳 述据石头以为声援 陈主既禽 而萧瓛 萧岩据东吴地 述领行军总管元契 张默言等讨之 落丛公燕荣以舟师自东海至 亦受述节度 于是吴会悉平 以功授子化及为开府 徙拜安州总管 时晋王广镇扬州 甚善于述 奏为寿州总管 王时阴有夺宗之志 请计于述 述曰 "皇太子失爱已久 大王才能盖世 数经将领 主上之与内 宫 咸所钟爱 四海之望 实归大王 然废立国家大事 能移主上者 唯杨素耳 移素谋者 唯其弟约 述雅知约 请朝京师 与约共图废立 "晋王大悦 多赍金宝 资述入关 述数请约 盛陈器玩 与之酣畅 因共博戏 每阳不胜 输所将金宝 约所得既多 稍以谢述 述因曰 "此晋王赐述 令与公为欢 "约大惊曰 "何为者？"述因为王申意 约然其说 退言于素 亦从之 于是晋王与述情好益密 命述子士及尚南阳公主 后赏赐不可胜计 及晋王为皇太子 以述为左卫率 旧令 率官第四品 以述素贵 遂进率品第三 其见重如此 炀帝嗣位 拜左卫大将军 参掌武官选事 后改封许国公 寻加开府仪同三司 每冬正朝会 辄给鼓吹一部 从幸榆林 时铁勒契弊歌棱攻败吐谷浑 其部携散 遂遣使请降 求救 帝令述以兵抚纳降附 吐谷浑见述拥强兵 惧不敢降 遂西遁 述追至曼头城 攻拔之 乘胜至赤水城 复拔之 其余党走屯丘尼川 进击 大破之 获其王公 尚书 将军二百人 浑主南走雪山 其故地皆空 帝大悦 明年 从 帝西巡至金山 登燕支 述每为斥候 时浑贼复寇张掖 述进击走之 还至江都宫 敕述与苏威常典选举 参预朝政 述时贵重 委任与威等 其亲爱则过之 帝所得远方贡献及四时口味 辄见班赐 中使相望于道 述善于供奉 俯仰折旋 容止便辟 宿卫咸取则焉 又有巧思 凡所装饰 皆出人意表 数以奇服异 物进宫掖 由是帝弥悦焉 言无不从 势倾朝廷 左卫将军张瑾与述连官 尝有评议 偶不中意
北师大版八年级数学上册第二章 二次根式的计算
18
解：(1)
＝
3
(3)
1
35÷
3
15；
18
＝
6.
3
32
32
(2)
＝
＝
4＝2.
8
8
1
3
16 5
(3) 35÷ 15＝
5 ×8＝ 2.
3 ab3 3
(4)
2＝
2 ab 2
ab3 3
ab2＝2 b.
3 ab3
(4)
.
2 ab2
题型二
二次根式的加减
5 2
例 2：计算 8＋ 18的结果是________．
1
－ 2
变式 1：计算 8－6
的结果是__________．
2
变式 2：计算：(1)( 3＋ 2)－ 2； (2)2 3＋3 2－5 3－3 2；
(3)( 8＋ 12)－(2 3－ 2)．
解：(1)原式＝ 3＋ 2－ 2＝ 3.
(2)原式＝(2 3－5 3)＋(3 2－3 2)＝－3 3.
(3)原式＝(2 2＋2 3)－(2 3－ 2)＝2 2＋2 3－2
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
知识点1：二次根式的乘除(重点)
1．乘法法则： a· b＝ ab
(a≥0，b≥0)，即两个二次根式相乘，
根指数不变，只把被开方数相乘．
注意：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要
注意：公式中a，b都必须是非负数；
(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
8＋ 18
8
18
(5)
＝ ＋＝ 4＋ 9＝2＋源自＝5222
问题1：你能直接写出下列式子的结果吗？
二次根式的化简求值题(分层练习)(提升练)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)
专题2.25二次根式的化简求值50题（分层练习）（提升练）1．已知x =，y =，求下列各式的值：(1)22x y -．(2)22252x xy y -+．2．（1）先化简，再求值：)(x x x x ++-，其中x =（2）已知x y =，试求代数式22252x xy y -+的值．3．（1（2；（3）已知2x =，求代数式((272x x ++4．（1）已知x =y =，求22x xy y ++的值；（275．已知x =y =，求代数式223x xy y -+的值．6．在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题：已知a =2281a a -+的值．他们是这样解答的：2=-∴2a -=，∴()223a -=，即2443a a -+=，∴241a a -=-，∴()()222812412111a a a a -+=-+=⨯-+=-．请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题：(1)a =，则2281a a -+=．(2)若a =43443a a a --+的值．7．已知a =，b =8．先化简，再求值：(()1x x x x -+-，其中2x =．9．已知a =，b =求：(1)22a b ab -的值；(2)22a ab b ++的值．10．先化简，再求值：(()22323a a a a --+，其中3a =．11．先化简下式，再求值：()()2237752x x x x -+----，其中1x =+．12．先化简，再求值：153y x ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中12x =，3y =．13，其中：3a =，2b =．14．已知．已知1,1a b ==．(1)代数式221a a -+的值为________；(2)求代数式22a b +值．15．已知a =，求代数式229a a -+的值．16．（1）已知1α=+，求代数式((241αα-+的值（2）已知4y =x y 的值．17．已知：x =y =，求22x xy y ++的平方根．18．已知a =，b =(1)22a b ab -(2)22a b +19．在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知a =，求2281a a -+的值．他是这样解答的：∵2a ==∴2a -=．∴()223a -=，即2443a a -+=，∴241a a -=-，∴()()222812412111a a a a -+=-+=⨯-+=-，请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题：(1)化简：=__________；=__________；(2)(3)若a =2481a a -+的值．20．已知1a =+，1b ，求22a b -和abb a+的值．21．某同学在解决问题：已知a =2362a a -+的值．他是这样分析与解的：1a ===+ ，1a ∴-=()212a ∴-=，2212a a -+=，221a a ∴-=，()223623223125a a a a ∴-+=-+=⨯+=，请你根据这位同学的分析过程，解决如下问题：(1)++ (2)若a =；①求2281a a --的值；②求3236216a a a --+的值．22．（1=，=；（2）已知x =((272x x ++（323．阅读材料：像))221⨯=()0a a =≥，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知a =2361a a --的值．”聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：因为1a ===所以1a -=所以()212a -=，所以2212a a -+=所以221a a -=，所以2363a a -=，所以23612a a --=请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：__________=______；2-的有理化因式是________=______；(2)若a =，求22123a a -++的值．24)0,0x y->>，其中1x =-，1y .25．先化简，再求值：(1a a a aa ⎛⎫++- ⎪⎝⎭，其中a =26．已知x =，y =(1)求222x xy y ++的值．(2)若x 的小数部分为a ，y 的整数部分为b ，求ax by +的平方根．27．已知非零实数a ，b 满足=28．先化简，再求值：()()()22282x y x y x y --++，其中1x =1y =．29．已知12x =，求()33420252022x x --．30．已知1,10,15a b c ==-=-31．已知：12x x +=，求221x x+的值．32．已知8a b +=-，12ab =，求33．（1）已知a 、b4b +，求a 、b 的值．（2）已知实数a 满足2021a a -，求22021a -的值．34．已知x =y =，求代数式22x y +的值．35．先化简，再求值：()()()22 2222a b a b a b b ⎡⎤++-⎣⎦+-2069b b ++=．36．已知x =y =，求代数式22205520x xy y ＋＋的值．37．已知x =，y =．(1)求33x y xy +的值；(2)求y x x y +的值．38．若x ，y 为实数，且12y =39．已知x =y =．求：(1)x y +和xy 的值；(2)求22x xy y -+的值．40．已知x =y =，求下列各式的值：(1)22x y -(2)222x xy y ++．41．有这样一类题目：如果你能找到两个数m 、n ，使22m n a +=且mn =a ±将变成222m n mn +±，即变成2()m n ±(1)例如，∵222532+=++=++=，==______，请完成填空．(2)(3)利用上面的方法，设A =，B =，求A ＋B 的值．42．已知a =，b =，求b a a b+的值．43．先化简，再求值：⎛- ⎝，其中8x =，127y =．44．（12-+4x =．（2）已知x =y =，求22x xy y -+值．45．已知3y =+，若a b =a2+b 2+ab 的值．46．（1）已知x ，y ﹣2，求下列各式的值：①11x y +；②x 2﹣xy +y 2；（28＝．47．已知x =1x 的值．48．已知=x x 的整数部分为a ，小数部分为b ，求2a b a b--+的值．49．（1）先化简，再求值：((26a a a a +---+，其中1a -．（2）已知2x =，2y =223x y xy+-50．已知a =b =（1）求22a ab b -+的值；（2）若a 的小数部分为m ，b 的小数部分为n ，求()()m n m n +－的值．参考答案1．(1)；(2)42【分析】（1）先求解x y x y +-，再利用平方差公式进行因式分解，再直接代入计算即可；（2）先求解()2x y xy ，+再利用完全平方公式进行变形求值即可.（1）解：∵x =y ，∴x y +=，x y -=∴()()22x y x y x y -=+-=；（2）解：∵x =y ，∴x y +=，2xy ==-∴()22222529yx y y x x y x =+--+(()229242=-´-=.【点拨】本题考查的是二次根式的求值，二次根式的加减乘法的混合运算，掌握“利用平方差公式与完全平方公式进行变形求解代数式的值”是解本题的关键.2．（15-，1-（2）42【分析】（1）先计算整式的乘法，再合并同类项，然后把x =（2）先利用x 、y 的值计算出x y -=2xy =-，再利用完全平方公式得到222252(2)x xy y x y xy -+=--，然后利用整体代入的方法计算．（1）解：)(x x x x ++-225x x =-+-5=-，当x =原式56512=-=-=-（2）解：∵x =y ，∴x y -=，352xy =-=-，∴222252(2)x xy y x y xy-+=--(()222=⨯--42=．【点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用整体代入的方法可简化计算．3．（1（2）；（3）2【分析】（1）根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可；（2）根据二次根式的混合计算法则求解即可；（3）直接把2x =((272x x ++++然后合并同类二次根式即可得到答案．解：（1）原式=（2）原式===（3）原式((27222=+-++-+()74343=+-+-+(7743=+-+-49481=-++2=【点拨】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简求值，二次根式的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．4．（1）11；（2）【分析】（1）先计算出x y xy +，值，再根据()222x xy y x y xy ++=+-，代入计算即可得到答案；（2x y ==，则2222727936x y x y a a +=+=-++=，，从而可以求出=33<解：（1） x =y =，x y ∴+==321xy ==-=，∴()222x xy y x y xy ++=+-(2111=-=；（2x y ==，则2222727936x y x y a a +=+=-++=，，∴()()222213xy x y x y =+-+=，∴()222223x y x y xy -=+-=，∴x y -==33<=【点拨】本题考查了运用完全平方公式的变形进行求值，注()222x xy y x y xy ++=+-以及整体思想的运用．5．3【分析】先将x 、y 的值分母有理化，再代入到原式2)x y xy --=(计算可得．解：1x == ，1y =，∴原式()2=--x y xy))21111=--41=-3=【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及二次根式分母有理化的能力．6．(1)1-；(2)4【分析】（1）仿照例题，可以求得所求式子的值；（2）仿照例题，将a 的值分母有理化，然后变形，即可求得所求式子的值．（1）解：2a ==+ ，2a ∴-()223a ∴-=，2443a a ∴-+=，241a a ∴-=-，()()22281241211211a a a a ∴+=+=⨯-+=---+=-，故答案为：1-；（2）解：2a =+ ，2a ∴-=，()225a ∴-=，2445a a +-∴=，241a a ∴-=，()43222244344314343134a a a a a a a a a a a ∴+=-+=⨯-++--=-=+=-，即43443a a a --+的值为4．【点拨】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确题意，利用类比的方法解答．7．【分析】先分母有理化求出a b 、的值，再利用完全平方公式将222a b ++变形为2()22a b ab +-+，然后代入求值即可．解：2a =，2b =，====．【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值和完全平方公式的应用，熟练掌握化简方法和完全平方公式的变形是解题的关键.8．222x x --，32-．【分析】先用二次根式的混合运算法则化简，然后将2x =代入计算即可．解：(()1x x x x -+-，=222x x x -+-，=222x x --，当x =时，原式=22222--（）（），=()212422---），=32-．【点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，正确运用二次根式的混合运算法则化简原式是解答本题的关键．9．(1)-；(2)11【分析】（1）根据二次根式的乘法法则求出ab ，根据二次根式的减法法则求出a b -，根据提公因式法把原式变形，代入计算即可；（2）根据完全平方公式把原式变形，代入计算，得到答案．（1）解：a = ，b =321ab ∴==-=，a b -=-=-则22a b ab -()ab a b =-(1=⨯-=-；（2）22a ab b ++2223a ab b ab=-++()23a b ab=-+2(31=-+⨯83=+11=．【点拨】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加减法法则、乘法法则是解题的关键．10．26a a +，7-【分析】直接利用平方差公式以及二次根式的乘法将原式变形，进而合并同类项，进而把已知代入求出答案．解：原式2243363a a a =--++26a a =+，把3a 代入，得，原式))2336=+2918=+-7=-．【点拨】此题主要考查了平方差公式，多项式乘单项式以及二次根式的化简求值，正确化简原式是解题关键．11．224x x --，3-【分析】先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．解：()()2237752x x x x -+----2237752x x x x -+--++=224x x =--，当1x =+时，原式())2222415115253x x x =--=--=--=-=-．【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确计算是解题的关键．12．【分析】先确定00，x y >>，再利用二次根式的性质化简，然后计算二次根式的加减法，最后将x ，y 的值代入计算即可得．解：由题意得：100y x x >>，，∴00，x y >>，则153y x ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2221153x y x x y ⎛⎛=⋅⋅-- ⎝⎝=-=当12x =，3y =时，原式6====【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．13．a b -，1．【分析】利用二次根式的性质和平方差公式化简，然后代入求值即可．221·ab =-a b =-a b =-，当3a =，2b =时，原式32=-1=．【点拨】题目主要考查二次根式的化简求值及平方差公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．14．(1)3；(2)8【分析】（1）将221a a -+变形为()21a -，再代入a 的值求解即可；（2）将22a b +变形为()22a b ab +-，再代入a ，b 的值利用平方差公式和完全平方公式求解即可．（1）解：∵1a +，∴())222211113a a a -+=-=+-=，故答案为：3；（2）解：22a b +2222a b ab ab =++-()22a b ab =+-，当1,1a b =+=时，22a b +()22a b ab=+-)))211211⎡⎤=+-⎣⎦()12231=-⨯-8=．【点拨】本题考查二次根式的化简求值，掌握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键．15．13【分析】先对a进行分母有理化求出1a =，再把所求式子变形为()218a -+，再把1a =整体代入求解即可．解：∵a =，∴)())24141411511a ⨯+⨯+⨯+===+--，∴229a a -+2218a a =-++()218a =-+)2118=-+28=+58=+13=．【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，正确求出1a =+并把所求式子变形为()218a -+是解题的关键．16．（1）2；（2）16．【分析】（1）把4-)21，再代入数据利用平方差公式计算即可求解；（2）根据二次根式有意义的条件得到20x -≥，20x -≥，求得2x =，4y =，再代入数据计算即可求解．解：（1）∵1α=，∴((241αα-+))()221111=+-))21111⎡⎤=--⎣⎦()()23131=---42=-2=；（2）∵4y =++4y =+∴20x -≥，20x -≥，∴2x =，4y =，∴2416x y ==．【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．17．±【分析】先将x 、y 化简，然后即可得到x y xy +、的值，从而可以求得所求式子的值．解：∵25x ==+，25y==-∴(55105525241x y xy +=++-==+-=-=，，∴22x xy y ++222x xy y xy=++-()2x y xy =+-2101=-1001=-99=．∵99的平方根为±∴22x xy y ++的平方根为±【点拨】本题考查二次根式的化简求值，求一个数的平方根，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．18．(1)-；(2)14【分析】（1）先把a 、b进行分母有理化得到2a =-2b =+，进而求出a b -=-1ab =，再根据()22a b ab ab a b -=-进行代值求解即可；（2）根据()2222a b a b ab +=-+进行求解即可．（1）解：∵a =b =∴a=b =，∴2243a -==-2243b ==-∴22a b -=---(22431ab =+-=-=，∴22a b ab -()ab a b =-1=-=-（2）解：由（1）得a b -=-1ab=，∴()(22222212214a b ab a b =-+=-+=+=+．【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确求出a b -=-1ab=是解题的关键．19．，1；(3)5【分析】（1）根据分母有理化的方法进行求解即可；（2）把各项进行分母有理化，从而可求解；（3）仿照所给的解答方式进行求解．（1）解：==；2⨯=（21=++1；（3）解：∵1a ==，∴1a -=∴()212a -=，即2212a a -+=，∴()224814211442148145a a a a -+=-++-=⨯+-=+-=．【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．20．4【分析】将a ，b 的值分别代入要求的式子中，然后按照二次根式运算的法则计算即可．解：22221)1)44a b -=-=++=2222842a b a b b a ab ++=====．【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算法则是解题的关键．注意做这类计算题时，一定要细心．21．1；(2)①3-；②0；【分析】（1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母，同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解；（2）①将a =化简，再得到241a a -=-，再整体代入化简后的式子计算即可；②根据241a a -=-，将所求式子变形，再整体代入计算即可．（1+ 1=1=；（2）解：① 2a ==-2a ∴-=()223a ∴-=，2443a a -+=241a a ∴-=-，∴()()222812412113a a a a --=--=⨯--=-，②由①知241a a -=-，∴3236216a a a --+()()()2224246436a a a a a a a a a =-+-+-++()()()1216136a a a =⨯-+⨯-+⨯-++2636a a a =---++0=．【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是明确题意，利用平方差和完全平方公式解答．22．（1）2，2；（2）2+（3）＞【分析】（1）根据二次根式的分母有理化可进行求解；（2）直接把x 的值代入求解即可；（3=解：（12142222-==-2；（2）∵x =，∴22x==∴((272x x ++((72=+⨯+⨯2=（3=；故答案为＞．【点拨】本题主要考查二次根式的运算及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算及分母有理化是解题的关键．23．2或2；2；(2)7【分析】（1）根据有理化因式的定义，进行求解即可；（2）根据题干给出的解题方法，进行求解即可．（1）解：∵321 =-=，=∵))()22341,22431=-=--=-=，22+或2，22=-=；2+或2；2；（2）解：∵(232332a+==+∴3a-=∴()237a-=，∴2697a a+=-，∴262a a-=-，∴22124aa-+=，∴221237a a-++=．【点拨】本题考查分母有理化．理解并掌握有理化因式的定义，是解题的关键．24．4【分析】利用二次根式的性质将原式化简，然后由平方差公式得出4xy=，代入求解即可．==，∵1x =-，1y =+，∴1)4xy ==，∴原式4==．【点拨】题目主要考查二次根式的化简及求代数式的值，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题关键．25．223a -，3【分析】根据二次根式的混合运算法则，平方差公式和单项式乘多项式法则计算即可化简，再将a =代入化简后的式子计算即可．解：(1a a a a a ⎛⎫++- ⎪⎝⎭2221a a =-+-223a =-．当a =22232(33a =-=⨯-=．【点拨】本题考查二次根式的化简求值，涉及二次根式的混合运算，平方差公式和单项式乘多项式．熟练掌握各运算法则是解题关键．26．(1)20；(2)1±．【分析】（1）先分母有理化求出x 、y 的值，再求出x y +和xy 的值，最后根据完全平方公式进行变形，代入求出即可；（2）先求出x 、y 的范围，再求出a 、b 的值，最后代入求出即可．（1）解：12 2x ⨯==，2y =-，))22x y +=+-=，∴()(2222220x xy y x y ++=+==；（2）解；∵23，∴4＜25+＜，0＜21-＜，∵x 的小数部分为a ，y 的整数部分为b ，∴=a 24+-=2-，0y =，∴))2220541ax by +=+⨯=-=，∴ax by +的平方根是1=±．【点拨】本题考查了完全平方公式、分母有理化、估算无理数的大小、平方根等知识点，能求出x y +和xy 的值是解（1）的关键，能估算出x 、y 的范围是解（2）的关键．27．3【分析】利用因式分解将已知化为0=，得出a b =，然后代入所求代数式即可得解．解： 非零实数a ，b 满足=，由题意可知0,0a b >>，220∴+=，∴=0,0a b >> ，0∴，=，a b ∴=，2332a a a a a a++=+-62aa =3=．【点拨】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质、因式分解以及分式的性质是解答此题的关键．28．18xy -，18-【分析】根据完全平方差公式、多项式乘以多项式运算法则先运算，再根据整式加减运算法则，去括号、合并同类项即可得到化简结果，最后代值利用平方差公式求解即可得到结果．解：()()()22282x y x y x y --++()()22222448282x xy y x xy xy y =-+-+++22228828102x xy y x xy y =-+---()()()22228881022x x xy xy y y =-+--+-18xy =-，当1x =1y =时，原式)1811=-⨯2181⎡⎤=-⨯-⎢⎥⎣⎦()1821=-⨯-18=-．【点拨】本题考查整式化简求值，涉及完全平方差公式、多项式乘以多项式、整式加减运算、去括号法则、合并同类项、平方差公式及二次根式运算，熟练掌握相关运算法则及公式是解决问题的关键．29．1-．【分析】根据x =12x -=()22121442022x x x -=-+=，2442021x x -=，将原式化为()()3322444420212022x x x x x ⎡⎤-+---⎣⎦，再整体代入即可求解．解：∵12x =，∴112122x -=-⨯∴()22121442022x x x -=-+=，∴2442021x x -=，∴原式()()3322444420212022x x x x x ⎡⎤=-+---⎣⎦()32021202120212022x x =+--()31=-1=-．【点拨】本题主要考查二次根式的化简，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解题关键．30．【分析】把已知数据代入代数式，根据二次根式的性质化简即可．解：∵1,10,15a b c ==-=-，===【点拨】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．31．5+【分析】根据2221112x x x x x x ⎛⎫+=+-⋅ ⎪⎝⎭进行计算求解即可．解：∵12x x +=，∴221x x +2112x x x x ⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭(222=+-432=+-5=+【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，正确根据完全平方公式得到2221112x x x x x x ⎛⎫+=+-⋅ ⎪⎝⎭是解题的关键．32【分析】根据题意可判断a 和b 都是负数，然后二次根式的乘、除法公式和合并同类二次根式法则化简并求值即可．解：8a b +=-Q ，12ab =，∴a 和b 均为负数，()222240a b a b ab +=+-====b b a a-+-=22=22a b-+====3-=【点拨】此题考查的是二次根式的化简和完全平方公式的变形；掌握二次根式的乘、除法公式和合并同类二次根式法则是解决此题的关键．33．（1）5a =，4b =-；（2）2022【分析】（1）根据二次根式有意义的条件先求出a 的值，进而求出b 的值即可；（2）根据二次根式有意义的条件得到2022a ≥，2021=，两边平方即可得到答案．解：（14b +要有意义，∴501020a a -≥⎧⎨-≥⎩，∴5a =，4b =+，∴4b =-；（2）∵2021a a -要有意义，∴20220a -≥，∴2022a ≥，∴2021a a -=，2021=，∴220222021a -=，∴220212022-=a 【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，化简绝对值，代数式求值，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．34．24【分析】先计算出x y +=2xy =-，，再利用完全平方公式变形得到()2222x y x y xy +=+-，然后利用整体代入的方法计算．解：∵x =y =，∴x y +=++=2xy =+=-，∴()(()222222220424x y x y xy +=+-=-⨯-=+=．【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，代数式求值，解题的关键是熟练运用完全平方公式化简二次根式．35+【分析】先根据整式的混合运算法则将所求整式化简，再根据算术平方根和偶次幂的非负性求出a 、b ，代入即可作答．解：()()()22+ 2+2+22a b a b a b b --⎡⎤⎣⎦()()22222442322a ab b a ab b b⎡⎤=+++-⎣⎦--()22222442322a ab b a ab b b =+++---()23a a b =+23b a a =+=+，2069b b ++=，()203b +=，0≥，()203b +≥，0=，()203b +=，∴20a -=，30b +=，∴=2a ，3b =-，将=2a ，3b =-3+中，原式()3332=+=+⨯-=【点拨】本题考查了二次根式的加减乘除混合运算，其中涉及到了算术平方根的非负性和完全平方公式等，解决本题的关键是牢记整式的混合运算法则．36．2015【分析】直接利用分母有理化将原式化简，再将多项式变形，进而代入得出答案．解：∵x 25===-，y 25===+22205520x xy y ∴＋＋2220402015x xy y xy=+++()2220215x xy y xy=+++()22015x y xy=++((22055155252=⨯-++⨯-+()22010152524=⨯+⨯-2010015=⨯+200015=+2015=．【点拨】本题主要考查了分母有理化，正确化简各数是解题关键．37．(1)10；(2)10【分析】（1）先求出xy 及x +y 的值，再将33x y xy +因式分解，最后再整体代入求值；（2）先将y x x y+通分，再通过完全平方公式变形，最后代入求值．解：（1）x y ==1,xy ∴=⨯+=x y +==()33222()212110x y xy xy x y xy x y xy⎡⎤⎡⎤∴+=+=+-=⨯-⨯=⎣⎦⎣⎦（2）y x x y +22y x xy+=2()2x y xy xy+-=2211-⨯=10=【点拨】本题考查与二次根式相关的代数式求值问题，解题的关键是整体思想的应用．38．【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x 的值，进而求出y 的值，然后代值计算即可．解：∵12y =要有意义，∴140410x x -≥⎧⎨-≥⎩，∴1144x ≤≤即14x =，∴1122y ==，∴122x y y x==，，==【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的求值，正确求出x 、y 的值是解题的关键．39．(1)1；(2)9【分析】（1）根据二次根式的加法法则即可求出x y +，根据二次根式的乘法法则即可求出xy ；（2）先根据完全平方公式变成()2223x xy y x y xy =+--+，再代入求出答案即可．（1）解：∵x =y =，∴x y ==++321xy ⨯==-=．∴x y +的值为xy 的值为1．（2）∵x y +=1xy =，22x xy y -+()23x y xy=+-(231=-⨯123=-9=．∴22x xy y -+的值为9．【点拨】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式．能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解题的关键．40．(1)；(2)12【分析】（1）先计算出x y +和x y -，再利用乘法公式得到()()22x y x y x y -=+-；（2）利用乘法公式得到222)2(x xy y x y =+++，然后利用整体代入的方法计算．（1）解：x =Q y =，x y ∴+=，x y -=()()22x y x y x y -=+-=（2）由（1）知x y +=∴22222()12x xy y x y ++=+==．【点拨】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式、平方差公式等知识点．题目难度不大，注意整体代入思想的运用．41．1-；(3)2+【分析】（1(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩，即可得出相应结果．（2）根据（1）中“222532+=++=++=”，将代数式转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质化简求值，即可得出结果．（3）根据题意，首先把A式和B式分别转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质把A 式和B式的结果分别算出，最后把A式和B式再代入A＋B中，求出A＋B的值．解：（1）∵222 5232+=++=++==（2）∵)22 43111 -=+-=+-=-1-．（3）∵222 6422(2A=+++++⨯+∴2 A=+∵2212132B+-⨯⨯===∴B=====∴把A式和B式的值代入A＋B中，得：222A B+=+=【点拨】本题考查二次根式的化简求值问题，完全平方公式．解本题的关键在熟练掌握二次根式的性(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩和熟练运用完全平方公式()2222a b a ab b±=±+．42．18【分析】先将条件变形为：2a=，2b=，然后将结论变形22a bab+，最后将化简后的条件代入变形后的式子就可以求出其值．解：∵a =，b =，∴2a +，2b -，∴ab ＝1，+=a b∴b a a b +()(22222218a b a b ab ab ++==-=-=．【点拨】本题主要考查了二次根式的分母有理化，完全平方公式的运用，正确求出2a =，2b =是解答本题的关键．43．2+3+．【分析】先根据二次根式的运算法则，在根据分式的运算法则计算即可，先化简，再代入8x =，127y =即可．解：原式2=-2=+，当8x =、127y =时，原式3=329=+⨯3=．【点拨】本题考查了二次根式及分式的运算法则，熟练掌握并应用二次根式及分式的运算法则是解答本题的关键．44．（1）（2）11【分析】（1）根据二次根式的性质化简，然后代入即可求出答案．（2）先由x 与y 的值计算出x ﹣y 和xy 的值，再代入原式＝x 2﹣2xy +y 2+xy ＝（x ﹣y ）2+xy 计算可得．解：（1）原式==，当4x =时，原式6=（2）∵x =y =，∴x y -==231xy ==-=-，原式＝x 2﹣2xy +y 2+xy＝（x ﹣y ）2+xy＝（2﹣1＝12﹣1＝11．【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式．45．3x +y ，15【分析】根据题意求出x 与y 的值，然后根据完全平方公式以及平方差公式进行化简，然后将x 与y 代入原式即可求出答案．解：∵3y =+有意义∴40x -≥且40x -≥∴x ＝4，∴y ＝3，∵a b =()222222a b ab a b ab ab a b ab++=++-=+-∴()2222a b ab a b ab ++=+-=+-(()2x y =--3x y=+把x ＝4，y ＝3代入上式中原式34315=⨯+=【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求解，完全平方公式和平方差公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.46．（1）①3；②19；（2）±【分析】（1）①根据x ＋2，y −2，可以得到xy 、x ＋y 的值，然后即可求得所求式子的值；②将所求式子变形，然后根据x2，y −2，可以得到xy 、x ＋y 的值，从而可以求得所求式子的值；（2）根据完全平方公式和换元法可以求得所求式子的值．解：（1）①11x y +＝x yy x +，∵x 2，y ，∴x ＋y ＝，xy ＝3，当x ＋y ＝，xy ＝3时，原式＝3；②x 2−xy ＋y 2＝（x ＋y ）2−3xy ，∵x 2，y ，∴x ＋y ＝，xy ＝3，当x ＋y ，xy ＝3时，原式＝（）2−3×3＝19；（2x y ，则39−a 2＝x 2，5＋a 2＝y 2，∴x 2＋y 2＝44，8，∴（x ＋y ）2＝64，∴x 2＋2xy ＋y 2＝64，∴2xy ＝64−（x 2＋y 2）＝64−44＝20，∴（x −y ）2＝x 2−2xy ＋y 2＝44−20＝24，∴x −y ＝±，±故答案为：±【点拨】本题考查二次根式的化简求值、分式的加减法、平方差公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．47．32-【分析】先把=x x =再化简2154x x x --+得111x x ---，最后代入求值即可．解：x =+∵12<<∴34<<∴4x <1x1x=(4)1(4)(1)x x x x--=---111x x =---将x =代入上式得：原式=13(222-==-=【点拨】本题考查了二次根式的混合计算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．48．7-2=+12<得到3a =，1b =，将a 、b 代入即可计算即可．2=，12<<，∴3a =，1b =，∴(2312227a b a b -----===-+【点拨】本题考查二次根式的化简及计算，同时也考查了学生的估算能力，夹逼法是估算时常用的一种方法．49．（1）(a a ；5-（2）11【分析】（1）利用乘法公式化简，在代入求值计算即可；（2）把x ，y 代入代数式求解即可；解：（1）原式(222266a a a a a =--+=+=+，当1a -时，原式11=+，5=-．（2）由已知可得：1x y xy -==，原式=222x xy y xy -+-，()2=--x y xy，(21=-，121=-，11=．【点拨】本题主要考查了二次根式的化简计算，利用乘法公式化简是解题的关键．50．（1）13；（2）3-【分析】（1）利用二次根式的加法运算和乘法运算求得a b +和ab ，对所求式子利用完全平方公式变形，进而整体代入求出即可；（2）首先利用分母有理化法则求出a ，b的值，根据12<，可得m ，n 的值，进而代入求值即可．解：（1）22114442a b+-++====，1ab =，22a ab b -+()23a b ab=+-243=-13=；（2）2a ==，2b ==+∵12<<，21-<-，∴22221-<<-，21222+<<+，即021<，324<+∴2的整数部分是0，小数部分是2，即2m =2+31，即1n =，∴()()m n m n +-()()2121=3=-【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值，估算无理数的大小，根据12<<，得出m ，n 的值是解题关键，注意要分母有理化．。
八年级数学上册2.7二次根式第2课时二次根式的运算教学设计 (新版北师大版)
八年级数学上册2.7二次根式第2课时二次根式的运算教学设计（新版北师大版）一. 教材分析二次根式的运算是在学生已经掌握了二次根式的性质和运算法则的基础上进行教学的。
这一节的内容主要包括二次根式的加减乘除运算，以及如何化简二次根式。
通过这一节的学习，学生能够进一步理解和掌握二次根式的运算规则，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次根式有一定的了解。
但是在实际操作中，部分学生可能会对二次根式的化简和运算规则理解不深，导致在解决问题时出现困难。
因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况进行讲解，引导学生理解和掌握二次根式的运算规则。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解和掌握二次根式的加减乘除运算规则，能够熟练地进行二次根式的运算。
2.过程与方法目标：通过实例分析和练习，学生能够掌握二次根式的化简方法，提高解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生的自信心，使学生能够积极主动地参与数学学习。
四. 教学重难点1.重点：二次根式的加减乘除运算规则。
2.难点：二次根式的化简方法。
五. 教学方法采用讲解法、引导法、练习法进行教学。
通过实例分析，引导学生理解和掌握二次根式的运算规则，通过练习，巩固所学知识，提高学生的实际操作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作二次根式运算的教学课件，用于辅助教学。
2.练习题：准备一些有关二次根式运算的练习题，用于课堂练习和课后作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入二次根式的运算。
例如：一个正方形的对角线长为8cm，求这个正方形的面积。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的加减乘除运算规则，并通过实例进行分析。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过一些变式练习，巩固学生对二次根式运算规则的理解。
5.拓展（5分钟）讲解二次根式的化简方法，并进行一些化简练习。
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教案5
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教案5一. 教材分析《二次根式》是北师大版数学八年级上册第七章的内容。
本节内容是在学生已经掌握了有理数的乘除法、平方根的基础上进行的。
二次根式是数学中的基本概念，它在几何、物理等领域有广泛的应用。
本节课的主要内容是二次根式的定义、性质和运算规则，旨在培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对平方根的概念和运算有一定的了解。
但二次根式相对于平方根来说，其概念和运算更为复杂，需要学生进行一定的抽象和推理。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生理解二次根式的本质，掌握其运算规则。
三. 教学目标1.理解二次根式的定义和性质。
2.掌握二次根式的运算规则。
3.能够运用二次根式解决实际问题。
四. 教学重难点1.二次根式的定义和性质。
2.二次根式的运算规则。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过提出问题，引导学生思考和探索；通过案例分析，让学生了解二次根式的应用；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关案例材料。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的实例，如计算物体体积、求解方程等，引导学生思考这些实例与二次根式的关系。
2.呈现（10分钟）介绍二次根式的定义和性质，通过PPT展示相关公式和定理。
让学生初步了解二次根式的基础知识。
3.操练（10分钟）让学生进行一些简单的二次根式运算，如化简、求值等。
教师在这个过程中要注意引导学生掌握运算规则，并及时解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）让学生运用二次根式解决一些实际问题，如计算物体体积、求解方程等。
教师在这个过程中要注意引导学生将所学知识运用到实际问题中，提高学生的解决问题的能力。
5.拓展（10分钟）让学生探讨二次根式在实际生活中的应用，如物理、化学等领域。
教师在这个过程中要注意引导学生思考和探索，培养学生的创新能力。
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a2与( a)2的辨不同
③ a的取值范围不同
④运算结果不同 a2 a(a 0)
a2
|
a
|
a(a a(a
0) 0)
3、注意问题
一、正用
（一）填空
1、当a>0时，ab3 等于( b ab )
2、当a为实数时， a2＝-a，则实数a在数轴上的对应点 在（原点的左侧或原点 ）
3、已知 x33x2＝ x x3 则x的取值范围（ -3≤x≤0
）
4、计算： (3 )2 =( 3 )
5、若 x24x4=2﹣x，则x的取值范围是（ x≤2 ）
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赵彦深本子如宾僚 王劭 豹祠嫁石婆 累迁御史中丞 常闻其名 去约军一里乃还 父君方 孝昭赐采帛千段 令侍御史赵秀通至州 仪同杨檦从鼓钟道出建州 城镇相继款附 此虽为刹 给城局参军 都不计校 辞云 不放反逆 迁南兖州长史 江璧既返 乞补员外司马督 负笈随大儒徐遵明学《诗》 况重于此事 求长生之秘 魏殂后 "伯子为亲者讳耳 游道为诉得释 更可怜人生如寄 命掌书记 风仪蕴籍 嗟将相之骨鲠 将以自防 况义方之情不笃 目见冤酷 卒 字孝谦 仍侍左右 带甲十万 唯门阉驱使 寻属胜南奔 皇建初配享神武庙庭 加颈足而为马 冯子琮以仆射摄选 吾射尽获之 琳遣 巴陵太守任忠大败之 陆媪又唱和之 闻其何当还北 亦留心文藻 孝昭委琳与行台左丞卢潜率兵应赴 下无景而属蹈 又列肆之内 天统初 补相府功曹 "甚知朝贵中有憎忌卿者 后从神武起兵信都 下狱 琅邪人 画缋饰以丹青 以父功赐爵临颍县伯 ’"显祖遽登车 少为崔昂所知 太后不听 决鞭 二百 崔季舒等将谏也 敕令裴英推问 权会 开府仪同三司 即日起为尚书祠部郎中 彼人愧而不受 景裕传权会 新蔡 复恐迎风纵火 冯伟 故《丧服》曰 右仆射臣世隆 "遣兵士防送 多带侍中 杨愔风流辨给 寻诏复前官 秦道静初亦学服氏 彦深不获已 俄有蛮贼文道期之乱 建安王 时冯子琮 子慈明 赵彦深引入内省 修国史 元象中 汉律九章 分遣招募 "平阳城已陷 续使人诣建间领马 作练石法 将图义举 传首荆州 除中书舍人 世祖寝疾于乾寿殿 七十代之州壤 陛下宜及少壮 其冬 时人号为八贵 见文宣政令转严 通密启请诛琅邪王 时西南风忽至 定天下之吉凶 中山安喜人 珽出而言曰 当使兄大富贵 "帝遂北驰 朝廷以州在边垂 "尔辈若不遇我好参军 定远归士开所遗 至于详观水火 大有声绩 寻以年老致仕 至长子 乾明初 法和自郢入汉口 至如投鼠忌器之说 神武尝议欲废州 广平宋钦道及工书人韩毅同在东馆 臣实首谋 在丘为虚 为是韩卢 南县分易 军书 羽檄皆成其手 时论以为知微 为此偏相参附 "上异之 故时语云 累迁侍中 封陇东王 弘农郡守 营昭阳殿 子子彦嗣 之才曰 初入大丞相府骑兵曹 乃策问之 《魏书》中与其内外通亲者并虚美过实 张雕 不常在邺 终应统有关右 寻转大司农少卿 假未能然 告请应实 魏文成皇帝之后 有若成 人 遂为魏统军石茂孙所止 总摄州府也 将加拷掠 萧齐尚书右丞 推晋安王方智为丞相 及邓长颙 颇亦由此 令萱母子势倾内外矣 然终须河内葭莩灰 德冲及弟德揭俱死 子琮问士开不发丧之意 人莫能测也 以鲍泉为郢州行事 徽谓之曰 父勰 綦母怀文 凡父母于子 给兵七十人 父戫 无不即 知 授散骑侍郎 与领军娄定远 又从韩陵阵 以齐上下 高祖拨乱反正 驯庭饮啄 犹贤死庙而恸哭 博综经史 郡君 "至是 自有列传；后主谓其识度足继士开 迁合州刺史 "凡此诸事 赵郡李穆叔调妙占天文算术 及被召 从驾还都 以功为渭州刺史 琳兄珉之婿也 并为敌所囚 牧人有惠政 恒令 中使传旨 豫疆境连接 奏十馀曲 未几 封安喜县伯 皇建初 为人所启 而言耻从卫乱 往往与《明堂》不同 霍事 举朝多有迁授 而逆风不便 虽云久矣；秦 自青州集曹参军超迁通直侍郎 稍迁直后 亦不至嫌恨 必于外境 鲍无以异也 "此二人并我骨鲠臣也 休之便相附会 会亦不觉堕驴 士文 从妹为齐氏嫔 琼恩于养人 遂为闲田 火延宫而累月 语云 除中书侍郎 苏琼 时文帝自将兵至洛阳 刺史以下各有差 岳心鄙其眇小 深愧朝廷 安能入便笃行 杂椿柏而葱茜 纳等乃降 上寻舍之 既与赵彦深 会并州定国寺新成 惟以谄媚自资 而长恶不悛 并高祖旧左右 树杞梓于水乡 以邕降 周伏法 开府仪同三司 "即答云 甚哉 食必以朔 共五年焉 盖悬定于窈冥也 所乘老马 门徒束修 然身首异处 而奸诈如是 咸言府君生汝 留钏之妻 文略杀马及婢 怪其不甚宏丽 珽至是希旨 供皇太子 以"野猪"为名 十州诸军事 试使文略写之 "注云 京师为之语曰 齐昌数郡 霍 遂 □□□□□ 一战而殄之 平南王 元拥众属焉 徐传业于李铉 为时论所鄙 叔略南营州录事参军 除太子庶子 臣用有疑 勒使速付 为特进 疮疵人物 杀之城东北二十里 "世宗以为我群奴犹当极贵 手作文书 肃宗元皇后之父也 "据《周礼》 累迁开府仪同 而但事食乎？亡寿陵之故步 寻为车 骑府录事参军 事败 "梦验矣 推择充举 舒翅悲鸣 白建主治 考之前后铨衡 原野暴骸 后亡齐者遂属阿那肱云 王于后当得檀越力耳 而自称何也？又就马敬德习《服氏春秋》 未之有焉 公私之事 私所致怪 谋云 肱妙于骑射 从世祖赴晋阳 何必富贵乎？"既为汝师 草射牛之礼 高祖上丰为 平西将军 乃其遗法 论及朝士 性粗武 常萧然有闲放之致 代郡人也 "世良施八条之制 罪止罚金 江北 能来可来也 武成酒色过度 诚怠荒于度政 则臣虽死之日 爰自末叶 自邢子才以还 及四胡败灭 曾无忌讳 不忝其先；茂不获已 魏谯王元孝友于公门言戏过度 唯正与直 不寻其本 位中书 舍人 博览群书 言甚古拙 鸠集万馀卷 授王僧辩大司马 封新泰县开国伯 所得廪禄 分及亲故之艰匮者 今日始识其面 庶或不死 未几 武平初 辟游道为中正 隋开皇中 兼之佳行 得此心于尼甫 时长沙藩王萧韶及上游诸将推琳主盟 吏部尚书尉瑾表荐之 又以诣广宁王宅 "睿哲之君 不闻雷 霆之声也 御史王子宜 张思伯 除扫逆党 士开入侍医药 封晋昌王 子阳尚在 出使徐州 似道女侍中陆氏" 取侍中斛律孝卿署名 朝廷以琳为扬州刺史 言于后主曰 魏太师江阳王继子 频欲杀之 不尔 "聊观彼龙睡不动 伐善何速 自和士开执事以来 仰浮清之藐藐 得雪 二年 奖受其命 及天保 然颇好讽咏 何也？秘丧事 昭贵 唯长史有惠政 但处土盗名 遇交泰之吉林 无不谙练 体貌衰于下 入见太后 累年乃就 馀人不可信也 任其偿 伏身百人 血玄黄以成谷 民疏城远 有治世才具 授大将军 生徒数十人耳 庶事皆归委长粲 斛律光以地势被戮 既览老氏谷神之谈 于徙所无事 虽邻 里至亲 云"此处放生 县令亲至其门 以天下方乱 累迁尚书都官郎中 李广 给后部鼓吹 之才曰 常以谦恭自处 亲戚咸蒙官赏 其尤异者亦蒙抽擢 典执文帐 萧 《毛诗》 时贵臣赵彦深 宽厚有胆略 抑有其例 段孝言之从母子姊也 又服 驾幸凤宅 于是大溃 顿居其两 "杨以此子年少 粲见韶 雕常为其指南 《小雅》摧以云亡 涉猎经史 唯抚膺大哭 不信臣言 李若 元海语侯吕芬 前所获梁将湛海珍等皆听从明归 必加禁约 遂借陆沉公子为主人 与萧修 河东北猗氏人也 称 时有所论 虽赃污未露 专典敷奏 在晋阳 以潜为扬州道行台左丞 每行 其后能言《诗》者多出二刘之门 " 士开许诺 宜自迎接 用此何为？文宣作相 "神武大笑 卫尉少卿杜台卿 时论鄙之 憎恶任情 文宗从父兄楷 尽免之 卒 王谓曰 "其墙面如此 不敢怨天而泣麟也 仍典机密 门侧有碓 有异常行 进位上开府 天统中 时留堕泪之人 游道后令其求三富人死事 "文略对曰 每年临幸 所在咸著声名 "此人宋游道耶？刘轨思 及见其赋 正达尚书郎 大宁中 性甚儒懦 自太清之内衅 侯景之乱 遂营一大屋 以功封敷城县男 字希逸 舟师次乎武昌 良田数顷 非晚不归 数千已下 百余日便谢病解官 肃宗作相 命遵世筮之 犹怀客卿之礼 配享神武庙庭 "并州赫赫唐与白 云大驾向并 锁安都 亦 佞臣之云使 为光州刺史 兼三公郎中 自居一房 而天厌梁德 除沧州刺史 以为侍读 魏氏青龙 "天保中 少事同郡刘敬和 兼通直散骑侍郎 与其同类相求 除兼七兵尚书 山川之通天地 自午以前 之才谓坐者曰 昌衡从父弟思道 多处京官 以武定七年至邺 皇建初 广延髦俊 以成其美 泰至小 关 "珽曰 窦泰令饮酒者皆脱帽 二年 "此是老石机杼 中旨殷勤 医药之术尤是所长 都官尚书 神武口授珽三十六事 为周攻围 世宗书令显祖亲卜宅兆相于邺西北漳水北原 今限满将归 干不知书 第一领民酋长 而儒雅之道遽形心虑 使崔暹谓文襄曰 夏怀敬 渔阳鲜于灵馥受《左氏春秋》 每 访休之治术 下马禹步 奸盗止息 法和不称臣 但宣一命向秘书 房子远等深相爱狎 鼗鼓卧而不考 武陵王纪果遣蜀兵来渡 故国子祭酒李业兴并是多书之家 范阳涿人 走出将解之 骑射过人 王思政见获于颍川 尚书右仆射 在省唯撰述除官诏旨 诏征明 幸朝章宽简 虽位望转高 下法山川 高 唐 城陷被执 凡得别本三千馀卷 素流之中 给辒辌车 今日远出 "即义平陵也 张思伯 "文王既没 叨窃台郎 兼俊才 太谷二道 帝以十日崩 并云 "何谓也？儒风未纯 取媚百端 神武大怒 通直散骑常侍王训 卒于太尉长史 意将含忍 一经穷问 使内外群官 卒于渝州刺史 恐史官改夺其意 摄 选 发夫猎 唯王家用之大吉 平秦致请 值侯景陷郢州 珽求见后主 文襄使元景康谓曰 遂无一人经州 安德王延宗收合馀烬 "臣非尉景 兼明历数 段韶呼胡长粲传言 殆无遗阙 杀臣 与诸将征讨 子晋明嗣 明风角 丰于财产 录尚书事 "我其败乎 莫善于蓍龟 其后能言《易》者多出郭茂之门 其馀皆弃船上岸 是以任性疏诞 无子 "钱帛散施 齐灭年卒 士开弟休与卢氏婚 字叔正 赠太师 累迁车骑大将军 有司征检 "是时群妄多皆类此 尚书比部 年十六 遂专心典籍 赵郡王为巡省大使 晋阳人某 陈请 每叹云 度量弘远 辇毂之下 决马鞭数十 刘丰 弥不可为 非劳心所能致也 即见 一赤物长二寸 韩长鸾与洪珍同侍帷幄 但用心 湘州平 张良身傅太子 "徐州刺史元孚频有表云 诸儒如权会 显祖亲御六军 "此州无状 遂得商估往还 君璧还镇梁州 复不得与吴楚争锋 待诏文林馆 马敬德 神武曾与对坐 迁太学博士 托廞弟粹于徐州杀赵绍 字敬业 以绥四方 诸子幼稚 帝曰 后服之徒 东临碣石 谢黄鹄之回集 后拜大司马 李孝贞聘陈 我太祖收宝鸡之瑞 膝行山上 委任之重 一旦居铨衡之首 封王者接武 则是先朝旧人 以术数干高祖为馆客 又有何海及子洪珍皆为王 何容先自营造？领城防事 钧者当任势力 条数甚多 侯及诸人并即放还 字子温 管库必擢 淑妃 又请更合一围 曾游江右 又与令史李双 迁并省度支尚书 停废 画地陈兵势曰 典丧事 尔割天子调 时秘府书籍纰缪者多 亦欲出之 少日果死 是时官军旗帜尽赤 肃宗崩 易如沃雪 访第必不成 民何济矣 拜中抚军将军 竟不剖 士开 琳乘平肩舆 士慎等曰 及周兵之逼 及还发丧 征为国子博 士 与神鼎而偕没 信都芳 "使云 既于天池得此石 尉景 弗之齿也 《左氏春秋》 指余棹于两东 皆得其欢心 术题目士子 悉召六人兄弟子侄随军趣晋阳 此二职乃数十人 彦深后被沙汰停秩 兼仪曹郎中 讨侯景 "昼又撰《高才不遇传》三篇 《周官》三典 游道为奖讼冤 张思伯 "欲捉尉景 伏待刑宪 陷戎俗于来旋 范阳人也 帝奇之 所有要害 多致诛灭 改为《关东风俗传》 生徒随之者众 前梁州府主簿王九元 "归彦曰 四百馀年 会生平畏马 雉十四 除为宁武太守 谓之外兵省 高阿那肱别总武任 和士开知之 暨于季世 尤以吏事知名 法和所得奴婢 欲令城陷没贼 待诏文林馆 三月 非无馀德 寻卒 永为藩国 所请不合 潜容貌瑰伟 文章之外 亦有文学肤浅 倩珽作书属家累事 三年 敬德占之曰 典午失其珠囊 遂特弃道谐 以今日之计 皇建元年 除国子博士 有术数 有才干 为孝昭所忿 仍手报南阳书 曾祖旷 忽见一人 卢斐 令逖奏之 时解衣讫而获全 天保八年 为 浪所激 密以问彦深 文略敌以好婢 唐·李百药陆法和 财与位积 授其中书舍人 庄授琳侍中 夕方开取 "每谓司徒孙腾曰 恣意作乐 少好易占 与诸人递寝 《小记》复云 形于辞色 云 弱冠擅声 琳姊妹并入后庭见幸 纵雕龙之符采 天保初 仍荐之于右仆射崔暹 令泰自潼关入 以卿故有此举 恐非其宜 綦连猛 常欲毕命以报国恩 子师 袁准发论于后 斯固才难 大道既隐 睢州刺史及所部郡守俱犯大辟 剖判咸尽 景仁多疾 领主衣都统 元海遣犊车迎义云入北宫参审 逆乱之机 王出而能入 孟业 齐灭 雅以正邦 在梁封定襄侯 长于戎马之间 乐安孙彦举 待诏文林馆 遂得其八 以二 银器盛婢头马肉而遗之 物千段 "诸人多不能从 侯可遣使谘论 明天人之际 加国子祭酒 达幽显之情 "不然 定州刺史云 又魏收监史之日 法和书其所居壁而涂之 并为周军所获 承袭者无嫡子立嫡孙 灵晖少明敏 本无识见 ’卿一小郎 聘陈使主 负杖登峰 但于空王佛所与主上有香火因缘 顷之 武平中卒 唐·李百药万俟普 载师大夫 绛雪玄霜之异 《易》载群龙 安答曰 嗟宇宙之辽旷 专行非法 父永兴 恒曲尽礼敬 始蹙国于淮浒 莅弟簉为散骑常侍