黑龙江省哈尔滨第六中学2015届高三第二次模拟考试 数学(理) Word版含答案

哈尔滨市第六中学2015届高三第二次模拟考试理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数iiz +=1（i 是虚数单位）对应的点位于 A .第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限2. 已知抛物线方程为24y x =，则该抛物线的焦点坐标为A . )1,0(B . )161,0( C . )0,1( D . )0,161( 3. 已知,a b均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b +=A .B .C . 4D . 134. 已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于 A ．30 B ．45 C ．90 D ．1865. 下列命题中正确命题的个数是（1）cos 0α≠是2()2k k Z παπ≠+∈的充分必要条件；（2）|cos ||sin |)(x x x f +=，则)(x f 的最小正周期是π; （3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变； （4）设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ,若(1)P p ξ>=，则1(10)2P p ξ-<<=-.yxA ．4B ．3C ．2D ．16．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为 （[]x 表示不超过x 的最大整数）A . 4B . 5C . 7D . 97.下图可能是下列哪个函数的图象A . 221x y x =--B . 2sin 41x xxy =+ C . 2(2)x y x x e =-D . ln x y x=8.在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为,a b .则方程22221x y a b+=表示焦点在x 轴上且离A .12 B .1532 C .1732 D .31329.已知函数32()f x x bx cx d =+++(,,b c d 为常数), 当(0,1)x ∈时()f x 取得极 大值, 当(1,2)x ∈时()f x 取得极小值, 则221()(3)2b c ++-的取值范围是 A. ⎫⎪⎪⎝⎭B. )C . 37,254⎛⎫⎪⎝⎭D . (5,25)10. 2015年开春之际，六中食堂的伙食在百升老师的带领下进行了全面升级.某日5名同学去食堂就餐，有米饭，花卷，包子和面条四种主食.每种主食均至少有一名同学选择且每人只能选择其中一种.花卷数量不足仅够一人食用，甲同学因肠胃不好不能吃米饭，则不同的食物搭配方案种数为A . 96B . 120C . 132D .24011.在平行四边形ABCD 中，220,240AB BD AB BD ⋅=+-= ，若将其沿BD 折成直二面角C BD A --，则三棱锥BDC A -的外接球的表面积为A ．π16B .π8C .π4D .π212. 若函数2()|ln |2x f x a x x a m =+---，（0a >且1a ≠）有两个零点，则m 的取值范围是A . (1,3)-B .(3,1)-C .(3,)+∞D .(,1)-∞-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置． 13.在3)n -()n N *∈的展开式中，所有项的系数和为32-，则1x的系数等于 . 14. 如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径 为1的半圆，则该几何体的表面积是_________.15. 已知n S 和n T 分别为数列{}n a 与数列{}n b 的前n 项和，且41a e =，51n n S eS e +=-，n b n a e =（*n N ∈）.则当n T 取得最大值时，n 的值为____________.16．在ABC ∆中,sin cos 2)sin(,sin 32sin22C B C B A A=-=则=AB AC ________ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. （本小题满分12分）在锐角ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且AC a c b cos cos 2=-. （I ）求角A 的大小； （II 求函数)6sin(sin 3π-+=C B y 的值域.18．（本小题满分12分）据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：正视图俯视图D而且已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为05.0。

（1）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（2）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望.19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，M 是棱PD 的中点，且2PA AB AC ===，BC =（1）求证：CD ⊥平面PAC ；（2）如果N 是棱AB 上一点，且直线CN 与平面MAB 所成角的正弦值为5，求AN NB 的值20. （本小题满分12分）如图，已知抛物线C ：px y 22=和⊙M ：1)4(22=+-y x ，过抛物线C 上一点00(,)H x y 0(1)y ≥作两条直线与⊙M 相切于A 、B 两点，分别交抛物线为,E F 两点，圆心M 到抛物线准线的距离为417． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，求直线EF 的 斜率；（Ⅲ）若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．FEDCBA21 （本小题满分12分）已知函数()(2)2(1ln )f x a x x a =--++ . ()x ex g x e=（I ）若函数()f x 在区间1(0,)2上无零点，求实数a 的最小值；（Ⅱ）若对任意给定的0(0,]x e ∈，在(0,]e 上方程0()()f x g x =总存在两个不等的实数根，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上． （1）若21,31==EA ED EB EC ，求ABDC的值； （2）若FB FA EF ⋅=2，证明：CD EF //．23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos 2y x （ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线3πθ=与曲线2C 交于点(2,)3D π.（1）求曲线1C ，2C 的普通方程； （2）)2,(),,(21πθρθρ+B A 是曲线1C 上的两点，求222111ρρ+的值；24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数)|5||1(|log )(2a x x x f --+-= （1）当5=a 时，求函数)(x f 的定义域；（2）当函数)(x f 的值域为R 时，求实数a 的取值范围． 哈六中二模数学理科答案 一选择题答案1-5：D B A C C 6-10：C C B D C 11-12：C A 二填空题答案13：270- 14：2π 15: 4或517.2cos (1)cos (2sin sin )cos sin cos 2sin cos sin cos sin cos sin()sin 1sin 0cos 2b c Ca AB C A A C B A A C C A A C BB A -=∴-=∴=+=+=≠∴=A 为锐角3A π∴=---------------------------- 6分 2(2)33A CB ππ=∴=-2sin()cos 2sin()366y B B B B B πππ∴=+--=+=+----------------- 8分 ABC ∆ 为锐角0;02262B C B ππππ∴<<<<∴<<--------------------- 10分sin()16B π<+≤∴函数sin()6y B C π=+-的值域为2]------- 12分18．（1）∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为05.0，∴05.03600120=+x，解得60=x ，∴持“无所谓”态度的人数共有7206060012021003600=----，∴应在“无所谓”态度抽取723600360720=⨯人；--------------------------- 4分 （2）由（1）知持“应该保留”态度的一共有180人，∴在所抽取的6人中，在校学生为46180120=⨯人，社会人士为2618060=⨯人，于是第一组在校学生人数1=ξ，2，3.51)1(362214===C C C P ξ，53)2(361224===C C C P ξ，51)3(360234===C C C P ξ----------------- 10分 即ξ的分布列为：∴2535251=⨯+⨯+⨯=ξE .------------------------------------ 12分 19．（1）连结AC ．D因为在ABC ∆中，2AB AC ==，BC =所以 222AC AB BC +=，所以 AC AB ⊥． 因为AB ∥CD ，所以AC CD ⊥． 又因为 PA ⊥底面ABCD ， 所以 PA CD ⊥． 因为 A PA AC = ，所以 CD ⊥平面PAC ．--------------------------- 4分（2）如图以A 为原点，,,AB AC AP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.D则(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，(2,2,0)D -． 因为 M 是棱PD 的中点， 所以 (1,1,1)M -．所以 (1,1,1)AM =- ，(2,0,0)AB =．设(,,)n x y z =为平面MAB 的法向量，所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0AM n ，即 020x y z x -++=⎧⎨=⎩，令 1y =，则 011x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以平面MAB 的法向量(0,1,1)n =-．--------------------------------- 8分因为N 是在棱AB 上一点，所以设)0,0,(x N ，(,2,0)NC x =-．设直线CN 与平面MAB 所成角为α，D因为平面MAB 的法向量(0,1,1)n =-，所以sin cos()2n NCn NCπαα⋅=-=⋅==. 解得1x =，即1AN =，1NB =，所以1ANNB=.--------------------------------- 12分 20. 解：（Ⅰ）∵点M 到抛物线准线的距离为=+24p 417，∴21=p ，即抛物线C 的方程为x y =2．--------------------2分（Ⅱ）法一：∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点)2,4(H ，∴HE HF k k =-， 设11(,)E x y ，22(,)F x y ， ∴1212H H H H y y y y x x x x --=---，∴ 12222212H H H H y y y y y y y y --=---， ∴1224H y y y +=-=-. -------------------------------5分212122212121114EF y y y y k x x y y y y --====---+．------------------------------7分 法二：∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点)2,4(H ，∴60=∠AHB ，可得3=H A k ，3-=HB k ，∴直线HA 的方程为2343+-=x y ，联立方程组⎩⎨⎧=+-=xy x y 22343，得023432=+--y y ，∵2E y +=∴363-=E y ，33413-=E x ．--------------------------------5分同理可得363--=F y ，33413+=F x ，∴41-=EF k ．------------------7分（Ⅲ）法一：设),(),,(2211y x B y x A ，∵411-=x y k MA ，∴114y x k HA -=，可得，直线HA 的方程为0154)4(111=-+--x y y x x ， 同理，直线HB 的方程为0154)4(222=-+--x y y x x ， ∴0154)4(101201=-+--x y y y x ，0154)4(202202=-+--x y y y x ， ······················································· 9分 ∴直线AB 的方程为02200(4)4150y x y y y --+-=， 令0=x ，可得)1(154000≥-=y y y t ， ∵t 关于0y 的函数在[1,)+∞单调递增， ∴11min -=t ．--------------------------------12分法二：设点2(,)(1)H m m m ≥，242716HM m m =-+，242715HA m m =-+．以H 为圆心，HA 为半径的圆方程为22242()()715x m y m m m -+-=-+，① ⊙M 方程：1)4(22=+-y x ．② ①-②得：直线AB 的方程为2242(24)(4)(2)714x m m y m m m m -----=-+．-------9分 当0x =时，直线AB 在y 轴上的截距154t m m=-(1)m ≥， ∵t 关于m 的函数在[1,)+∞单调递增， ∴11min -=t --------------------------------12分 21．F E D C B A22. 证明：（I ） D C B A ,,,四点共圆，∴EBF EDC ∠=∠，又 AEB CED ∠=∠， ∴CED ∆∽AEB ∆，ABDC EB ED EA EC ==∴， 21,31==EA ED EB EC ， ∴66=AB DC ．------------------------------------ 5分 （II ） FB FA EF⋅=2， ∴ FEFB FA EF =， 又 BFE EFA ∠=∠， ∴FAE ∆∽FEB ∆，∴EBF FEA ∠=∠，又 D C B A ,,,四点共圆，∴EBF EDC ∠=∠，∴EDC FEA ∠=∠， ∴CD EF //. ------------------------------- 10分23. (1)1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos 2y x 1C ∴的普通方程为2214x y +=. 射线3πθ=与曲线2C 交于点(2,)3D π2C ∴的普通方程为22(2)4x y -+=----------- 4分 (2)曲线1C 的极坐标方程为2222cos sin 14ρθρθ+=22244sin cos ρθθ∴=+ 212244sin cos ρθθ∴=+ 222244sin ()cos ()22ρππθθ=+++ 224sin 4cos θθ=+-------------------------- 8分 22222212114sin cos 4cos sin 5444θθθθρρ++∴+=+=------------------------ 10分24.解（1）当5=a 时，求函数)(x f 的定义域，即解05|5||1|>--+-x x 不等式 …… 2分 所以定义域为21|{<x x 或}211>x …… 5分 （2）设函数)(x f 的定义域为A ，因为函数)(x f 的值域为R ，所以A ⊆+∞),0(…… 7分 由绝对值三角不等式a a x x a x x -=-+--≥--+-4|51||5||1| …… 9分 所以04≤-a 所以4≥a …… 10分。