材料力学(Ⅱ)复习指导(over)

第12章 弯曲的几个补充问题§12.1 非对称弯曲一 概念● 非对称弯曲 —— 又称斜弯曲，指受弯梁无纵向对称面，或者虽有纵向对称面，但载荷并不在这个平面内的情况。

二 记法 三 规律● 非对称弯曲时，梁横截面上的正应力为：y z z yM zM y I I σ=+其中：z M ——表示形心主惯性平面Oxy 平面内的弯矩； y M ——表示形心主惯性平面Oxz 平面内的弯矩； 中性轴的位臵可由下式计算：tan z y y zM I M I θ=-● 一个非对称弯曲问题，如果事先已经确定好了如上图所示坐标系（即形心主惯性平面已经找到），那么这个非对称弯曲问题可以分解为Oxy 和Oxz 平面内的平面弯曲问题，原问题的解答（指内力、应力、变形和应变）即为上述两个平面弯曲问题解答的叠加（矢量叠加）。

这也就是说，实际上可以按照组合变形问题来求解。

四 理论方法五 重要习题● 教材6页例题12.2；● 教材20、21页习题12.1、12.2（a ）（b ）（c ）问、12.3；● 练习册《组合变形》选择题1小题，填空题1小题（a ）、（b ）问，计算题1、5小题。

§12.2 开口薄壁杆件的切应力 弯曲中心一 概念● 开口薄壁杆件 —— 指由板轧制或拼接而成的杆件，横截面形状为单连通区域，有开口。

● 切应力流 ——指受弯开口薄壁杆件横截面上的所有弯曲切应力。

由于切应力沿着横截面的壁厚中线方向，就像管道中的流体，切应力流只是一种形像的说法。

● 弯曲中心 ——又称剪切中心或弯心，指开口薄壁杆件横截面上的一个特定点，当外力作用线通过这一个点时，杆件将仅出现弯曲变形，而不发生扭转变形。

二 记法 三 规律● 对受弯的开口薄壁杆件，若横向力作用平面在非对称面的形心主惯性平面上，或在该平面上有分量，则杆件将发生扭转变形。

● 在不考虑扭转变形，仅考虑弯曲变形的情况下，设横向力平行于y 轴，Oxy平面为形心主惯性平面，受弯开口薄壁杆件横截面上的弯曲切应力（不包括扭转产生的切应力）为：*Sy zz F S I τδ=其中：Sy F ——表示平行于y 轴的横向剪力；*z S ——表示从计算点开始，y 轴正方向一侧的部分横截面面积对z 轴的静矩； δ——壁厚。

● 往往弯曲中心与形心不在同一个位臵上。

● 通过弯曲中心的剪力对横截面上任意一个点的矩，应等于横截面上弯曲切应力流对同一点的矩的总和（或积分），即：*zSy z z zA A rS F a r A a A I τδ=⇔=⎰⎰d d其中： r——任意取定的一个点，至切应力计算点的截面中线的切线距离；z a ——任意取定的一个点至弯曲中心的距离。

其它符号涵义同前。

● 弯曲中心的位臵与剪力无关，只与横截面的形状有关。

●弯曲中心必在横截面的对称轴上。

●对由多个狭长矩形交于同一点的横截面，弯曲中心即是交点。

四理论方法（实在搞不懂的话就算了！）●对某受弯开口薄壁杆件横截面上弯曲切应力流进行力系简化，若简化中心正好取在弯曲中心，则力系简化的结果为一个力，该力在数值上与剪力相等，方向与剪力一致。

●由于开口薄壁杆件在纵向对称面内受横力弯曲时，弯曲切应力流的简化中心只有取在横截面的对称轴上时才不会出现主矩，因此，弯曲中心必在横截面的对称轴上。

●对由多个狭长矩形交于同一点的横截面，由于切应力流构成的力系往交点简化时主矩为0，应此弯曲中心即是交点。

五重要习题●教材21页习题12.2（d）（e）（f）问；（《<材料力学（刘鸿文编第四版）>习题详解》上（d）问的答案是错的！）●教材24页习题12.12；●练习册《弯曲应力》选择题2小题；●练习册《组合变形》填空题1小题（c）问。

第13章能量方法§13.1 概述一概念●能量原理——指与外力做功和变形能有关的原理。

●应变能——由于弹性固体受外力作用变形之后，存在恢复变形前的形状的趋势，应变能指弹性固体内储存的与恢复变形前形状有关的能量。

二 记法● 应变能 —— V ε ● 外力做功 —— W 三 规律● 弹性固体受外力作用变形之后，有如下关系：V W ε=§13.2 杆件应变能的计算一 概念● 广义力 —— 指力或力偶。

● 广义位移 —— 指位移或转角。

广义位移具体是位移还是转角，取决于对应的广义力是力还是力偶。

二 记法 三 规律● 线弹性材料的简单杆件在简单外力作用下的应变能为：222222p t e n s i o n o r c o m p r e s s i o n t o rs i o n b e n d i n gF l EA T lV GI M l EIε⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩相应的微分形式和积分形式分别为：222222p d d d d F x EA T xV GI M x EIε⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩ 222222p d d d l l l F x EAT xV GI M x EIε⎧⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰● 线弹性材料的结构（或构件）内一确定点的应变能密度是一个确定的量，不随坐标的变换而变化，其数值为：（第7章已经说明！）112233*********222222222x x y y z z xy xy yz yz zx zx v εσεσεσετγτγτγσεσεσε=+++++=++● 设作用于线弹性材料的结构（或构件）上的一个广义力为F ，相应的广义位移为δ，则该结构（或构件）由于这一个广义力引起的应变能为：12V W F εδ==● 由于应变能与广义力或广义位移之间的关系不是线性关系（对于线弹性结构或构件为二次关系），因此，应变能与广义力或广义位移之间不满足叠加原理。

对于微单元体上的应变能密度也是如此（练习册《能量法（一）》选择题1、2小题）。

四 理论方法（实在搞不懂的话就算了！）● 设作用于非线弹性材料的结构（或构件）上的一个广义力为F ，相应的广义位移为δ，则该结构（或构件）由于这一个广义力引起的应变能为：*0d V W F δεδ==⎰● 非线弹性材料的结构（或构件）内单向应力状态点的应变能密度是一个确定的量，不随坐标的变换而变化，其数值为：（教材上没有说明单向应力状态！）*0d v εεσε=⎰五 重要习题● 教材31页例题13.1； ● 教材60页习题13.2；● 练习册《能量法（一）》计算题1小题。

§13.3 应变能的普遍表达式一 概念● 克拉贝依隆原理—— 指应变能的普遍表达式。

二 记法 三 规律● 设作用于线弹性材料的结构（或构件）上的一组广义力分别为1F 、2F 、3F 、…，在这一组广义力的共同作用下，各广义力相应的最终广义位移为分别1δ、2δ、3δ、…，则该结构（或构件）的总应变能为：112233111222V W F F F εδδδ==+++ ● 上式看似满足叠加原理，其实不然。

由于1δ、2δ、3δ、…为1F 、2F 、3F 、…，这一组广义力的共同作用下各广义力相应的最终广义位移，1δ、2δ、3δ、…并不一定等于1F 、2F 、3F 、…各自独立作用下的各自的广义位移。

只有当每一个广义力的作用对其它广义力对应的广义位移不造成影响时，才可以认为1δ、2δ、3δ、…等于1F 、2F 、3F 、…各自独立作用下的各自的广义位移，或者说满足类似叠加原理的关系。

● 设某组合变形杆件的变形可分解为一个单纯的拉伸（或压缩）变形、一个单纯的扭转变形和一个单纯的弯曲变形，由于轴力不产生相对扭转角和转角、扭矩不产生伸长量和转角、弯矩不产生伸长量和相对扭转角，因此，该杆件的总应变能为：222222d d d N p ll l F x T x M xV W EA GI EI ε==++⎰⎰⎰对组合变形杆件的一个微段d x ，有类似的微分关系：222222d d d d N p F x T x M xV EA GI EIε=++● 设某非对称弯曲梁的变形可分解为两个互相垂直的形心主惯性平面（Oxy 和Oxz 平面）上的平面弯曲变形，由于两个形心主惯性平面上的弯矩只影响各自本身对应的挠度，对另一个方向的挠度不造成影响（由于是垂直的），因此，该梁的总应变能为：2222d d y z y z llM xM xV W EI EI ε==+⎰⎰ ● 设某对称弯曲梁的变形可分解为两个同一形心主惯性平面（Oxy 平面）上的平面弯曲变形，该梁的总应变能一般不等于两个平面弯曲变形的应变能的和，即：()2221212222d d d ll lM M xM x M xV W EIEI EI ε+==≠+⎰⎰⎰四 理论方法五 重要习题● 教材60页习题13.3、13.4。

● 练习册《能量法（一）》选择题1、2小题。

§13.4 互等定理一 概念● 互等定理 —— 指由英国物理学家James Clerk Maxwell 于1864年提出单位载荷法时发现的一个规律，经后人（包括O. Mohr ）的研究与发展，得到现在材料力学和结构力学教科书上表述的三种形式，即功的互等定理、位移互等定理和力的互等定理。

二 记法三 规律● 设有2组力分别独立作用（而不是共同作用）于同一个线弹性材料的结构（或构件）上，则第1组力在第2组力所产生的位移上所做的假想的功（或虚功），等于第2组力在第1组力所产生的位移上所做的假想的功（或虚功）。

用公式表述为：()()()()()()()()()()()()()()()()()()F F F F FF F F F F F F δδδδδδ+++=+++ 111222131322121212212121123123 其中：()i F 1 ——表示第1组力（1,2,3,i = ）； ()i F 2 ——表示第2组力；()()iF δ12——表示由于第2组力引起的在第1组力的力()i F 1方向上的位移；()()iF δ21——表示由于第1组力引起的在第2组力的力()iF 2方向上的位移。

当上述2组力分别只有一个时，有：()()()()()()F F F F δδ=1211122111不妨简记为：()()211122F F δδ= ● 当F F =12（或在数值上相等）时有()()2112δδ=（或在数值上相等）。

● 当()()2112δδ=（或在数值上相等）时有F F =12（或在数值上相等）。

四 理论方法（实在搞不懂的话就算了！）● 由于线弹性材料的结构（或构件）的受力与变形的关系是线性的，因而符合叠加原理。

在互等定理的推导中，由2组力共同作用于同一结构出发得到的结论，可用于2组力分别作用于同一结构。

● 教材的论述中令人遗憾的没有提及虚功，这是不合适的。

互等定理在很多情况下（几乎包括教材和练习册上的所有习题和例题）都是通过引入实际没有发生的虚功来解题的。