高一数学必修一课件3.2.2函数模型的应用实例

t
（2）将y=130000代入
y = 55196e
0 .0 2 2 1 t
,
由计算器可得
t 3 8 .7 6
所以，按照表1的增长趋势，那么大约在1950年 后的第39年（即1989年）我国的人口就达到13亿， 由此看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然 生长，今天中国将面临难以承受的人口压力.
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时 期的人口增长率(精确到0.0001)，用马尔萨斯人口增长 模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检 验所得模型与实际人口数据是否相符；
(2)如果按表中数据的增长趋势，大约在哪一年我国 的人口达到13亿？
分析：
每年的增长率是多少 这几年的平均增长率是多少 马尔萨斯的人口增模型
建立函数模型的全过程：
抽象概括 实际问题
数学模型 推理 演算
实际问题的解
还原说明
数学模型的解
思考
对于模型的结果与实际存在的情况 有什么看法吗？ 注意在用已知的函数模型刻画 实际问题时候，由于实际问题的条 件与已知模型的条件不同，所以往 往需要对模型进行修正. 面对实际问题我们怎么样才能解 决它呢？我们能不能通过自己建立函 数模型来解决实际问题呢？
0 .0 2 2 1 t
,t N.
根据已知的表格数据作出散点图并作出函数 0 .0 2 2 1 t 由图我们看出所得的模型与1950y = 55196e (t N ) 的图像． 1959年实际人口数据基本吻合
y
70000 65000 60000 55000 50000
1
2 3
4 5 6
7
8
9
函数应用的基本过程 1、收集数据； 2、作出散点图； 3、通过观察图象判断问题所适用的函数模型； 4、用计算器或计算机的数据拟合功能得出具体的 函数解析式； 5、用得到的函数模型解决相应的问题.
收集数据 画散点图
选择函数模型
待定系数法ຫໍສະໝຸດ 求函数模型 验证 检验模型
好 不好
用函数模型解决实际问题
课堂小结
例 某地区不同身高的未成年男性的体重平均 值如表2
身 60 高 /cm 体 重 /kg
6.13
70
80
90
100
110
120
130
140
150 160
170
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.8 5
47.25 55.05
(1)根据表中提供的数据,能否建立恰当的函数模型, 使它能比较近视地反映这个地区未成年男性体重 ykg与身高xcm的函数关系?试写出这个函数模型的 解析式.
例 某家电企业根据市场调查分析,决定调整产品 生产方案,准备每周(按120个工时计算)生产空凋、 彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台.已知生 产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表: 家电名称
每台所需工时 每台产值（千元）
空调
1/2 4
彩电
1/3 3
冰箱
1/4 2
问每周应生产空调、彩电、冰箱各多少台,才能 使周产值最高?最高产值是多少?(以千元为单位)
y m ax = 8 0 0 0
所以当每间客房日租金提高到20+10×2=40元时，客 户租金总收入最高，为每天8000元．
例 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与是时间 的关如图所示. （1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积 的实际含义； （2）假设这辆车汽车的历程表在汽车行驶这段 路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程 时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式， 并作出相应的图像.
y = y 0e
rt
其中t表示经过的时间，y表示t=0时的人口数，r 0 表示人口的年平均增长率.
下面表1是1950～1959年我国的人口数据资料：
年 份
1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207 /万 人
根据点的分布特征，可以考虑以 y = a b 作为刻画这个地区未成年人男性的体重与身高的 关系的函数模型. 选取数据（60，⒍13），(70,⒎90)，代入 y = a b 得到
6 .1 3 = a b 70 7 .9 0 = a b
60
x
x
可得到a≈1.338，b ≈ 1.026，函数模型 y＝1.338· 1.026x 由函数图像与散点图比较，发现散点图上的好多 点都偏离函数图像，所以此函数不能较好地刻画 出该地区未成年人体重与身高的关系.
2 2
4a
y a (a 0, a 1) 3.指数函数的关系式为_____________________,
x
(0,1) 当a_____时,它在R上是增函数;当a∈____时,它在R >1 (0,+∞) 上是减函数.它的定义域为_____,值域为________. R
下面来看几个实例.
3.2.2 函数模型的
新课导入
知识回顾
前面学习了一次函数、二次函数、指数函数、 对数函数以及幂函数，且它们与生活有着密切的联
系，有着广泛的应用.
y = kx + b (k 0 ) 1.一次函数的解析式为_______________ , 其 直 图像是一条____线， 当______时，一次函数在 (- , + ) ____________上为增函数，当_____时，一次函数在 (- , ______ _____+ ) 上为减函数.
建立函数模型的全过程：
抽象概括 实际问题
数学模型 推理 演算
实际问题的解
还原说明
数学模型的解
收集数据 画散点图
选择函数模型
待定系数法
求函数模型 验证 检验模型
好 不好
用函数模型解决实际问题
注意在用已知的函数模型刻画实际问题时 候，由于实际问题的条件与已知模型的条件 不同，所以往往需要对模型进行修正.
选取 (70, ⒎90)， （160，47.25） x y = 2 1 .0 2 算出a ≈ 2，b ≈ 1.02，函数模型
体重(kg)
o
身高（cm）
由此发现这个函数模型与已知数据的拟合程度 较好，这说明它能较好的反应这个地区未成年男性 体重与身高的关系. x （2）将x=175代入 y = 2 1 .0 2 得y ≈63.98.由 于78÷63.98 ≈1.22>1.2，所以这个男生偏胖.
解：设每周应制作空调x台，彩电y台，则每周 制作冰箱（360-x-y）台，本周的产值设为w千 元．于是
w = 4 = 3 2 x+ 1 2 1 2
1 3 1 4
x+
1 3
3y +
1 4
2 (3 6 0 - x - y )
y + 180
（1）
又因为
1 2 x+ y+ (3 6 0 - x - y ) = 1 2 0
解：设客房日租金每间提高x个2元，则每天客房出 租数为300-10x, 由x>0，且300-10x>0得,0<x<30, 设客房租金总收入y元，则有：
y = (2 0 + 2 x)(3 0 0 - 1 0 x)
= -2 0 (x - 1 0 ) + 8 0 0 0 (0<x<30)
2
由二次函数性质可知当x=10时，
如何检测此模型与实际人口数据相符
哪一年我国人口达到13亿
解：（1）设1951 ～1959年的人口增长率分别为 r1 , r 2 , ..., r9 .
由 5 5 1 9 6 1 + r1 = 5 6 3 0 0 , （ ）
可得1951年的人口增长率 r1 0 .0 2 0 0 . 同理可得，
r 2 0 .0 2 1 0 , r 3 0 .0 2 2 9 , r 4 0 .0 2 5 0 , r 5 0 .0 1 9 7 , r 6 0 .0 2 2 3 , r 7 0 .0 2 7 6 , r 8 0 .0 2 2 2 , r 9 0 .0 1 8 4 .
v / (km g h )
90 70
-1
50
30 10
能根据此图 画出汽车行驶路 程关于时间变化 的图像吗？
0
1
2
3
4
5
t/h
解：（1）阴影部分的面积为 50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路 程为360km.
（2）根据上面的图，有
50t + 2004, 8 0 (t - 1 ) + 2 0 5 4 , s = 9 0 (t - 2 ) + 2 1 3 4 , 7 5 (t - 3 ) + 2 2 2 4 , 6 5 (t - 4 ) + 2 2 9 9 ,
应用举例
学习目标
知识与能力
能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步 体会应用一次函数、二次函数模型等解决实际题,能 够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决 实际问题.
过程与方法
感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体 会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的 重要性,进一步感受运用函数概念建立函数模型的 过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评 价.
0 t < 1, 1 t < 2, 2 t < 3, 3 t < 4, 4 t < 5.