高三数学备考冲刺0分问题14平面向量基本定理的应用问题

合集下载

高考数学复习专题07 平面向量平面向量基本定理备考策略

平面向量基本定理备考策略
主标题：平面向量基本定理备考策略
副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。

关键词：平面向量的基本定理，备考策略
难度：3
重要程度：4
内容：
1、在同一平面内，表示同一向量的基底是否是唯一的?
2、若基底选取不同，则表示同一个向量的实数12,λλ是否相同。

3、平面向量基本定理的应用
思维规律解题
考点一：判断向量能否作为基底
例1：若向量a
，b 不共线，
且2,32c a b d a b =-=-，试判断向量,c d 能否作为基底？考点二：给出基底表示其它向量例2：平行四边形ABCD 的两条对角线交于点M ，且=a ，=b ，用a ，b 表示
MA ，MB ，MC 和MD 。

考点三：根据平面向量基本定理求参数的取值
例3：已知向量1e ，2e 不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )1e +(2x -3y )2e =61e +32e ，则x －y 的值等于_____
考点四：不同基底下同一向量的坐标表示。

例4：若,αβ是一组基底，向量x y γαβ=+(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底,αβ下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q q ＝(2,1)下的坐标为 (－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )
A ．(2,0)
B ． (0，－2)
C ．(－2,0)
D ．(0,2)。

高考数学真题分类专题五平面向量第十四讲向量的应用答案

专题五平面向量第十四讲向量的应用答案部分2019年1.解析设()2AD AB A AO C λλ==+，1()(1)3AO AE EO AE EC AE AC AE AE AC AB AC μμμμμμ-=+=+=+-=-+=+，所以1232λμλμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1214λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以11()24AO AD AB AC ==+，13EC AC AE AB AC =-=-+， 221131266()()()43233AO EC AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=⨯+⨯-+=-+⋅+=221322AB AB AC AC -+⋅+，因为221322AB AC AB AB AC AC ⋅=-+⋅+，所以221322AB AC =，所以223AB AC=，所以ABAC=. 2.解析：正方形ABCD 的边长为1，可得AB AD AC +=，BD AD AB =-，0AB AD ⋅=，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++12345566||AB AD AB AD AB AD AD AB λλλλλλλλ=+--+++- 13562456|()()|AB AD λλλλλλλλ=-+-+-++ =由于(1,2,3,4,5,6)i i λ=错误!未找到引用源。

2，3，4，5，错误!未找到引用源。

取遍1±，可得13560λλλλ-+-=，24560λλλλ-++=，可取5613241,1,1,1λλλλλλ=====-=，可得所求最小值为0；由13564λλλλ-+-=，24564λλλλ-++=，可取2456131,1,1,1,1,λλλλλλ==-====-可得所求最大值为3.解析因为AB BE =，//AD BC ，30A ∠=，所以在等腰三角形ABE 中，120BEA ∠=，又AB =，所以25BE AD =-. 因为AE AB BE =+，所以25AE AB AD =-. 又BD BA AD AB AD =+=-+，所以()22272555BD AE AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫⋅=-+⋅-=-+⋅-= ⎪⎝⎭2272cos 55AB AB AD A AD -+⋅-=7212525155-+⨯⨯-⨯=-. 2010-2018年1．A 【解析】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图的平面直角坐标系，因为在平面四边形ABCD 中，1AB AD ==，120BAD ∠=︒，所以(0,0)A ，(1,0)B，1(,22D -，设(1,)C m ,(,)E x y ，所以3(,2DC m=，1(2AD =-，因为AD CD ⊥，所以31(,(022m ⋅-=，即31()02222m ⨯-+-=，解得m =C ，因为E 在CD上，所以2y ≤CE CD k k =，2112=+，即2x =-，因为(,)AE x y =，(1,)BE x y =-，所以2222(,)(1,)2)2AE BE x y x y x x y y ⋅=⋅-=-+=--++246y =-+，令2()46f y y =-+，y ∈．因为函数2()46f y y =-+在上单调递减，在上单调递增，所以2min 21()4(68816f y =⨯-+=．所以⋅AE BE 的最小值为2116，故选A ． 2．A 【解析】解法一设O 为坐标原点，OA =a ，(,)OB x y ==b ，=(1,0)e ，由2430-⋅+=b e b 得22430x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，所以点B 的轨迹是以(2,0)C 为圆心，l 为半径的圆．因为a 与e 的夹角为3π，所以不妨令点A在射线y =(0x >)上，如图，数形结合可知min ||||||31CA CB -=-=-a b ．故选A ．解法二由2430-⋅+=b e b 得2243()(3)0-⋅+=-⋅-=b e b e b e b e ．设OB =b ，OE =e ，3OF =e ，所以EB -=b e ，3FB -b e =，所以0EB FB ⋅=，取EF 的中点为C ．则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．设OA =a ，作射线OA ，使得3AOE π∠=，所以|||(2)(2)|-=-+-≥a b a e e b|(2)||(2)|||||31CA BC ---=-≥a e e b ．故选A ．3．A 【解析】如图建立直角坐标系，则(0,1)A ，(0,0)B ，(2,1)D ，(,)P x y 所以圆的方程为224(2)5x y -+=，所以(,1)AP x y =-，(0,1)AB =-，(2,0)AD =，由AP AB AD λμ=+，得21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，所以λμ+=12xy -+，设12x z y =-+，即102xy z -+-=，点(,)P x y 在圆上，所以圆心到直线102xy z -+-=的距离小于半径，≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值为3，即λμ+的最大值为3，选A ．4．B 【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则 (0,3)A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以 (,3)PA x y =--，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =--，所以 (2,2)PB PC x y +=--，22()22)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-23322--≥，当P 时，所求的最小值为32-，故选B ． 5．C 【解析】如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO AF <，而90AFB ∠=，∴AOB ∠与COD ∠为钝角，AOD ∠与BOC ∠为锐角．根据题意12()I I OA OB OB OC OB OA OC OB CA -=⋅-⋅=⋅-=⋅=||||cos 0OB CA AOB ∠<，∴12I I <，同理23I I >．做AG BD ⊥于G ，又AB AD =．∴OB BG GD OD <=<，而OA AF FC OC <=<，∴||||||||OA OB OC OD ⋅<⋅，而cos cos 0AOB COD ∠=∠<， ∴OA OB OC OD ⋅>⋅，即13I I >， ∴312I I I <<，选C ．G FEOABCD6．B【解析】由2DA DB DC ===知,D 为ABC ∆的外心．由DA DB ⋅=DB DC ⋅=DC DA ⋅ 知D 为ABC ∆的内心，所以ABC ∆为正三角形，易知其边长为23，取AC 的中点E ，因为M 是PC 的中点，所以1122EM AP ==，所以max 17||||22BM BE =+=，则2max49||4BM =．故选B ． 7．D 【解析】由菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=可知18060120BAD ∠=-=，2223()()cos1202BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a ⋅=-⋅-=-⋅+=-⋅+=．8．A 【解析】由题意得111333=+=+=+-AD AC CD AC BC AC AC AB1433=-+AB AC ．9．A 【解析】以题意，以点A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以点(1,4)P ，1(,0)B t，(0,)C t ，所以11(1,4)(1,4)(1)(1)4(4)PB PC t t t t⋅=----=-⨯--⨯-=1174t t --117413t t -⨯=≤（当且仅当14t t =，即12t 时取等号），所以PB PC ⋅的最大值为13．故选A ．10．C【解析】311 ,443AM AB AD NM CM CN AD AB=+=-=-+，所以11(43)(43)412AM NM AB AD AB AD⋅=+⋅-2211(169)(1636916)94848AB AD=-=⨯-⨯=，选C．11．B 【解析】由题意得，AC为圆的直径，故可设),(nmA，),(nmC--，),(yxB ，∴(6,)PA PB PC x y++=-，而491237)6(22≤-=+-xyx，∴PA PB PC++的最大值为7，故选B．12．A【解析】设(1,0),(0,1)a b==，则(cos,sin)OPθθ=，(2,2)OQ=，所以曲线C是单位元，区域Ω为圆环（如图）∵||2OQ=，∴13r R<<<．13．C【解析】因为120BAD，所以cos1202AB AD AB AD.因为BE BC，所以AE AB AD，AF AB AD.因为1AE AF，所以1AB AD AB AD，即3222①同理可得23②，①+②得56.14．B【解析】如图，设,AB b AC c==，则1,2,0b c b c==•=，CBQP又(1)BQ BA AQ b c λ=+=-+-，CP CA AP c b λ=+=-+，由2-=•得22[(1)]()(1)4(1)2b c c b c b λλλλλλ-+-•-+=--=--=-，即32,23==λλ，选B. 15．A 【解析】【方法一】设34(10cos ,10sin )cos ,sin 55OP θθθθ=⇒==则33(10cos(),10sin())(44OQ ππθθ=++=-．【方法二】将向量(6,8)OP =按逆时针旋转32π后，可知Q 点落在第三象限，则可排除B 、D ，代入A ，由向量的夹角公式可得cos 2QOP ∠=-，∴34QOP π∠=． 16．C 【解析】首先观察集合113{|},1,,0,,1,,2,2222nn Z ⎧⎫∈=⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭，从而分析a b和b a 的范围如下：因为(0,)4πθ∈，∴cos 12θ<<，而||cos ||θ⋅==⋅b a b b a a a a ，且||||0>a b ，可得||0cos 1||θ<<b a ，又∵∈b a {|}2∈nn Z 中，∴||1cos ||2θ=b a ，从而||1||2cos θ=b a ，∴2||cos 2cos ||θθ⋅===⋅a b a a b b b b ，所以12<<a b ．且a b 也在集合{|}2∈nn Z 中，故有32=a b ． 17．D 【解析】根据已知得(,0)(0,0)[(1,0)(0,0)]c λ-=-，即(,0)(1,0)c λ=，从而得c λ=；(,0)(0,0)[(1,0)(0,0)]d μ-=-，即(,0)(1,0)d μ=，得d μ=，根据112λμ+=，得112c d+=．线段AB 的方程是0y =，[0,1]x ∈．若C 是线段AB 的中点，则12c =，代入112c d +=，得10d=．此等式不可能成立，故选项A 的说法不成立；同理选项B 的说法也不成立；若,C D 同时在线段AB 上，则01c <≤，01d <≤，此时11c ≥，11d≥，112c d +≥，若等号成立，则只能1c d ==，根据定义，,C D 是两个不同的点，故矛盾，故选项C 的说法也不正确，若,C D 同时在线段AB 的延长线上，若1c >，1d >，则112c d+<，与112c d +=矛盾，若0,0c d <<，则11c d +是负值，与112c d+=矛盾，若1c >，0d <，则11c <，10d <，此时111c d +<，与112c d+=矛盾，故选项D 的说法是正确的．18．3-【解析】设(0,)E t ，(0,2)±F t ，所以(1,)(2,2)⋅=⋅-±AE BF t t222(2)22(1)3=-+±=±-=±-t t t t t ，当1=±t 时，AE BF ⋅取得最小值3-．19．[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤，得250x y -+≤，x如图由250x y -+≤可知，P 在MN 上，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得(1,7)M ，(5,5)N --，所以P 点横坐标的取值范围为[-．20．311【解析】032cos603AB AC ⋅=⨯⨯=，1233AD AB AC =+,则12212()()34934333333AD AE AB AC AC AB λλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-，311λ=．21．12【解析】由题意令(1,0)=e ，(cos ,sin )αα=a ，(2cos ,2sin )ββ=b ，则由||||6+ae be 可得|cos |2|cos |6αβ+ ①，令sin 2sin m αβ+= ②22①+②得24[|cos cos |sin sin ]1m αβαβ++对一切实数,αβ恒成立，所以4[|cos cos |sin sin ]1αβαβ+．故12(cos cos sin sin )2[|cos cos |sin sin ]2αβαβαβαβ⋅=++a b ．故最大值为12． 22．12 16 【解析】由1111()3232MN MC CN AC CB AC AB AC =+=+=+-1126AB AC xAB y AC =-=+．所以12x，16y ． 23．2918 【解析】因为19DF DC λ=，12DC AB =，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==，AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+， ()1918AE AF AB BC AB BC λλλ+⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎝⎭22191911818AB BC AB BC λλλλλλ++⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭ 19199421cos1201818λλλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥=当且仅当2192λλ=即23λ=时的最小值为2918． BA24．1(1)(1)(cos,sin cos )(cos ,sin 66666k k k k k k k a a πππππ+++⋅=+⋅+(1)cos )6k π+2(1)2cos sincos cos sin 66666k k k k πππππππ+++=+++1(21)cos 26k π+，因此11103312k k k a a +=⋅==∑ 25．2【解析】因为120BAD，菱形的边长为2，所以2AB AD .因为113AE AFABAD ADAB λ，由1AE AF，所以4412(1)133λλ+-+=，解得2λ=． 26．1+(,)D x y ，由||1CD =，得22(3)1x y -+=，向量OA OB OD ++(1,x y =-+，故||(OA OB OC x ++=的最大值为圆22(3)1x y -+=上的动点到点(1,距离的最大值，其最大值为圆22(3)1x y -+=的圆心(3,0)到点(1,的距离加上圆的半径，11=27．2【解析】以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系，则B ，E ，(0,2)D ，2)C ．设(,2)F x (0≤x ≤2)，由21AB AF x ⋅=⇒=，∴(1,2)F ，AE BF =()1,2⋅(1-2,2)=2．28．(2sin 2,1cos 2)--【解析】如图过P 作x 轴的垂线，垂足为E ，过C 作y 轴的垂线，垂足为A ，根据题意可知圆滚动了2个单位的弧长，BAC E∴2PCD ∠=，可知22PCB π∠=-，此时点P 的坐标为2cos(2)2sin 2,2P x π=--=-1sin(2)1cos 2,2P y π=+-=-另解1：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2y x ，且223,2-==∠πθPCD ，则点P 的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-+=2cos 1)223sin(12sin 2)223cos(2ππy x ，即)2cos 1,2sin 2(--=OP . 29．14-【解析】根据已知得1()2AD AB AC =+，23BE AC AB =-，所以AD BE ⋅=1()2AB AC +⋅（23AC AB -）=1211(1)2334AB AC --⋅=-．30．【解析】(1)∵⊥m n ，∴0⋅=m n，故cos 022x x -=，∴tan 1x ．（2）∵m 与n 的夹角为3π，∴122cos ,112x x⋅<>===⨯m n m n |m ||n |，故1sin()42x π-=，又(0,)2x π∈，∴(,)444x πππ-∈-，46x ππ-=，即512x π．故x 的值为512π．31．【解析】（Ⅰ）已知()sin2cos2f x m x n x =⋅=+a b ，)(x f 过点)2,32(),3,12(-ππ，∴()sin cos 1266f m n πππ=+=234cos 34sin )32(-=+=πππn m f∴12122m ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得⎩⎨⎧==13n m（Ⅱ）由（Ⅰ）知)62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f由题意知()()2sin(22)6g x f x x πϕϕ=+=++设()y g x =的图象上符合题意的最高点为0(,2)x由题意知2011x +=．所以00x =，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入()y g x =得sin 216πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又∵0ϕπ<<，所以6πϕ=，因此()2sin 22cos 22g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭由222,k x k k Z πππ-+≤≤∈，得z k k x k ∈≤≤+-,2πππ∴()f x 的单调增区间为[,],2k k k πππ-+∈Z ．32．【解析】（Ⅰ）∵1cos ,3,cos 233acB b BA BC ca B ==⋅===，且222-cos 2a c b B ac+=，∴c 6,5a a c =+=，∵a c >，∴解得3,2a c ==．所以3,2a c ==．（Ⅱ）∵1cos 3B =，∴sin B =，∵3,3,2a b c ===，222-c 7cos 29a b C ab +==，sin 9C =，∴23cos(-)cos cos sin sin 27B C B C B C =+=，故23cos(-)27B C =． 33．【解析】（1）-a b ＝(cos cos ,sin sin )αβαβ--，2||-a b ＝22(cos cos )(sin sin )αβαβ-+-＝22(cos cos sin sin )2αβαβ-⋅+⋅=．所以，cos cos sin sin 0αβαβ⋅+⋅=，所以，b a ⊥．（2）⎩⎨⎧=+=+②1sin sin ①0cos cos βαβα，①2＋②2得：1cos()2αβ-=-．所以，αβ-＝π32，α＝π32＋β，带入②得：sin (π32＋β)＋sin β＝23cos β＋12sin β＝sin (3π＋β)＝1，所以，3π＋β＝2π．所以，α＝65π，β＝6π．34．【解析】由题意，抛物线E 的焦点为(0,)2p F ，直线1l 的方程为12py k x =+．由1222p y k x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得22120x pk x p --=．设A ，B 两点的坐标分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1x 、2x 是上述方程的两个实数根．从而1212x x pk +=，212121()2y y k x x p pk p +=++=+．所以点M 的坐标为211(,)2ppk pk +，211(,)FM pk pk =．同理可得点N 的坐标为222(,)2p pk pk +，222(,)FN pk pk =．于是2221212()FM FN p k k k k ⋅=+．由题设，有k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2，所以212120()12k k k k +<<=．故222(11)2FM FN p p ⋅<+=．(2)【解析】由抛物线的定义得1||2p FA y =+，2||2p FB y =+，所以2121||22AB y y p pk p =++=+，从而圆M 的半径211r pk p =+．故圆M 的方程为22222111()()()2p x pk y pk pk p -+--=+．化简得22221132(21)04x y pk x p k y p +--+-=．同理可得圆N 的方程为22222232(21)04x y pk x p k y p +--+-=．于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为222121()()0k k x k k y -+-=．又k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0. 因为p >0，所以点M 到直线l 的距离222117[2()]p k d ++===故当114k =-时，d．，解得8p =．故所求的抛物线E 的方程为216x y =． 35．【解析】（I）由2222)(sin )4sin ax x x =+=，222(cos )(sin )1b x x =+=，及2,4sin 1a b x ==得又1[0,],sin 22x x π∈=从而，所以6x π=.（II）2()cos sin f x a b x x x =⋅=⋅+=1112cos 2sin(2)22262x x x π-+=-+. 当[0.]sin 2- 1.326x x πππ=∈时，（）取最大值所以3().2f x 的最大值为 36．【解析】（1）由(2,1)MA x y =---，(2,1)MB x y =--，(MA MB +=-()(,)(0,2)2OM OAOB x y y ⋅+=⋅=，=22y +．化简得曲线C 的方程：24x y =．（2）假设存在点(0,)(0)P t t >满足条件，则直线PA 的方程是12t y x t -=+，PB 的方程是12ty x t -=+．曲线C 在Q 处的切线l 的方程是20024x x y x =-，它与y 轴的交点为2(0,)4x F - 由于022x -<<，因此0112x -<<． ①当10t -<<时，11122t --<<-，存在0(2,2)x ∈-，使得0122x t -=．即l 与直线PA 平行，故当10t -<<时不符合题意． ②1t-时，011,22x t --<1122x t ->，所以l 与直线,PA PB 一定相交．分别联立方程组0201224t y x t x x y x -⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得,D E 的横坐标分别是 20042(1)D x t x x t +=+-，20042(1)E x t x x t +=+-，则202204(1)(1)E D x tx x t x t +-=--- 又204x FP t =--，有220220(4)1128(1)PDE E D x t t S FP x x t x ∆+-=⋅⋅-=⋅--，又2200414(1)242QABx x S ∆-=⋅⋅-=，于是22200220(4)(1)41(4)QAB PDEx x t S S t x t ∆∆⎡⎤---⎣⎦=⋅-+=422200422004(1)4(1)41816x t x t t x tx t⎡⎤-+-+-⎣⎦⋅-++，对任意0(2,2)x ∈-，要使QAB PDES S ∆∆为常数，即只需t 满足2224(1)84(1)16t tt t⎧---=⎨-=⎩，解得1t =-，此时2QAB PDES S ∆∆=，故存在1t =-，使得QAB ∆与PDE ∆的面积之比是常数2．37．【解析】由λ=知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设 .)1(),(),,(),,(),,(2020220y x y x y y x x x M y x Q y x P λλλ-+=-=-则则 ①再设),1,1().(,),,(010111y x y y x x y x B --=--=λλ即由解得⎩⎨⎧-+=-+=.)1(,)1(011λλλλy y x x ②将①式代入②式，消去0y ，得⎩⎨⎧-+-+=-+=.)1()1(,)1(2211λλλλλλy x y x x ③ 又点B 在抛物线2x y =上，所以211x y =，再将③式代入211x y =，得.012),1(,0.0)1()1()1(2,)1(2)1()1()1(,))1(()1()1(22222222=--+>=+-+-+++-+=-+-+-+=-+-+y x y x x x y x x y x 得两边同除以因λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ故所求点P 的轨迹方程为.12-=x y38．【解析】（1）（方法一）由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-，则(2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-=所以||210,||4 2.AB AC AB AC +=-=故所求的两条对角线的长分别为．（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则: E 为B 、C 的中点，E （0，1）又E （0，1）为A 、D 的中点，所以D （1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC =、AD = （2）由题设知：OC =(－2,－1)，(32,5)AB tOC t t -=++．由(OC t AB -)·OC =0，得：(32,5)(2,1)0t t ++⋅--=，从而511,t =-所以115t =-．或者：2· AB OC tOC =，(3,5),AB =2115||AB OC t OC ⋅==-．。

高考数学平面向量的应用

b a ⇔=）证明垂直问题，常用数量积的运算性质：=0a b a b x x y ⊥⇔⋅⇔+21x x a ba bx ⋅=+）由于物理学中的力，速度，位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的cos F s =平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给一、知识点回顾1．若a 与b 是非零向量，且a b ⊥，a b ≠，则函数()()()f x xa b xb a =+⋅-是（）A. 一次函数且是奇函数B. 一次函数但不是奇函数C. 二次函数且是偶函数D. 二次函数但不是偶函数2．已知A ，B 是以C AB →=AC CB →→⋅=（）3. 已知向量()=cos ,sin a θθ，()=3,-1b ，则2-a b 的最大值与最小值分别是（）4. 经过ΔOAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q,设,OP mOA OQ nOB →→→→==，R m n ∈，，则11m n+的值为（）二、典型例题例1. 在ΔABC 中，2BC BA AC AC →→→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，则ΔABC 的形状一定是（） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形变式练习：在平行四边形ABCD 中，AD=1，∠BAD=60°，E 为CD 的中点，若1AC BE →→⋅=，则AB=（）例 2.设向量()=4c o s,s i n a αα，()=sin ,4cos b ββ，()=cos ,4sin c ββ-，（1）若()2a b c ⊥-，求()tan αβ+的值；（2）求b c +的最大值（3）若tan tan 16αβ=，求证a b变式练习：已知向量 33=cos,sin 22x x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，=cos ,sin 22x x b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且[0,]2x π∈，（1）求a b ⋅及a b +；（2）若()2f x a b a b λ=⋅-⋅+的最小值是3-2，求λ的值。

十年高考理科数学真题专题五平面向量十四向量的应用及答案

2，动点
P，M
满足
uuur AP
=1，
uuuur PM
uuuur = MC
，则
uuuuur BM 2
的最大值
是
43
A．
4
49
B．
4
37 6 3
C．
4
37 2 33
D．
4
uuur uuur
7． (2015 山东 ) 已知菱形 ABCD 的边长为 a ， ABC
o
60
，则
BD
CD ＝
A ． 3 a2 2
B． I1< I 3< I 2
C． I 3 < I1 < I 2
D． I 2< I1< I3
uuur uuur uuur uuur uuur 6．（ 2016 四川）在平面内，定点 A，B， C， D 满足 DA = DB = DC ， DA DB =
uuur uuur uuur uuur DB DC = DC DA =
| 1 AB 2 BC 3CD 4 DA 5 AC 6 BD | 的最小值是 ________ ，最大值是
_______.
3（. 2019 天津理 14）在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC , AB 2 3, AD 5,
uuur uuur
点 E 在线段 CB 的延长线上，且 AE BE ，则 BD AE
uuur
uuur
满足 OQ 2( a b) ．曲线 C { P | OP a cos b sin ,0 ≤ ≤ 2 } ，区域
uuur { P | 0 r ≤| PQ |≤ R, r R} ．若 C I 为两段分离的曲线，则

高中数学教学备课教案平面向量的基本定理与应用方法总结

高中数学教学备课教案平面向量的基本定理与应用方法总结高中数学教学备课教案平面向量的基本定理与应用方法总结Ⅰ、引言在高中数学教学中，平面向量是一个重要的概念，它不仅在几何和代数中有广泛的应用，还是学生理解向量概念和解决相关问题的基础。

本文将总结平面向量的基本定理与应用方法，帮助老师们在备课过程中更好地教授这一内容。

Ⅱ、平面向量的基本概念回顾平面向量是空间中平面上的一个有向线段，具有大小和方向两个重要属性。

通常用符号a表示。

平面向量既可以用有向线段表示，也可以用坐标表示，其坐标形式为(a1,a2)。

Ⅲ、平面向量的基本定理（一）向量相等的判定若两个向量a和b的对应坐标相等，则向量a等于向量b，即(a1,a2) = (b1,b2)。

（二）向量加法的性质向量加法满足交换律、结合律和零向量的存在性质。

即对于任意向量a，b和c，有以下等式成立：- 交换律：a + b = b + a- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)- 零向量：存在向量0，使得a + 0 = a（三）数与向量的乘法向量与数的乘法遵循分配律，即对于任意向量a和实数k，有以下等式成立：- k(a1,a2) = (ka1,ka2)Ⅳ、平面向量的应用方法平面向量不仅在几何中有广泛的应用，还可以用于解决代数问题。

以下是其中的两个应用方法的总结：1. 平面向量的数量积（一）定义平面向量a和b的数量积（内积）定义为：a·b = |a| |b| cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模，θ为它们之间的夹角。

（二）性质- 若a与b垂直，则a·b=0；- 若a与b平行，则a·b=|a| |b|。

（三）应用举例- 判断两个向量的夹角是否为直角；- 判断两个向量的平行性。

2. 平面向量的向量积（一）定义平面向量a和b的向量积（叉积）定义为：a×b = |a| |b| sinθ n，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模，θ为它们之间的夹角，n为垂直于a、b所在平面的单位向量，满足右手法则。

【高考数学】专题五平面向量第十四讲向量的应用(含答案)

2010-2018
一、选择题
1．(2018 浙江)已知 a ， b ， e 是平面向量， e 是单位向量．若非零向量 a 与 e 的夹角为， 3
向量 b 满足 b2 − 4e b + 3 = 0 ，则| a − b |的最小值是
A． 3 −1
B． 3 +1
C．2
D． 2 − 3
2．（2017 浙江）如图，已知平面四边形 ABCD ，AB ⊥ BC ，AB = BC = AD = 2 ，CD = 3 ，
5．（2015 湖南）已知点 A, B, C 在圆 x2 + y2 = 1上运动，且 AB ⊥ BC ，若点 P 的坐标为 uuur uuur uuur
(2, 0) ，则| PA + PB + PC | 的最大值为
A．6
B．7
C．8
D．9
rr r r r r 6．（2014 安徽）在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 a, b, a = b = 1, a b = 0, 点 Q 满足
安徽)在平面直角坐标系中，O(0,
0),
P(6,
8)
，将向量
uuur OP
绕点
O
按逆时针旋转
3
4
uuur 后得向量 OQ ，则点 Q 的坐标是
A． (−7 2, − 2) B． (−7 2, 2) C． (−4 6, −2) D． (−4 6, 2)
10．（2012 广东）对任意两个非零的平面向量 α 和 β，定义 o = ．若平面向量 a, b
27．（2015 陕西）△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ，向量 m = (a, 3b)
与 n = (cos A,sin B) 平行．

2023年高考数学----平面向量基本定理及其应用规律方法与典型例题讲解

2023年高考数学----平面向量基本定理及其应用规律方法与典型例题讲解【规律方法】1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．2、用基底表示某个向量的基本方法：（1）观察各向量的位置；（2）寻找相应的三角形或多边形；（3）运用法则找关系；（4）化简结果．【典型例题】例1．（2022·全国·模拟预测）如图，在ABC 中，点D 是边AB 上一点且2BD AD =，E 是边BC 的中点，直线AE 和直线CD 交于点F ，若BF 是ABC ∠的平分线，则BCBA =（）A ．4B ．3C ．2D ．12 【答案】C【解析】因为BF 是ABC ∠的平分线，所以存在一个实数λ使得BA BC BF BA BC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，（根据角平分线的条件，选择合适的基底）因为E 是边BC 的中点，所以2BA BE BF BA BC λ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=+，又点A ，E ，F 共线，所以21BA BC λλ+=①．（三点共线的应用：OA OB OC λμ=+（λ，μ为实数），若A ，B ，C 三点共线，则1λμ+=）因为2BD AD =，所以32BD BC BF BABC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭，又点C ，F ，D 共线，所以312BA BC λλ+=②，联立①②，得112BA BC =，则2BC BA =，即2BC BA =.故选：C ．例2．（2022·全国·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在线段BD 上，且EB mDE =（m R ∈），若AC AE AD λμ=+（λ，μ∈R ）且20λμ+=，则m =（）A ．13B ．3C ．14D ．4【答案】B 【解析】方法1：在平行四边形ABCD 中，因为EB =mDE ，所以()AB AE m AE AD −=−，所以11AE AB m =++1m AD m +，又∵AB DC AC AD ==−，∴()111m AE AC AD AD m m =−+++， ∴()()11AC m AE m AD =++−，又∵AC AE AD λμ=+，∴1m λ=+，1m μ=−，（平面向量基本定理的应用）又∵20λμ+=，∴()1210m m ++−=，解得3m =，故选：B.方法2：如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则()0,0A ，设(),0B a ，(),D b c ，∵AB DC = 则 (),C a b c +，又∵EB mDE =，设(),E x y ，则()()11mb a x a x m x b m y m y c mc y m ⎧+⎧=⎪⎪−=−⎪⎪+⇒⎨⎨−=−⎪⎪=⎪⎪+⎩⎩即：,11mb a mc E m m +⎛⎫ ⎪++⎝⎭∴,11mb a mc AE m m +⎛⎫= ⎪++⎝⎭，(),AC a b c =+，(),AD b c =，又∵AC AE AD λμ=+，20λμ+=∴2AC AE AD μμ=−+∴()(),=2,,11mb a mc a b c b c m m μμ+⎛⎫+−+ ⎪++⎝⎭∴2()121a bm a b b m mc c c m μμμμ−+⎧+=+⎪⎪+⎨−⎪=+⎪+⎩①② 由②得1=1m mμ+−，将其代入①得3m =，故选：B. 例3．（2022·北京·牛栏山一中高三期中）在平行四边形ABCD 中，E 是边CD 的中点，AE 与BD 交于点F ．若AB a =，AD b =，则AF =（）A ．1344a b +B ．2133a b +r rC ．3144a b +D ．1233a b + 【答案】D【解析】12AE AD DE AD AB =+=+. 设AF AE λ=()01λ<<，则1122BF AF AB AD AB AB AD AB λλλ⎛⎫⎛⎫=−=+−=+− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 又BD AD AB =−，且,,B F D 三点共线，则,BF BD 共线，即R μ∃∈，使得BF BD μ=，即12AD AB AD AB λλμμ⎛⎫+−=− ⎪⎝⎭，又,AB AD 不共线，则有12λμλμ=⎧⎪⎨−=−⎪⎩，解得2323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，22112123323333AF AE AD AB AB AD a b ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭. 故选：D.例4．（2022·广东广州·高三期中）如图，在平行四边形ABCD 中，,M N 分别为,AB AD 上的点，且42,53AM AB AN AD ==，连接,AC MN 交于P 点，若AP AC λ=，则λ的值为（）A ．35B ．57C ．411D ．815【答案】C 【解析】设MP kMN = 则45AP AM MP AB kMN =+=+ 显然2435MN AN AM AD AB =−=− 得()42424153535k AP AB k AD AB AD k AB ⎛⎫=+−=+− ⎪⎝⎭ 显然AC AD AB =+因为AP AC λ= 所以有()()24135k AD k AB AD AB λ+−=+ 即()24135k AD k AB AD AB λλ+−=+ 根据向量的性质可知()23415k k λλ⎧=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩ 解得611411k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故选：C例5．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（文））已知平面向量OA ，OB 满足2OA OB ==，2OA OB ⋅=−，点D 满足2DA OD =，E 为AOB 的外心，则OB ED ⋅的值为（）A ．83− B ．83 C ．163− D ．163 【答案】A 【解析】2OA OB ==uu r uu u r Q ，cos 4c 2os OA O OA OB B AOB AOB ⋅=−∴⋅∠=∠=uu r uu u r uu r uu u r ，1cos 2AOB ∴∠=−，23AOB π∴∠=，以O 为原点，OA ，垂直于OA 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则()0,0O ，()2,0A ，(B −，设(),0D x 又2DA OD =，知()(),022,0x x =−，解得23x =，2,03D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ 又E 为AOB 的外心，123AOE AOB π∴∠=∠=，OE EA =3AOE EAO OEA π∴∠=∠=∠=，AOE ∴为等边三角形，(E ，∴1,3ED ⎛=− ⎝，∴83OB ED ⋅=−．故选：A例6．（多选题）（2022·湖北·华中师大一附中高三期中）如图，ABC 中，13BD BC =，12AE AC =，AD 与BE 交于点F ，则下列说法正确的是（）A ．1233AD AB AC =+ B ．12BF BE = C ．:1:3BFD AFE S S =△△D ．20AF BFCF ++=【答案】BCD 【解析】为了判断下面的有关结论，先引入三点共线向量形式的充要条件，设,,A B C 三点共线，O 为线外一点，则()1OB mOC m OA =+−，即OA 与OC 前系数和为1，证：,,A B C 三点共线，AB mAC ∴=，()OB OA m OC OA ∴−=−， ()1OB mOC m OA ∴=+−．()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+，故A 错； ,,B F E 三点共线，()()112AF AB AE AB AC λλλλ−∴=+−=+， ,,A F D 三点共线，233AF AD AB AC μμμ∴==+， 23132μλμλ⎧=⎪⎪∴⎨−⎪=⎪⎩，解得1234λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1122AF AB AE ∴=+， ∴ F 为BE 的中点， 12BF BE ∴=，故B 对； 111443BFD ABD ABC S S S ==⨯⋅△△△， 111222AFE ABE ABC S S S ==⨯⋅△△△， :1:3BFD AFE S S ∴=△△，故C 对；取AB 中点G ，BC 中点H ，如下图，则,,G F H 三点共线，()()()()2AF BF CF AF BF BF CF FB FB F FA C ⎡⎤∴++=−++++=++⎣⎦ ()()220FG FH EA EC =−+=−+=，故D 对．故选：BCD ．例7．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）在ABC 中，13A A D B =，34A A E C =，BE 与DC 交于点F ，若AF AB AC λμ=+，则λμ+的值为__________. 【答案】79【解析】由已知可得，13A A D B =，34A A E C =. 因为，,,D F C 三点共线，设DF mDC =uuu r uuu r ，01m <<. 13DC AC AD AC AB =−=−uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r ，则111333m AF AD DF AB m AC AB AB mAC −⎛⎫=+=+−=+ ⎪⎝⎭uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r . 1233m m BF AF AB AB mAC AB AB mAC −+=−=+−=−+uu u r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r ，又34BE AE AB AB AC =−=−+uur uu u r uu u r uu u r uuu r ，因为,,B E F 三点共线，则存在R n ∈，使得BF nBE =uu u r uur ，即233344m n AB mAC n AB AC nAB AC +⎛⎫−+=−+=−+ ⎪⎝⎭uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r ，因为，,AB AC 不共线，所以有2334m n n m +⎧−=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2389m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，1293AF AB AC =+uu u r uu u r uuu r ，即19λ=，23μ=，79λμ+=. 故答案为：79.例8．（2022·全国·高三专题练习）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对直角三角形CDE 按上述操作作图后，得如图所示的图形，若AF AB AD x y =+，则x y −=____________．【答案】12− 【解析】如图，以A 为原点，分别以,AB AD 为,x y 轴建立平面直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为2a ，则正方形DEHI，正方形EFGC 边长为a 可知()0,0A ，()2,0B a ，()0,2D a，)1DF a =则)1cos30F x a =⋅，)1sin 302F y a a =⋅+，即F ⎫⎪⎪⎝⎭ 又AF AB AD x y =+，()()()2,00,22,2x a y a ax ay ⎫∴=+=⎪⎪⎝⎭即22ax ay ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即22ax ay −=，化简得12x y −=− 故答案为：12−。

高三数学一轮复习教案第14讲平面向量的概念及应用

学年第一学期高三年级数学学科
集体备课教案
教学过程
一．知识梳理：
．向量的概念
①向量
既有大小又有方向的量。

向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：几何表示法，；坐标表示法。

向量的大小即向量的模（长度），记作即向量的大小，记作｜。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

②零向量
长度为的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量＝｜｜＝。

由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。

（注意与的区别）
③单位向量
模为个单位长度的向量，向量为单位向量｜｜＝。

④平行向量（共线向量）
方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作∥。

由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。

⑤相等向量
长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为。

大小相等，方向相同。

．向量的运算
（）向量加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

梅花三麓付费文档梅花三麓付费文档
梅花三麓付费文档梅花三麓付费文档
问题14 平面向量基本定理的应用问题
一、考情分析
平面向量问题一直在高中数学中以数学工具的形式出现,它很好的体现了数学知识间的联系与迁移,具体到
平面向量基本定理,又在向量这部分知识中占有重要地位,是向量坐标法的基础,是联系几何和代数的桥梁.
平面向量的线性运算及应用是高考考查热点,一般以客观题形式出现,难度中等以下．
二、经验分享
1.平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．
(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和
用三角形法则．

【小试牛刀】【山东省曲阜市2018届高三上学期期中】如图,在ABC中,是BN上的一点,
若,则实数m的值为（）

A. 13 B. 19 C. 1 D. 3
【答案】B

【解析】由可得=,因为,,BPN共线,所以
819m,1
9
m
,故选B

（四）平面向量基本定理在解析几何中的应用

【例4】【2016届安徽省六安一中高三上第五次月考】设双曲线22221xyab的右焦点为F,过
点F与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的其中一个交点为P,设坐标原点为O,若
(,)mnR
,且29mn,则该双曲线的渐近线为（）
梅花三麓付费文档梅花三麓付费文档
梅花三麓付费文档梅花三麓付费文档
A．34yx B．24yx C．12yx D．13yx
【分析】过双曲线的右焦点,0Fc并与x轴垂直的直线:lxc,与渐近线byxa的交点坐标为
,,bcAcc ,,bcBcc




代入向量运算得到点P的坐标,再代入双曲线方程求出离心率,从而渐近线方程可

求．

【点评】解析几何中基本量的计算要注意方程思想的应用和运算的准确性.
【小试牛刀】已知是双曲线22221xyab（0a,0b）的左顶点,1F、2F分别为左、右焦点,为双曲
线上一点,G是12FF的重心,若1GF,则双曲线的离心率为（）
A．2 B．3 C．4 D．与的取值有关
【答案】B

【解析】因为1GF,所以1G//F,所以,即13ac,所以3cea,故选B．

五、迁移运用
1．【广东省茂名市2019届高三第一次综合测试】在平行四边形中，为上一点，且，记，
梅花三麓付费文档梅花三麓付费文档
梅花三麓付费文档梅花三麓付费文档
，则（）
A． B． C． D．
【答案】B

2.【北京市西城区2018-2019学年度第一学期期末】，．若P，Q，R三点共线，则实数
k
的值为（）

A．2 B． C． D．
【答案】D

【解析】∵是不共线的两个平面向量；∴；
即；∵P，Q，R三点共线；∴与共线；
∴存在λ，使；∴；
∴根据平面向量基本定理得，；解得．故选D．
3．【广东省肇庆市2019届高三第二次（1月)统一检测】已知的边上有一点满足，则
可表示为（）

A． B．
C． D．
【答案】A

【解析】画出图像如下图所示，故，故选A.